Fundmentos d Mtemátic PROF. VLAMIR TEIXEIRA º SEMESTRE LETIVO: 0
ÍNDICE. CONJUNTOS NUMÉRICOS.... INTERVALOS.... EXERCÍCIOS.... EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E REVISÃO GERAL PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVIS.... EXERCÍCIOS.... POTENCIAÇÃO... 6. RADICIAÇÃO... 7. RACIONALIZAÇÃO... 8. EXERCÍCIOS... 9. CÁLCULO LGÉBRICO... 0. POLINÔMIOS.... EXERCÍCIOS.... FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS.... EXERCÍCIOS.... EQUAÇÃO E SISTEMA DO º GRAU.... EXERCÍCIOS... 6. EQUAÇÃO DO º GRAU...... 7. EXERCÍCIOS... 8. A TRIGOOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO... 9. MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS; GRAUS E RADIANOS.... EXERCÍCIOS.... SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO.... LEI DOS SENOS...
. LEI DOS COSSENOS.... EXERCÍCIOS... 6. POTENCIAS E EXPONENCIAS DE BASE e... 7. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS... 8. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS... 9. EXERCÍCIOS... 0. NÚMEROS COMPLEXOS.... COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA.... COMPLEXOS NA FORMA POLAR.... COMPLEXOS NA FORMA EXPONENCIAL.... EXERCÍCIOS.... BIBLIOGRAFIA...
CONJUNTOS NUMÉRICOS I) Números Nturis Pertencem o conjunto dos nturis os números inteiros positivos incluindo o zero. Representdo pel letr N miúscul. Os elementos dos conjuntos devem estr sempre entre chves. N = { 0,,,,... } Qundo for representr o Conjunto dos Nturis não nulos (excluindo o zero) devemos colocr * o ldo do N. N = {,,,... } II) Números Inteiros Pertencem o conjunto dos números inteiros, os números negtivos e tmbém os Números Nturis. Z = {..., -, -, 0,,,... } N = { 0,,,,,,6,... } Z = {..., -,-,-,0,,,,,... } N Z Todo número nturl é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z Inteiros não nulos são os números inteiros, menos o zero. N su representção devemos colocr * o ldo do Z. Z* = {..., -, -, -,,,,...} Inteiros não positivos são os números negtivos incluindo o zero. N su representção deve ser colocdo _ o ldo do Z. Z_ = {..., -, -, -, 0} Inteiros não positivos e não nulos são os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. N su representção devemos colocr o _ e o * o ldo do Z. Z*_ = {..., -, -, -} Inteiros não negtivos são os números positivos incluindo o zero. N su representção devemos colocr o + o ldo do Z. Z + = { 0,,,,,...} O Conjunto Z + é igul o Conjunto dos N
Inteiros não negtivos e não nulos são os números do conjunto Z+, excluindo o zero. N su representção devemos colocr o + e o * o ldo do Z. Z* + = {,,,,...} O Conjunto Z* + é igul o Conjunto N* III) Números Rcionis São queles que podem ser expressos n form /b, onde e b são inteiros quisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = /b com e b pertencentes Z com b diferente de 0 } Esses números tem form b com, b Z e b 0. Números decimis extos são rcionis 0, 0 0, 00 0,7 7 00 Números decimis com expnsão infinit periódic são rcionis. São dízims periódics simples ou composts: 0,,666666... 8 00 8 00 0,08 0,... 0,666... 0,... 90
O conjunto dos números rcionis é representdo pel letr Q miúscul. Q = {x = b, com Z e b Z*} subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q * ---------- É o conjunto dos números rcionis diferentes de zero. Q + ---------- É o conjunto dos números rcionis positivos e o zero. Q - ----------- É o conjunto dos números rcionis negtivos e o zero. Q * + ---------- É o conjunto dos números rcionis positivos. Q * - ----------- É o conjunto dos números rcionis negtivos. Representção Geométric IV) Números Irrcionis São queles que não podem ser expressos n form /b, com e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízims infinits não periódics. Exs: =,96... no número pi, pós virgul, não existe formção de períodos, por isso é considerdo irrcionl. =,70... é infinito e não é dízim periódic (pois os lgrismos depois d vírgul não formm períodos), então é irrcionl. A representção do conjunto dos irrcionis é feit pel letr I miúscul. 6
V) Números Reis É reunião (união) do conjunto dos números irrcionis com o dos rcionis. Números Nturis (N): 0,,,,,, 6, 7, 8, 9, 0,,,,,, 6, 7,... Números Inteiros (Z):..., 8, 7, 6,,,,,, 0,,,,,, 6, 7, 8,... Números Rcionis (Q): /, /, 0,, /, Números Irrcionis (I):,,,,698...,,9... Resumindo: Intervlos : Sendo e b dois números reis, com < b, temos os seguintes subconjuntos de R chmdos intervlos. Intervlo fechdo nos extremos e b:, b x R / x b Intervlo fechdo em e berto em b:, b x R / x b Intervlo berto em e fechdo em b:, b x R / x b Intervlo berto em e b:, b x R / x b Temos tmbém:, x R / x, b x R / x b Exercícios resolvidos ) Represente n ret rel os intervlos: ) [;7] b) [;9[ Note que não inclui o ponto 9. 7
) Sendo A=[;7] e B=[;9[, determine os conjuntos bixo: ) A B Anlisndo s rets bixo, consttmos que intersecção entre A e B é dd pel áre compreendid entre e 7. Logo: A B = [;7] b) A U B Novmente nlisndo s rets, constmos que união entre A e B é dd pel áre compreendid entre e 9, não contndo 9, pois [;9[ Logo: A U B = [;9[ Exercícios: ) Represente n ret rel os seguintes intervlos: ) ] ;] b) [;] c) [;+ [ d) ] ;] ) Sendo A=] ;] e B=[;[, determine: ) A B b) A U B ) Sendo A=[;] e B=] ;], determine: ) A U B b) A B 8
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Adição e Subtrção + + = + + = + = = + N som de dois números inteiros com sinis iguis, o vlor bsoluto será som ds prcels, e o sinl será o mesmo ds prcels. Exercício Resolvido: (+ ) + (+ ) = + 9 ( ) + ( ) = 9 N som de dois números inteiros com sinis diferentes, o vlor bsoluto será diferenç ds prcels e o sinl será o d prcel de mior vlor bsoluto. Exercício Resolvido: ( ) + (+ ) = A Som de dois números inteiros opostos é ZERO. Exercício Resolvido: (+ 0) + (- 0) = 0 9
Multiplicção ( + ). ( + ) = ( + ) ( + ). ( ) = ( ) ( ). ( + ) = ( ) ( ). ( ) = ( + ) Produto de dois números inteiros com sinis diferentes. (+) ( ) = 0 ( ) (+ ) = Produto de dois números inteiros com sinis iguis. (+ 8) (+) = + 0 ( 6) ( ) = + 90 Divisão ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) Observções: Não existe divisão por zero. Exemplo: 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero sej. Quociente de dois números inteiros com sinis iguis. Exercício Resolvido: ( 60) ( 0) = + 6 (+ 60) (+ 0) = + 6 Quociente de dois números inteiros com sinis diferentes. Exercício Resolvido: ( ) (+) = 9 (+) ( ) = 9 0
Potencição de Números Reis Número inteiro no expoente 6 8 ) ) 6 ) ) : Exercícios Proprieddes d potencição Multiplicção de potêncis de mesm bse: conservr bse e somr os expoentes. 9 7 7.7.7 7 ) 0 0.0.0 0 ). ) :. Exercícios y x y x Divisão de potêncis de mesm bse: conservr bse e subtrir os expoentes. 7 8 8) ( ) ( 8 : : ) 6 6 6 : 6 )....,, : ) : : sej ou Exercícios y x y x
Potênci de potênci. 8.. y x y x Multiplicção de potêncis de mesmo expoente: conservr os expoentes e multiplicr s bses. 7. 9 (.6).6 ) (. x x x b b Divisão de potêncis de mesmo expoente: conservr os expoentes e dividir s bses. 7 6 ) (6 6 ) ( x x x b b Exemplos: ) ³ =..=8 ) 0 0 ) 0 0 ) ) 0 6 6) 7) 6 6 8) 9 9) 6 6 0) 9
Rdicição Dd seguinte expressão: n x rdicl rdicndo n índice x riz * Qundo n=, riz n-ésim chm-se riz qudrd, qundo n=, chm-se riz cúbic, qundo n= chm-se riz qurt, etc. Rízes exts Aplicndo o uso d ftorção pr o cálculo de rízes. Exemplo.. Ftorndo riz qudrd de é 7 6 8 9 9 Exemplo 6. Ftorndo 6 riz qudrd de 6 é 6
Exemplo Qul medid d rest de um cubo que possui volume igul 79 cm³? Arest : x Volume do cubo : L x x x 79 x x x 9 79 79 ( x x x) A medid d rest de um cubo que possui 79 cm³ de volume é igul 9 cm. Rízes não-exts As rízes que não possuírem como resultdo um número inteiro positivo, terá como resultdo um número irrcionl. Exemplo Simplifique o seguinte rdicl: 80 Temos que 80 Exemplo 7 Exemplo 7 6 7 Outros exemplos: ) 7 b) c) não existe d) 7 - d) 9 e) 9
Proprieddes d Rdicição: ) b. b ) ) b m b m ) m n n m ) n m n p m p Exemplos: ) 9 8 9 9 ) 9 ) 9.6 9. 6. ) 9 9 ).. 6 6) 7) 8 : 6 6 8 6 8. 6 6. 6 8) 6. 6. 6. 9) Rcionlizção Existem frções cujo denomindor é irrcionl. Como:,, Pr fcilitr os cálculos, é conveniente trnsformá-ls em um outr, equivlente, de denomindor rcionl.
6 º Cso: nte rcionliz Ftor º Cso: 6 rcionliznte Ftor º cso: nte rcionliz Ftor º Cso: rcionliznte Ftor º Cso: ) ( rcionliznte Ftor
Resolv: 7 ) 0 ). ) ). ) 6) b 6 b 7) 8 8) 9) Cálculo Algébrico Expressões Algébrics são quels que contém termos literis e numéricos x² + bx Vriáveis são s prtes literis ds expressões lgébrics que representm um número rel e que de princípio não possuem um vlor definido. x prte numéric prte literl x Vlor numérico de um expressão lgébric é o número que obtemos substituindo s vriáveis por números e efetumos sus operções. Sendo, x = e y =, clcule o vlor numérico (VN) d expressão: x² + y ² + = Portndo o vlor numérico d expressão é. 7
POLINÔMIOS Monômio: um termo onde prte numéric e literl estão ligdos pens por produtos. x Polinômio: é som ou subtrção de monômios. x + y Neste cso temos um binômio. Termos semelhntes: são queles que possuem prtes literis iguis ( vriáveis ) x³ y² z e x³ y² z são termos semelhntes pois possuem mesm prte literl. Adição e Subtrção de expressões lgébrics Pr determinrmos som ou subtrção de expressões lgébrics, bst somr ou subtrir os termos semelhntes. Assim: x³ y² z + x³ y² z = x³ y² z ou x³ y² z x³ y² z = x³ y² z Convém lembrr ds regrs de sinis. N expressão ( x³ + y² + ) ( y ² - ) = = x³ + y² + y² + = = x³ + y² + Multipliccão e Divisão de expressões lgébrics N multiplicção e divisão de expressões lgébrics, devemos usr propriedde distributiv. ) ( x + y ) = x + y ) ( + b)(x + y) = x + y + bx + by Pr multiplicrmos potêncis de mesm bse, conservmos bse e sommos os expoentes. x ( x ² + y ) = x³ + xy N divisão de potêncis de mesm bse devemos conservr bse e subtrir os expoentes. ) x² x = x ) ( 6 x³ - 8 x ) x = x² 8
) (x x + 9x 7x +) (x x + ) = x x + [Resolução] Exercícios: ) Clcule: Exemplo: (x² + x ) + ( x² + x + ) = x² + x x² + x + = x² + 6x + ) ( b + c) + ( 6 b c) + ( + b c) b) (x² /) (6x² /) c) (ª b + b) ( b + b) ) Efetue e simplifique: Exemplo: (x + ).(x + ) = 8x² + x + x + = 8x² + x + ) ( + b).( b) b) (x y).(x² xy + y²) c) (x y).(x + y).(x y) ) Simplifique: Exemplo: 0x y x y xy 8 b b ) 8 b) 8x y 6x y c) ) O vlor d expressão ³ ² x² y², pr = 0, x = e y = é: ) Se A = (x y)/xy, x = / e y = /, então A é igul : 9
Ftorção Ftorr é trnsformr equções lgébrics em produtos de dus ou mis expressões, chmds ftores. Ex: x + y =.(x + y) Ftor Comum em evidênci Ddo o polinômio: x + y Colocmos o ftor comum em evidênci. Form ftord =.(x + y) Exemplos: ) bx + by bz = b.(x + y z) b) x xy = x(x y) c) x z + xz xz = xz.(x + z ) d) ( + b)x + ( + b)y = ( + b).(x + y) e) x + x x = x.(x + x ) Ftorção por grupmento Como por exemplo: x + y + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o ftor, os dois últimos termos possuem em comum o ftor b. Colocndo esses termos em evidênci:.(x + y) + b.(x + y) Agor o polinômio possui um novo termo em comum (x + y) e colocndo-o em evidênci: (x+y).(+b) Portnto: x + y + bx + by = (x + y).( + b) Exemplo I: x x x F. C. x e x( x ) ( x ) Novo F. C. ( x ) Form ftord ( x ).( x ) Exemplo II: b b c c F. C. b ec b ( ) c ( ) Novo F. C. ( ) Form ftord b c ( )( ) 0
Ftorção por diferenç de qudrdos: Trnsformr s expressões em produtos d som pel diferenç, e extrindo riz qudrd de cd qudrdo. Exemplos: ) b = ( + b). ( b) b) 6 = ( + ). ( ) c) x 9 = (x + ). (x ) c) 6x ( x ( x ).( x ) ).[( x).( x)] Repre que podemos ftorr expressão dus vezes Ftorção do trinômio qudrdo perfeito: Os trinômios ( ) ( ) b b e b b são qudrdos perfeitos porque são obtidos qundo se elev ( + b) e ( - b) o qudrdo. ( + b) = + b + b ( b) = b + b Ftorndo I: x xy + 9y x 9y x y.x.y = xy é igul o segundo termo de x xy + 9y Portnto é um trinômio do qudrdo perfeito. form ftord de x xy + 9y (x y)
Ftorndo II: x + xy + 9y x 9y x y.x.y = xy é igul o segundo termo de x + xy + 9y Portnto é um trinômio do qudrdo perfeito. Exemplo I: form ftord de x + xy + 9y (x + y) ) x 0x + = [Solução] (x ) b)6x + xy + 9y = [Solução] (x + y) Exemplo II: ) x 6x FC.. ( x x) Agor temos um trinômio do qudrdo perfeito Ftorndo ( x x ), teremos ( x ) Então : ( x ) b) 00b FC...( b ) Então : Agor temos um qudrdo d som pel diferenç Ftorndo b teremos b b ( ), ( ).( ).( b).( b)
Exercícios Exemplos: x + = (x + ) ² b² = ( + b)( b) ² b + b² = ( b)² x² = (x² ) = (x + )(x ) Ftore, colocndo os ftores comuns em evidênci: ) x 7y = b) x³ x² + x = c) x³y² + x²y² + xy² = d) ²b² b³ = e) ² + b + c + bc = f) x² b² = g) x² = h) x y = 9 6 i) x² + x + = j) ² + 6b + 9b² = l) x² = m) b + c + 0b + 0c = n) ² = o) x³y xy³ = p) x² + 6x + 6 = q) x² + x + =
Equção e sistem do º gru Chmmos equção do º gru n incógnit x tod equção que pode ser escrit n form x + b = 0, onde é diferente de 0. Pr resolver equções do º gru, bst colocr s incógnits de um ldo do sinl (=) e os "números" do outro. Exemplos: I) x 8 = 0 x = 0 + 8 x = 8 x = 9 V = {9} II) 7.( x) = (x + 9) 7 + x = x 9 x + x = 9 + 7 x= 0 x = 0 V= {0} Exercícios ) Resolv s seguinte equções: ) x = 7 b) x + 7 = x 8 c) 7( x) = (x 9) d) (x + 7) + (x ) = (x + ) e) x x x 6 8 f) x x x 6 g) x x x
) Resolv os seguintes sistems: x y 0 ) x y x y 0 b) x y c) x x y 7 y 7 ( x ) ( y ) d) 8( x ) ( y ) 9 ) Problems com sistems já montdos: ) Em um terreiro há glinhs e coelhos, num totl de nimis e 8 pés. Qunts são s glinhs e os coelhos? [Solução] x + y = x + y = 8 b) A som ds iddes de dus pessos é nos e diferenç entre esss iddes é de nos. Qul idde de cd um? [Solução] x + y = x y = c) A som de dois números é 0 e o mior deles é igul o dobro do menor, menos. Quis são os números? [Solução] x + y = 0 x = y d) Dus pessos gnhrm, junts, 0 reis por um trblho e um dels gnhou % do que outr. Qunto gnhou cd pesso? [Solução] x + y = 0 x = /y e) O preço de um cnet é o dobro do preço de um lpiseir e dus cnets junts custm 0. Qul o preço d cnet e d lpiseir? [Solução] x = y x + y = 0
Equção do º Gru x + = 0, o expoente d vriável x é igul. Dess form, ess equção é clssificd como do º gru. x² + x + 6 = 0, temos dus vriáveis x nest equção, onde um dels possui o mior expoente, determindo por. Ess equção é clssificd como do º gru. x³ x² + x = 0, nesse cso temos três incógnits x, onde o mior expoente igul determin que equção é clssificd como do º gru. Denomin-se equção do segundo gru, tod equção do tipo x²+bx+c, onde é o coeficiente do monômio de gru, b é o coeficiente do monômio de gru e c é o termo independente. Exemplos: Equção b c x²+x+ x-x²- - - Clssificção: - Incomplets: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos um equção do º gru incomplet. º cso: b = 0 x² 9 = 0 x² = 9 x = 9 x = V = {+, } º cso: c = 0 x² 9x = 0 Bst ftorr o ftor comum x x.(x 9) = 0 x = 0 e x 9 = 0 x = 9 V = {0, 9} º cso: b = c = 0 x² = 0 x = 0 V = {0} Fórmul de Bháskr: b x onde:. b.. c 6
Exemplo I: Vmos determinr pelo método de Bhskr os vlores d seguinte equção do º gru: x² x = 0. Portnto, os coeficientes d equção x² x = 0 são =, b = e c =. º psso: determinr o vlor do discriminnte ou delt ( ) = b²..c = ( )²..( ) = + = 6 º psso b x. ( ) 6 x. x 6 x' x'' V {, } Exemplo II: Determinr solução d seguinte equção do º gru: x² + 8x + 6 = 0. Os coeficientes são: = b = 8 c = 6 = b² c = 8² 6 = 6 6 = 0 b x. 8 0 x. 8 0 x' 8 0 x'' V { } 7
Exemplo III: Clcule o conjunto solução d equção 0x² + 6x + 0 = 0, considerd de º gru. = b²..c = 6² 0 0 = 6 00 = 6 V = { } ou vzio Dus rízes reis e diferentes Dus rízes reis e iguis Nenhum riz rel Exercícios: ) Complete o qudro conforme o exemplo: Equção Coeficientes b c 6x² x + = 0 6 x² = / + x y² = y 6x² = 0 ) Determine s rízes ds seguintes equções: ) x² x + = 0 b) y² y + = 0 c) x² + 7x 0 = 0 d) x² x + 7 = 0 e) y² = 0 f) x² = 0 g) x² 0x = 0 h) + x² = 9 i) 7x² x = x + x² j) z² 8z + = 0 8
Trigonometri no triângulo Retângulo O triângulo é figur mis simples e um ds mis importntes d Geometri, ele é objeto de estudos desde os povos ntigos. A som dos ângulos internos do triângulo totliz 80º e de cordo com o tmnho de seus ldos pode ser clssificdo d seguinte form: Equilátero: possui os ldos com medids iguis. Isósceles: possui dois ldos com medids iguis. Escleno: possui todos os ldos com medids diferentes. Qunto os ângulos, os triângulos podem ser denomindos: Acutângulo (Agudo): possui os ângulos internos com medids menores que 90º e miores que 0.º Obtusângulo(Obtuso): possui um dos ângulos com medid mior que 90º e menor que 80º. Ângulo reto: possui um ângulo com medid igul 90º. Um importnte relção no triângulo retângulo é o Teorem de Pitágors. hipotenus cteto cteto As relções trigonométrics existentes no triângulo retângulo dmitem três csos: seno, cosseno e tngente. Vmos determinr s relções de cordo com o triângulo BAC com ldos medindo, b e c. senob = b/ cossenob = c/ tngenteb = b/c senoc = c/ cossenoc = b/ tngentec = c/b A trigonometri possui diverss plicções no cotidino, brnge áres relcionds à Astronomi, Físic, Geometri, Nvegção entre outrs. 9
Medid de ângulos e rcos Num circunferênci de centro O e rio r, temos dois pontos A e B, os quis dividirão circunferênci em dois rcos. Cso s extremiddes A e B sejm coincidentes, temos um rco com um volt complet. O rco AB e de um ângulo centrl representdo por α. med(aôb) = med(ab). O comprimento de um rco depende do vlor do ângulo centrl. Medids em Gru A circunferênci é um rco de 60º com o ângulo centrl medindo um volt complet, ou sej, 60º. Medids em Rdinos Dd circunferênci de centro O e rio R, com um rco de comprimento s e α o ângulo centrl do rco. O rco mede um rdino qundo o comprimento do rco for igul à medid do rio. Então, devemos clculr quntos rios d circunferênci são precisos pr se ter o comprimento do rco. Portnto: Podemos destcr um regr de três pr converter s medids dos rcos. medid em grus x medid em rdinos α 80 π 0
Exercícios Resolvidos de conversões: ) 70º em rdi b) π/ em grus 70 80 o o 80 70 70 80 x 80 o 80.. x 900 x 7 o Seno de um ângulo O segmento OR será o seno de PR. Cosseno de um ângulo O segmento OR será o cosseno de PR. Tngente de um ângulo A tngente de um rco é dd por um terceiro eixo que prlelo o eixo Y (eixo dos senos). Prolongndo o rio d circunferênci té o eixo ds tngentes, definimos que se x є ºQ, Tgx = AR > 0
Lei dos senos Em csos envolvendo triângulos quisquer (triângulos não retângulos) utilizmos lei dos senos ou lei dos cossenos no intuito de clculr medids e ângulos desconhecidos. Fórmul que represent lei dos senos: N lei dos senos utilizmos relções envolvendo o seno do ângulo e medid opost o ângulo. Exercício Resolvido : Determine o vlor de x no triângulo seguir. [Solução] x 00 c senb sena senc x 00 sen0º senº Sen 0º = sen(80º 0º) = sen 60º = / ou 0,86 Sen º = / ou 0,70 x 00 sen60º senº x 00 0,866 0, 707 0, 707. x 0,866.00 86,6 x 0,707 x,
Exercício Resolvido No triângulo seguir temos dois ângulos, um medindo º, outro medindo 0º, e um dos ldos medindo 90 metros. Com bse nesses vlores determine medid de x. [Solução] Descobrindo o vlor do terceiro ângulo do triângulo. α + 0º + º = 80º α + 0º = 80º α = 80º 0º α = 0º Aplicndo lei dos senos x 90 senº sen0º x 90 0, 707 0, 0,x 0, 707.90 6,6 x 0, x 7, 6 Lei dos cossenos Exercício Resolvido Utilizndo lei dos cossenos, determine o vlor do segmento x no triângulo seguir: [Solução] = 7, b = x e c = ² = b² + c² * b * c * cosө 7² = x² + ² * * x * cos60º 9 = x² + 9 6 * x * 0, 9 = x² + 9 x x² x 0 = 0
Resolvendo equção do º gru, por Bháskr temos: x = 8 e x = Por se trtr de medids descrtmos x = e utilizmos x = 8. Então o vlor de x no triângulo é 8 cm. Exercício Resolvido Em um triângulo ABC, temos s seguintes medids: AB = 6 cm, AC = cm e BC = 7 cm. Determine medid do ângulo A. Vmos construir o triângulo com s medids fornecids no exercício. [Solução] Aplicndo lei dos cossenos = 7, b = 6 e c = ² = b² + c² * b * c * cosө 7² = 6² + ² * 6 * * cos A 9 = 6 + 60 * cos A 9 6 = 60 * cos A = 60 * cos A = 60 * cos A /60 = cos A cos A = 0, O ângulo que possui cosseno com vlor proximdo de 0, mede 78º. Exemplo Clcule medid d mior digonl do prlelogrmo d figur seguir, utilizndo lei dos cossenos. [Solução] cos 0º = cos(80º 0º) = cos 60º = 0, b c.. c.cos x² = ² + 0² * * 0 * cos 60º x² = + 00 00 * ( 0,) x² = + 0 x² = 7 x² = 7 x = ² * 7 x = 7 Portnto, digonl do prlelogrmo mede 7 cm.