setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7 889 (n ) 7 000 7 n 7 30 4 n 8 0 6 000 6 994. Determinr o número de múltiplos de e 3 que estão compreendidos entre 00 e 00. m ( e 3) m (6) 0 PA r 6 n 98 n + (n ) r 98 0 + (n ) 6 6 (n ) 96 n 6 n 7 3. Três números em PA têm som igul e o produto do primeiro pelo terceiro é igul 7. O mior desses números é: ) 7 b) 9 c) d) 5 e) 3 Sej PA (x r, x, x + r). x r + x + x + r 3x x 4 (x r) (x + r) 7 x r 7 Substituindo: 6 r 7 r 9 r ± 3 r 3 PA (, 4, 7) r 3 PA (7, 4, ) Livro Unidde III (Cp. ) Cderno de Unidde II Tref Mínim Resolv os exercícios 0, e, série 9. Resolv os exercícios 3, 4 e 5, série 9. ALFA-4 850750409 0 ANGLO VESTIBULARES
Aul 6 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA, n IN*. N PA (5,, 9, ) som dos 0 primeiros termos é igul : ) 70 d) 40 b) 70 e) 570 c) 40 PA 5 r 3 n ( + n Sn n i ) i b) PA (0,, 4, 6,...) 0 n + (n ) r n 0 + (n ) n n ( + n ) n S n (0 + n ) n S n S n n n n n 0 + 9r 0 5 + 9 ( 3) 0 4 ( S 0 + 0 ) 0 (5 + ( 4)) 0 S 0 70. ) Clcule som dos n primeiros números pres positivos. b) Clcule som dos n primeiros números pres não negtivos. ) PA (, 4, 6, 8,...) r n + (n ) r n + (n ) n n ( + n ) n S n ( + n) n S n n + n n + n 3. Clculr o º- termo e rzão de um PA cuj som dos n primeiros termos é n + 4n, n, n IN*. Temos: S n n + 4n S () + 4 () 5 S + () + 4() + Substituindo: 5 + 7 Logo: r r 7 5 r Livro Unidde III Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei o item 4, cp.. Lei os exemplos 4 e 5, cp.. Resolv os exercícios 6 9, série 9. Resolv os exercícios 0 3, série 9. ALFA-4 850750409 ANGLO VESTIBULARES
Aul 7 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA I TERMO GERAL n q n, n IN* II PROPRIEDADE DA MÉDIA GEOMÉTRICA (, b, c) é PG b c III NOTAÇÕES ESPECIAIS 3 termos: 4 termos: x q, x, xq x x 3,, x, x onde q 3 3. Num PG tem-se que o quinto termo é 3 e rzão é. O nono termo vle: ) 6 b) c) 8 d) 8 e) 4 9 5 q 4 9 3 ( ) 4 3 5 termos: x x,, x, xq, xq q q. O décimo termo d PG (3, 6,, ) é igul : ) 5 d) 56 b) 04 e) 768 c) 536 3 q 0 q 9 0 3 9 3 5 536 4. Determinr x de modo que x, x +, x + constitum, nest ordem, um PG. ( x, x +, x + ) é PG ( x + ) x x + x + 4 3x + 3x + x + 4 x 3. Qul rzão d PG (,, ) em que 4 sendo que todos os seus termos são reis? e 5 4, ) d) ± b) e) ± c) 5 q 4 4 q 4 4 q 4 6 q ± Livro Unidde III Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei o item 7, cp.. Lei os exemplos 9 e 0, cp.. Resolv os exercícios 4 7, série 9. Resolv os exercícios 8, 9 e 30, série 9. ALFA-4 850750409 ANGLO VESTIBULARES
Auls 8 e 9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA I SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG q n q Sn ( ) q q S n n (n IN * ) II SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA COM q : + S i i q. Clcule: S+ +... + 4 + n +..., n IN* PG q S q S. Obter som dos 6 primeiros termos d PG,, 4,... 3. Obter x que verifique: PG S 6 q S 6 (q 6 ) q 6 64 63 64 63 3 3 n x x x x + + +... + +... 4, n IN* 4 n x PG q x S 4 S q x x 4 x 4 x 3x 4 x 4 3 ALFA-4 850750409 3 ANGLO VESTIBULARES
4. O vlor de S 3 4 + + 9 8 +... + 7 n n 3 em que n IN*, é: ) d) b) e) c) 3 3 3 +..., A som ds áres é: S + + + 4 S S + + + + + + 4 8 3 9 7 S 3 3 3 S 3 5. (PUCCmp-SP) Ddo um qudrdo de ldo e um sucessão de qudrdos cujs digonis são iguis o ldo do qudrdo precedente, podemos firmr que som ds áres desses qudrdos vle: ) d) b) e) Livro Unidde III Cderno de Unidde II c) Tref Mínim,, PG dos ldos,,, PG ds áres,,, 4 AULA 8 Lei os itens 8 e 9, cp.. Lei os exemplos e, cp.. Resolv os exercícios 33, 34 e 35, série 9. AULA 9 Resolv os exercícios 38 e 39, série 9. AULA 8 Resolv os exercícios 36 e 37, série 9. AULA 9 Resolv o exercício 40, série 9. ALFA-4 850750409 4 ANGLO VESTIBULARES
Aul 30 MATRIZ: CONCEITO OPERAÇÕES DEFINIÇÃO Chm-se mtriz do tipo m n (lê-se m por n) tod tbel constituíd por m n elementos dispostos em m linhs e n coluns. CLASSIFICAÇÃO Mtriz qudrd: m n Mtriz retngulr: m n Mtriz linh: m Mtriz colun: n NOTAÇÃO As mtrizes são representds em form de tbel de dois modos diferentes e usuis. Temos bixo mtriz A do tipo 3 representd dos três modos. A A 3 4, 0 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA Por exemplo, um mtriz A do tipo 3 é representd por 3 3 Um mtriz A do tipo m n é denotd por A ( ij ) m n onde i e j indicm posição d linh e colun do elemento ij. MATRIZ QUADRADA Um mtriz qudrd do tipo n n é dit de ordem n e: ) os elementos tis que i j definem nel digonl principl; ) os elementos tis que i + j n + definem nel digonl secundári. Assim, por exemplo: dig. sec. 3 3 3 3 33 3 4 0 dig. princ. MATRIZ NULA Tem todos os elementos iguis zero. MATRIZ OPOSTA Chm-se mtriz opost de A mtriz que se obtem trocndo os sinis dos elementos de A e indicmos por A. Exemplo: A MATRIZ IDENTIDADE OU UNIDADE Chm-se mtriz identidde (ou unidde) de ordem n, que se indic por I n, tod mtriz qudrd de ordem n tl que seus elementos d digonl principl são iguis um e os demis elementos iguis zero. Exemplos: MATRIZ TRANSPOSTA Dd mtriz A do tipo m n, chm-se trnspost de A, e indic-se por A t, à mtriz do tipo n m que tem s coluns (linhs) ordendmente iguis às linhs (coluns) de A. Assim: Assim, o elemento ij d mtriz A é igul o elemento b ji d mtriz B A t. 3 0 A 0 I I3 0 0 0 0 0 0 0 A A t 0 3 5 3 0 3 0 5 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Sendo A, B e C mtrizes do mesmo tipo e 0 mtriz nul do mesmo tipo ds nteriores, temos: ) A + B B + A (comuttiv) ) A + (B + C) (A + B) + C (ssocitiv) 3) A + 0 A 4) A + ( A) 0 5) (A + B) t A t + B t PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo e r e s números reis, temos: ) r(sa) (rs)a 3) (r + s)a ra + sa ) r(a + B) ra + rb 4) (r A) t r A t ALFA-4 850750409 5 ANGLO VESTIBULARES
. Escrev em form de tbel mtriz A ( ij ) 3 com ij i j. 3 A 3 Logo, A 0 3 ) A + B 4 0 5 b) A B 6 4 5 c) I A + B 0 0 + 0 3 4 3 5 4. Clcule x, y e z de modo que se tenh x x y 4 x y + z 8 x 4 x ± x x y y + z 8 x y x y z 7 4. Dds s mtrizes A ( ij ) 3 4 com ij i B (b ij ) 4 3 com b ij j obtenh o elemento c 3 d mtriz C A + B t. c 3 3 + b t 3 3 + b 3 + 6 3. Sendo A B 0, 3 4 e I mtriz identidde de ordem, clcule: ) A + B b) A B c) I A + B Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei os itens 0, cp.. Lei os exemplos 8, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6, série. ALFA-4 850750409 6 ANGLO VESTIBULARES
Aul 3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A m n B n p C m p m p Cd elemento c ij d mtriz C é obtido multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i de A pelos elementos d colun j de B, e somndo-se os produtos, ssim, obtidos: c ij i b j + i + b j +... + in b nj Observmos que: Somente existe o produto de um mtriz A por outr mtriz B se o número de coluns de A é igul o número de linhs de B. Se existir o produto de A por B, o tipo d mtriz produto é ddo pelo número de linhs de A e pelo número de coluns de B. Pode existir o produto de A por B, ms não existir o produto de B por A. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sendo A, B e C mtrizes e um número rel e supondo s operções bixo possíveis temos que: ) A(BC) (AB)C (ssocitiv) ) A(B + C) AB + AC (dist. pel esquerd) 3) (A + B) C AC + BC (dist. pel direit) 4) A m n I n A m n 5) I m A m n A m n 6) ( A)B A( B) (AB) 7) (AB) t B t A t. Obter o produto ds mtrizes em cd cso bixo: ) 0 AB 3 0 + + 0 0 3 + 3 + 0 4 + + 0 5 + 3 + 7 0 b) 3 0 3 3. Qulificr como (V) verddeiro ou (F) flso. ) ( F ) Se existe o produto d mtriz A pel mtriz B, então existe o produto de B por A. b) ( F ) Se existe o produto d mtriz A pel mtriz B e existe o produto de B por A, então AB BA. c) ( V ) Existe o produto d mtriz A pel trnspost de A. d) ( F ) Se o produto d mtriz A pel mtriz B é um mtriz nul, então A ou B é nul. ) Flso Ex: A 3 4 B 4 5 C 3 5 B 4 5 A 3 4 b) Flso 0 Ex: 3 3 4 0 3 4 3 c) Verddeiro A m n A t n m 3 4 5 7 3 0 3 4 6 4 7 8 5 d) Flso Ex: 0 0 0 0 ALFA-4 850750409 7 ANGLO VESTIBULARES
3. Dds s mtrizes e B, A 0 4 obtenh mtriz X tl que AX B. A X B x sej então: X y 0 x y 4 x x + y 4 x x + y 4 Substituindo: + y 4 y Assim: x Livro Unidde IV Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei os itens e 3, cp.. Lei os exemplos 9, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6 0, série. ALFA-4 850750409 8 ANGLO VESTIBULARES
Aul 3 MATRIZES. O vlor de x sbendo que s mtrizes x e B 4 A 3 4 0 4 comutm é: ) 0 d) b) e) c) 3 4 x 4 x 4 0 4 0 4 8 x 4 x + 6 x 0 8 + x + 4x 4 6 3 4. (UEL-PR) Considere mtriz 0. Sbendo-se que M 8 0 M, conclui-se b 0 8 que o número rel pode ser: ) 3 d) b) e) c) 0 0 8 0 b b 0 8 0 8 0 0 0 8 Logo, 8 ± 3 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item, cp.. Lei os exemplos 3, 4 e 5, cp.. Resolv os exercícios 4, série. Resolv os exercícios 5, 6, 7, 9 e 30, série. ALFA-4 850750409 9 ANGLO VESTIBULARES
Aul 33 DETERMINANTES. REGRAS PRÁTICAS Dd mtriz qudrd A ( ij ) de ordem n podemos ssocir el um único número, denomindo determinnte de A, que denotmos por deta, e que será representdo colocndo-se os elementos d mtriz entre dus brrs verticis: det A ) Se n, o determinnte d mtriz A é igul o seu único elemento. A [ ] deta deta ) Se n, temos seguinte regr prátic: O determinnte de um mtriz de ordem é igul à diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Exemplo: 4 3 5 6 0 n n A n n nn n n n n nn 0 6 4 3) Se n 3, temos regr prátic de Srrus. Repetimos, à direit d mtriz, s dus primeirs coluns. Acompnhndo os trços em digonl, multiplicmos os elementos entre si, ssocindo o sinl indicdo. Exemplo: 4 3 4 3 5 0 4 5 0. Clcule os determinntes: 5 3 ) 0 3 7 b) 0 ( ) sen 5 cos 5 c) sen 5º + cos 5º cos 5 sen 5 d) 3 0 sen5 cos 5 sen5 cos 5 sen 5 cos 5 + sen 5 cos 5 sen (5 + 5 ) sen 30 / 3 e) 8 + 6 + 6 0 0. Simplificndo b b :, obtemos: b ) b b) + b c) d) b e) 3 + + + 0 6 45 + 0 + 4 + 0 7 b b + b ( + b) ( b) b ALFA-4 850750409 30 ANGLO VESTIBULARES
3. O conjunto solução d equção 0, é: ) {0} b) {} c) { } d) {3} e) { 3} x + + 4 x 0 x 6 x 3 x 0 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item, cp.. Lei os exemplos 5, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6 0, série. Aul 34 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Sendo A um mtriz de ordem n, s principis proprieddes dos determinntes são s seguintes: P ) O determinnte d mtriz A é igul o determinnte d su trnspost deta deta t P ) Se todos os elementos situdos cim ou bixo d digonl principl de A forem iguis zero, o determinnte de A será igul o produto dos elementos d digonl principl. P 3) Se B é mtriz obtid de A qundo um fil de A é multiplicd por um constnte k, então: detb k deta P 4) B é mtriz que se obtém qundo trocds entre si s posições de dus fils prlels, então: det B det A Conseqüênci: Se A tem dus fils prlels iguis, então deta 0. P 5) (Teorem de Binet) Se A e B são mtrizes qudrds de mesm ordem, então o determinnte do produto de A por B é igul o produto ds determinntes de A e B, isto é: det(a B) deta detb P 6) Se A, B e C são mtrizes qudrds de mesm ordem, tis que os elementos correspondentes de A, B e C são iguis entre si, exceto os de um fil, em que os elementos dess fil de C são iguis às soms dos seus elementos correspondentes de A e B, então. Sbendo que Clcule: d g b e h c f i 3d g b 3e h c 3f i 3d g d g b 3e h 3( ) b e h ( 6) c 3f i c f i d + d. O determinnte b e b + e vle: c f c + f ) 0 d) + b + c b) e) n.r.. c) + b d d d b e b + b e e 0 + 0 0 c f c c f f detc deta + detb. ALFA-4 850750409 3 ANGLO VESTIBULARES
3. Sendo A um mtriz de ordem 3 e deta 4, clcule: ) det(a ) b) det(a) ) det (A ) det (A A) det A det A (det A) 4 6 b) det(a) ordem 3 A: s 3 linhs de A ficm multiplicds por. det (A): de cd um ds 3 linhs si um em evidênci. Assim: det (A) 3 det A det (A) 8 4 det (A) 3 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item 4, cp.. Resolv os exercícios 0 3, série. Resolv os exercícios 5, 7, 9, 30 e 3, série. ALFA-4 850750409 3 ANGLO VESTIBULARES