CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o 25: Volume por Csc Cilíndric e Volume por Discos Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo técnic do volume por csc cilíndric; 1 Volume Suponh que desejemos clculr o volume de um sólido qulquer. A seção trnsversl do sólido em cd ponto x no intervlo [, b] é um região R(x) de áre A(x). Se A for um função contínu de x, podemos usá-l pr denir e clculr o volume do sólido como um integrl, d mneir seguir. Dividimos [, b] em subintervlos de comprimento x e ftimos o sólido por plnos perpendiculres o eixo x nos pontos de prtição (x i ). A i-ésim fti, que está entre os plnos x i 1 e x i, tem proximdmente o mesmo volume que o cilindro compreendido entre os dois plnos com bse n região R(x). O volume do cilindro é: V i A(x i ) x. A som Vi A(x i ) x é um proximção do volume do sólido. Isso é um som de Riemnn pr A(x) em [, b]. Esper-se que s proximções melhorem o comprimento de cd subintervlo tend zero, portnto, denimos integrl que é o limite desss soms como o volume do sólido. Denição 1 (Volume). Sej S um sólido que está entre x e x b. Se áre d seção trnsversl de S no plno P x, pssndo por x e perpendiculr o eixo x, é A(x), onde A é um função contínu, então o volume V é: lim n A(x i ) x i1 Pr clculrmos o volume, procedemos d seguinte mneir: A(x) dx. 1. Esboce o sólido e um seção trnsversl. 2. Encontre um fórmul pr A(x). 3. Encontre os limites de integrção. 4. Integre A(x) pr encontrr o volume. 1
Exemplo 1. Mostre que o volume de um esfer de rio r é 4 3 πr3. Solução: O sólido que queremos clculr o volume é: Se colocrmos esfer de modo que o seu centro se encontre n origem, então o plno P x intercept esfer em um círculo cujo rio é y (r 2 x 2 ). Portnto, áre d seção trnsversl é: A πy 2 π(r 2 x 2 ). Usndo denição de volume com r e b r, temos: r r r π(r 2 x 2 ) dx (r 2 x 2 ) dx ] r [r 2 x x3 3 ) (r 3 r3 3 4 3 πr3. Exemplo 2. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo x d região sob curv y x de 1. Solução: O sólido que queremos clculr o volume é ddo bixo: Qundo ftimos pelo ponto x, obtemos um disco com rio x. A áre d seção trnsversl é: A(x) π( x) 2 πx O sólido encontr-se entre e 1, logo seu volume será: 1 [ x 2 πx dx π 2 ] 1 π 2. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 2
Exemplo 3. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região delimitd por y x 3, y 8 e x em torno do eixo y. Solução: O sólido que queremos clculr o volume é ddo bixo: Como região é rotciond em torno do eixo y, fz sentido ftir o sólido perpendiculrmente o eixo y e, portnto, integrr em relção y. Se ftirmos um ltur y, obteremos um disco circulr com rio x, onde x 3 y. Então áre d seção trnsversl é: A(x) πx 2 π( 3 x) 2 πy 2/3. Como o sólido encontr-se entre y e y 8, seu volume é: 8 [ ] 3 8 πy 2/3 dy π 5 y5/3 96π 8. Exemplo 4. A região R, delimitd pels curvs y x e y x 2, é gird o redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultnte. O sólido que queremos clculr o volume é ddo bixo: As curvs se interceptm em (, ) e (1, 1). A seção trnsversl perpendiculr o eixo x tem o formto de um coro (ou rruel, nel) com rio interno x 2 e rio externo x, de modo que clculmos áre d seção trnsversl subtrindo áre do círculo interno d áre do círculo externo: A(x) πx 2 π(x 2 ) 2 π(x 2 x 4 ). Portnto: 1 [ ] x π(x 2 x 4 3 1 ) dx π 3 x5 5 15. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 3
Exemplo 5. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção d região do exemplo nterior em torno d ret y 2. Solução: O sólido obtido é: Novmente seção trnsversl é um rruel, ms dest vez o rio interno é 2 x e o rio externo é 2 x 2. Assim: π 1 (2 x 2 ) 2 (2 x) 2 dx π 1 x 4 5x 2 + 4x dx 8π 15 Exemplo 6. Encontre o volume de um pirâmide de bse qudrd com ldo L e cuj ltur sej h. Solução: Vmos colocr origem no vértice d pirâmide e o eixo x o longo do seu eixo centrl. Qulquer plno P x que pss por x e é perpendiculr o eixo x intercept pirâmide em um qudrdo com ldo de comprimento s. triângulos: Podemos expressr s em termos de x observndo que, por semelhnç de x h s/2 L/2 s L de modo que s Lx/h. Portnto, áre d seção trnsversl é: A pirâmide está entre e h. Logo: A(x) s 2 L2 h 2 x2 h L 2 [ ] L 2 3 h 2 x2 dx h 2.x3 L2 h 3 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 4
2 Volume por Csc Cilíndric Considere f um função contínu e positiv, S superfície dd por: S {(x, y) R 2 x, y f(x)} e R o sólido de revolução obtido pel rotção de S em torno do eixo y, cujo volume V se quer clculr. 1. Divide-se o intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes x, x 1,..., x n e com lrgurs iguis x b n ; 2. Sej S i o retângulo de bse x e ltur f(x i ), onde x i x i 1 + x 1 2 é o ponto médio do intervlo [x i 1, x i ] e R i o sólido obtido pel rotção de S i em torno do eixo y; O sólido R i é chmdo csc cilíndric - dois cilindros concêntricos com mesm ltur - com volume ddo por: πx 2 i x πx 2 i 1 x x i f(x i ) x Assim, V n 2πx i f(x i ) x i1 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 5
Qunto menor for x, melhor é proximção, então denimos: lim x n 2πx i f(x i ) x i1 2πxf(x) dx Denição 2. O volume de um sólido obtido pel rotção em torno do eixo y d região sob curv y f(x) de té b, é: onde < b. 2πxf(x) dx, A melhor mneir de se lembrr dest denição é pensr em um csc típic, cortd e chtd como n gur bixo. Com rio x, circunferênci 2πx, ltur f(x), e espessur x ou dx: 2πx }{{} f(x) }{{} Circunferênci Altur dx }{{} Espessur Exemplo 7. Determine o volume de sólido obtido pel rotção em torno do eixo y d região S {(x, y) R 2 1 x 3, y 2x + 1}. Solução: Grcmente, superfície é: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 6
Usndo o método ds cscs cilíndrics, o volume do sólido é: 3 1 3 1 2πxf(x) dx 2πx(2x + 1) dx 2π(2x 2 + x) dx [ 2x 3 3 + x2 2 ] 3 1 128π 3. Exemplo 8. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo y d região delimitd por y e y 2x 2 x 3. Solução: Grcmente, superfície é: Usndo o método ds cscs cilíndrics, o volume do sólido é: 2 2 2πxf(x) dx 2πx(2x 2 x 3 ) dx 2π(2x 3 x 4 ) dx [ x 4 2 x5 5 ] 2 16π 5. Exemplo 9. Clcule o volume do sólido obtido pel rotção, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pres (x, y) tis que x 2 y 4, x. Solução: Grcmente, superfície é: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 7
Usndo o método ds cscs cilíndrics, o volume do sólido é: 2 2 2πxf(x) dx 2πx(4 x 2 ) dx 2π(4x x 3 ) dx [2x 2 x4 4 8π. ] 2 Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns págins 382 386 e 399 47 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios d págin 386 387, 42 44 e 47 48 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 8