Hewlett-Pkrd O ESTUDO DO PONTO Auls 0 05 Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz
Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... Alguns elementos do plno rtesino... Origem... Eios... Qudrntes... Bissetrizes ssoids o plno rtesino... Posição de um ponto prtir de sus oordends...... 3 Simetris no plno rtesino... 3 Simetri de ponto em relção ponto... 3 Simetri de ponto em relção ret... 3... 3 Distâni entre dois pontos... 4... 4 Ponto médio de um segmento de ret... 4 Brientro de um triângulo... 4... 4 Condição de linhmento entre três pontos... 4... 4 Regr práti... 5 Eemplo... 5 Áre de um triângulo prtir ds oordends de seus vérties... 5... 5 GABARITO... 5... 5
AULA 0 INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO Um pr de eios perpendiulres O e O determinm um plno denomindo plno rtesino O. Neste plno rtesino um ponto P de siss ordend p, denotdo por p; p representdo onforme figur seguir. p e P, pode ser Qudrntes Os eios perpendiulres O e O dividem o plno rtesino em qutro regiões disjunts determinds qudrntes. Estes qudrntes são numerdos onforme ilustr figur seguir. Bissetrizes ssoids o plno rtesino Eistem dus issetrizes ssoids o plno rtesino: issetriz dos qudrntes ímpres ( i) e issetriz dos qudrntes pres ( p). Ests issetrizes estão representds no plno rtesino seguir. Os.: Em gerl, os eios oordendos O e O são grdudos em um mesm esl. Origem Alguns elementos do plno rtesino O ponto O 0, 0, que é interseção entre os eios O e O, é denomindo origem do plno rtesino. Eios O eio O é denomindo eio ds sisss e o eio O eio ds ordends. Os.: A issetriz dos qudrntes ímpres tmém é hmd de ª issetriz, enqunto issetriz dos qudrntes pres tmém é hmd de segund issetriz. Posição de um ponto prtir de sus oordends Considere um ponto p; p P em um plno rtesino O, em relção esse ponto tem-se s seguintes proprieddes. Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz Págin
AULA 0 P O p 0 P O p 0 P IQ p 0 e p 0 Simetris no plno rtesino P IIQ p 0 e p 0 Simetri de ponto em relção ponto P IIIQ p 0 e p 0 P IVQ p 0 e p 0 P i p p P p p p Um ponto A ' é simétrio o ponto A, em relção o ponto O, se o ponto O é o ponto médio do segmento AA '. Simetri de ponto em relção ret Um ponto A ' é simétrio o ponto A, em relção à.. (Fuvest SP) Se m n, m 4 e m, n representm o mesmo ponto do plno rtesino, ret r, se o segmento AA ' for perpendiulr à ret r e o seu ponto médio pertener r. então mn é igul... Como podem ser representds, de form gerl, s oordends de um ponto que estej: ). ) 0. ). d). e) ) 3 uniddes à esquerd do eio O? ) 4 uniddes im do eio O? ) 5 uniddes io do eio ds sisss? d) uniddes à direit do eio ds ordends?.3. Sendo 0 e 0, forneç o qudrnte que pertene d um dos pontos: ) A, ) B, d) D, ) C, e) E,.4. Sendo que o ponto P k ; 3k pertene o qurto qudrnte, determine os possíveis vlores reis de k..5. Oter o vlor de,, sendo que o ponto A 4; 3 6 pertene o eio ds sisss..6. Oter m, m, M m, m 3 sendo pertene à que ponto issetriz dos qudrntes ímpres. TAREFA No pítulo Geometri Anlíti: estudo do ponto fzer s questões do Prtindo em Sl de Aul (PSA) de 7. Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz. Em um plno rtesino O, om O 0, 0, determine o simétrio de d um dos pontos A 5, 4, B 3, 4, C 4, e D, 5 em relção: ) o eio ds ordends; ) o eio ds sisss; ) à origem; d) à primeir issetriz; e) à segund issetriz.. Em um plno rtesino O, om O 0, 0, determine os simétrios do ponto A, em relção: ) o eio ds ordends; ) o eio ds sisss; ) à origem; d) à primeir issetriz; e) à segund issetriz. TAREFA No pítulo Geometri Anlíti: estudo do ponto fzer questão 8 do PSA. Págin 3
AULA 03 Distâni entre dois pontos Considere os pontos A, e B, de um plno rtesino ortogonl. A distâni entre os pontos A e B,, é dd por d AB d AB 3.. Demonstre fórmul d distâni entre dois pontos do plno rtesino. 3.. Determine distâni entre os pontos ddos em d item seguir. ), 7 e, 3 ), 0 e 4, 3.3. Determine o irunentro do triângulo de vérties, 3, 0, 0 e,. TAREFA 3 No pítulo Geometri Anlíti: estudo do ponto fzer s questões do Prtindo em Sl de Aul (PSA) de 0 8, 0, 4, 6 e 9. AULA 04 Ponto médio de um segmento de ret Considere os pontos A, e B, de um plno rtesino ortogonl. A ponto médio M do segmento AB é tl que M ; Brientro de um triângulo Considere os pontos A,, B, e C, de um plno rtesino ortogonl. O rientro G do triângulo ABC é tl que 4.. Demonstre fórmul do ponto médio de um segmento de ret. 4.. Determine o ponto médio do segmento de etremiddes nos pontos ddos em d um dos itens seguir. ), 7 e, 3 ), 0 e 4, 4.3. Os pontos A, 3, B 5, 4 e 7, C são vérties de um prlelogrmo ABCD. Determine s oordends do ponto D. 4.4. Determine o rientro do triângulo de vérties A, 0, B 3, e C 8, 4. TAREFA 4 No pítulo Geometri Anlíti: estudo do ponto fzer s questões do Prtindo em Sl de Aul (PSA) 3, 30, 3, 35, 37, 38, 4, 44 e 46. AULA 05 Condição de linhmento entre três pontos Considere os pontos A,, B, e C, de um plno rtesino ortogonl. É possível demonstrr que estes pontos são olineres se, e somente se, 0. 5.. Verifique se os pontos ddos em d item seguir são olineres. ),,, 4, 3, 6 ),,, 4, 3, 5 G ; 3 3 Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz Págin 4
Regr práti Pode-se verifir se três pontos estão linhdos por meio de um regr práti que será eemplifido seguir. 5.. Clule áre do triângulo ujos vérties são os pontos,,, 4, 3, 5. TAREFA 5 No pítulo Geometri Anlíti: estudo do ponto fzer s questões do Prtindo em Sl de Aul (PSA) 58, 6, 64, 74, 85, 86 e 87 Eemplo Verifir se os pontos,,, 4, 3, 6 estão linhdos. ) Esrev s oordends dos pontos om siss sore ordend, um o ldo do outro e repit primeir olun, onforme segue. 3 GABARITO.. E.. ) 3,, om 4 6 ), 4, om ) Multiplique os elementos em digonl mntendo o sinl dos resultdos otidos d esquerd pr direit e de im pr io e trondo o sinl dos resultdos otidos d direit pr esquerd e de im pr io, onforme segue. ), 5, om 3) A som desses vlores será igul o determinnte d mtriz dd n ondição de linhmento, ou sej, se o resultdo for zero os pontos estrão linhdos. 4 6 4 6 0.4. k k 3.5..6. 4.. Áre de um triângulo prtir ds oordends de seus vérties A,, B, d),, om.3. ) IV Q ) II Q ) I Q d) III Q e) IV Q ) 5, 4, 3, 4, 4,,, 5 ) 5, 4, 3, 4, 4,,, 5 e ) 5, 4, 3, 4, 4,,, 5 C, de um plno rtesino ortogonl. Cso o d) 4, 5, 4, 3,, 4, 5, Considere os pontos determinnte D sej diferente de zero, omo onsequêni, tem-se que esses pontos não estrão linhdos e, portnto, serão vérties de um triângulo. É possível provr que áre desse triângulo será dd por S D. Os.: A áre do triângulo tmém pode ser luld utilizndo regr práti. e) 4, 5, 4, 3,, 4, 5,.. ), ), ), d), e), 3.. Demonstrção 3.. ) 5 Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz ) 9 Págin 5
8 3 3.3., 4 4 4.. Demonstrção 4.. ),5 4.3. 4, 0 4.4. 3, 3 ) ; 5.. ) são olineres ) não são olineres 5.. Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz Págin 6