ALGUNS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA A FOTOGRAMETRIA

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO SUL INSIUDO DE GEOCIÊNCIS CURSO DE ENGENHRI CROGRÁFIC MÁRIO LUIZ LOPES REISS PROFESSOR (DJUNO) DEPO DE GEODÉSI LGUNS FUNDMENOS MEMÁICOS PR FOOGRMERI MÁRIO LUIZ LOPES REISS PORO LEGRE

2 MÁRIO LUIZ LOPES REISS LGUNS FUNDMENOS MEMÁICOS PR FOOGRMERI - REVISÃO - PORO LEGRE

3 MEMÁIC PR FOOGRMERI CONEÚDO CONEÚDO iii LIS DE FIGURS v CPÍULO I INRODUÇÃO. CONSIDERÇÕES INICIIS. ESRUUR DO RBLHO CPÍULO II SISEMS DE COORDENDS 3. SISEMS DE COORDENDS BIDIMENSIONIS 3. SISEMS DE COORDENDS RIDIMENSIONIS 4 CPÍULO III 3 ÁLGEBR VEORIL 6 3. INRODUÇÃO 6 3. OPERÇÕES COM VEORES PRODUOS DE VEORES 3.3. PRODUO PONO OU PRODUO ESCLR 3.3. PRODUO CRUZ OU PRODUO VEORIL PRODUO RIPLO ESCLR PLNOS E LINHS CPÍULO IV 4 ÁLGEBR MRICIL 5 4. DEFINIÇÕES 5 4. IPOS DE MRIZES OPERÇÕES BÁSICS COM MRIZES MRIZ INVERS MRIZ INVERS POR PRICINMENO UOVLOR E UOVEOR FORMS BILINER E QUDRÁICS 33 iii

4 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO V 5 RNSFORMÇÕES LINERES DEFINIÇÃO RNSFORMÇÃO LINER BIDIMENSIONL RNSFORMÇÕES ELEMENRES RNSLÇÃO ESCL UNIFORME ROÇÃO REFLEXÃO FOR DE ESCL NÃO UNIFORME ORÇÃO RNSFORMÇÃO DE QURO PRÂMEROS RNSFORMÇÃO DE SEIS PRÂMEROS RNSFORMÇÃO LINER RIDIMENSIONL ROÇÕES DE UM SISEM DE COORDENDS RIDIMENSIONIS RNSFORMÇÃO DE SEE PRÂMEROS CONSRUINDO M POR UM ROÇÃO SOBRE UM LINH UM DERIVÇÃO DE M PURMENE LGÉBRIC 46 CPÍULO VI 6 RNSFORMÇÕES NÃO-LINERES CONSIDERÇÕES INICIIS RNSFORMÇÃO DE OIO PRÂMEROS POLINOMIIS GERIS BIDIMENSIONIS POLINÔMIOS GERIS RIDIMENSIONIS 49 CPÍULO VII 7 LINERIZÇÃO DE FUNÇÕES NÃO-LINERES 5 7. CONSIDERÇÕES INICIIS 5 7. UM FUNÇÃO PR DUS VRIÁVEIS DUS FUNÇÕES PR UM VRIÁVEL DUS FUNÇÕES PR DUS VRIÁVEIS CSO GERL DE m FUNÇÕES PR n VRIÁVEIS DERIVÇÃO DE UM DEERMINNE DERIVÇÃO DE UM QUOCIENE 56 BIBLIOGRFI 57 iv

5 MEMÁIC PR FOOGRMERI LIS DE FIGURS Figur - Coordends polres e Crtesins idimensionis 3 Figur - Coordends polres e Crtesins idimensionis 4 Figur 3- Vetores no plno 6 Figur 5- rnslção 36 Figur 5- Esl Uniforme 37 Figur 5-3 Rotção 38 Figur 5-4 Refleão 39 Figur 5-5 Ftor de Esl Não-Uniforme 4 Figur 5-6 orção 4 Figur 5-7 Rotções em um sistem Crtesino 44 Figur 7- Linerição 5 v

6 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO I INRODUÇÃO. CONSIDERÇÕES INICIIS Fotogrmetri é definid omo um tenologi de otenção de medids onfiáveis de orpos tridimensionis em um ddo referenil por meio d utilição de fotogrfis tirds desses orpos. N Fotogrmetri etrção ds medids dos orpos é feit indiretmente por meio de fotogrfis dos oetos e relções geométris esteleids entre o sistem de referêni d(s) foto(s) e o espço oeto. Muits ds operções utilids n Fotogrmetri são seds em oneitos mtemátios ásios u ompreensão e estudo são fundmentis pr o domínio entendimento e plição dequd ds ténis fotogrmétris. Ess revisão foi sed n trdução de prte do pêndie do livro Introdution to Modern Photogrmmetr de Edwrd M. Mikhil Jmes S. Bethel e J. Chris MGlone pulido pel editor John Wile & Sons In em nos EU. Compreende-se que os tópios orddos qui são dentre muitos lguns dos mis fundmentis utilidos n Fotogrmetri sendo eles: Sistems de Coordends Álger Vetoril Álger Mtriil rnsformções Lineres rnsformções Não- Lineres e Linerição de Funções Não-Lineres.

7 MEMÁIC PR FOOGRMERI. ESRUUR Est revisão está dividid em sete pítulos. Dos quis no primeiro é dd introdução e onsiderções iniiis. No pítulo seguinte é orddo o ssunto Sistem de Coordends disorrendo-se sore os sistems i e tridimensionis. No tereiro pítulo tem-se o ssunto Álger Vetoril om definições operções e produtos om vetores. No pítulo seguinte é trt sore Álger Mtriil om definições e tipos de mtries operções ásis mtri invers utovlor e utovetor e forms iliner e qudrátis. O pítulo quinto ord os prinipis oneitos envolvidos em trnsformções lineres sendo no pítulo seguinte ordds s não-lineres. No sétimo e último pítulo trt do ssunto Linerição de Funções Não- Lineres preprndo-se e uilindo n ompreensão dos proessos de ustmento.

8 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO II SISEMS DE COORDENDS. SISEMS DE COORDENDS BIDIMENSIONIS Um sistem de referêni de oordends em um plno é definido um onunto mínimo de requisitos sendo eles ddos por um terno de elementos dois ssoidos um ponto origem e um à um direção. unidde de medid que represent esl pode tmém ser inluíd ssim ompondo um onunto totl de qutro elementos. Y P r O X Figur - Coordends polres e Crtesins idimensionis Qulquer ponto pode ser lolido em um sistem de referêni por dus oordends. N Figur. são representdos dois sistems de oordends muito usdos: polr e o Crtesino ou retngulr. Um ponto pode ser lolido por um ângulo de medido prtir d direção e pel distâni medid prtir do 3

9 MEMÁIC PR FOOGRMERI ponto de referêni. De form lterntiv posição do ponto pode ser determind por sus dus distânis prtir de dois eios perpendiulres e. Ests distânis são hmds oordends Crtesins de um ponto qulquer. s oordends Crtesins podem ser otids prtir de oordends polres por: (.) r Inversmente pode ser derivd prtir de usndo: (.). SISEMS DE COORDENDS RIDIMENSIONIS Um sistem de oordends no espço tridimensionl requer seis elementos pr su definição três ssoidos om um ponto de referêni e três om orientção. Se unidde liner de medid tmém for fid o número máimo de elementos neessários torn-se sete. Z P r O X 4 r P Y Figur - Coordends polres e Crtesins tridimensionis

10 MEMÁIC PR FOOGRMERI Figur. mostr dois sistems tridimensionis de oordends: esfério e Crtesino ou retngulr. No sistem esfério qulquer ponto é posiiondo por su distâni prtir d origem o ângulo entre o eio e ( proeção de sore o plno ) e o ângulo entre e. O sistem de oordends Crtesins é omposto por três eios mutumente perpendiulres e. Em gerl qulquer ponto pode ser desrito no espço por três oordends. s relções entre os sistems de oordends esféris e o Crtesino são s seguintes : (.3) r tn (.4) sen r 5

11 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO III 3 ÁLGEBR VEORIL 3. INRODUÇÃO Um vetor é um entidde que tem um mgnitude e um direção. Em espços i ou tridimensionis ele é um segmento de linh direiondo prtido de um ponto té outro. Um vetor pode ser representdo por um úni letr minúsul por eemplo ou por PQ que represent o vetor prtindo de um ponto P à um ponto Q. Um eemplo é mostrdo n Figur 3.. proeção de um vetor nos eios e são e respetivmente que são hmdos de omponentes do vetor. representção ds omponentes do vetor pode ser feit em um mtri olun: Y Q Q P P q Q p P O i X Figur 3- Vetores no plno 6

12 MEMÁIC PR FOOGRMERI É evidente pel representção d Figur 3. que Q P e Q P. Portnto s omponentes de um vetor podem ser otids pel sutrção ds oordends de seu ponto iniil vetores p e q P ds oordends de seu ponto finl Q. ssim os n Figur 3. omeçm ns respetivs origens: p P P e q Q Q e o vetor é ddo por: Q Q P P ou q p (3.) Epndindo pr tridimensionl pode-se esrever: O omprimento do vetor é designdo por e é ddo por (3.) e Um direção do vetor é dd por qulquer ângulo formdo entre ele om os eios ou por seus ossenos. Estes últimos são hmdos ossenos diretores e são ddos por: os os os (3.3) 7

13 MEMÁIC PR FOOGRMERI Dest form um direção no espço é ompletmente determind por pens dois ângulos (n Figur. OP é otido por e ) somente se os dois ossenos diretores forem independentes. Conseqüentemente os ossenos diretores são reliondos pel seguinte equção: os os os (3.4) que pode ser prontmente provd por meio ds Equções 3. e 3.3. Pode-se generlir gor um vetor pr n dimensões ou se: n 3. OPERÇÕES COM VEORES iguis Dois vetores são iguis qundo todos os omponentes dos vetores são n. n Vetores são diiondos ou sutrídos pel dição ou sutrção de d omponente individul. Dest form signifi que n n n. dição e sutrção de vetores são: Comuttivs: ; ssoitiv: ; 8

14 MEMÁIC PR FOOGRMERI 9 rnsitiv: e. s operções de dição e sutrção somente podem ser relids om vetores de mesms dimensões. Um eslr é um quntidde que tem somente um mgnitude ms nenhum direção ssim omo mss tempertur tempo et. e gerlmente é designdo por um letr greg. Vetores de qulquer número de omponentes podem ser multiplidos por um eslr trvés d multiplição do eslr por d omponente do vetor: n multiplição de vetores por eslres tmém tem s seguintes proprieddes: λ λ λ λ λ μ λ μ λ λ μ μ λ μ λ (3.5) Qulquer vetor é reduido um vetor unitário qundo seus omponentes forem divididos por seu omprimento que é um eslr: (3.6) Os omponentes de são os ossenos diretores de. Vetores unitários o longo dos eios oordendos são hmdos vetores se e são ddos por: k i (3.7)

15 MEMÁIC PR FOOGRMERI (ver representção pr i e n Figur 3.). Qulquer vetor no espço tridimensionl é unimente epresso omo: k i (3.8) O sistem detrógiro introduido n Seção. pode ser generlido pr três vetores e. Se eles forem não oplnres e tiverem o mesmo ponto iniil então eles estrão n form de um sistem detrógiro se omo lgo semelhnte um prfuso de ros direit fosse rotdo em um ângulo menor que 8º de pr e vnçsse n direção. 3.3 PRODUOS DE VEORES 3.3. PRODUO PONO OU PRODUO ESCLR O produto ponto ou produto eslr de dois vetores é n p n n p p (3.9) Ele é tmém hmdo de produto interno. Ele é um eslr que tem s seguintes proprieddes: i k k i k k i i (3.) O produto eslr de um vetor om ele mesmo é igul o qudrdo de su distâni ou se: n (3.)

16 MEMÁIC PR FOOGRMERI Se é o ângulo entre dois vetores e (em um espço i ou tridimensionl) ele pode ser ddo por: os (3.) Se e forem perpendiulres então. ros 3.3. PRODUO CRUZ OU PRODUO VEORIL O produto ru ou produto vetoril de dois vetores (lê-se ru ) é um outro vetor que é perpendiulr mos os vetores e e em um direção n qul e (nest ordem) formm um sistem detrógiro. O omprimento de é ddo por: sen (3.3) onde é o ângulo entre e. Est quntidde é áre do prlelogrmo determind por e. Se k i e k i então é ddo pelo determinnte: k i (3.4) O produto vetoril tem s seguintes proprieddes: i k i k k i k k i i (3.5)

17 MEMÁIC PR FOOGRMERI Pr dois vetores não nulos se então e são prlelos PRODUO RIPLO ESCLR O produto triplo eslr de três vetores e é um eslr ddo pelo determinnte (3.6) que é igul o volume do prlelogrmo determindo por e. Se o produto triplo eslr é ero então os três vetores são oplnres. Ele tem seguintes proprieddes: (3.7) PLNOS E LINHS Se n é um vetor não-nulo norml um plno e p é um vetor pertenente o plno; tomndo outro ponto seguinte form: p pertenente o plno então equção do plno tem p n p ou p n p n (3.8) Fendo n i B C k p X i Y k e p X i Y Z k Z então Equção 3.8 torn-se ou X X B Y Y C Y Y

18 MEMÁIC PR FOOGRMERI onde D X B Y C. X X B Y C Z D (3.9) n p p Figur 3- Representção de um plno no espço Dois plnos são prlelos qundo eles têm um vetor norml omum n e são perpendiulres qundo seus vetores normis são perpendiulres ou se: n n. Se p represent um ponto ddo em um linh p é qulquer ponto em um linh e v é um ddo vetor não-nulo e prlelo à linh então p p v (3.) é um equção d linh. N form omponente el tem três equções desrevendo form prmétri ( é um prâmetro independente). 3

19 MEMÁIC PR FOOGRMERI X X Y Y v Z Z v v (3.) 4

20 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO IV 4 ÁLGEBR MRICIL 4. DEFINIÇÕES Um mtri é um grupo de números ou funções eslres rmends em um rrno retngulr idimensionl. Os eemplos seguintes são eemplos de mtries: d d. od mtri tem um número espeífio de linhs e oluns. Dest form o eemplo de mtri por três ). De form similr tem linhs e 3 oluns e é dito ser um mtri 3 (lê-se dois é um mtri é um mtri 3 e d é um mtri. Os dois números representndo s linhs e s oluns são referenidos omo s dimensões d mtri. Um mtri é denotd por um letr miúsul. ssim um mtri ser simolimente esrit omo: m n pode n n. mn m m mn Um letr minúsul om dois números susritos represent os elementos d mtri. ssim i represent um elemento típio d mtri. O primeiro susrito i refere-se o número d linh que ontém i iniindo om té n prte superior té o vlor m n prte inferior d mtri. O segundo susrito refere-se o número d olun que 5

21 MEMÁIC PR FOOGRMERI ontém i interseção d mtri iniindo om à direit té ésim i é 3 enqunto linh om n à esquerd. Dest form i est n ésim olun. Por eemplo no eemplo nterior de n mtri é 9. menor mtri tem dimensão. 4. IPOS DE MRIZES Um mtri qudrd é um mtri n qul o número de linhs é igul o número de oluns. Se é um mtri qudrd om m linhs e m oluns é de ordem m. digonl prinipl de um mtri qudrd é ompost de todos os elementos i nos quis i. s seguintes mtries são eemplos de mtries qudrds: 3 4 B d g e h f. k de B digonl prinipl de é ompost dos elementos e 4; digonl prinipl é ompost dos elementos e e k. Um mtri linh é um mtri ompost de somente linhs. Su notção é relid por um letr minúsul. Os seguintes são eemplos de mtries linhs: n d 4. n 3 Um mtri olun ou vetor olun é um mtri ompost de somente um olun. Por eemplo m. m 3 Est é mesm definição dd pr um vetor introduid n Seção 3. 6

22 MEMÁIC PR FOOGRMERI 7 Um mtri digonl é um mtri qudrd uos elementos que não estão n digonl prinipl são ero. Por eemplo: d mm d d D onde d i pr todo i i d pr lguns ou todos i Os seguintes são eemplos de mtries digonis: r q p 3 B Um mtri eslr é um mtri digonl uos elementos d digonl prinipl são todos iguis um mesmo eslr. Por eemplo onde i pr todo i e i pr lguns ou todos i e B são mtries eslres. Um mtri unidde ou mtri identidde é um mtri digonl uos elementos d digonl prinipl são iguis. Um mtri unidde é referid por I. ssim

23 MEMÁIC PR FOOGRMERI I n qul i pr todo i e i pr lguns ou todos i. Um mtri nul ou mtri ero é mtri uos elementos são todos eros. El é denotd por. Um mtri tringulr é mtri uos elementos io (ou im) ms não inluindo d digonl prinipl são todos nulos. Um mtri tringulr superior tem form m m mm n qul pr i i. mtri 4 3 é um eemplo de um mtri tringulr superior de ordem 3. mtri tringulr inferior é de form m m mm onde pr i. mtri i 8 B 8

24 MEMÁIC PR FOOGRMERI é um eemplo de mtri tringulr inferior de ordem. 4.3 OPERÇÕES BÁSICS COM MRIZES Muits operções om mtries são similres ou equivlentes os eslres: iguldde dição sutrção e multiplição. Divisão não eiste em álger mtriil; no entnto um outr operção inversão sustitui. Operções diionis são espeífis pr s mtries sem hver equivlêni os eslres: trnsposição multiplição por um eslr e trço. elemento iguis. Dus mtries e B são iguis se els forem de mesm dimensão e d i i pr todo som de dus mtries i e. Mtries de dimensões diferentes não podem ser e B iguis e os elementos d mtri de resultdo C é possível somente se els forem de dimensões são i pr todo seguintes relções são pliáveis pr dição e sutrção de mtries: i i i e. s B B B C B C B C (4.) onde é mtri nul e é mtri ompost de i elementos. Por eemplo se 3 B C u v w e C B pr omputr os vlores dos seis elementos u v e w omput-se B : de C primeiro e então form-se: 9

25 MEMÁIC PR FOOGRMERI C. u v w ssim u v e w. B multiplição de um mtri por um eslr uos elementos são i i pr todo i e result em um outr mtri. s seguintes relções são plids pr multiplição por eslr ( e são eslres): B B B B B (4.) multiplição de dus mtries é outr mtri. s dus mtries devem ser omptíveis pr serem multiplids de form que o número de oluns d primeir mtri deve ser igul o número de linhs d segund mtri. ssim se de dimensão outr mtri C i em C m q e B om m é um mtri de dimensão linhs e (omo em ) e n é otido pel multiplição de d um dos q n o produto B é um mtri nest ordem é oluns (omo em B ). Cd elemento q elementos ns ésims i linhs d mtri pelos elementos orrespondentes ns ésims oluns de B e dição. lgerimente est operção é esrit omo: i q (4.3) i i iq qi k ik ki Pr ilustrr multiplição de mtries: C B multiplição de mtries não é omuttiv. Em gerl sempre F G G F se dimensão ds mtries permitir multiplição em ms s direções ou se se s

26 MEMÁIC PR FOOGRMERI mtries forem respetivmente de dimensões forem qudrds e de mesm ordem. Por eemplo: m n e n m ou qundo s mtries F G G F s seguintes relções são presentes às multiplições de mtries: I I B B B C BC B C lei ssoitiv B C B C lei distriutiv BC C B C lei distriutiv (4.4) Um importnte propriedde d multiplição de mtries que se distingue d multiplição de eslres é que o produto mtriil pode ser um mtri nul ou ero sem que qulquer mtri se um mtri nul ou B om B omo por eemplo: 3 B. 3 mém B C não impli que B C. de trnspost d mtri de dimensão pelo interâmio ds linhs e oluns de form que s m n é um mtri n m formd prtir ésims i linhs de torn-se s i ésims oluns d mtri trnspost. notção d trnspost de B segue que i i pr todo i e. Por eemplo se é dd por. Se 6 5 B 3 então B s seguintes relções são plids à trnspost de um mtri:

27 MEMÁIC PR FOOGRMERI B B B B (4.5) Dest-se ordem invers n relção de multiplição. se Um mtri qudrd é simétri se el é igul à su trnspost; é simétri. Como trnsposição de um mtri qudrd não lter os elementos d digonl prinipl os elementos im del são um imgem espelho dqueles io d digonl. Por eemplo: e são mtries simétris. s mtries digonl eslr e identidde são mtries simétris tendo em vist que els são iguis às sus trnsposts. Pr um mtri qudrd) ms e são simétris. Se dimensão omptível então pr qulquer mtri simétris. Se é um mtri oluns (ou um vetor) então B mos igul à som dos qudrdos dos seus elementos por eemplo (não neessrimente é um mtri simétri de B e B são é um eslr positivo que é Isto é igul o produto interno do vetor om ele mesmo que é igul o qudrdo de seu omprimento. Um mtri qudrd é de torção simétri se el é igul o negtivo de su trnspost ou e pr todo i e. Os elementos d digonl de um i i

28 MEMÁIC PR FOOGRMERI mtri de torção simétri são todos ero e eles úni mtri que é o mesmo tempo simétri e de torção simétri é mtri nul. Um eemplo de mtri de torção simétri é Pr qulquer mtri qudrd mtri é simétri e é de torção simétri. O trço de um mtri qudrd é um eslr que é igul à som dos elementos de su digonl prinipl. Ele é denotdo por tr. Por eemplo o trço de é tr s seguintes são s proprieddes do trço: tr tr tr tr B tr trb tr B trb tr tr F F tr (4.6) onde F é um mtri não singulr. 3

29 MEMÁIC PR FOOGRMERI 4.4 MRIZ INVERS não impli Como ludido nteriormente divisão de mtries não é definid e B C B C. Em sustituição à divisão é usdo o oneito de mtri invers. invers de um mtri qudrd se el eistir é úni mtri propriedde: I om seguinte (4.7) onde I é mtri identidde. ssim pr: 3 mtri 3 é mtri invers porque 3 3 e 3 3. s proprieddes d invers são: B B (4.8) 4

30 MEMÁIC PR FOOGRMERI Dest-se reversão d ordem de distriuição sore um produto ssim omo pr trnspost. Um mtri que tem um invers é hmd de não-singulr. Um mtri que não tem invers e hmd singulr. Mostrou-se nteriormente que ou B. Se entretnto ou B B pode ser igul sem no entnto for não singulr então outr mtri deve ser um mtri nul. Conseqüentemente o produto de dus mtries não-singulres não pode ser um mtri nul. Pr presentr um método de álulo de um mtri invers o oneito de determinnte será iniilmente introduido. ssoido om d mtri qudrd temse um únio vlor eslr hmdo de determinnte de. Ele é denotdo ou por det ou por. ssim pr: 3 o determinnte é epresso omo 3. O determinnte de ordem n (pr um mtri qudrd reursivmente em termos de determinntes de ordem n n ) pode ser definido n. Pr plição deste proedimento o determinnte de um mtri deve ser definido. dequdmente pr um mtri que onsiste de um únio elemento o determinnte é definido omo o det. vlor do elemento que é pr Se é um mtri resultnte é um su-mtri n seundário de e ele é denotdo por n n e um linh e um olun de são pgd mtri n de. O determinnte dess mtri é hmdo m i onde i e pgds respetivmente. Mis espeifimente elemento i em. Por eemplo onsiderndo-se: orrespondem às linhs e oluns m i é onheid omo o seundári do 5

31 MEMÁIC PR FOOGRMERI Cd elemento de tem um seundári. seundári de por eemplo é otid o pgr primeir linh e primeir olun de que rest e tomndo o determinnte d su-mtri 3 m O oftor i de um elemento i é definido omo i i i m (4.9) Ovimente qundo som do número d linh i e olun é pr m e qundo i i i é impr i m. i O determinnte de um mtri n n é definido então omo (4.) n n que estelee que o determinnte de é som dos produtos dos elementos d primeir linh de e seus orrespondentes oftores. (É possível tmém definir sedo em um outr linh ou olun ms pr simplifição foi usd primeir linh.) Com se n definição mtri tem oftores e o determinnte de é. 6

32 MEMÁIC PR FOOGRMERI ssim por eemplo mtri oftor C de um mtri é mtri qudrd de mesm ordem de n qul d elemento i é sustituído por seus oftores i. Por eemplo mtri oftor de 3 4 é mtri dunt de Pode ser demonstrdo que 4 3 C. denotd por d é trnspost de su mtri oftor d (4.) C d I d (4.) omprção ds Equções 4.7 e 4. ondu diretmente um proedimento de determinção d invers prtir d mtri dunt isto é Por eemplo d (4.3) 3 C d 3 3 e invers de é d. 3 7

33 MEMÁIC PR FOOGRMERI Se oserv que pr um mtri dunt é simplesmente:. Um mtri é hmd ortogonl se su invers é igul à su trnspost ou. ssim mtri M é ortogonl qundo: M M MM I (4.4) s oluns de um mtri ortogonl são mutumente vetores ortogonis de omprimento unitário. mém pr um mtri ortogonl M (4.5) Qundo M então M é hmd ortogonl própri; so ontrário el é denomind ortogonl imprópri. O produto de dus mtries ortogonis é tmém um mtri ortogonl. 4.5 MRIZ INVERS POR PRICINMENO Sendo um mtri qudrd n n determind pode-se prtiionr n form: não-singulr u invers não pode ser s m s m onde é (desde que s s é s m é m s é m m e m s n. invers eiste se não-singulr) e dever ser prtiiond n form orrespondente por B B B B B. 8

34 MEMÁIC PR FOOGRMERI Por meio d definição ási de um invers tem-se form prtiiond: B I ou n B B B B I s I m onde I s e I m são mtries identidde de ordem s e m respetivmente. Isto lev B B B B B B B B I s I m (4.6) solução ds Equções 4.6 qundo eiste é dd por De form lterntiv qundo B B B B B B B B B B B eiste solução é B B B (4.7) (4.8) Se é originlmente um mtri simétri então e orrespondentemente B B. Em inversão por prtição omput-se diretmente invers de mtries de um ordem menor que mtri originl. inversão por prtição pode ser relid em mis de um psso. El é gerlmente usd qundo um s su-mtries de tem estrutur que pode ser filmente invertid ssim omo um estrutur digonl ou loo-digonl. 9

35 MEMÁIC PR FOOGRMERI O rnque de um mtri é ordem do mior determinnte não-ero que pode ser formdo prtir de elementos d mtri pel eliminção proprid de linhs e oluns (ou mos). Dest form mtri é dit ser de rnque m menos um su-mtri não-singulr de ordem ordem mior que m. mtri não-singulr de ordem n rnque ero tem elementos que devem ser todos nulos. invers rnque de m se e somente se tiver pelo e não tiver nenhum su-mtri de tem um rnque n. mtri om é definid somente pr mtries qudrds e eiste qundo o é igul à su ordem. invers mis gerl pode ser definid pr mtries om rnque ritrário. El é hmd de invers generlid om notção stisf relção e (4.) Est ondição não é sufiiente pr definir um úni. Condições diionis são neessáris pr tis omo: (4.9) Se imposts tods s qutro ondições ns Equções 4.8 e 4.9 invers é hmd um pseudo-invers e é denotd por. 4.6 UOVLOR E UOVEOR Pr um mtri qudrd de ordem n us-se um vetor não-nulo eslr de form que e um (4.) Isto é hmdo de prolem do utovlor. solução e pr este prolem é hmd utovlor (ou vlor próprio ou vlor rterístio) e o orrespondente utovetor 3

36 MEMÁIC PR FOOGRMERI (ou vetor próprio ou vetor rterístio) d mtri. Um utovetor se ele eiste pode ser determindo somente se um múltiplo eslr se e stisfem Equção 4. então onde é um eslr ritrário tmém irá stisfer. Equção 4. pode ser reesrit omo I (4.) que represent um onunto de equções lineres homogênes. Pr um solução nãotrivil pr este onunto de equções seguinte ondição deve ser stisfeit: I (4.) equção 4. represent um equção polinomil rel de gru n : n n n (4.3) n onde: n n nn ii tr nr i determinn te de n trço de som de tods smenores prinipis de ordem r de (4.4) Equção 4.3 é hmd de equção rterísti de ou de equção de utovlor. mtri I é hmd de mtri rterísti. Há ríes pr Equção 4.3 ontndo multipliidde. Ests são os n n utovlores de. n Pr um utovlor i soluion-se o onunto de equções lineres (homogênes) 3

37 MEMÁIC PR FOOGRMERI I pr determinr os omponentes de utovetor i orrespondente. Em gerl i e i são números e vetores ou reis ou ompleos respetivmente. Se mtri é simétri então:. Os utovlores são reis;. Os utovetores são todos mutumente ortogonis isto é. i i Como eemplo polinômio rterístio d mtri: é do qul 3 e são os utovlores. Not-se que mos os utovlores são reis. Pr 3 tem-se: 3 3 é um utovetor. Pr tem-se: ou ou é um utovetor. estes dois vetores são ortogonis se form que 3

38 MEMÁIC PR FOOGRMERI 4.7 FORMS BILINER E QUDRÁICS Se é um mtri qudr de ordem n e e são dois vetores ns-dimensionis ritrários então o eslr: u (4.5) é hmdo de form iliner. Se entretnto mtri é tmém simétri então é hmdo de form qudráti omo núleo. mtri v (.6) é hmd positiv definid se v pr todo e esreve-se. Se v pr todo e nele eiste um vetor pr o qul é ssegurd iguldde é dito que é positiv semi-definid (ou definid não-negtiv) e indi-se por. Há definições orrespondentes pr negtiv definid e não-positiv definid. Se eistem vetores e tis que e di-se que é indefinid. Pr um mtri positiv definid é neessário e sufiiente que (4.7) ssim mtri 3 B 3 4 é positiv definid pois 3 e e 33

39 MEMÁIC PR FOOGRMERI 9 5 B 3. form qudráti represent em gerl um seção ôni de lgum tipo. Considerndo o so i-dimensionl por simpliidde tem-se ou om simétri que é equção de um elipse. 34

40 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO V 5 RNSFORMÇÕES LINERES 5. DEFINIÇÃO form: Um trnsformção liner gerl de um vetor pr um outro vetor tem Cd elemento do vetor M t. (5.) é um ominção liner dos elementos de trnslção representd por um elemento do vetor t mis um. mtri M é hmd de mtri de trnsformção que em gerl é retngulr e t é hmdo vetor de trnslção. Por simplifição mtri M será restrit omo sendo qudrd e não singulr sendo que dest form eiste relção invers ou se M t (5.) Neste so é hmd trnsformção fim. Emor ms s Equções 5. e 5. serem plids pr vetores de grndes dimensões neste teto disussão será limitd sem deir generlidde pr os sos mis prátios de espços i e tridimensionis onde os elementos d trnsformção podem ser desritos geometrimente. 5. RNSFORMÇÃO LINER BIDIMENSIONL Há seis trnsformções elementres d um representdo um simples efeito que são geometrimente representdos ns Figurs Iniilmente qutro vetores representndo os ntos de um qudrdo são referenidos pelo sistem de oordends (linhs sólids ns Figurs 5.-6). ods s seis trnsformções elementres são relids sore o qudrdo e s oordends resultntes são desenhds pr mostrr o efeito de d trnsformção n posição orientção tmnho e form do 35

41 MEMÁIC PR FOOGRMERI qudrdo (linhs pontilhds ns Figurs 5.-6). Os efeitos d trnsformção podem ser oservdos ou pel visulição d nov figur no mesmo sistem de oordends ou pelo movimento do sistem de oordends. 5.. RNSFORMÇÕES ELEMENRES 5... RNSLÇÃO M t M I (5.3) O qudrdo é trnslddo n direção e n direção omo mostrdo n Figur 5.. De outr form o qudrdo sólido permnee e os eios oordendos são trnslddos n direção positiv omo mostrdo pelos eios pontilhdos n Figur 5.. Figur 5- rnslção 36

42 MEMÁIC PR FOOGRMERI 5... ESCL UNIFORME M u M U u I u (5.4) O qudrdo é mplido por um esl uniforme u uo resultdo de todos os qutro pontos oordendos são multiplidos por u. De outr form o qudrdo sólido é referenido um sistem de oordends esldo n mesm posição om s uniddes o longo dos eios u d unidde originl. Figur 5- Esl Uniforme ROÇÃO os sen M M R (5.5) sen os O qudrdo mntém su form ms é rotdo por sore origem do sistem de oordends. N Figur 5.3 o sistem de oordends tmém é rotdo por pr oinidir om os eios originis. Os eios pontilhdos n Figur 5.3 mostrm os eios 37

43 MEMÁIC PR FOOGRMERI trnsformdos que se refere o qudrdo sólido originl. Os elementos de derivdos d figur inserid no nto superior direito d Figur 5.3 omo segue: r os r sen r os os r sen sen r sen os r os sen R são P r 45º Figur 5-3 Rotção ou os sen sen os ou os sen sen os mtri R é ortogonl própri R R e R. Mtries de rotção não lterm o omprimento do vetor ssim do vetor. Considerndo qudrdo do omprimento M M M M 38

44 MEMÁIC PR FOOGRMERI ou M M I que pr um solução não trivil signifi que um mtri ortogonl. M M I ssim mostrndo que M é REFLEXÃO M M F (5.6) Figur 5.4 mostr refleão do eio (isto é sore o eio ). F é ortogonl imprópri F F e F. Figur 5-4 Refleão FOR DE ESCL NÃO UNIFORME s M M S s (5.7) 39

45 MEMÁIC PR FOOGRMERI O qudrdo é trnsformdo em um retângulo omo mostrdo n Figur 5.5. Figur 5-5 Ftor de Esl Não-Uniforme ORÇÃO M M K (5.8) O qudrdo é trnsformdo em um prlelogrmo omo mostrdo n Figur

46 MEMÁIC PR FOOGRMERI Figur 5-6 orção 5.. RNSFORMÇÃO DE QURO PRÂMEROS u os u sen sen t os t (5.9) ou u os u sen t u sen u os t (5.) ou t t (5.) trnsformção invers é dd por: os u sen sen t os t (5.) ou 4

47 MEMÁIC PR FOOGRMERI t t (5.3) Est trnsformção tem qutro prâmetros: um esl uniforme um rotção e dus trnslções RNSFORMÇÃO DE SEIS PRÂMEROS s s k os sen sen t os t (5.4) s os k sin s sin k os s sen s os t t ou t d t (5.5) Os seis prâmetros dest trnsformção são: dus esls um ftor de torção (finidde) um rotção e dus trnslções. trnsformção invers é dd por d d t t (5.6) 5.3 RNSFORMÇÃO LINER RIDIMENSIONL Similr o so idimensionl trnsformção fim em três dimensões pode ser dividid em váris trnsformções elementres: trnslção esl uniforme rotção refleão esl não uniforme et. ordgem será limitd entretnto à trnsformção de sete prâmetros que é mplmente empregd n Fotogrmetri. El é ompost de um mudnç de esl uniforme três trnslções e três rotções. Serão ordds primeirmente s rotções em um espço tridimensionl. 4

48 MEMÁIC PR FOOGRMERI 5.3. ROÇÕES DE UM SISEM DE COORDENDS RIDIMENSIONIS Eistem três rotções elementres um sore d um dos três eios oordendos. Els são freqüentemente eeutds em seqüêni um pós outr. Um onunto de três dests seqüênis de rotções é mostrd n Figur 5.7 onde sistem originl ves. onvenção é seguinte: é o sistem rotiondo um ve e é o é o sistem rotiondo dus.. sore o eio rotção positiv vnçndo de pr ;.. sore o eio rotção positiv vnçndo de pr ; 33.. sore o eio rotção positiv vnçndo de pr. 43

49 MEMÁIC PR FOOGRMERI 44 Figur 5-7 Rotções em um sistem Crtesino Cd um ds rotções elementres é representd n form mtriil omo segue: M os sin sin os (5.7)

50 MEMÁIC PR FOOGRMERI onde e são s oordends nteriores à rotção e e são s oordends pós rotção. De form similr rotção de sore o eio e sore o eio são dds por: os sen sen M os (5.8) os sen sen M os (5.9) s três rotções ds Equções são gerlmente referids om rotções elementres. Els podem ser usds pr onstruir qulquer onunto de seqüêni rotções. mtri totl de rotção é otid pel sustituição suessiv: M M M M (5.) Z Y X n qul M é um função de três ângulos de rotção e. O onunto de rotções mis omumente usdo é ddo pelos símolos e onde X Y Z. Neste so mtri M us rotções do sistem de oordends do espço oeto Y Z prlelo o sistem de oordends d foto X X Y Z é ddo por: os os sen os os sen sen sen sen os sen os R k sen os os os sen sen sen os sen sen sen os (5.) sen os sen os os n qul é rotção sore o eio X é rotção sore o eio Y e é rotção sore o eio ortogonis. Z. mtri M é ortogonl um ve que M M e M são tods 45

51 MEMÁIC PR FOOGRMERI 5.3. RNSFORMÇÃO DE SEE PRÂMEROS três rotções Est trnsformção ontém sete prâmetros: um mudnç de esl uniforme e e três trnslções t t e t 3. El tem form gerl M t (5.) mtri ortogonl M é um função de somente três prâmetros independentes no so os ângulos e. Est trnsformção é útil pr diferentes plições X Y Z omo orientção solut oneão de modelos et. mtri ortogonl M pode ser onstruíd por outros métodos lém ds rotções seqüênis. Dois destes métodos são orddos seguir CONSRUINDO M POR UM ROÇÃO SOBRE UM LINH Esse método é tmém denomindo de rotção de orpo sólido. Ddo um oeto tridimensionl em dus orientções diferentes há um linh no espço sore qul o oeto pode ser rotiondo por um ângulo finito pr mudá-lo de um orientção pr outr. Se ess linh tem ossenos diretores rotção é dd por: e e o ângulo de rotção mtri de os os os sen ossen os sen os os os sen os sen os sen os os M (5.3) UM DERIVÇÃO DE M PURMENE LGÉBRIC Os métodos de otenção de M envolvem funções trigonométris de ângulos que podem ser inômodos por não serem lineres. O método seguinte evit ess 46

52 MEMÁIC PR FOOGRMERI 47 desvntgem e permite onstrução de M pel omputção de seus elementos omo funções rionis de três prâmetros independentes. seguinte mtri de torção simétri ontém somente três prâmetros e : S (5.4) Um mtri ortogonl M pode ser otid prtir de S usndo: S I S I S I S I M (5.5) n qul I é mtri independente. Pode-se provr que M é ortogonl mostrndo que I M M. Usndo o método d dunt S I é luldo omo S I (5.6) e então S I S I M (5.7)

53 MEMÁIC PR FOOGRMERI 48 CPÍULO VI 6 RNSFORMÇÕES NÃO-LINERES 6. CONSIDERÇÕES INICIIS lém ds trnsformções lineres disutids nteriormente n Fotogrmetri são utilids trnsformções não lineres em mos os sos de i e tridimensionis. Em sus dimensões são usds: trnsformção de oito prâmetros e trnsformção polinomil. 6. RNSFORMÇÃO DE OIO PRÂMEROS (6.) Est trnsformção proetiv do sistem de oordends pr o tem os oito prâmetros de trnsformção. Su invers é dd por: (6.) 6.3 POLINOMIIS GERIS BIDIMENSIONIS (6.3)

54 MEMÁIC PR FOOGRMERI 49 Ests polinomiis podem ser estendids pr potênis superiores em e. Um so espeil disto é form onforme. propriedde onforme preserv ângulos entre interseção de linhs pós trnsformção. Se for imposto s dus ondições e (6.4) ns equções polinomiis geris têm-se B (6.5) Not-se que os primeiros três termos depois do sinl de igul são os similres os qutro prâmetros d trnsformção dd ns Equções POLINÔMIOS GERIS RIDIMENSIONIS (6.6) Podem-se estender estes polinômios pr ordens superiores. De form ontrári o so idimensionl trnsformção onforme não eiste em três dimensões lém d primeir ordem (ou liner) que é o so d trnsformção de sete prâmetros Equção 5.. Um proimção que só eiste pr termos de segundo-gru é otid impondo ondições semelhntes àquels n Equção 6.4 em todo pr de oordends n Equção 6.6. Isto f om que proeção do espço tridimensionl em d um dos três plnos se onforme. Impondo

55 MEMÁIC PR FOOGRMERI 5 e (6.8) nos polinômios geris d Equção 6.7 tem-se E F G D C C E G F D B B F G E C B (6.9)

56 MEMÁIC PR FOOGRMERI CPÍULO VII 7 LINERIZÇÃO DE FUNÇÕES NÃO-LINERES 7. CONSIDERÇÕES INICIIS s equções que epressm s ondições geométri e físi d um prolem de fotogrmetri são freqüentemente não lineres tornndo su solução diret difíil e oneros. Ests equções são linerids usndo epnsão de séries usulmente séries de lor que em gerl é dd omo segue: f df d n f d! d! n d n n d (7.) Isto dá o vlor de em dndo o vlor d função f em Equção 7. inlui ind termos de ordem superior e por est rão ostum-se eliminr. =f() f + ( ) = + ( +) Figur 7- Linerição 5

57 MEMÁIC PR FOOGRMERI 5 os termos superiores segund ordem usndo-se proimção om orrespondêni nos termos. d df f f (7.) téni de linerição é demonstrd n Figur 7.. urv represent função não liner originl f onsiderndo que linh ret represent form linerid dd pel Equção 7.. linh é tngente à urv num ddo ponto. Qundo é dd (ou luldo) o vlor d função pode ser proimdo pele ponto u ordend é e o vlor eto d função não liner é o ponto om ordend f. O erro que surge o se usr form liner é o segmento de linh. 7. UM FUNÇÃO PR DUS VRIÁVEIS epnsão d série de lor de um função de dus vriáveis é:!! f f (7.3) Pel form linerid d Equção 7.3 é trund em (7.4) onde f

58 MEMÁIC PR FOOGRMERI Equção 7.4 pode ser reesrit n form mtriil omo ou J (7.5) onde J é Join de om respeito à. 7.3 DUS FUNÇÕES PR UM VRIÁVEL são dds por primeir ordem ds proimções ds séries de lor pr dus funções de f f (7.6) ou J onde J f f d d d d 53

59 MEMÁIC PR FOOGRMERI DUS FUNÇÕES PR DUS VRIÁVEIS Dus funções pr dus vriáveis podem ser linerids por f f (7.7) ou (7.8) ou J (7.9) onde f f J 7.5 CSO GERL DE m FUNÇÕES PR n VRIÁVEIS s linerições presentds previmente podem ser generlids pr m funções de n vriáveis por n n n n f f f (7.)

60 MEMÁIC PR FOOGRMERI 55 form generlid d Equção 7. torn-se J (7.) onde n n m m m n n m n n m f f f J Equção 7. represent form gerl om sendo vetores m J um mtri Join n m e um vetor n. s Equções e são sos espeiis d Equção DERIVÇÃO DE UM DEERMINNE lgums ondições fotogrmétris ou estão n form de um determinnte ou ontém determinntes. derivd pril de um determinnte p p em relção um eslr é ompost d som de p determinntes d um tendo os elementos de somente um linh ou um olun sustituídos por sus derivds. ssim ddo o determinnte p d D D D no qul p i i D representm sus p oluns então

61 MEMÁIC PR FOOGRMERI d D D D p D Dp D Dp D D (7.) Um epressão similr à Equção 7. pode ser esrit n qul são derivds prilmente s linhs o invés ds oluns de d. 7.7 DERIVÇÃO DE UM QUOCIENE Um quoiente de um função ssim omo g U / W equções de ondição fotogrmétris. derivd pril de g pli-se em muits om relção à um vriável é dd por g W U U W W (7.3) mos U e W podem ser funções geris inluindo determinntes de váris vriáveis. 56

62 MEMÁIC PR FOOGRMERI BIBLIOGRFI JCKOWSKI. J.; SBREG J. B.; Fundmenls of Modern Mtemtis. Prentie-Hll In. Englewood Cliffs New Jerse 97. KRLSON P.; Mgi dos Número. rdução de Henrique Crlos Pfeifer Eugênio Brito e Frederio Port Editor Gloo Rio de Jneiro 96. LIPSCHUZ S.; Álger Liner. Deprtmento de Mtemáti emple Universit rduido por Rieiro Bldino Instituto de Mtemáti d Universidde do Rio Grnde do Sul Editor MGrw-Hill do Brsil LD São Pulo 974. MIKHIL E. M.; BEHEL J. S.; MCCLONE J. C.; Introdution to Modern Photogrmmetr. John Wile & Sons In. New York 57