CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Produtos Notáveis Isbelle d Silv Arujo - Engenhri de Produção
Proprieddes d multiplicção Algums proprieddes d multiplicção são: Comuttiv: b = b; Associtiv: (bc) = (b)c; Nest ul que nos interess é... PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA (b+c) = b + c ( + b).(c + d) = c + d + bc + bd
Propriedde Distributiv ( + b).( + b) = ² + b + b + b² = ² + 2b + b² ( - b).( - b) = ² - b b + b² = ² - 2b + b² ( + b + c).( + b + c) = ² + b + c + b + b² + bc + c + bc + c² = ² + b² + c² + 2b + 2bc + 2c
Produtos Notáveis Afim de economizr tempo e não ter de multiplicr termo termo, utilizmos os produtos notáveis.
Qudrdo d som Indicdo por: mis b o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro mis dus vezes o primeiro vezes o segundo, mis o qudrdo do segundo: ( + b)² ou ( + b)( + b) Form expndid: ( + b)² = ( + b)( + b) =. +.b + b. + b.b = ² + 2b + b² Então: ( + b)² = ² + 2b + b²
Qudrdo d som O produto notável ( + b)², segundo Geometri. Qundo e b são positivos, podemos representr o qudrdo d som de dois termos desconhecidos geometricmente. Observe que áre do qudrdo de ldo ( + b) é igul áre do qudrdo mior, ², mis dus vezes áre do retângulo, ou sej, 2b, mis áre do qudrdo menor, b². b ² b b b b² ( + b)( + b) = ( + b)² ( + b)² = ² + 2b + b²
Qudrdo d som Exemplo: (3x + 5)² = (3x)² + 2 (3x)(5) + 5² = 9x² + 30x + 25 (y + 6)² = y² + 2 (y)(6) + 6² = y² + 12y +36
Qudrdo d som Prticndo: ( x 3 y ) 2 x ² 6 xy 9 y ² ( 6 34 x ²)² 6 68 x ² 6 1156 x 4 ( 3 6 y 1 2 )² 2 2 6 3 3 y y
Qudrdo d diferenç Indicdo por: menos b o qudrdo é igul o qudrdo do primeiro menos dus vezes o primeiro vezes o segundo, mis o qudrdo do segundo: ( - b)² ou ( - b)( - b) Form expndid: ( - b)² = ( - b)( - b) =..b b. + b.b = ² - 2b + b² Então: ( - b)² = ² - 2b + b²
Qudrdo d diferenç O produto notável ( - b)², segundo Geometri. Observe que áre do qudrdo de ldo ( - b) vermelho pode ser obtid subtrindo áre dos dois retângulos zuis e áre do qudrdo mrelo. Ou sej: ( b) b ( b) ( b)² b( b) b b( b) b² ² - b. ( - b) - b. ( - b) - b² = ( b)²
Qudrdo d diferenç Exemplo: (x - 4)² = x² - 2 (x)(4) + 4² = x² - 8x +16 (3x - y)² = (3x)² - 2 (3x)(y) + y² = 9x² - 6xy +y²
Qudrdo d diferenç Prticndo: ( 8 y 3 4 ) 2 8 3 2 y 4 8 3 y 8 (8 1 1 3 2 36 ) 2 16 ( 9 x 7 z )² 3 ³ 1 81 7 x ² 18 7 xz z ² 3 1 3
Produto d som pel diferenç Indicd por: qudrdo do primeiro termo () menos o qudrdo do segundo termo (b): ( + b)( b) = ² - b² Form expndid: ( + b)( - b) = ² - b + b b² = ² - b +b - b² = ² - b² Então: ( + b)( b) = ² - b²
Produto d som pel diferenç E qundo é necessário utilizr outros expoentes? Utiliz-se seguinte fórmul: n n b n ( b ) ( n k. b k 1 ) k 1
Produto d som pel diferenç O produto notável ( + b). ( - b) segundo Geometri Considere um retângulo de ldos com medid ( + b) e ( b). ( + b) b ( - b) b A áre do retângulo lrnj é ( + b). ( b) b b A áre d figur obtid pode ser express por ² - b²
Produto d som pel diferenç Exemplo: (5x + y)(5x y) = 25x² - 5xy + 5xy y² = 25x² - y² (x² + x)(x² - x) = x⁴ - x³ + x³ - x² = x⁴ - x²
Produto d som pel diferenç Prticndo: ) ² ² ).( ² ² ( 4 4 4 4 x x x x ) 3 6 ).( 3 6 ( 2 1 2 1 y y ) 5 3 ³ ).( 5 3 ³ ( c b c b 8 4 4 8 x x y 3 2 ² 25 9 6 c b
Cubo d som Indicdo por: mis b o cubo é igul o cubo do primeiro mis três vezes o qudrdo do primeiro vezes o segundo, mis três vezes o primeiro vezes o qudrdo do segundo, mis o cubo do segundo: ( + b)³ = ( + b)( + b)² Form expndid: ( + b)³ = ( + b)( + b)² = ( + b)(² + 2b + b²) = = ³ + 2²b +b² + b² + 2b² + b³ = = ³ + 3²b + 3b² + b³ Então: ( + b)³ = ³ + 3²b + 3b² + b³
Cubo d som Exemplo: (x + 3)³ = x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3²) + 3³ = = x³ + 9x² + 27x + 27 (2 + b)³ = (2)³ + 3(2)²(b) + 3(2)(b²) + b³ = = 8³ + 12²b + 6b² + b³
Cubo d som Prticndo: ( 2 y ³)³ 8 ³ 12 ² y ³ 6 y y 6 9 ( b y ²)³ ³ b ³ 3 ² b ² y ² 3 by y 4 6 ( 6 1 2 x ²)³ 3 2 4 6 18 x ² 3 6 x x 6
Cubo d diferenç Indicdo por: menos b o cubo é igul o cubo do primeiro menos três vezes o qudrdo do primeiro vezes o segundo, mis três vezes o primeiro vezes o qudrdo do segundo, menos o cubo do segundo: ( - b)³ = ( - b)( - b)² Form expndid: ( - b)³ = ( - b)( - b)² = ( - b)(² - 2b + b²) = = ³ - 2²b + b² - b² + 2b² - b³ = = ³ - 3²b + 3b² - b³ Então: ( - b)³ = ³ - 3²b + 3b² - b³
Cubo d diferenç Exemplo: (x - 4)³ = x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ = = x³ - 12x² + 48x - 64 (3 + b)³ = (3)³ + 3(3)²(b) + 3(3)(b²) + b³ = = 27³ + 27²b + 9b² + b³
Cubo d diferenç Prticndo: ( 2 y ³)³ 8 ³ 12 ² y ³ 6 y y 6 9 5 ( b 8 )³ 125 512 75 8 b 15 8 ² b ² ³ b ³ ( 5 7 ²)³ 125 7 7 75 7 ² 15 7 4 6
Produto de Stevin Definição: É o produto de qulquer número de binômios do 1º gru, d form (x+ ), onde é um número rel ou complexo. Pr dois binômios, teremos: (x + )(x + b) = x 2 + ( + b) x + b Pr três binômios, teremos: (x + )(x + b)(x + c) = x 3 + ( + b + c)x 2 + (b + c + bc)x + bc
Produto de Stevin Exemplo: (x+10)(x-90) = x 2-80x 900 (x+2)(x-15)(x+6) = x 3-7x 2-108x - 180
Produto de Stevin Prticndo: ( x 2 )( x 5 ) x ² 7 x 10 ( x 2 )( x 3)( x 4 ) x ³ 9 x ² 26 x 24
Obrigd pel tenção! www.ufl.edu.br www.fcebook.com/petengenhris 27