Aul 1 - POTI = Produtos Notáveis O que temos seguir são s demonstrções lgébrics dos sete principis produtos notáveis e tmbém prov geométric dos três primeiros. 1) Qudrdo d Som ( + b) = ( + b) * ( + b) = + b+ b+ b = + b + b ) Qudrdo d Diferenç ( b) = ( b) * ( b)= b b+ b = b + b Como observção segue que: (b ) = [( 1) * ( b)] = ( 1) ( b) = ( b) 3) Produto d Som pel Diferenç ( b) * ( + b) = + b b b = b 4) Cubo d Som ( + b) 3 = ( + b) * ( + b) * ( + b) = ( + b) * ( + b + b ) = = 3 + b + b + b + b + b 3 = 3 + 3 b + 3b + b 3 = 3 + 3b( + b) + b 3 5) Cubo d Diferenç ( - b) 3 = ( - b) * ( - b) * ( - b) = ( - b) * ( - b + b ) = = 3 - b + b - b + b - b 3 = 3-3 b + 3b - b 3 = 3-3b( - b) - b 3 6) Som de dois Cubos ( + b).( b + b ) = 3 + b 3 Prov: Considerndo temos: ( + b).( b + b ) = 3 b + b + b b + b 3 = 3 + b 3 Exemplo: 7) Diferenç de Cubos ( - b).( + b + b ) = 3 - b 3 Prov: Considerndo temos: Provs Geométrics 1) Qudrdo de Ldo + b e o Qudrdo d Som Observe figur 1 em que temos um qudrdo de ldo + b dividido de form conveniente em qutro retângulos de áres A 1, A, A 3 e A 4 : Figur 1: Qudrdo de ldo + b dividido em qutro retângulos. Repre que áre A do qudrdo é igul som A1 + A + A3 + A4. Ou sej: A= A1 + A + A3 + A4 Vemos d própri figur que: A= ( + b) ; A1 = * b ; A = b ; A3 = ; A4 = * b
Substituindo teremos: A= * b + b + + * b ( + b) = + * * b + b ) Qudrdo de Ldo e o Qudrdo d Diferenç Observe figur em que temos um qudrdo de ldo dividido de form conveniente em qutro retângulos de áres A 1, A, A 3 e A 4 : Repre que áre A do qudrdo é igul som A 1 + A + A 3 + A 4. Ou sej: A = A 1 + A + A 3 + A 4 Vemos d própri figur que: A = ; A 1 = ( b) * b ; A = b ; A 3 = ( b) ; A 4 = ( b) * b Figur : Qudrdo de ldo dividido em qutro retângulos. Substituindo teremos: A = ( b) * b+b +( b) +( b) * b = * b b +b +( b) + * b b De onde vem que: = b + ( b) b ( b) = b + b 3) Um Retângulo e o Produto d Som Pel Diferenç Considere figur 3 em que temos um retângulo de ldos e + b e áre A. Figur 3: Retângulo dividido em qutro retângulos. Vemos d figur que s áres A 1, A, A 3 e A 4 são: A = * ( + b); A 1 = * ( b); A = b * ( b); A 3 = * b; A 4 = b Assim: A = A 1 + A + A 3 + A 4 Logo: * ( + b) = * ( b) + b * ( b) + * b + b ; Dí: + * b = ( + b) * ( b) + * b + b <=> = ( + b) * ( b) + b <=> b = ( + b) * ( b) Testes de Vestibulres, pr esquentr...: 01. (CPM 010). Efetundo s operções indicds, simplifique frção ( b) +(+b). (+b) Qul frção você obterá? ( b) (+b) b b ) b) c) d) e) ( b)+1+ b +b +b b 1 (+b)
0. (CEFET 008). Se x + y = 5 e x y = 3, o vlor numérico d expressão (x + xy + y )+(x y )+ (x xy + y ), será: A) 15 B) 34 C) 49 D) 60 E) 7 03. (CEFET) Assinle firmtiv INCORRETA: ) ( b) = ( + b) ; b) ( + b) = ( b) ; c) ( b) + 4b = ( + b) ; d) ( + b) 4b = ( b) + b; e) Ds nteriores, um está errd. Treinmento OBMEP 014 A professor Loren ensinou seus lunos o seguinte produto notável: Pr quisquer números reis e b, - b = ( + b) * ( - b) Por exemplo, 4-3 = 16-9 = 7. Por outro ldo, (4+3) * (4-3) = 7 * 1 = 7. Usndo este ensinmento d professor Loren, clcule: ) 100-99 + 98-97 + 96-95 +... + - 1 : b) Encontre dois números inteiros miores do que 1 cujo produto é 999991. Treinmento OBMEP 009. Quis são os números? Descubr quis números inteiros positivos x e y stisfzem equção x 4 = y + 71. Prove o Teorem de Brm Gupt que diz: Se e A e B são nturis e cd um deles é som de dois qudrdos perfeitos, então A * B tmbém é um som de dois qudrdos perfeitos! Solução: Considere A = + b e B = c + d ; então: A * B = ( + b )*(c + d ) = c + d + b c + b d ; dí podemos somr e subtrir * * b * c * d, onde teremos: A * B = c +bcd+ b d + b c - bcd + d = (c + bd) + (bc d) Ftorção de Expressões Algébrics: Ftorr signific trnsformr um som lgébric em um produto de pelo menos dois ftores. 1º cso: Ftor Comum em Evidênci Qundo todos os termos d som (polinômio) tem um ftor comum, coloc-se em evidênci este ftor (ele fic pr for de um prênteses) e o multiplicmos pel som dos ftores restntes: Exemplo: 36 3 b 5 8 b 7 + 1 5 b 10 = 4 * 9 * * * b 5 4 * * *b 5 *b + 4 * 3 * * 3 *b 5 *b 5 = 4 b 5 *(9 - b + 3 3 b 5 ) OBMEP 015 (Nível 1ª fse): Os números nturis x e y são tis que x x * y = 3. Qul é o vlor de x + y? A) 4 B) 30 C) 34 D) 35 E) 45 Solução: Ao ftorr expressão x x y = x (x y) (I) = 3 = 3.1 (II) Perceb que (I) é um produto de números inteiros, e como 3 é número primo ele somente pode ser escrito como o produto de dois ftores como 3*1, como está em (II). Como (I) = (II), então s únics lterntivs possíveis pr produto de inteiros são: x = 3 { x y = 1 ; { x = 1 x y = 3 ; { x = 1 x y = 3 ou { x = 3 x y = 1 Apens o 1º sistem de equções dá soluções Nturis (x = 3 e y = ), os demis sistems dão soluções com inteiros negtivos, fugindo do enuncido do problem. Logo x + y = 3 + = 45. Alterntiv E. º cso: Agrupmento Aplicmos os polinômios d form: x + bx + y + by
Devemos proceder d seguinte mneir: 1º) Em cd grupo, colocmos o ftor comum em evidênci; º) Todos os grupos presentrão de novo um ftor comum, que deve ser posto em evidênci pr completr ftorção. Resumindo: x + bx + y + by = x ( + b) + y ( + b) = ( + b) (x + y) Exemplo: 15x + 10y 1bx 8by = 5. 3.. x + 5.. y 4. 3. b. x 4.. b. y = 5 (3x + y) 4b (3x + y) = (3x + y) (5 4b). 3º cso: Diferenç de dois Qudrdos e outros inversos dos produtos notáveis Aplicmos os polinômios d form: b Devemos proceder d seguinte mneir: 1º) Verificmos riz qudrd de cd termo; º) Escrevemos o produto d som pel diferenç desss rízes. Resumindo: b = ( + b) ( b) Exemplo: 5x 16b. 1º) 5x = 5x ; 16b = 4b º) Escrevemos o produto: 5x 16b = (5x + 4b) (5x 4b) Perceb que volt dos demis Produtos Notáveis tmbém trnsformm um Som em um Produto: Qudrdo d Som ou d Diferenç: ± b + b = ( ± b) = ( ± b) * ( ± b) Som ou Diferenç de dois Cubos: 3 ± b 3 = ( ± b) * ( b + b ) 4º cso: Expressões do tipo: 4 + 4b 4 Este tipo de expressão é bem comum em Olimpíds, e nos vlemos de um rtifício de somr e subtrir um mesmo vlor pr completr um qudrdo perfeito e depois temos um diferenç de qudrdos, vej o exemplo bixo: 4 + 4b 4 = ( ) + (b ) = ( ) + b + (b ) b = ( + b ) 4 b = ( + b ) (b) = ( + b + b) ( + b b) 5º cso: Expressões do tipo: b + + b + 1 ; ou b b + 1 Repre que: * b + + b + 1 = ( + 1) * (b + 1) e que * b b + 1 = ( 1) * (b 1) Problem Resolvido. Determine o número de pres ordendos (m, n) de números inteiros positivos que são soluções d equção: 4 m + n = 1 Solução: A equção 4 m + n = 1 é equivlente m *n m 4n+8 = 8 (m 4)(n ) = 8. Or, como m e n são inteiros positivos, então (m - 4) e (n - ) tmbém deverão ser inteiros. As possibiliddes são: { m 4 = 1 n = 8 ; {m 4 = n = 4 ; {m 4 = 4 n = pres ordendos (m, n) são (5, 10); (6, 6); (8, 4); (1, 3). Testes de Vestibulres, pr esquentr...: 04. (UTFPR) Simplificndo expressão 6x4 y 3 4x 3 y 4 1x 4 y 8x y 3, obtém-se: 4 = 8 ou {m, ou sej, os n = 1
A) x y B) C) 0 D) 3x y E) x y 05. (UTFPR) Simplificndo expressão x 1 x+, obtém-se: A) x 1 B) x 1 C) x D) x 1 4 3 06. (UTFPR) Simplificndo expressão ( +b b A) +b 1 B) b +1 E) x+y x ( ), obtém-se: 1) (+b) 1 1 C) D) 1 +1 Problems Olímpicos e de pegr fogo! Treinmento: Sbendo que x + 1 = 3, clcule: x ) x + 1 x b) x3 + 1 x 3 c) x4 + 1 x 4 d) x5 + 1 x 5... e) x9 + 1 x 9 1. (OBM 011 1ª fse) O número n 9999 99tem 011 lgrismos e todos iguis 9. Quntos lgrismos 9 tem o número n? A) nenhum B) 11 C) 010 D) 011 E) 40. (OBM 004 1ª Fse Nível ). Se x + y = 8 e x * y= 15, qul é o vlor de x + 6xy + y? A) 64 B) 109 C) 10 D) 14 E) 154 3. (OBM 00 1ª Fse Nível ) Se x*y = e x + y = 5, então : x y + y x + vle: A) 5 B) 5 4 C) 5 4 D) 1 E) 1 4. (OBM 011 - Nível ) Qul é o vlor d expressão: 011011 + 011003 16 * 011007 A) * 011007 B) * 011003 C) * 011007 D) * 011003 E) * 011011 5. (OIM 013 - ª Fse) Qul o lgrismo ds dezens de 1² +² + 3² + 4² +...+01² +013²? Dic: Nos próximos dois exercícios, vmos utilizr um fto útil de pensr que um número com todos os dígitos 1 s, como 11...1, pode ser escrito n form 999 9. Se o número possuir pens o dígito 4, por exemplo, como 44...4, então o escrevemos n form 4 * 999 9 9 9. A vntgem desss lterções é sber que 99999...99999 = 10 n -1 (verifique esse fto pr quntiddes pequens de 9s). n vezes 6. (OBM 00-1ª Fse Nível ). O resto d divisão por 9 de 1111111111 é: A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8 7. (IME) Mostre que os números 49, 4489, 444889, 44448889,..., obtidos colocndo-se 48 no meio do número nterior, são qudrdos de números inteiros. 8. (OBM 001-1ª Fse Nível ) Quntos dígitos tem o menor qudrdo perfeito cujos qutro últimos dígitos são 001? A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9. (OBM 005 1ª Fse Nível ). Os inteiros positivos x e y stisfzem equção x + y - x y = 1. Qul ds lterntivs present um possível vlor de y? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 10. (OBM 005 1ª Fse Nível ).
Quntos são os pres (x, y) de inteiros positivos tis que x y = 010? A) 1000 B) 1001 C) 100 D) 1003 E) 1004 11. (OBM 006 1ª Fse Nível ) Simplificndo expressão: 3. 3. 3. 3, obtemos: A) B) 3 C)1 D) + E) + 3 3 3 1. (OBM 01 1ª Fse Nível ) Se x e y são números reis tis que x y 5 x y x y 4 e x y 0, determine o vlor de xy. A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) 1 13. (OBM 013 1ª Fse Nível ) Determine x + y, onde x e y são reis, sbendo que xy x y 6. x 3 3, y 9 e A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 14. (OBM 014 1ª Fse Nível ) Se x, y, e b são reis positivos tis que x y e x y b, determine o vlor de xy. 4 4 b A) 4b b B) C) b b 15. (OBM 014 ª Fse Nível ) Determine o número de soluções com x e y inteiros positivos d equção: x y 36. 16. (OBM 004 - ª Fse - Nível ) Qul é som dos lgrismos do número 004 00 1998 1996 + 36? 17. (OBM 005 - ª Fse - Nível ) () Ftore expressão: x 9xy + 8y. (b) Determine todos os pres de inteiros (x; y) tis que: 9xy x 8y = 005. 18. (Treinmento OBMEP 011 - Nível ) Diferenç de Qudrdos () De qunts forms é possível escrever o número 105 como diferenç de dois qudrdos perfeitos? (b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferenç de dois qudrdos perfeitos. 19. (Treinmento OBMEP 007 - Nível ) As medids em centímetros dos ldos de cd um dos dois qudrdos são números inteiros. Se o menor qudrdo tivesse 001 cm mis de áre, os dois qudrdos serim iguis. Qunto pode medir o ldo do mior qudrdo? D) b 1 E) 0. (Treinmento OBMEP 011 - Nível ) Primos Não! () Prove que o número 3.999.991 não é primo. (b) Prove que o número 1.000.343 não é primo. 1. (EUA) Determine som dos dígitos n bse 10 de (10 4n +8 + 1), sendo n um inteiro positivo.
. (EUA) Clcule (104 +34) ( 4 +34) (34 4 +34) (46 4 +34) (58 4 +34) (4 4 +34) (16 4 +34) (8 4 +34) (40 4 +34) (5 4 +34). 3. Um qudrdo é cortdo em 49 qudrdos menores. Todos esses qudrdos têm s medids de seus ldos, em centímetros, expresss por números inteiros positivos. Há extmente 48 qudrdos com áre igul 1cm. Determine o número de resultdos possíveis pr expressr, em cm, medid d áre do qudrdo originl. 4. (Semn Olímpic 016) Clcule: ( 1+ 5 ) 10 + ( 1 5 ) 10. 5. Determine todos os números inteiros tis que som e o produto são iguis. 6. (Leningrdo) Prove que: (3 1) (3 3 1) (4 3 1) (100 3 1) ( 3 +1) (3 3 +1) (4 3 +1) (100 3 +1) = 3367 5050.