Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 - CAPES SISTEMAS LINEARES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I UNIDADE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES. INTRODUÇÃO: Sistems lineres recem, em gerl, em rolems, onde certs quntiddes recism ser determinds indiretmente. Como eemlo, odese tomr o seguinte rolem do cotidino: Três migos se encontrm em um lnchonete. O migo A comr um suco e um snduíche e g R$7,00 (sete reis). O migo B comr dois quies e um snduíche e tmém g R$7,00. O migo C comr um suco e um quie, gndo R$6,00. Qul o reço de cd roduto? A mtriz io indic quntidde de cd roduto comrd or cd um dos migos: snduíche quie suco A 0 B 0 C 0 Chmremos de X, X e X, resectivmente, o reço do suco, do snduíche e do quie. Podemos, então, montr um sistem mtricil: 0 0 0 X X X 7 7 6 Refere-se à tel cim Custo de cd roduto Vlor go or cd migo Vmos fzer multilicção ds mtrizes ( or ) que estão loclizds à esquerd do sinl de iguldde. Multilicmos cd linh d mtriz de ordem el colun d mtriz de ordem ordendmente, elemento or elemento, somndo-se os rodutos em seguid. Aós, fzemos um iguldde de mtrizes, resultndo no sistem liner.
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I X X 0X 0X X X X 0X X 7 7 6 X X X X X X 7 7 6 Sistem liner O sistem liner tem como solução X = reis (reço do suco); X = reis (reço do snduíche) e X = reis (reço do quie), ou sej, solução do sistem liner cim é S {(,, )}. Utilizndo sistems, odemos resolver diversos rolems do nosso cotidino. Sistems lineres são, tmém, emregdos r resolver rolems comleos. Tis sistems são utilizdos n tomogrfi comutdorizd, onde feies de rio-x trvessm o coro e intensidde de síd do feie deende d ção comind ds regiões que ele trvess. Cd feie é como um ds coluns do sistem, e reunião d informção de vários feies ermitem cessr informção, em cd rte do interior do coro.. EQUAÇÃO LINEAR: É um equção d form..., onde i (i,,...n) n n são os coeficientes (reis ou comleos), i (i,,...n) são s incógnits e é o termo indeendente. Eemlos de equções lineres: y 7z 0 7 5 w t 5g 0 A solução de um equção liner é dd elo conjunto de vlores que, o serem sustituídos ns incógnits, chegm um iguldde verddeir. Por eemlo, equção y z 5 resent como solução,y,z, um vez que 5. Os vlores,y,z tmém verificm equção. Pode-se, então, firmr que eistem infinits soluções (um número infinito de termos ordendos (,y,z)) que stisfzem equção dd.
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Qundo o termo indeendente for igul zero, equção liner denominse equção liner homogêne. Oservmos que um equção liner não resent termos d form, y, ou sej, cd termo d equção tem um únic incógnit, cujo eoente é semre igul à unidde (). Dus equções lineres são equivlentes, qundo têm s mesms soluções em um mesmo conjunto universo.. DEFINIÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: Um sistem de equções lineres ou sistem liner é um conjunto comosto or dus ou mis equções lineres. Um sistem liner de n equções e incógnits ode ser reresentdo d seguinte form: n n n n............... n n n n nn n n n n n n, (I) Sistem Liner onde (i,,,..., n)(j,,,..., n) são os coeficientes, i (i,,,..., n) os ij termos indeendentes e i (i,,,..., n) são s incógnits.. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR: Podemos reresentr um sistem liner n form mtricil, como no eemlo inicil:
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I 5 n 5 n 5 nn n5 n n n n 5n 55 5 5 5 5 n 5 n 5 n 5 n 5... (II) Mtriz ds incógnits Mtriz dos termos indeendentes Mtriz dos coeficientes
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Pr reresentrmos um sistem liner n form (I), rtir d form mtricil (II), relizmos dus oerções com s mtrizes que recem n form (II). Primeirmente, efetumos multilicção entre s mtrizes dos coeficientes (A) e mtriz ds incógnits (X) e, osteriormente, relizmos iguldde entre s mtrizes do roduto e dos termos indeendentes (B). Em notção simlificd, form mtricil é dd or A X B. 5. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: Chmmos de solução de um sistem liner o conjunto ordendo de números reis,,,,,, que, colocdos resectivmente nos 5 6, n lugres ds incógnits, fzem com que tods s equções lineres fiquem verddeirs (isto é, igulddes numérics). y Eemlo: O sistem liner y como solução. Nesse cso, solução é únic. tem o conjunto S, Um sistem liner ode ter um únic solução, infinits soluções ou não ter solução. Qundo o sistem liner é homogêneo, isto é, o termo indeendente de tods s equções for nulo, e solução é ( 0,0,0 ), dizemos que solução é trivil. Cso o sistem dmit outr solução em que s incógnits não são tods nuls, solução é chmd de solução não trivil. 6. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES: Dois sistems são equivlentes se dmitem o mesmo conjunto solução. Eemlo: Ddo um sistem liner, o seu conjunto solução ode ser igulmente determindo or inúmeros outros sistems de equções. Verificr se os seguintes sistems são equivlentes: () y 5 y 7 e 6
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I () 5y y 9 Resolvendo o sistem (), isolndo vriável (incógnit) n segund equção, otemos: 7 y e sustituindo n rimeir, temos (7 y) y 5 y 9 y e, então, solução do sistem () é S {(, )}. Resolvendo o sistem (): d rimeir equção temos que 5y e sustituindo n segund, otemos (5y ) y 9 y y e, então, solução do sistem () é S {(, )}. Logo, como os dois sistems dmitem mesm solução, eles são equivlentes. Os sistems ) 0 ; ) 0 ; c) 7 8, são sistems equivlentes, ou sej, todos têm o mesmo conjunto solução S {(, )}. 7. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: Os sistems lineres são clssificdos qunto o número de soluções que resentm. Se o sistem liner tiver elo menos um solução, dizemos que ele é ossível ou comtível, cso contrário, qundo o sistem não tem solução, dizemos que ele é imossível ou incomtível. O sistem ossível é determindo, qundo ele tem um únic solução e é indetermindo, qundo ele tem mis de um solução. O esquem seguir mostr clssificção de um sistem liner: 7
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Sistem Liner Possível (dmite solução) Imossível (SI - não tem solução) Determindo (SPD - solução únic) Indetermindo (SPI -infinits soluções) 7.. Sistem Possível e Determindo- SPD Um sistem liner é ossível e determindo qundo dmite um únic solução.. y Eemlo: y Isolndo n segund equção, ficmos com sustituí-lo n rimeir equção, otemos o resultdo: 6 y y 0y 6 0y y 0 5 y y y. Deois, o Sustituindo o vlor de y n rimeir equção, oteremos: 5 5 8 6 5 8
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I logo, o r ordendo que corresonde à solução do sistem é 6,. Est é 5 únic, o que o crcteriz como um sistem liner ossível e determindo - SPD. Sendo ssim: y y.6. 5 6. 5 8 8, ortnto, s sentençs são verddeirs. 6 6 8 5 6 5 8 5 6 5 Verific-se que os coeficientes ds mesms incógnits, ns dus equções, não são roorcionis. Em outrs lvrs, é o trilo de e é metde de, ou... 7.. Sistem Possível e Indetermindo (SPI) Um sistem é ossível e indetermindo qundo s dus equções forem totlmente roorcionis, ou sej, equivlentes. Eemlo: y (I) 6 y (II) As dus equções são totlmente equivlentes. Isto ode ser oservdo o vermos que 6 está r, ssim como está r, ssim como está r :. Além disso, se resolvermos o sistem or sustituição, 6 teremos, o isolr y em (I), y e, o sustituí-lo em (II), oteremos como resultdo: 6 6 6 logo, odemos erceer que o sistem dmite infinits soluções. 9
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I DICA: Qundo clculmos o determinnte d mtriz do sistem, no cso, 6, este result em:. 6. 6 6 0. Sendo ssim, o determinnte não nulo indic que o sistem é determindo. Entretnto, se o determinnte for nulo, restrão dus ossiiliddes: SPI e SI. Então, seremos clssificá-lo, se eminrmos os termos indeendentes. No SPI, os termos indeendentes são totlmente roorcionis, já no SI não, como veremos seguir. 7.. Sistem Imossível (SI) Um sistem é imossível qundo s dus equções tiverem ens os coeficientes ds mesms incógnits em ms s equções roorcionis e qundo os termos indeendentes não estiverem n mesm roorção. Eemlo: 6y 5 (I) 9y (II) Os coeficientes ds mesms incógnits, ns dus equções, são roorcionis, ms os termos indeendentes não. Em outrs lvrs, está r, ssim como está r 9, orém não como 5 está r. 6 5. Além disso, se resolvermos o sistem or sustituição, teremos, 9 o isolr y em (I): 6y 5 5 y 6 e, o sustituí-lo em (II), teremos: 0
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I 5 9 6 8 5 6 8 5 6 8 8 5 6 6 5 6 logo, o sistem é imossível e não tem solução. 8. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: 8.. Por dição e sustituição: Podemos resolver um sistem liner or sustituição, ou sej, qundo isolmos um incógnit em um equção e sustituímos mesm n outr equção, conforme mostr o eemlo io: y Eemlo : Ddo o sistem, determine su solução: 5 y Isolndo incógnit n rimeir equção y e sustituindo- n segund, otemos: 5( y) y, então 8y e y / 8. Sendo o vlor de y, encontrmos o de, ( /8) (8 )/8 /8 7 / 9. Assim, o conjunto solução do sistem é S {(7 / 9, /8)}. Agor, resolvendo o mesmo sistem or dição: y 5 y ( 5) 5 0y 5 5 y somndo s dus equções, otemos o vlor d incógnit y, 8y y / 8, que sustituído, em qulquer um ds equções, fornece o vlor de, y ( /8) (8 )/8 /8 7 / 9 e determindo, ois só dmite solução S {(7 / 9, /8)}., logo, o sistem é ossível
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I OBSERVAÇÂO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem ossível e determindo mostrdo cim, reresentm dus rets no lno crtesino que se intercetm (se cruzm) no onto (7/9,-/8). y 0 Eemlo: O sistem é ossível e indetermindo, ois y 0 y ns dus equções e dmite como solução: ( 0,0);(,);( 0, 0);(, ) etc. Novmente, frismos que todo sistem liner homogêneo é ossível, ois semre dmite solução trivil (0,0). OBSERVAÇÂO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem ossível e indetermindo mostrdo cim, reresentm rets rlels soreosts no lno crtesino, logo, eistem infinitos ontos que stisfzem ms s equções (ontos que ertencem ms s rets). y Eemlo : O sistem é um sistem imossível, ois não é ossível y encontrrmos dois números reis, cuj som sej e o mesmo temo. OBSERVAÇÂO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem imossível mostrdo cim, reresentm rets rlels (não soreosts) no lno crtesino, logo, não eistem ontos que ertençm às dus rets. 9. REGRA DE CRAMER: A regr de Crmer (Griel Crmer, mtemático e strônomo suíço (70-75) ) é emregd r resolver um sistem liner, em que o número de equções é igul o número de incógnits. Ddo o sistem, com três equções lineres e três incógnits, X Y Z X Y Z X Y Z ou n reresentção Mtriz Dos coeficientes Mtriz ds incógnits Mtriz dos termos indeendetes
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I mtricil X Y Z, determine su solução: Podemos resolver o sistem cim, emregndo técnic de sustituição ou dição de equções lineres, ms um form rátic de resolver um sistem, ou mior é utilizndo Regr de Crmer. A Regr de Crmer consiste em : ) Clculr o determinnte d mtriz dos coeficientes (r isso, emregmos regr de Srrus ou de Llce), simolicmente indicdo or D ; ) Clculr os determinntes D,Dy e Dz que se otém de D, sustituindo, resectivmente, colun (dos coeficientes de X), colun (dos coeficientes de Y) e colun (dos coeficientes de Z) el colun dos termos indeendentes, ou sej, z D. D, y D e ) Clculr s incógnits fzendo: D X, D Dy Y e D D Z D z, desde que D 0.
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Eemlo: Resolver o sistem 5 0 0 Cálculo do determinnte d mtriz dos coeficientes. A 5 det(a) D Cálculo do determinnte ds incógnits. 0 A 0 5 det(a) D 0 A 0 5 det(a ) D 0 A 0 det(a ) D 0 Cálculo ds incógnits. D D D 0, e 0, logo, o D D D sistem é ossível e determindo e tem solução S {(,,0 )}. 9.. A discussão de um sistem utilizndo Regr de Crmer: Discutir um sistem liner é ser se ele é ossível e determindo, ossível e indetermindo ou imossível. Então: Se D 0, o sistem é ossível e determindo;
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Se D 0 e D D D 0, o sistem é ossível e indetermindo; y z imossível. Se D 0 e elo menos um D n 0 (n =, y, z,...), o sistem é A Regr de Crmer é utilizd r resolver qulquer sistem, onde o número de equções (m) é igul o número de incógnits (n). Eemlo: Um cert escol de ensino médio tem 07 lunos, ns s e s séries, 7, ns s e s séries e 9, ns s e s séries. Qul o totl de lunos dess escol? Fzendo X= número de lunos n série, Y= número de lunos n série e Z =número de lunos n série, temos o sistem: X Y Y Z X Z 07 7, resolvendo el Regr de Crmer otemos: 0, 9 D 0 0 D 07 0 07 0 07 7, 0 7 90 e 0 7 58. D y 9 0 9 0 9 D z D D y 90 Dz 58 Logo: X 6, Y 5 e Z 9 D D D O totl de lunos d escol é igul X+Y+Z=6 lunos. O sistem cim é ossível e determindo. Eemlo: Discut o sistem X my X Y Resolução: Clculndo os determinntes: D m m, m D m e D y 5
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I fzendo: 0 m 0 m D D 0 m 0 m Resost: Pr que o sistem sej imossível m (D 0), r que sej ossível e determindo m (D 0), e não eiste um m tl que D D 0 ( m e m, resectivmente). A Regr de Crmer, emor simles n resolução de sistems de dus equções e dus incógnits ou três equções e três incógnits, não é recomendável sistems miores, dd comleidde dos cálculos envolvidos (or eemlo, um sistem qutro equções e qutro incógnits demndri o cálculo do cinco determinntes de qurt ordem). O método do esclonmento, que veremos seguir, é oercionlmente mis simles e é mis fácil de ser rogrmdo em comutdores. 0. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA: O método do esclonmento foi desenvolvido elo mtemático lemão Crl Friedrich Guss (777-855) e osteriormente foi erfeiçodo or Wilhem Jordn (8-899). Eemlos de sistems esclondos: y y y z 5y z z 7 y 5z t y 8z t, z t 0 t 8 O sistem y z 0 y 5z y z 0 não está n form esclond. 0.. Oerções elementres: Antes de começrmos esclonr um sistem liner, vmos ver três tios de oerções elementres, que odem ser relizds sore um sistem liner 6
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I de equções de form trnsformá-lo em um outro sistem equivlente mis simles que o nterior. N seqüênci, trlhremos com um eemlo r mostrr como funcionm esss oerções.. Permutção: trocr de lugr dus equções do sistem não lter solução do sistem; Trocr Linh com Linh y z y z 0 y 5z 9 y 5z 9 y z 0 y z. Multilicção: Sustituir um ds equções or um múltilo não nulo del mesm, não lter solução do sistem: Multilicr Linh elo número y z y z 0 y 5z 9 6y z 6 y z 0 y 5z 9. Adição: A dição de dus equções do sistem tmém não lter o conjunto solução: Adicionr Linh com Linh y z y z 0 y 5z 9 6y z 6 y z 0 6 y z 9 Cd um ds três oerções cim é chmd de oerção elementr. Assim, ddo um sistem liner, todo sistem otido rtir dele, or meio de um seqüênci finit de oerções elementres, é dito um sistem equivlente o sistem ddo. Vimos, nteriormente, que sistems equivlentes ossuem o mesmo conjunto solução. 0.. Resolução de sistems lineres or esclonmento: 7
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I Bsicmente, há dois tios de sistems esclondos considerr: A) Primeiro tio: onde número de equções é igul o número de incógnits. Nesse cso, o sistem é determindo. B) Segundo tio: onde o número de equções é menor que o de incógnits. Nesse cso, o sistem é indetermindo. Pssos do método do esclonmento: Primeiro sso: Anulr os coeficientes d incógnit, d equção em dinte. Cso não sej, tornr o coeficiente d incógnit igul. Segundo sso: Deir de ldo equção e reetir o rimeiro sso com os coeficientes d róim incógnit, que tenh coeficiente diferente de zero, ns equções remnescentes (que sorm). Terceiro sso: Deir de ldo s dus rimeirs equções e reetir o rimeiro sso com os coeficientes d róim incógnit, que tenh coeficiente diferente de zero, ns equções remnescentes. Os róimos ssos são nálogos e devem ser seguidos, té que o sistem fique esclondo. Eemlo : Resolver o sistem y z 5 y z 8 y z 7 or esclonmento. Esse sistem é do rimeiro tio, ou sej, o número de equções é igul o número de incógnits. O coeficiente d incógnit é. Começmos multilicndo rimeir equção or (-) e dicionndo o resultdo à segund equção. Deois, multilicmos rimeir equção or (-) e dicionmos y z 5 terceir equção. Otemos o sistem equivlente 5y 6z. Dess 9y z 8 8
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I form, nulmos os coeficientes d incógnit, d equção em dinte (Primeiro Psso). Multilicndo segund equção or (-/5), otemos y z 5 6 y z, gor, 5 5 9y z 8 multilicndo segund equção or (9) e dicionndo o resultdo à terceir equção, otemos: y z 5 6 y z 5 5 z 5 5. Pronto!!! O sistem está esclondo. Rest, gor, resolvê-lo. D terceir equção, tirmos que z. Sustituindo 6 n segund, otemos o vlor de y, y () y. Sustituindo y e z 5 5 n rimeir equção, otemos: ( ) () 5. O sistem é ossível e determindo e tem como solução (,, ). Eemlo: Sej o sistem y z y z 0, vmos escloná-lo: y 7z 8 y z y z y z 0 e, somndo segund, temos y z, y 7z 8 y 7z 8 sustituímos, então, equção el som del com rimeir multilicd or (-). y z y z y 7z 8 e, somndo terceir, temos y z y z, 5y 5z 0 9
Mtemátic Básic r Ciêncis Sociis I sustituímos, então, equção el som del com rimeir multilicd or (-). y z y z 5y 5z 0 e, somndo terceir, otemos y z y z, 0y 0z 0 Como últim equção é stisfeit r quisquer vlores de, y e z, el ode ser surimid do sistem. Assim, otemos o seguinte sistem esclondo, onde o número de incógnits é mior do que o número de equções e, ortnto, indetermindo. Admite infinits soluções. y z y z OBSERVAÇÂO: Se durnte o esclonmento, ocorrer um equção do tio 0 0y com 0, então, o sistem será imossível. 0