Aluno(a): Educador: PEDRO EDUARDO MENDES Componente Curricular: Ano/Turma: 9º Ano ( ) A ( ) B ( ) C Turno: ( ) Matutino Data: / /18

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1 Aluno(a): Educador: PEDRO EDUARDO MENDES Componente Curricular: Ano/Turma: 9º Ano ( ) A ( ) B ( ) C Turno: ( ) Matutino Data: / /18 FUNÇÃO DO 1º E DO 2º GRAU f(x) = ax + b e f(x) = ax 2 + bx + c Explorando intuitivamente a noção de função do 1º grau. A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. O perímetro de um quadrado é a soma dos lados da figura. Se um quadrado tem seu lado medida l, logo a soma é: P = l + l + l + l P = l Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado corresponde um único valor para o perímetro. Perímetro é igual a quatro vezes o valor do lado como o exemplo: P = l + l + l + l => P = l Como P = l que é lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função. Nessa função, o perímetro, como dependente da medida do lado, é a variável dependente, e a medida do lado, escolhido arbitrariamente, é chamada de variável independente. Exemplo: Em um rodovia, um carro mantém sua velocidade constante de 90 Km/h. Veja a tabela que relaciona o tempo t ( em horas) e a distância d (em quilômetros):

2 Observe que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do intervalo de tempo. A cada intervalo de tempo considerado corresponde um único valor para distância percorrida. Dizemos então, que a distância percorrida é a função do tempo logo a lei de formação é: f(x) = 90 d ou y = 90 d Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm²). A = l l => A = l 2 f(x) = x x => f(x) = x² y = x x = > y = x² f( x) = x² f( x) = x² f( x) = x² f( x) = x² f( x) = x² f( 1) = 1² f( 3) = 3² f( ) = ² f( 5,5) = (5,5)² f( 10) = 10² f( 1) = 1 f( 3) = 9 f( ) = 16 f( 5,5) = 30,25 f( 10) = 100 ou y = x² y = x² y = x² y = x² y = x² y = 1² y = 1 y = 3² y = 9 y = ² y = 16 y = (5,5)² y = 30,25 y = 10² y = 100 A noção de função via conjuntos: Vamos, agora, estudar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere os exemplos a seguir: 1) Observe os conjuntos A e B relacionados as seguinte forma: Os elementos de A que estão relacionados com elementos de B. Dados os conjunto: A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 8, 6 3, 0, 3, 6}

3 Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B. f( x) = 3x f( x) = 3x f( x) = 3x f( x) = 3x f( x) = 3x f( 2) = 3 ( 2) f( 1) = 3 ( 1) f(0) = 3 (0) f(1) = 3 (1) f(2) = 3 (2) f( 2) = 6 f( 1) = 3 f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = 6 Ou y = 3x y = 3x y = 3x y = 3x y = 3x y = 3 ( 2) y = 3 ( 1) y = 3 (0) y = 3 (1) y = 3 (2) y = 6 y = 3 y = 1 y = 6 Note que: Todos os elementos de A têm correspondente em B; A cada elemento de A correspondente há um único elemento de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, que foi expressa pela equação y = 3x ou pela fórmula f(x) = 3x 2) Dados dois conjuntos : A = { 0,} B = {2, 3, 5} Quando relacionamos os elemento de A e B da seguinte forma: Cada elemento de A > B ou ( Cada elemento de A é menor do que um elemento de B). a < B 0 < 2 0 < 3 0 < 5 a > B > 2 > 3 < 5

4 3) Dados os conjuntos: A = {, 2, 0, 2, } B = {0, 2,, 6, 8} Quando associamos os elementos de A aos elementos iguais aos de B pela fórmula f(x) = x ou lei de formação y = x. f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( ) = ( ) f( 2) = ( 2) f(0) = (0) f(2) = (2) f() = () f( ) = f( 2) = 2 f(0) = 0 f(2) = 2 f() = Ou y = x y = x y = x y = x y = x y = ( ) y = ( 2) y = (0) y = (2) y = () y = y = 2 y =2 y = Observe que há elementos em A (os elementos e 2) que não tem correspondente em B. Nesse caso não temos uma função de A em B. ) Dados os conjuntos: A = { 2, 1, 0,1, 2} B = {0,1,, 8, 16} Quando correspondemos os elementos de A aos elementos B pela fórmula f(x) = x ou lei de formação y = x. f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( x) = x f( 2) = ( 2) f( 1) = ( 1) f(0) = (0) f(1) = (1) f(2) = (2) f( 2) = 16 f( 1) = 1 f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = 16 Ou

5 y = x y = x y = x y = x y = x y = ( 2) y = ( 1) y = (0) y = (1) y = (2)² y = 16 y = 1 y =1 y =16 Todos os elementos de A têm correspondente em B; Cada elemento de A corresponde há um único elemento de B. Assim, a correspondência expressa pela fórmula f(x) = x ou pela lei de formação = x é uma função Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento de x A a um único elemento de y B. Usamos a seguinte notação: Domínio, Contradomínio e conjunto imagem. Dada uma Função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função f(d), para cada x A, o elemento y B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x A,e o representamos por f(x) que se lê (f de x) assim, f(x) = x que é o mesmo que y = x logo f(x) = y. O conjunto do todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f)

6 Dizemos que f: A B é definida por f(x) = 2x ou por y = 2x. A indicação f(x) = 2x ou por y = 2x significa que x é transformado pela função f em 2x. Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: O domínio (A); O contradomínio(b); e uma regra que associada cada elemento de(a) a um único elemento de y = f(x) de B Nesse exemplo: O domínio da função conjunto A = {0, 1, 2, 3}, O contradomínio da função B = {0, 1, 2, 3,, 5, 6}, a regra é dada por y = 2x, O conjunto imagem é dado por Im(f) = {0, 2,, 6} Devemos associar cada elemento de A ao seu dobro em B. f( x) = 2x f( x) = 2x f( x) = 2x f( x) = 2x f(0) = 2 0 f(1) = 2 (1) f(2) = 2 2 f(3) = 2 3 f(0) = 0 f(1) = 2 f(2) = f(3) = 6 Ou y = 2x y = 2x y = 2x y = 2x y = 2 (0) y = 2 (1) y = 2 (2) y = 2 (3) y = 2 y = y = 3 Exemplos: 1) Numa indústria, custo operacional de uma mercadoria é composta de um custo fixo de R$ 300,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto, o custo operacional, que representamos por y, é dado em função do número de unidade fabricadas, que representamos por x. a função que que representa essa sentença matemática ou a lei de formação é f(x) = 300,00 + 0,50x ou y 300,00 + 0,50x. Qual é o custo operacional se essa empresa fabricar mil unidades.

7 f(x) = 300,00 + 0,50x f(1000) = 300,00 + 0, f(1000) = 300, f(1000) = 800,00 Ou y = 300,00 + 0,50x y = 300,00 + 0, y = 300, y = 800,00 2) Uma loja especializada em concertos de máquina de lavar roupas, cobra uma taxa fixa de R$ 25,00 pela visita do técnico, mais R$ 10,00, por hora, de mão de obra. Logo o preço y que se paga pelo concerto e dado pela lei de formação y = R$ 25, ,00x ou pela função f(x) = R$ 25, ,00x, nessas condições: a) Qual é o valor paga por uma pessoa que teve o conserto de sua máquina de lavar em quarto horas? f(x) = R$ 25, ,00x f() = R$ 25, ,00 f() = R$ 25,00 + 0,00 f() = R$ 65,00 y = R$ 25, ,00x y = R$ 25, ,00 y = R$ 25,00 + 0,00 y = R$ 65,00 3) Uma função polinomial do 1 grau é definida por y = 5x + 3. Nessas condições, determine a imagem do número 2 por essa função. y = 5x + 3 y = 5( 2) + 3 y = y = 7 ) Dada a função f(x) = x +, determine o número real x cuja (sendo) sua imagem por essa função é zero. f(x) = x + f(x) = 0 0 = x + 0 = x 1 = x = x 5) Sabendo que perímetro é a soma das medidas das arestas que contorna um polígono regular, e que pode ser representado por y de um quadrilátero regular e dado em função da medida x da aresta, função f(x) = x ou lei de formação definida por y = x. Nessas condições a) Calcule a imagem quando o domino for :{ 5 cm, 7,2 cm, 11 cm, 20,5 cm}

8 y = x y = 5 y = 20 y = x y = 7,2 y = 28,8 y = x y = 11 y = y = x y = 20,5 y = 82 ou f(x) = x f(5) = 5 f(5) = 20 f(x) = x f(7,2) = 7,2 f(7,2) = 28,8 f(x) = x f(11) = 11 f(11) = f(x) = x f(20,5) = 20,5 f(20,5) = 82 5) O senhor Hermanoteu que é responsável pelo departamento de promoção da loja XBOXPARAÍBA, verificou que quanto mais a loja anunciava na mídia digital, mais a loja vendia. Logo, a venda era dada em função dos anúncios feitos na mídia digital. Após estudos, verificou-se que essa função era feita pela lei y = 3x , em que y era a quantidade de mercadoria vendidas na semana e x, o número de comerciais da mídia digital durante a mesma semana. Com base nessas condições: a) Quantas mercadorias essa loja vendeu durante a semana em que o comercial apareceu 2 duas vezes? y = 3x y = y = b) Quantas vezes o comercial da loja XBOXPARAÍBA apareceu na mídia digital durante a semana em que a loja vendeu 20 mercadorias? y = y = 21 y = 3x y = = 3x = 3x = 3x 2 90 = 3x = 3x 180 = 3x = x 60 = x 6) Considere a função dada por y = 1 x números reais: 2 e determine a imagem por essa função de cada um dos seguintes

9 a) 0 b) c) 8 y = 1 x 2 y = y = 2 2 y = 1 x 2 y = 1 y = 2 y = 1 2 y = 1 2 y = 1 x 2 y = 1 ( 8) y = 8 2 y = 2 2 y = 2 7) Descubra o número real x cuja imagem pela função definida por y = 1 9x é: a) 19 y = 1 9x b) 0,1 y = = 1 9x 19 1 = 9x 18 = 9x 18 9 = x 2 = x y = 1 9x,1 0,1 = 1 9x 0,1 1 = 9x 0,9 = 9x = x 0,1 = x 8) Em um retângulo, a largura é 72 cm, e o comprimento é x cm. Se você indicar o perímetro desse retângulo por y, esse perímetro será definido pela função dada por y = 2x + 1. Nessas condições, responda: a) Qual é o perímetro desse retângulo, se o comprimento é de 102 cm? y = 2x + 1 y = y = y = 38 b) Qual será o comprimento desse retângulo quando o períimetro for 02 cm? y = 2x = 2x = 2x = 2x 258 = 2x = x 129 = x

10 9) A renda de bilro O artesanato brasileiro surgiu com os índios, na pintura com pigmentos naturais, na cestaria, na cerâmica, na arte plumária, quando confeccionavam peças de vestuários e ornamentos feitos com plumas de aves. Um dos mais ricos do mundo, o artesanato brasileiro revela não só usos costumes, tradições e caraterísticas de cada região do Brasil, mas também mostra influências sofridas por outros povos, como a confecção da renda de bilro que teve origem na Bélgica, se espalhou pela Europa e foi trazida ao Brasil pelos portugueses açorianos, quando se instalavam no litoral de Santa Catarina, principalmente na região de Florianópolis. As artesãs e os artesãos brasileiros são bastantes criativos e habilidosos ao utilizarem matérias muito diversificados para produzir peças artísticas, quando o artesanato se confunde com a arte, ou utilitárias, muitas vezes visando o sustento de sua família. A tapeçaria artesanal Dos motivos geométricos aos florais, os tapetes artesanais brasileiros exibem uma variedade de cores, motivos, pontos, artigos e tamanhos, de acordo com as funções a que estão destinados. Em maio de 2010, uma empresa do Ceará puplicou na internet ( Aproveite! Só R$ 275,00) a oferta da imagem. Naquela data, um comerciante de São Paulo encomendou várias peças do anúncio, que foram enviados pelos coreios, que cobram R$ 50,00 pelo envio das encomendas. Chamando de x a quantidade de toalhas encomendadas e de y a despesa que esse comerciante teve ao adquiri essa encomenda, detetermine: a) A lei de formação da função que descreve a depedência da despesa total com o número de teolhas encomendadas. y = R$ 275,00x + R$ 50,00 b) O número de toalhas encomendadas, sabendo que o comerciante paulista gastou R$ 3 350,00 nessatransação. y = R$ 275,00x + R$ 50,00 y = R$ 3 350,00 R$3 3350,00 = R$ 275,00x + R$ 50,00 R$3 3350,00 R$ 50,00 = R$ 275,00x R$3 3300,00 = R$ 275,00x R$3 3300,00 = R$ 275,00x R$3300,00 R$ = x = x

11 10) A venda dos tapetes produzidos por um artesão no primeiro semestre deste ano teve desenpenho representado no gráfico ao lado. Se no final do 1º mês o artesão teve um lucro de R$ 330,00 rreais, responda de acordo como gráfico: a) Em que periódo esse artesão não teve lucro nem prejuíso de acordo com a lei de firmação y = 110x + 0? y = 110x = 110x = 110x = 110x = x = x b) A sentença matemática que relaciona a variação do lucro/prejuíso comi número de meses decorridos é dada por y = 110x + 0. Ao final do 6º mês do artesão teve lucro ou prejuíso? Qual foi o lucro? Dequanto foi o prejuíso? y = 110x + 0 y = y = y = ) Determine os valores reais de x para os quais o volume do paralelepípedo retângulo da figura é maior que 20. v = x 2 (x + 3) v = 2x (x + 3) v = 2x x + 2x 3 v = 2x x v = 2x 2 + 6x 2x 2 + 6x > 20 2x 2 + 6x 20 > 0 = ( 20) = = 196 x = 6 ± x = 6 ± 1 x = x " = 6 1 = 8 = 2 = 20 = 5 Logo, o volume do paralelepípedo retângulo é maior que 20 para x > 2 12) A tarifa de uma corrida de táxi é composta de duas partes: uma parte fixa, chamada bandeirada, e uma parte correspondente ao número de quilômetros que o táxi percorre. No táxi do Bruno a parte fixa ou bandeirada corresponde a R$ 2,00, e o preço do quilômetro percorrido é de R$ 0,53. Sendo y o preço a pagar pela corrida e x o número de quilômetros percorridos, a tarifa final passa a ser definida pela função

12 13) y = 2 + 0,53x. Nessas condições: a) Quanto custará uma corrida de 16 km no táxi do Bruno. y = 2 + 0,53x y = 2 + 0,53 16 y = 2 + 8,8 y = 10,8 b) Quantos quilômetros Bruno percorreu com o seu táxi, em uma corrida de R$ 8,36? y = 2,00 + 0,53x 8,36 y = 8,36 2,00 = 0,53x 8,36 = 2,00 + 0,53x 8,36 2,00 = 0,53x 6,36 = 0,53x 6,36 0,53 = x 12 = x 6,36 = 0,53x 1) Dada a função y = x² 15x + 26, determine a imagem do número real 10 por essa função. y = x 2 15x + 26 y = y = y = y = 2 15) A imagem do gráfico mostra a função y = x 3. Nessas condições responda: a) Para qual valor real de x temos? y = x 3 0 = x 3 3 = x 16) A imagem do gráfico mostra a função y = x + 2. Nessas condições responda: a) Para qual valor real de x temos? y = x = x + 2 x = 2 A educação tem raízes amargas, mas os seus frutos são doces. Aristóteles