Análise de modelos e metodologias lineares e nebulosos para a estimativa de produtividade da cana-de-açúcar.

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1 Análse de modelos e metodologas lneaes e nebulosos aa a estmatva de odutvdade da cana-de-açúca Andé P de Godo, Glma Baeto, Fábo C da Slva 3 Abstact he ncease of suga exotatons and of ntenatonal and natonal demand of ethanol had desgnated to the sugacane co a ve motant assgnment n the natonal econom and n enegetc lan of Bazl Howeve the oducton of sugacane s lmted to the sugacane ndust caact, n cetan egons of count So ae necessa exact oducton estmatons, to lan of suga ndust In that wa, exst the need of mathematcal models that allow an exact estmatve of eld hs wok esents a model to sugacane oducton theefoe ovde to sugacane ndust secto a exact comutatonal tool, caable of edct sugacane co eld he develoed model s a altenatve to the Austalan model QCANE Comutatonal smulatons had been done, and ae esented, showng the model efomance Index ems Modelng, QCANE, Fuzz Models and sugacane INRODUÇÃO A cana-de-açúca tem assumdo um ael muto motante na economa baslea devdo às exotações de açúca e a odução do etanol O etanol, ecentemente, vem se destacando no cenáo ntenaconal com uma altenatva enegétca aos combustíves líqudos devados de etóleo devdo a duas azões: eços cescentes do etóleo e efeto estufa Assm, o etanol aesenta-se como o ossível futuo dos combustíves líqudos o se enovável, lmo e não se geogafcamente monoolsta O Basl tem uma longa tadção como oduto de cana-de-açúca Incalmente voltada aa a odução de açúca e a at de 97, atavés do ó-álcool, aesentou uma fote exansão na odução deste combustível Atualmente, ela fote demanda de combustíves, ela exansão do mecado mundal de açúca, e ela exansão das usnas a demanda ela odução de cana-de-açúca tem cescdo ncalmente no Estado de São Paulo Assm, alguns guos sucoalcooleos estão tabalhando óxmo de sua caacdade máxma de odução de cana-de-açúca, o que exge um mao go de lanejamento o ate das usnas Dento deste contexto este tabalho aesenta algumas metodologas aa a modelagem da odução de cana-deaçúca em comaação com uma metodologa aesentada na lteatua mostando os esultados de smulações comutaconas MAERIAIS E MÉODOS Na lteatua são aesentados váos modelos aa a smulação do desenvolvmento de cana-de-açúca No Basl destacam-se os autoes: [4], [] e [4][5]; e no exteo: [][7], [6] e [9][8] Os tabalhos de modelagem de canade-açúca dfeem ncalmente em elação a ofunddade da descção da lanta e na quantdade de vaáves ncooadas Contudo, os modelos desenvolvdos no exteo consdeam vaedades de cana-de-açúca da Austála e Áfca do Sul, e dessa foma odem não se váldos aa vaedades basleas Os modelos desenvolvdos no Basl aesentam ncalmente a acumulação de bomassa da lanta como um todo consdeando condções deas de manejo, ou seja, a odutvdade otencal Os modelos ntenaconas ncooam uma quantdade mao de ocessos bológcos descevendo as taxas de cescmento de cada comonente da lanta, dfeencando os cclos de cultvo (cana-lanta e cana-soca) e enalzam condções de odutvdade devdo à defcênca de água e ntogêno detemnando valoes óxmos à odutvdade eal A at dos tabalhos [8] e [9] defnmos uma metodologa e estutua de modelo aa as vaedades basleas de cana-de-açúca Este modelo fo escolhdo o te uma descção comleta dos ocessos de cescmento, o te a melho exatdão que os outos modelos, segundo [7], e o te o conjunto de dados de váas ates da canade-açúca A at do conjunto de dados ealzamos algumas análses aa ode detemna as vaáves mas elevantes consdeando ctéos lneaes Posteomente, detemnamos a melho estutua aa o modelo autoegessvo com entadas extenas ARX ( Auto-Regessve wth exogenous nuts ), e de ocessos, segundo [5] Fnalmente fo utlzado um algotmo de sstemas nebulosos, [] aa avala qual tea melho desemenho Andé P de Godo, Aluno de mestado do Deatamento de Máqunas, Comonentes e Sstemas Intelgentes -FEEC -UNICAMP, Cdade Unvestáa Zefeno Vaz, CP Camnas, SP, Basl, andeg@ dmcsfeeuncamb Glma Baeto, Pofesso Douto do Deatamento de Máqunas, Comonentes e Sstemas Intelgentes -FEEC -UNICAMP, Cdade Unvestáa Zefeno Vaz, CP Camnas, SP, Basl, gbaeto@dmcsfeeuncamb 3 Fábo C da Slva, Pesqusado da Embaa Infomátca Agoecuáa, Pofesso do FAEP /IA, Pós-doutoando no Deatamento de Podução Vegetal da ESALQ/USP, C Postal : 64, Cdade Unvestáa Zefeno Vaz, Camnas SP, Basl, fcesa@cntaembaab 7 ICECE Mach - 4, 7, São Paulo, BRAZIL Intenatonal Confeence on Engneeng and Comute Educaton 496

2 Nesta mea fase do estudo foam analsados aenas os conjuntos de dados consdeando o eso seco dos colmos da cana-de-açúca duante o desenvolvmento da lanta aa duas vaedades austalanas com comotamentos dstntos A mea, Q38, tem maoes concentações de fba e a segunda, Q4, aesenta maoes concentações de açúca Foam consdeadas que as duas vaedades de cana-deaçúca, Q37 e Q4, tveam o mesmo eíodo de desenvolvmento O tabalho buscou elaboa um modelo que abangesse as duas vaedades, sendo assm o mas geal ossível O foco ncal fo sobe os dados de colmo o seem a ate da lanta de mao nteesse comecal Análse de coelação As análses dos gáfcos de coelação auxlam na foma de detemna nas elações das vaáves de ocessos que comõem o sstema Paa se obte os seguntes gáfcos de coelação cuzada e de auto-coelação, alca-se as seguntes defnções: [ ( t) ( )] co( τ, t) = E u s t+ τ () onde u e s são as vaáves de entada e saída, esectvamente, E[] é a eseança matemátca, τ é o ataso, t é o temo Analsando algumas janelas (atasos), dento do eíodo total no qual se obteve os dados, nota-se mutas das vezes uma elação deta e evesa ente as vaáves Os gáfcos aesentados aesentam as fonteas do ntevalo de confança que fo de 95% ARX O modelo ARX da categoa de modelos que tem eo na equação Consdeando que um caso aa entadas e saídas a estutua do modelo é dada ela segunte exessão, = A k ) K A + B u( k ) K+ B nu sendo A R e B R = [ ( u( = [ u ( u e( = [ e ( e n k n u( k nu) + e( t) e ( K ( Ku ( Ke ( ] ( ] ( ] ) + onde u (, ( e e ( são os snas de entada, saída e o eo do modelo na foma dsceta Esta eesentação é aa sstemas MIMO ( Multles Inuts e Multles Oututs ) No entanto, os esultados obtdos ela análse da função de coelação detemnou-se uma estutua SISO ( Sngle Inut e Sngle Outut ) aa o () conjunto de vaáves tatadas até o momento Possvelmente, ao ntoduz outas vaáves, comonentes do colmo, a estutua mas adequada aa o modelo seja a multvaável O oblema da utlzação do modelo ARX multvaável é que o método de detemnação dos aâmetos A ofeece múltlas soluções ossíves [] O modelo de ocesso utlzado é aesentado em [] e fo utlzado neste tabalho aa efetos comaatvos, os é lmtado a sstemas SISO e o objetvo deste tabalho é gea um modelo que ncooe as vaáves de mao nteesse econômca da cana-de-açúca Sstemas Nebulosos O conceto da teoa de sstemas nebulosos ode se emegado na modelagem de sstemas de númeas maneas Neste tabalho estamos focados na eesentação de sstemas baseados em egas, onde as egas estabelecem elações ente as vaáves da foma: SE oosção antecedente ENÃO osção consequente (3) Deendendo de uma estutua atcula da oosção do conseqüente, tês tos de modelo odem se dstngudos em: modelo nebuloso lngüístco [], modelo nebuloso elaconal [3] e modelo nebuloso akag-sugeno (S) [8] Neste tabalho nos concentamos na estutua S, os esta estutua é aoada aa a aoxmação de uma amla classe de modelos não lneaes No modelo S, o conseqüente da ega são funções das entadas do modelo: R : Se x s A Então = f ( x), =,, K K (4), onde, x R são as vaáves de entada (antecedente) e R é a vaável de saída (conseqüente) R denota a - ésma ega, e K o númeo de egas na base A é o conjunto nebuloso do antecedente, defnda o uma função de etnênca: µ ( x ) : [,] (5) A A função do conseqüente f são tcamente escolhdas como assos de uma função aametzada aoada, cujo a estutua mantêm-se gual em todas egas e somente os aâmetos vaam A aametzação utlzada é a foma lnea afm, smles e átca: R = a x+ b, (6) onde a é o veto de aâmetos e b é um escala ajuste Este modelo é chamado de modelo S afm Os conseqüentes de um modelo nebuloso afm são helanos em O antecedente de cada ega defne uma egão de valdade + R 7 ICECE Mach - 4, 7, São Paulo, BRAZIL Intenatonal Confeence on Engneeng and Comute Educaton 497

3 nebulosa aa o coesondente modelo lnea afm O modelo global é comosto como a concatenação dos modelos locas No modelo nebuloso S, a nfeênca é eduzda a uma smles exessão algébca: 5 Ensao: cana-soca 8-Ago-99 5 Ensao: cana-lanta 9-Nov-99 = K = K β ( x) = β ( x) onde, β (x), que é o gau de eenchmento do antecedente denotado o β = (x) µ A Neste tabalho fo utlzada uma feamenta comutaconal, que utlzam a teoa básca acma e ncooa as feamentas comutaconas desenvolvdas o Babuska [] utlzando o softwae Matlab atamento dos dados Os dados dsoníves foam fonecdos o D De L Lu e foam utlzados aa como o atgo [9] Pode se obsevada neste tabalho a necessdade de gea uma cuva ajustada elo conjunto de dados aa ode comaa o desemenho do modelo aa smulação desenvolvdo Isto ocoe ao númeo lmtado de amostas que ode se obtdo de cada exemento, devdo ao ocesso de amostagem exemental Este ocesso é destutvo e leva a edução dos esécmes, assm um númeo muto elevado de amostas ode esulta na destução de todo exemento Assm, a amostagem é esasa ao longo do temo e no camo exemental A cuva ajustada emte sabe se o modelo segue a dnâmca da lanta, consdeando os lmtes de confança da cuva ajusta que consdeou uma magem de confança de 95% A cuva ajustada aos dados é necessáa, os: os esaços de temo ente as amostas deendem de vaáves clmátcas, sendo assm vaáves; a amostagem esta sujeta a vaabldades esacal dos dados, devendo então consdea uma magem de eo [5]; e o modelo objetva smula o comotamento dáo da lanta RESULADOS E DISCUSSÕES Nas análses ncas foam consdeadas as mesmas vaáves que em [8][9], que foma temeatua máxma, mínma e méda e adação sola Poém a análse de coelação ndcou que estas vaáves aesentavam uma faca nfluênca segundo os dados exementas obtdos Então fo consdeado o gau da acumulado (Cd ) segundo a fomulação de [3] com a temeatua base fxada em ( C) e obteve-se os gáfcos de coelação da Fgua, consdeando os dados aa a vaedade Q38 (7) Ensao: cana-lanta 4-Fev Ensao: cana-soca 3-Jun FIGURA GRÁFICOS DE ANALISE DE CORRELAÇÃO ENRE CD E O PSC PARA A VARIEDADE Q38 Posteomente alcou-se o modelo ARX utlzando o Cd e o eso seco de colmo ( ) aenas aa a vaedade Q38 Obtendo-se a fgua Nela ode se obsevado que o modelo ARX só consegue acomanha azoavelmente os dados que foam aesentados na fase de tenamento Ensao: cana-soca 8-Ago-99 (tenamento) Das Ensao: cana-lanta 3-Feb-993 (valdação) Das Ensao: cana-lanta 9-Nov-99 (tenamento) Cuva Ajustada Fontea sueo Fontea nfeo Das Ensao: cana-soca 3-Jun-993 (valdação) Das FIGURA MODELO ARX APLICADO AOS DADOS DOS ENSAIOS DA VARIEDADE Q38, OS DOIS GRÁFICOS DE CIMA PARA AJUSE E OS DE BAIXO PARA VALIDAÇÃO Na seqüênca fo utlzado o modelo nebuloso, segundo [], consdeando Cd e como vaáves de entada e saída esectvamente Atavés de tentatva e eo o melho modelo encontado fo utlzando 5 funções de etnênca aa a entada, geando o segunte os gáfcos aesentados na fgua 3 Paa comaação ente os dados foam calculados os eos de duas fomas dstntas: na mea se consdeou o eo quadátco médo da cuva estmada aa os ontos foa da egão do ntevalo de confança da cuva ajustada; na segunda detemnou-se o eo quadátco médo em elação à dstânca dos ontos estmados a cuva ajustada Os esultados estão aesentados na tabela I 7 ICECE Mach - 4, 7, São Paulo, BRAZIL Intenatonal Confeence on Engneeng and Comute Educaton 498

4 3 4 5 Ensao: cana-soca 8-Ago-99 (tenamento) Das Ensao: cana-lanta 4-Feb-993 (valdação) Ensao: cana-lanta 9-Nov-99 (tenamento) 6 5 Cuva ajustada Fontea sueo 4 Fontea nfeo Das Ensao: cana-soca 3-Jun-993 (valdação) ABELA II MODELO NEBULOSO REINADO COM OS DADOS SELECIONADOS A PARIR DA AUOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA Eo foa das fonteas Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4,,6 48, ,8 77,6 664,9 658,5 Méda 4, Das Das FIGURA 3 RESPOSAS MODELO DO NEBULOSO PARA AS MESMAS CONDIÇÕES DO MODELO ARX Utlzando a função de auto-coelação aa a cuva ajustada de aa os dados da vaedade Q38 fo obsevada que os ensaos e 4 (cana-soca: 8-Ago-99 e cana-soca 3-Jun-993) eesentam melho a dnâmca da cana-de-açúca do que os ensaos (cana-lanta 9-Nov-99 e cana-lanta 4-Fev-993) Então fo geado um novo sstema nebuloso tenado com estes conjuntos de dados e os eos foam aesentados na tabela II Pode se obsevado que os eos foam eduzdos Este esultado contaa o senso agonômco que consdea que as dnâmcas de cana-lanta e cana-soca são nomalmente dfeentes, assm um modelo devea leva em conta em seu ajuste dados de cclos de cana-soca e canalanta ABELA I ERROS OBIDOS A PARIR DO MODELO NEBULOSO E DO MODELOS ARX ARX Eo foa das fonteas Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4,4 8,8 775,9 97,8 37,5 86,6 35,5 34,7 Méda 457,5 763,6 Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4, 4,,4 83, , Méda 66,6 76 Os esultados do modelo nebuloso aesentaam-se sueoes aos do modelo ARX Po esta azão alcamos os dados dos ensaos e 3 da vaedade Q4, seleconados ela técnca da auto-coelação menconada acma, aa o ajuste do modelo nebuloso, aa vefca a caacdade de genealzação do modelo nebuloso aa as vaedades A tabela III aesenta os esultados dos eos encontados ABELA III MODELO NEBULOSO REINADO COM OS DADOS DAS DUAS VARIEDADES SELECIONADOS A PARIR DA AUOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA nebuloso Eo foa das fonteas VARIEDADE Q38 Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4,,,3 4,8 9,3 396,5 468,9 47,4 Méda 5,4 559, VARIEDADE Q4 Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4 37,3 6,4 575,7 44, 76, ,7 43 Méda 65,9 54,6 A at dos dados da tabela III odemos obseva que as cuvas aa a vaedade Q38 fcaam mas dento do ntevalo de confança, no entanto mas afastadas da cuvas ajustadas Paa a vaedade Q4 obseva-se que as cuvas tendeam a fca foa do ntevalo de confança, mas óxmas da cuva ajustada Isto se deve ao fato de que as cuvas ajustadas de Q4 ossuem um ntevalo de confança mas fechado, devdo à qualdade de ajuste da cuva aos dados Potanto, os eos dos esultados foam nfeoes ao do modelo ARX Os tabalhos de Lu, [8] e [9], ndcam que o conteúdo de fba na cana-de-açúca tem uma elação deta com o Avalamos a nclusão da cuva de acumulação de fba (F c ) como vaável de entada na edução de eo do modelo nebuloso Os esultados estão na tabela IV aesentando uma edução do eo quadátco médo dento do ntevalo de confança da cuva ajustada e em comaação com os dados da tabela III Assm, comova-se que a nclusão de F c aumenta a exatdão do modelo nebuloso Contudo sso ca um oblema adconal, uma vez que é necessáo então se estma um modelo aa F c consdeando os dados clmátcos dsoníves Isto aumenta comlexdade do oblema que não cabe neste tabalho, mas ndca um camnho aa a contnudade deste tabalho A vaável F c não fo alcada ao modelo ARX o dos motvos: o método de tentatva e eo é nefcente aa detemna uma boa estutua aa este modelo, uma vez que tem mas de uma solução ossível aa um dado conjunto de ajuste, além do temo comutaconal dsensado e ela sua 7 ICECE Mach - 4, 7, São Paulo, BRAZIL Intenatonal Confeence on Engneeng and Comute Educaton 499

5 nfeodade em elação ao modelo nebuloso aesentada nos esultados anteoes ABELA IV MODELO NEBULOSO REINADO COM OS DADOS DAS DUAS VARIEDADES SELECIONADOS A PARIR DA AUOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA nebuloso Eo foa das fonteas VARIEDADE Q38 Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4 6,8 44,4 4, ,3 7,4 83, Méda 48, 5 VARIEDADE Q4 Ensao Ensao Ensao 3 Ensao 4 78,9, 9,5 3,8 Méda 8, 84,6 Podemos ve na tabela IV que houve um aumento da aoxmação da cuva estmada com a cuva ajusta, aesa de alguns saltos foa do ntevalo de confança, mas de uma foma geal aumentou a qualdade de modelo CONCLUSÕES Pelos esultados comutaconas aesentados e elas análses aesentadas a função de coelação cuzada aesentou bons esultados aa a seleção de vaáves e do conjunto de dados Obseva-se que o modelo nebuloso obteve uma esosta mas acuada e o ajuste ealzado aa a vaedade Q38 aesentou uma esosta mas exata que o modelo ARX ajustado aa a vaedade Q4 O modelo nebuloso tatado neste tabalho consegue aoxma o comotamento das duas vaedades de cana-de-açúca Potanto, o modelo aesentado consegue eesenta o comotamento do desenvolvmento da cultua da cana-deaçúca aa duas vaedades dfeentes Na contnudade deste tabalho vamos exloa um sstema MIMO aa ncooa outas vaáves do comotamento da cana-de-açúca AGRADECIMENOS Gostaa de agadece a CAPES, elo aoo fnanceo e ao Pof D Gnalbe Luz Olvea Sea da Unvesdade de Santago do Chle o suas obsevações e comentáos [4] Babe, V Condconamento clmátco da odutvdade otencal da cana-de-açúca (Sacchaum s): um modelo matemátcofsológco de estmatva, ese de doutoado ESALQ/USP, 993, 4 [5] Dae, NR and H Smth, Aled Regesson Analss, 3d Ed, John Wle & Sons, New Yok, 998 [6] Inman-Bambe, NG A gowth model fo sugacane based on a smle cabon balance and CERES-Maze wate balance South Afcan Jounal of Plant and Sol, 99, Vol8, [7] Inman-Bambe, NGRobetson, MJ (ed) CANEGRO: Its hsto, concetual bass, esent and futue uses,reseach and Modellng Aoaches to Assess Sugacane Poducton Ootuntes and Contants, Unvest of Queensland, 995, 3-34 [8] Lu, D, Kngston, G Vaaton of suga and fbe comonentes od d matte n leaf, to and cane of sugacane, Poc Aust Soc Sug Cane echnol,n, 5, 993, [9] Lu, DL, Bull, A Smulaton of bomass and suga accumulaton n sugacane usng a ocess-based model, Ecologcal Modelng, N 44,, 8- [] Ljung, L, Kalath, (ed), Sstem Identfcaton - heo fo the Use, PR Pentce Hall Infomaton and Sstems Scences Sees, 999 [] Machado, E C Um modelo matemátco fsológco aa smla o acúmulo de matéa seca na cultua de cana-de-açúca (Sacchaum s), ese de mestado Insttuto de Bologa/UNICAMP, 98, 5 [] Mamdan, E, Alcaton of fuzz logc to axmate easonng usng lngustc sstems, Fuzz Sets and Sstems, 977, 6, 8-9 [3] Pedcz, W An dentfcaton algothm n fuzz elatonal sstems, Fuzz Sets and Sstems, 984, 3, [4] Peea, A R, Clmatc condtonng of floweng nducton n sugacane, Agcultual Meteoologcal, Amstedam, Vol 9,983, 3-9 [5] Peea, AR Balanço de cabono: uso de modelos e smulação, Anas do Sebag V, Paccaba, 987, 9-7 [6] O'Lea, GJ; Robetson, MJ; Muchow, RC, Huth, NI Modelng sugacane oducton sstems I Develoment and efomance of sugacane module, Feld Cos Reseach, 6, 999, 53-7 [7] O'Lea, GJ A evew of tee sugacane smulaton models wth esect to the edcton of sucose eld, Feld Cos Reseach, V 68,, 97- [8] akag, and Sugeno, M Fuzz dentfcaton of sstems and ts alcaton to modelng and contol, IEEE ans Sstems, Man and Cbenetcs, 985, N 5(), 6-3 REFERÊNCIAS [] Ague, LA, Moaes, AM (ed), Intodução à Identfcação de Sstemas - écncas Lneaes e Não-Lneaes Alcadas a Sstemas Reas, Edtoa UFMG, [] Babuska, R Fuzz Modelng fo Contol, Kluwe Academc Publshes, Boston, USA, 998 [3] Babe, V and Vlla Nova, N A Clmatologa e a cana-de-açúca, Planalsuca coodenadoa egonal sul COSUL Clmatologa, 977, - 7 ICECE Mach - 4, 7, São Paulo, BRAZIL Intenatonal Confeence on Engneeng and Comute Educaton 5