2 Sistemas de Inferência Fuzzy do Tipo 2

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1 Sstemas de Ineênca Fuzzy do To.. Intodução Conome vsto no caítuo anteo, deentes tos de ncetezas odem ocoe em sstemas de neênca uzzy (SIFs) usados em acações eas: uzzness, ste, nonseccty, aeatóas, ente outas. SIFs que usam conjuntos uzzy do to emtem que se de com estas ncetezas, aesentando desemenho geamente sueo nestes casos. Deentemente dos conjuntos uzzy do to, que ossuem duas dmensões, os conjuntos uzzy do to ossuem tês dmensões; essa nova tecea dmensão oocona um gau de bedade adcona. ém dsso, as unções de etnênca do to ncuem uma mancha de nceteza, de oma a tona ossíve a modeagem de ncetezas tanto numécas como ngüístcas [MEND00-I], [MEND0]. Este caítuo esume os ncas undamentos teócos que deam ogem ao novo Modeo Neuo-Fuzzy Heáquco BSP do To (NFHB-T) oosto nesta tese. Na mea ate deste caítuo seão aesentados os conjuntos uzzy do to e as suas ncas temnoogas; em seguda seão desctos aguns dos ncas Sstemas de Ineênca Fuzzy do to, assm denomnados oque azem uso destes conjuntos... Fundamentos de Conjuntos Fuzzy do To Nas Fguas. e. são mostadas unções de etnênca do to e do to, esectvamente. Imagnando-se uma ceta nceteza nos gaus de etnênca do conjunto uzzy do to da Fgua., tem-se a unção de etnênca aesentada na Fgua.. Neste caso, aa um vao esecíco de, o eemo, não este aenas um únco vao aa a unção de

2 Caítuo II 33 etnênca, como no caso de conjuntos uzzy do to ; a unção de etnênca u assume vaoes em quaque ate onde a nha vetca ntecete a mancha de nceteza (ootnt o uncetanty - FOU) na Fgua.. Fgua.. Função de etnênca do to. Fgua.. Função de etnênca do to da Fgua. com nebuosdade. Paa cada vao de u em, ode-se desgna uma dstbução de amtude; acando-se sto aa todos os vaoes de X, tem-se uma unção de etnênca do to tdmensona que caacteza um conjunto uzzy do to, como mostado na Fgua.3. Fgua.3. Função de etnênca do to e FOU Fgua.3 aesenta a unção de etnênca do to, µ Ã (,u), aa vaoes de e u dscetos, onde X{ 3 4 5} e U{0 0, 0,4 0,6 0,8}. Nesta gua, J ncu vaoes onde µ Ã (,u) é deente de zeo; otanto,

3 Caítuo II 34 J J J 4 J 5 {0 0, 0,4 0,6 0,8} e J {0,6 3 0,8}. s baas eesentam a dstbução de amtude aa todos os ontos de u em.... Denção de Conjuntos Fuzzy do To Um conjunto uzzy do to, denotado o Ã, é caactezado o uma unção de etnênca do to µ Ã (,u), onde X e u J [0,], ou seja: {((, u), µ (, u)) X, u J [0,]} Equação. onde, 0 µ (, u) X µ (, u) (, u) Equação. u J X onde, J [0,] Nas equações acma, a estção u J [0,] é consstente com a estção do to, 0 µ (), sto é quando as ncetezas desaaecem em uma unção de etnênca do to, esta se tansoma em uma unção de etnênca do to. Neste caso, a vaáve u tansoma-se em µ (), onde 0 µ (). estção 0 µ Ã (,u) é consstente com o ato de que as amtudes da unção de etnênca assumem vaoes de 0 a.... Pncas Denções assocadas a Conjuntos Fuzzy do To Nesta seção são dendos os ncas temos e concetos assocados a conjuntos uzzy do to.

4 Caítuo II Cote Vetca de uma Função de Petnênca do To O cote vetca de uma unção de etnênca do to é dendo como o ano -D de eos u e µ Ã (,u), aa cada vao de,, como mostado na Fgua Função de Petnênca Secundáa e au Secundáo unção de etnênca secundáa, denotada o µ ( ', u), é um cote vetca de µ (, u), aa X e aa u J ' [0,]. ssm, a unção de etnênca secundáa é denda como: ( ', u) µ ( ') ' ' ( ) u J u µ u J ' [0,] Equação.3 onde: (u) é o gau secundáo ou vao de co da baa (amtude), 0 (u). Po motvos de smcação, a unção de etnênca secundáa é denotada também o µ ( ', u) µ ( ' ) ( ). unção de etnênca µ secundáa é chamada conjunto secundáo, que é um conjunto uzzy do to. Na Fgua.4 a unção de etnênca secundáa aa é dada o: µ () 0, ,35 0, + 0,35 0,4 + 0, 0,6 + 0,5 0,8 Equação.4 Quando todos os gaus secundáos são guas a, os conjuntos uzzy do to esutantes são chamados conjuntos uzzy ntevaaes do to.

5 Caítuo II 36 Fgua.4. Cote vetca aa a unção de etnênca do to, em Petnênca Pmáa de etnênca máa de é denotada o J e é denda como o domíno da unção de etnênca secundáa. Desta oma, J [0,] aa X. Fgua.4 mosta a etnênca máa de, onde J é dado o: J J J 4 J 5 { 0 0, 0,4 0,6 0.8 } e J { 0,6 3 0,8 }...4. Funções de Petnênca Intevaaes do To Nas unções de unções de etnênca do to tanguaes ou gaussanas, as unções de etnênca secundáas estão, usuamente, centadas no onto médo da etnênca máa de cada, e eetem uma dmnução de motânca aa ontos dstantes deste onto médo; otanto, o vao mámo de (u) aa as unções de etnênca secundáas ocoe no onto médo de J. Fgua.5 usta sto.

6 Caítuo II 37 Fgua.5. (a) Reesentação de um conjunto uzzy do to gaussano. O domíno do gau de etnênca coesondente a 4 é também mostado. (b) Função de etnênca secundáa gaussana em 4. Conome menconado, quando ( u), u J [0,], as unções de etnênca secundáas são denomnadas conjuntos ntevaaes. Se sto é cumdo aa X, tem-se uma unção de etnênca ntevaa do to. unção de etnênca secundáa ntevaa eete uma nceteza unome na etnênca máa de, como mosta a Fgua.6. Fgua.6. Função de etnênca ntevaa do to, mancha de nceteza (FOU) e suas unções de etnênca secundáas em e Um conjunto ntevaa ode se eesentado o seu domíno, o qua ode se eesso em temos de seus ontos mtes esquedo e deto [,], ou

7 Caítuo II 38 também o seu cento c e etensão s, da oma [c-s, c+s], onde c ( + ) / e s ( ) / Mancha de Inceteza Mancha de Inceteza é denotada o FOU e denda como a unão de todas as etnênca máas J, sto é: FOU ( ) Equação.5 J X mancha de nceteza eesenta a nceteza neente em uma unção de etnênca do to. FOU desceve o domíno nteo que suota todos os gaus secundáos de uma unção de etnênca do to e emte eesenta o conjunto uzzy do to gacamente em duas dmensões ao nvés de tês, conome ustado nas Fguas.7 e.8. mancha de nceteza ndca que este uma dstbução dsosta acma desta mancha; esta dstbução é a tecea dmensão dos conjuntos uzzy do to. Fgua.8 usta deentes tos de FOU. Fgua.7. Mancha de nceteza FOU. Fgua.8. Deentes tos de FOUs Na Fgua.8 são aesentados deentes tos de FOUs, assm na Fgua.8 (a) tem-se o FOU aa o caso de uma unção de etnênca gaussana com nceteza no desvo adão. Na Fgua.8 (b) obseva-se o FOU aa uma unção de etnênca gaussana com nceteza na méda. Fgua.8 (c) mosta o FOU aa uma unção de etnênca sgmóde com nceteza no onto de neão, e

8 Caítuo II 39 namente a Fgua.8 (d) mosta o FOU aa uma unção de etnênca sgmóde ganuada com ncetezas nos gânuos Função de Petnênca Pmáa Consdeando uma amía de unções de etnênca do to, µ (,,, v ), onde,,, v são os aâmetos de uma destas unções, e aguns ou todos estes aâmetos vaam em agum ntevao de vaoes, ou seja P (,, v), a unção de etnênca máa ode se quaque uma destas unções de etnênca do to. ssm, a unção de etnênca máa é denotada o: µ ) µ (,,, ) Equação.6 ( ' ' v v' Potanto, a amía de todas as unções de etnênca máas ca um FOU. s Fguas.9 e.0 mostam esectvamente a unção de etnênca máa e a FOU a ea assocada aa um conjunto uzzy do to. Fgua.9. Função de etnênca máa. Fgua.0. FOU ssocado à unção de etnênca máa da Fgua Tos de Conjuntos Fuzzy do To e FOUs Os conjuntos uzzy do to e suas esectvas FOU mas utzados são:

9 Caítuo II 40 Função de Petnênca Pmáa aussana com Inceteza na Méda (Desvo Padão σ o): a unção de etnênca máa gaussana tem um desvo adão σ o e uma nceteza na méda que assume vaoes em [m, m ], sto é: m µ ( ) e m [ m, m ] Equação.7 σ Desta oma, constundo-se o gáco de µ () aa deentes vaoes de m, obtêm-se deentes cuvas de etnênca. Isto é ustado na Fgua., onde o FOU unome denota conjuntos ntevaaes aa as unções de etnênca secundáas. Fgua.. FOU aa a unção de etnênca máa gaussana com nceteza na méda Função de Petnênca Pmáa aussana com Inceteza no Desvo Padão (Méda a): a unção de etnênca máa gaussana tem uma méda m a e uma nceteza no desvo adão que assume vaoes em [σ, σ ], sto é: m µ ( ) e σ [ σ, σ ] Equação.8 σ Fazendo a ustação gáca de µ () aa deentes vaoes de σ esuta em deentes cuvas de etnênca. Isto é ustado na Fgua., onde novamente o FOU unome denota conjuntos ntevaaes aa as unções de etnênca secundáas.

10 Caítuo II 4 Fgua.. FOU aa unção de etnênca máa gaussana com nceteza no desvo adão Funções de Petnênca Sueo e Ineo s unções de etnênca sueo e neo são duas unções de etnênca do to que mtam a FOU de um conjunto uzzy do to. unção de etnênca sueo é assocada ao mte sueo de FOU (), e é denotada o µ ( ) X. unção de etnênca sueo é dada o: µ ( ) FOU ( ) J Equação.9 X unção de etnênca neo é assocada ao mte neo de FOU (), e é denotada o µ ( ) X. Neste caso, é dada o: µ ( ) FOU ( ) J Equação.0 X onde J e J eesentam o mte sueo e neo em J, esectvamente. Fgua.3. Funções de etnênca sueo e neo do conjunto uzzy do to

11 Caítuo II Reesentação em temos das Funções de Petnênca Sueo e Ineo Um conjunto uzzy do to ode se eesentado eas suas unções de etnênca sueo e neo da segunte oma: µ u u u (, ) µ ( ) / X X u J ( ) / Equação. µ u u u (, ) X u [ ] ( ) / ( ), Equação. µ µ ( ) Das equações. e.3 ode-se obseva que a unção de etnênca secundáa µ ( ) ode se eesentada em temos das suas unções de etnênca sueo e neo como: µ ( ) ( ) / u [ ( ), ( ) ] u u. µ µ No caso de conjuntos uzzy ntevaaes do to, tem-se que ( u) (gau secundáo). Potanto, Ã é eesentado eas suas unções de etnênca sueo e neo da segunte oma: µ u u u (, ) X / u J X / u [ ( ), ( ) ] Equação.3 µ µ.3. Pncas Sstemas de Ineênca Fuzzy do To Na teatua estem deentes tos de sstemas de neênca uzzy do to. Ente os ncas, tem-se; SIF do to Mamdan com entadas sngeton SIF do to TSK com entadas sngeton

12 Caítuo II 43 segu seão aesentados os deentes tos de SIF do to menconados acma..3. Sstemas de Ineênca Fuzzy do To Mamdan com Entadas Sngeton.3.. Comonentes dos Sstemas de Ineênca Fuzzy do To Mamdan com Entadas Sngeton Fgua.4. mosta um sstema genéco de neênca uzzy do to [MEND00-I]. Os SIF do to aesentam quato comonentes: uzzcado, egas, boco de neênca, e boco ocessado de saída. O boco ocessado de saída é comosto eos bocos eduto de to e de deuzzcação. Fgua.4. Sstemas genécos de neênca uzzy do to. Na Fgua.4, as entadas cs são uzzcadas em conjuntos uzzy do to de entada, os quas atvam o boco de neênca. O boco de neênca combna egas do to e maea conjuntos uzzy do to de entada em conjuntos uzzy do to de saída. etensão da comosção su-sta é o cácuo undamenta aa SIFs do to. O conjunto uzzy do to, esutante do boco de neênca, é esutado da combnação de váos conjuntos de saída, onde cada conjunto de saída, da mesma oma que em sstemas de neênca uzzy do to, é o esutado da atvação de uma ega.

13 Caítuo II 44 Em um SIF genéco do to o boco ocessado de saída aesenta dos comonentes. O meo, chamado eduto de to, maea o conjunto uzzy do to de saída do boco de neênca em um conjunto uzzy do to. O segundo boco, chamado deuzzcado, eecuta a deuzzcação deste útmo conjunto. Um SIF do to Mamdan com entadas sngeton aesenta os quato comonentes de um SIF genéco do to, sto é, egas, uzzcado, boco de neênca e boco ocessado de saída. s egas aa um SIF do to Mamdan com entadas sngeton são dadas ea equação.4, nestas egas todos os conjuntos uzzy envovdos são do to. O uzzcado usado neste sstema é o uzzcado sngeton do to [MEND00-I], [MEND00-II]. segu seão detahados os ncas comonentes deste sstema. Regas Consdeando um SIF Mamdan do to com entadas X,, X e uma saída y Y, e suondo M egas, então, a -ésma ega é dada o: R : IF s onde:,...,m F and... and s F, THEN y s Equação.4 Nesta ega do to todos os conjuntos uzzy envovdos são do to. Boco de Ineênca O boco de neênca combna egas e maea conjuntos uzzy do to de entada em conjuntos uzzy do to de saída. Paa este m, cacua unões e nteseções de conjuntos uzzy do to e usa comosções de eações do to, como a comosção estendda su-sta. Em um SIF do to cada ega é nteetada como uma mcação uzzy do to, sto é: R : F F,, M Equação.5 onde a unção de etnênca da -ésma ega µ (, y) µ (,,, y) µ (, y) R R R é dada o:

14 Caítuo II 45 o [MEND00-I] tem-se: [ µ ( )] ( y) µ (, y) µ ( )... µ ( ) µ ( y) R F F µ F Equação.6 onde: Π oeado meet (usando o mínmo ou o oduto como t-nom) númeo de vaáves de entada. De oma gea a entada -dmensona aa a ega R é dada o um conjunto uzzy do to -, cuja unção de etnênca é: ) µ ( ) Πµ ( ) Π Πµ ( ) µ ( ) Equação.7 µ ( X X X X P X onde, (,, ) são os abes dos conjuntos uzzy do to que descevem X as entadas. Cada ega R detemna um conjunto uzzy do to da oma B R. Paa um SIF do to tem-se: [ µ () (, )] µ ( y) µ ( y) y X µ B R R y Y,...,M onde: oeado jon (unão de conjuntos uzzy do to ) Π oeado meet (usando o mínmo ou o oduto como t-nom) Equação.8 substtundo as equações.6 e.7 em.8 obtêm-se: [ µ () µ (, y) ] X {[ µ ( )] [ µ ( )] ( )} µ ( y) y B X R X µ F {[ µ ( ) µ ( )] ( ) } µ ( y) y B X µ X F Da oedade de comutatvdade do oeado meet (usando o mínmo ou o oduto aa t-nom) tem-se:

15 Caítuo II 46 {[ X µ ( ) µ ( )] [ X µ ( ) ( )]} µ ( y) µ ( y) B X F X µ F y Y Equação.9 Equação.9 eesenta a eação entada-saída ente os conjuntos uzzy do to que ectam uma ega no boco de neênca e o conjunto uzzy do to na saída do boco de neênca. Fuzzcação e seus Eetos na Ineênca Fuzzcado: Conome menconado anteomente, o uzzcado usado em um SIF do to Mamdan com entadas sngeton é o uzzcado sngeton do to. O uzzcado maea o onto cs dento de um conjunto uzzy do to Neste caso, T (,, ) X X X em X. X é um conjunto uzzy do to sngeton, onde, µ ( ) aa ' e () 0 aa '. Como usamos unções de µ etnênca seaáves, então µ ( ) quando ' e µ ( ) 0 X X quando ' aa,,. Eetos na Ineênca: Como dto acma, quando o conjunto uzzy do to de entada é do to sngeton, µ ( ) é deente de zeo só no onto '. Potanto, usando o X mínmo ou o oduto aa o oeado t-nom, a equação.9 ca eduzda como segue: B B B µ ( y) µ µ ( y) µ ( y) ( y) {[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]} X µ µ X µ µ X F X F {[ µ ( ') µ ( ')] [ µ ( ') µ ( ')]} X F X F {[( ) µ ( ') ] [( ) µ ( ')]} µ ( y) µ ( y) F F Equação.0

16 Caítuo II 47 µ [ ( ')] y Y y) µ ( y), ( µ B F Equação. onde, µ ( ') é eedo ao conjunto atvado, uma vez que em um SIF do F to com entadas sngeton o níve de atvação de uma ega é, na vedade, um conjunto que atea o conjunto conseqüente. Pocesso de Redução de To ós o ocesso de neênca, o conjunto uzzy do to de saída do boco de neênca deve se ocessado eo boco denomnado Pocessado de Saída. mea oeação é o ocesso de Redução de To, o qua tansoma o conjunto de saída do boco de neênca em um conjunto uzzy do to. Este conjunto é chamado conjunto to-eduzdo [KRN98-II], [MEND00-I]. Se o SIF do to é vsto como uma vesão etubada de um SIF do to devdo às ncetezas nas suas unções de etnênca, então o conjunto toeduzdo em um SIF do to é uma eesentação das ncetezas na saída cs devdo a essas etubações. Potanto, aguma medda de agua do conjunto to-eduzdo ode se usada aa ndca a ossíve vaação da saída cs devdo a essa etubação (semehante ao ntevao de conança). Os métodos mas usados aa o ocesso de edução de to são: centóde, cento de somas, atua, atua modcada e cento de conjuntos. Maoes detahes destes métodos são encontados em [MEND00-I], [MEND00-II]. Deuzzcação O segundo móduo do Pocessado de Saída é a Deuzcação. Neste ocesso, o conjunto to-eduzdo é deuzzcado aa consegu a saída ecsa (cs) do SIF do to. O método mas natua aa eetua a deuzzcação aece se cacuando o centóde do conjunto to-eduzdo. Maoes detahes são encontados em [MEND00-I], [MEND00-II].

17 Caítuo II Sstemas de Ineênca Fuzzy Intevaaes do To Mamdan com Entadas Sngeton Em gea, os SIF do to são comeos devdo aos seguntes asectos: a comedade comutacona das oeações meet, que deve se eecutada aa cada ega atvada; a eecução do ocesso do edução de to é bastante comeo comutaconamente; e não se tem uma base acona aa se escohe a oma das unções de etnênca secundáas. Paa smca a comedade comutacona dos SIF do to, usam-se conjuntos uzzy ntevaaes do to. ssm, o cácuo das oeações meet, jon e do ocesso de edução de to ca smcado. Conjuntos ntevaaes do to emtem que as suas unções de etnênca secundáas ossam dstbu unomemente a nceteza nas etnêncas máas. Potanto, a comcação em eação à escoha da oma das unções de etnênca secundáas ca souconada. segu seão desctos o boco de neênca e os ocessos edução de to e deuzzcação dos SIF ntevaaes do to Mamdan com entadas sngeton. Boco de Ineênca Em um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton, com meet cacuado usando o mínmo ou o oduto como t-nom, tem-se [MEND00-I]: a) O esutado das oeações da entada e os antecedentes é um conjunto ntevaa do to contdo no conjunto atvado µ ( ') F ( '). O conjunto atvado é dado o: F [ ('), (') ] [ ] F ( '), Equação.

18 Caítuo II 49 ( µ F F ' ) µ ( ') ( ') Equação.3 ( F F onde: ' ) µ ( ') µ ( ') Equação.4 F (') oça de atvação ou conjunto ntevaa atvado (') onto mte esquedo do domíno do conjunto ntevaa atvado (') onto mte deto do domíno do conjunto ntevaa atvado µ ( ') gau de etnênca de na unção de etnênca sueo do F conjunto antecedente F µ ( ') gau de etnênca de na unção de etnênca neo do F conjunto antecedente F b) Usando a denção descta na seção...9, o conjunto conseqüente de saída da -ésma ega atvada da equação.0, µ ( y), é um conjunto uzzy do to dado o: b µ y y ( ), µ ( ) µ ( y) b y Y, Equação.5 B B onde: µ ( y) gau de etnênca neo de µ ( y) µ ( y) gau de etnênca sueo de µ ( ) y µ ( y) b ( y) µ ( y) b ( y ) c) Suondo que N egas das M egas estentes no SIF do to são atvadas, onde, N M, e suondo que o conjunto uzzy combnado do to de saída é obtdo combnando os conjuntos conseqüentes de saída atvados, sto N é ( y) ( ), então: µ µ y B B µ ( y) B N N b [ y ] [ y ] N y N µ ( ) ( ), ( ) ( y) µ µ µ b, y Y Equação.6

19 Caítuo II 50 onde : t-conom mámo b ( y) b ( y) b b ( y) b ( y) b N N ( y) b( y) ( y) b( y) Eemo catvo: Fgua.5 (a) Descção das oeações ente as entadas e os antecedentes aa um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton usando o mínmo como t-nom. (b) Descção das oeações nos conseqüentes (conjuntos atvados). (c) Descção do conjunto combnado de saída aa os dos conjuntos de saída atvados da Fgua.5 (b). Este eemo ajuda a entende como um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton modea as ncetezas eaconadas às unções de etnênca dos antecedentes e conseqüentes desde a entada de um SIF à saída do seu boco de neênca.

20 Caítuo II 5 s Fguas.5 (a) e.6 (a) descevem as oeações das entadas com os antecedentes, cacuada segundo as equações.9,.3 e.4 aa um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton com egas de antecedentes e conseqüente, usando o mínmo ou o oduto como t-nom, esectvamente. Em todos os casos a oça de atvação (ng stength) é um conjunto ntevaa do to [, ], onde: µ ') µ ( ') e µ ') µ ( ') ( F F F ( F Fgua.6.(a) Descção das oeações ente as entadas e os antecedentes aa um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton usando o oduto como t-nom. (b) Descção das oeações nos conseqüentes (conjuntos atvados). (c) Descção do conjunto combnado de saída aa os dos conjuntos de saída atvados da Fgua.6.(b). O gau de etnênca da entada na unção de etnênca sueo µ ( ') do conjunto antecedente F ocoe na nteceção da nha vetca na F

21 Caítuo II 5 entada com a unção de etnênca sueo µ ( ') do conjunto antecedente F. usando o mínmo como t-nom tem-se: F [ µ ( '), µ ( ')] mn F F [ µ ( '), µ ( ')] mn F F usando o oduto como t-nom tem-se: µ ( ') µ ( ') F F µ ( ') F µ F ( ') s Fguas.5.(b) e.6.(b) descevem o conjunto conseqüente de saída da -ésma ega atvada µ ( y) aa um SIF ntevaa do to Mamdan com B entadas sngeton de duas egas. O conseqüente é cacuado usando a equação.5 em cada y Y. O onto mte deto do conjunto atvado é t-nomado com a unção de etnênca sueo do conjunto conseqüente µ ( y ), esutando na cuva sóda sueo µ ( y) y Y. Já o onto mte esquedo do conjunto atvado é t-nomado com a unção de etnênca neo do conjunto conseqüente µ ( y), esutando na cuva sóda neo µ ( y) y Y. Potanto, a etnênca máa do conjunto conseqüente de saída da - ésma ega atvada µ ( y) y Y, sto é FOU ( B ), é a áea ente estas dos B cuvas. s Fguas.5.(c) e.6.(c) descevem o conjunto combnado do to de saída aa um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton de duas egas, onde, os conjuntos de saída atvados são combnados segundo a equação.6, usando o mámo aa t-conom.

22 Caítuo II 53 cuva sueo sóda coesonde a [ µ ( y) ] [ µ ( y) ] y Y, e a cuva neo entecotada coesonde a [ y) ] [ µ ( y) ] y Y ( µ. Seja µ ( y) y Y o conjunto esutante da combnação dos conjuntos B conseqüentes de saída das egas e atvadas. etnênca máa deste conjunto, sto é, o FOU (B), é a áea ente estas duas unções. O ocesso de edução de to é acado a µ ( y) y Y. B Redução de To e Deuzzcado Em um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton, o conjunto to-eduzdo é um conjunto ntevaa dado o: Y [ y, y ] TR. Num SIF ntevaa do to Mamdan, o ocesso de edução de to cento de conjuntos é o mas usado, neste to de SIF do to a saída do ocesso de edução de to cento de conjuntos, Y cos (), é dada o [MEND00-I], [KRN98-II]: Y [ y, y ] [ ] M M M [ ] ( ) cos M M M y y, y y y, y,, M M y onde: onde: y M M y ; y M M y Equação.7 Equações.8 Y cos () conjunto ntevaa de ontos mtes [ y, y ]. Os vaoes de y e y são cacuados eo ocedmento teatvo descto no caítuo 3 e no aêndce C. [MEND00-I]. Y [ y, y ] centóde do conjunto conseqüente ntevaa do to, Estes devem se é-cacuados antes de cacua Y cos (). M númeo de egas, M..

23 Caítuo II 54, y vaoes de, y que estão assocados a y esectvamente. Estes vaoes são cacuados eo ocedmento teatvo descto no caítuo 3 e no aêndce C. F [, ]; y Y., y vaoes de, y que estão assocados a y esectvamente. Estes vaoes também são cacuados eo ocedmento teatvo menconado acma. F [, ]; y Y. Como Y cos é um conjunto ntevaa, a saída deuzzcada do SIF ntevaa do to Mamdan com Entadas Sngeton é dada ea méda dos ontos mtes y e y..3.. Sstemas de Ineênca Fuzzy do To TSK Um SIF do to TSK aesenta quato comonentes: egas, uzzcado, boco de neênca e ocessado de saída [MEND00-I]. saída Seja um SIF do to TSK com entadas y Y X, X e uma. Este modeo é descto o egas uzzy IF-THEN, as quas eesentam eações entada-saída do sstema. No caso de um SIF do to TSK gea de meo odem com uma base de egas comosta o M egas de antecedentes, a -ésma ega ode se eessa o: R : IF s F and... and s F, THEN Y C + C + C + + C 0, onde: M númeo de egas,,.,m; j C conjuntos uzzy do to conseqüentes, j0,,., Y saída da -ésma ega, a qua é um conjunto uzzy do to F k conjuntos uzzy do to antecedentes, k,., Estas egas evam em consdeação smutaneamente as ncetezas eaconadas às unções de etnênca antecedentes, e, as ncetezas eaconadas

24 Caítuo II 55 aos vaoes dos aâmetos conseqüentes. Neste to de SIF, deente dos modeos Mamdan, as ncetezas eaconadas aos conseqüentes não consdeam as ncetezas ngüístcas destes. então estes Suondo que os j C são subconjuntos uzzy do to conveos e nomas, j C são númeos uzzy. Smamente à seção.3. em um SIF do to TSK o conjunto de atvação da -ésma ega é dado o: F ) µ ( ) Equação.9 ( k F K K saída de um SIF do to TSK, obtda ea acação do Pnco da Etensão à saída de um SIF do to TSK [MEND00-I], é dada o: M M M M [ T µ ( y ) T ( ] Y µ TSK, () ) M M y Y y Y F F Y F onde: Y C0 + C + C + + T oeação t-nom C M M y Equação.30 Nesta equação, () e y () são conjuntos uzzy do to. Emboa a equação.30 seja semehante ao conjunto to-eduzdo esutante do ocesso de edução de to cento de conjuntos em um SIF do to Mamdan com entadas sngeton, um SIF do to TSK não ecsa do ocesso de edução de to. saída Y TSK ) evea a nceteza da saída em um SIF do to TSK (, devdo às ncetezas eaconadas aos antecedentes e aos aâmetos conseqüentes. Como dto na seção.3.., os SIF do to são comeos, otanto, o cácuo da equação.30 tona-se custoso comutaconamente. Os SIF ntevaaes do to TSK são uma oção com meno custo comutacona já que também aesentam as vantagens menconadas na seção.3...

25 Caítuo II Sstemas de Ineênca Fuzzy Intevaaes do To TSK Quando conjuntos uzzy ntevaaes do to são usados como antecedentes, e, conjuntos uzzy ntevaaes do to são usados como conjuntos conseqüentes em uma ega do to TSK, então, µ ( ) e ntevaaes, sto é: F K K C j são conjuntos [ µ ( K ), µ ( )] µ ( ) K F F F K K K K k,, onde: j [ c s c s ] C, + c j cento ou méda de s j etensão de j j C j, j j C j,, M e j 0,,,. Desta oma, em um SIF ntevaa do to TSK com meet cacuado usando o mínmo e o oduto como t-nom tem-se [MEND00-I]: a) O esutado das oeações da entada com os antecedentes, que estão contdos no conjunto atvado F () é um conjunto ntevaa do to : F () (), () Equação.3 ( µ F F ) µ ( ) ( ) Equação.3 ( F F onde: ) µ ( ) µ ( ) Equação.33 F () oça de atvação ou conjunto ntevaa atvado. () onto mte esquedo do domíno do conjunto ntevaa atvado. () onto mte deto do domíno do conjunto ntevaa atvado. µ ( ) gau de etnênca de na unção de etnênca sueo do F conjunto antecedente F.

26 Caítuo II 57 µ ( ) gau de etnênca de na unção de etnênca neo do F conjunto antecedente F. µ ( ) gau de etnênca de na unção de etnênca sueo do F conjunto antecedente F. µ ( ) gau de etnênca de na unção de etnênca neo do F conjunto antecedente F. b) O conseqüente da -ésma ega [ y y ] Y, onde: y y Como F () e, onde: c + c k k k 0 k c + c + k k k 0 k R, Y, é um conjunto ntevaa; sto é, s s k k 0 s + s k k 0 Equação.34 Equação.35 y onto mte esquedo do domíno do conjunto ntevaa conseqüente da -ésma ega. y onto mte deto do domíno do conjunto ntevaa conseqüente da -ésma ega. Y (,...,M) são conjuntos uzzy ntevaaes do to, então µ ( y ) e µ ( ). ssm a equação.30 ca smcada como Y segue [MEND00-I]: Y F [ y, y ] [ ] [ ] M M M,, [, ] M M M y y y y y y [, ] TSK, () M M y Equação.36 onde,,, y e y são cacuados usando as equações.3,.33,.34 e.35. YTSK, é um conjunto uzzy ntevaa do to, onde, somente é ecso cacua os seus ontos mtes esquedo e deto y e y. Estes cácuos são etos a taves do ocedmento teatvo descto no aêndce D (Teoema D.). Os cácuos de y e y são guas a aquees etos no ocesso de edução de to

27 Caítuo II 58 cento de conjuntos em um SIF do to Mamdan com entadas sngeton (equação.7). Devdo a Y TSK, se um conjunto uzzy ntevaa do to, a saída deuzzcada do SIF ntevaa do to TSK é dada o: Y TSK y + y,() Equação juste de Paâmetos e Redução de Regas dos Sstemas de Ineênca Fuzzy Intevaaes do To Os métodos de ajuste de aâmetos e de edução de egas de um SIF do to são uma etensão dos métodos de mementação de um SIF do to. Em um SIF ntevaa do to Mamdan com entadas sngeton com as seguntes caacteístcas: antecedentes e conseqüentes com unção de etnênca máa gaussana com nceteza na méda, unções de etnênca secundáas ntevaaes, mcação oduto e usando o oduto aa t-nom, método de edução de to cento de conjuntos, deuzzcação usando o centóde do conjunto to eduzdo; tem-se que o númeo tota de aâmetos ode se cacuado como segue: aâmetos dos antecedentes m, m e σ : tês o antecedente, antecedentes, M egas. Potanto tem-se um tota de 3M aâmetos. aâmetos dos conseqüentes m m e σ j j j, : tês o conseqüente, M egas. Potanto tem-se um tota de 3M aâmetos. Também odem se usados como aâmetos os centódes de cada conjunto conseqüente do to que é um conjunto ntevaa dado o M aâmetos. Fnamente têm-se um tota de y, y. Neste caso, têm-se j j 3 M + M aâmetos. Em um SIF ntevaa do to TSK com as seguntes caacteístcas:

28 Caítuo II 59 antecedentes de unção de etnênca máa gaussana com nceteza na méda, unções de etnênca secundáas ntevaaes conseqüentes que são conjuntos uzzy ntevaaes do to, mcação oduto e usando o oduto aa t-nom, tem-se que o númeo tota de aâmetos ode se cacuado como segue: cnco aâmetos deendem do númeo de antecedentes assocados a cada ega, sto é m, m,, c e s k k σ k k k, onde, k,, e,, M. ém dsso, estem dos aâmetos assocados ao temo constante C 0 em cada conseqüente, o qua deende somente do númeo de egas, sto é, c s0 0 e. Potanto tem-se um tota de ( 5 + ) M aâmetos. O método aa o ajuste de aâmetos dos SIF ntevaaes do to Mamdan com entadas sngeton e TSK mas usado é o Método do Back- Poagaton [MEND00-I]. Método do Back-Poagaton (adent Descent): Neste método nenhum dos aâmetos dos antecedentes e dos conseqüentes são ados ncamente, o método do adent Descent é usado aa ajusta estes ( t) ( t) aâmetos. Dados aes de tenamento ( : y ), ajustam-se os aâmetos de um SIF ntevaa do to de modo que a segunte unção de eo seja mnmzada: e ( t) [ ] ( t ( ) ) y ( ) t s t,..., N Equação.38 onde: y() ( t) s () ( t) y ( t) + y ( t) y() (t) saída deuzzcada do SIF ntevaa do to aa o t- ésmo a de dado. y (t) saída desejada aa o t-ésmo a de dado. Os aâmetos do SIF são atuazados de oma a mnmza aa E éocas de tenamento. (t) e

29 Caítuo II 60 Este método, acado em SIF ntevaaes do to Mamdan com entadas sngeton e em SIF ntevaaes do to TSK, dee na detemnação dos vaoes atvos das unções de etnênca sueo e neo dos antecedentes aa (t), como também na detemnação das devatvas que são atvadas. Os métodos aa a geação e edução de egas dos SIF ntevaaes do to Mamdan com entadas sngeton mas usados são: Método ONE-PSS: gea egas usando os dados de tenamento uma vez e deos combna as egas em uma base de egas aa constu o SIF; todos os aâmetos devem se eseccados. Maoes detahes deste método odem se encontados em [MEND00-I]. Método do SVD-QR: conduz à edução de egas. É baseado nas unções de eansão FBFs (Funções Base Fuzzy) uma aa y é a outa aa y, no caso de um SIF ntevaa do to [MEND00-I]. O agotmo SVD seaa o esaço em esaços domnantes e subdomnantes. Vsuazando a matz FBF como uma oção do subesaço de entada, o SVD descomõe esta oção em um esaço otogona equvaente, no qua odem se detemnados os esaços domnantes e subdomnantes. Desta oma, dentcam-se os FBFs com mao contbução. O agotmo QR odena as FBFs segundo um ma, descatando aqueas que contbuem menos, eduzndo a acmôna do SIF. Maoes detahes deste método odem se encontados em [MEND00-I]. Um método teatvo é geamente usado duante o aendzado dos SIF ntevaaes do to Mamdan. Neste método são combnados os métodos de Back-oagaton e SVD-QR, até que o desemenho do SIF seja acetáve.

30 Caítuo II 6.4. Concusão Neste caítuo oam aesentados os conjuntos uzzy do to, assm como suas ncas denções e temnoogas. Foam também aesentados aguns dos ncas Sstemas de Ineênca Fuzzy do To que usam estes conjuntos, as suas ncas aqutetuas, métodos aa o ajuste de aâmetos e edução de egas. O ómo caítuo aesenta os modeos oostos neste tabaho: os sstemas neuo-uzzy heáqucos BSP do to que azem uso dos aadgmas de neênca uzzy do to.