Matemática em Toda Parte II

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1 Matemática em Tda arte II Episódi: Matemática a Agricultura Resum O episódi Matemática a Agricultura é primeir da série Matemática em Tda arte II, e abrda as relações etre gradezas e medidas utilizadas a partir de um exempl iusitad: us d litr para medir área. Em algus lugares d Brasil, as extesões territriais sã expressas em litrs; este tip de us, ã cvecial, apreseta uma lógica própria e ilustra a diversidade cultural país. Apesar de rechecer valr cultural d us d litr para medir extesões territriais, prgrama mstra a imprtâcia de utilizaçã de cveções padrizadas de uidades de medida para facilitar a cmpreesã etre pessas de diferetes grups sciais. Além diss, apreseta-se a difereça etre gradezas e medidas, em que a primeira se refere a tud que pde ser medid e a seguda, as valres crrespdetes à cmparaçã da gradeza cm uma uidade de medida. N segud blc sã explrads s uss de diferetes frmas para armazeamet de grãs u espigas de milh. Frmas diferetes apresetam qualidades específicas para cada tip de us. Assim, a esclha da frma para armazeamet ds prduts agríclas ã é puramete estética u arbitrária, mas depedete d tip de prdut a ser armazead. Esse episódi traz exempls em que, pr vezes, a Matemática é utilizada de md icsciete. Desvelar este us é imprtate para mstrar quat a Matemática é fudametal. alavras-chave Gradezas e medidas, frmas gemétricas, maximizaçã de vlumes de prismas rets. Nível de esi Fudametal (6º a 9º a) e Médi. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

2 Cmpete curricular Matemática. Disciplias relaciadas Gegrafia e Scilgia. Aspects relevates d víde A diversidade cultural brasileira as medições agríclas. A imprtâcia da padrizaçã de uidades de medida para as relações cmerciais. Os uss de frmas diferetes para armazeamet de prduts agríclas. A cmparaçã ds vlumes de prismas rets cm mesma área lateral. Utilizaçã d prcess de aprximações sucessivas para visualizar que cilidr circular ret, cm mesma área lateral ds prismas rets, apreseta mair vlume. A pavimetaçã d pla pr triâguls equiláters, quadrads e hexágs regulares. A relaçã estabelecida etre a pavimetaçã d pla pr mei de hexágs regulares e as clmeias. Duraçã das atividades Quatr hras-aula. O que alu pderá apreder cm as atividades A difereça etre gradezas e medidas. A ecessidade de padrizaçã de uidades de medida. A validar cjecturas sbre a maximizaçã de vlumes de prismas rets. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

3 Checimets prévis que devem ser trabalhads pel prfessr cm alu Nções de âguls e plígs. Trigmetria básica. Estratégias e recurss da aula/descriçã das atividades Car(a) prfessr(a), apresetarems algumas sugestões de atividades para dar suprte à exibiçã d episódi Matemática a Agricultura, da série Matemática em Tda arte II. Nssa prpsta de atividades fi rgaizada em duas aulas: Gradezas, medidas e estratégias de ctagem e Maximizad vlumes de prismas rets. A primeira é mais idicada para esi fudametal e a seguda, para esi médi. Espera-se que s alus ivestiguem camihs e, a mesm temp, se familiarizem cm esses desehs e s terms e tações ds grafs. A partir dessa ivestigaçã, algus resultads serã cstruíds, para que, a partir deles, s alus pssam reslver s prblemas apresetads a seguda aula. As atividades de cada aula destiadas a us cm s alus fram pstas em págias idividuais aqui demiadas Flha de Atividades. Imediatamete após cada Flha de Atividades sã apresetads cmetáris e sugestões para auxiliarem em sua aplicaçã em sala de aula. O plaejamet das aulas buscu articular cteúd apresetad víde às atividades prpstas. ara facilitar a adequaçã dessa prpsta à realidade de cada prfessr, apreseta-se a duraçã de cada atividade. rfessr(a), este material fi elabrad cm cuidad de md que sua aplicaçã seja factível, mas lembre-se que essas sugestões pdem e devem ser adaptadas à sua realidade. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

4 Aula 1: Gradezas, medidas e estratégias de ctagem (duas hras-aula) 1º Mmet: reparaçã da apresetaçã d víde (10 miuts) O bjetiv dessa aula é estabelecer claramete as relações e difereças etre s cceits de gradezas e medidas. Iicialmete, peça as alus exempls de gradezas e medidas. rcure preecher a lusa cm as palavras ditas pels alus de frma espalhada, sem utilizar um critéri de classificaçã a priri. Estimule s alus a explicarem suas sugestões. Esse diálg é imprtate e, pr iss, recmedams pel mes dez miuts para este mmet da aula. Depis, slicite a ateçã ds alus para a frma cm esses cceits sã abrdads víde que será exibid a sequêcia. º Mmet: Exibiçã da 1ª parte d víde (10 miuts) Exiba primeir blc d episódi Matemática a Agricultura Imagem Iicial (0:00) Imagem fial (06:07) 3º Mmet (70 miuts) Após a exibiçã d trech em destaque, retre às palavras dadas pels alus e peça a eles para as classificarem em gradezas e medidas. ara iss, circule as palavras cm cres diferetes, frmad uma legeda para auxiliar a classificaçã. Se ecessári, apague palavras que ã teham qualquer relaçã cm esses cceits. Depis da etapa de classificaçã, distribua a Flha de atividades Tamah das pizzas. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

5 Flha de Atividades: Tamah das pizzas Ns fiais de semaa, quad s amigs se reúem, é muit cmum pedir uma pizza bem grade para sabrear em grup. A fazer pedid, cstuma-se pergutar: qual é a mair? Iss depede da pizzaria. Este é um exempl em que a falta de padrizaçã atrapalha as relações cmerciais. A imagem a seguir fi elabrada pr uma pizzaria para ajudar as clietes a esclher tamah ideal da pizza. Gigate (45cm) Família (40cm) Grade (35cm) Fte: Respda: 1) Quais sã as gradezas evlvidas este ctext? ) Quais sã as uidades de medida? 3) Há cerêcia etre as uidades de medida e as gradezas evlvidas? Justifique. 4) Alguma vez vcê já fez pedid de uma pizza e se surpreedeu cm tamah? Em cas afirmativ, relate sua experiêcia e a relacie cm que fi apresetad víde. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

6 Atividade: Tamah das pizzas - Cmetáris e sugestões A atividade da aula 1 é destiada as estudates d Esi Fudametal. Recmeda-se que s alus sejam dividids em grups. Objetivs da atividade: Mstrar um exempl em que a falta de padrizaçã de uidades de medida pde gerar cstragimet u idigaçã em relações cmerciais. rmver a reflexã acerca d tamah e da frma das pizzas, cm bjetiv de idetificar as gradezas e as medidas adequadas para a padrizaçã. Avaliar a aprpriaçã cceitual de gradezas e medidas a partir da aálise de uma situaçã cmum das relações sciais. Gabarit As pergutas feitas esta atividade sã abertas, u seja, ã pssuem respstas úicas pré-defiidas. A seguir, apresetarems algus padrões de respstas aceitáveis e s cmetáris para auxiliar a discussã das respstas. 1) Nesse ctext pdem ser bservadas as gradezas: massa da pizza, rai u diâmetr d círcul crrespdete à pizza. Nte que a primeira gradeza pde ser medida em quilgramas. Já as utras duas pdem ser medidas em cetímetrs. ) Há duas uidades utilizadas: cm e fatias. A uidade de medida cetímetr é adequada para medir rai u diâmetr da pizza. Fatia ã é uma uidade padrizada e pde variar em fuçã d tamah da pizza u de quem a crta. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

7 3) A respsta é depede. Se alguém fala simplesmete em uma pizza de 45 cm, será que essa medida se refere a rai u a diâmetr? Além diss, a pizza crrespde a uma frma tridimesial, que cupa um espaç e, pr iss, pderia ser utilizada uma uidade de medida de capacidade. r utr lad, assumid que frmat da pizza pde ser aprximad pr um cilidr, diâmetr u rai se referem à sua base. O imprtate desta questã é mstrar as diferetes frmas de mdelar matematicamete essa situaçã. 4) Respsta pessal. Devem-se valrizar as respstas que articulam a ausêcia de padrizaçã cm fatr determiate de cflits u embaraçs em relações cmerciais. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

8 Aula : Maximizad vlumes de prismas rets (duas hras-aula) N segud blc d prgrama, é exibid um experimet para ilustrar que, detre s prismas regulares rets, cm área lateral cstate, vlume é uma fuçã crescete d úmer de lads de suas bases, u seja, quat mair úmer de lads, mair será vlume. Cabe ressaltar que tal experimet ã se cfigura uma demstraçã matemática, mas a partir dele é pssível cjecturar a validade de tal resultad. O que se pretede esta aula é demstrar a validade desta cjectura. 1º Mmet: Exibiçã da 1ª parte d víde (10 miuts) Apresete trech a seguir e depis peça as alus para euciarem resultad ilustrad experimet. Esse é um exercíci imprtate de frmalizaçã d pesamet lógic-dedutiv. Exiba a primeira parte d episódi Matemática a Agricultura Imagem Iicial (9mi0s) Imagem fial (10mi19s) º Mmet (80 miuts) Em cjut cm s alus, redija euciad da cjectura. Na sequêcia, rgaize s alus em grups cm até quatr participates. Distribua a flha de atividades. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

9 Sugerims que, a fial deste mmet, um grup seja esclhid para apresetar sua sluçã as demais. O acmpahamet d prfessr é fudametal esse tip de atividade ivestigativa, idetificad s alus que estã a direçã certa e s que estã efretad dificuldades u bstáculs. Durate a mediaçã, prfessr pde itervir sempre que ecessári, mas sem retirar prazer da descberta. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

10 Flha de Atividades: Maximizad vlumes de prismas rets arte 1 Observe s quatr plígs regulares iscrits em circuferêcias de rai igual a R. Em cada figura, pt M é pt médi d lad d plíg. Em seguida, faça que se pede. Determie a: a) expressã que relacia âgul e úmer de lads d plíg. b) área d triâgul equiláter em fuçã de e R. c) área d quadrad em fuçã de e R. d) área d petág regular em fuçã de e R. e) área d hexág regular em fuçã de e R. f) área de um plíg regular de lads em fuçã de e R. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

11 Flha de Atividades: Maximizad vlumes de prismas rets arte Na atividade da arte 1, tds s plígs estavam iscrits em circuferêcias de rai cstate e igual a R. Nesta, diferetemete, perímetr é cstate e igual a, mas rai d círcul circuscrit a plíg varia em fuçã d úmer de lads. 1) Em cada item a seguir, csidere que perímetr d plíg crrespdete seja igual a. Determie rai d círcul que circuscreve : a) triâgul equiláter b) quadrad c) petág regular d) hexág regular e) plíg regular de lads ) Utilize s resultads d exercíci aterir e da primeira parte para calcular vlume ds prismas regulares de altura igual a 1, perímetr da base igual a e frmat da base crrespdetes a: a) triâgul equiláter b) quadrad c) petág regular d) hexág regular e) plíg regular de lads 3) A partir ds resultads d exercíci, faça =10 e mte uma tabela relaciad s vlumes e úmer de lads da base ds prismas. Aalise a tabela e verifique a validade u ã da cjectura iicial. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

12 Atividade: Maximizad vlumes de prismas rets - Cmetáris e sugestões A atividade Maximizad vlumes de prismas rets pde ser adaptada para ser utilizada cm estudates d Esi Fudametal, mas fi idealizada para ser aplicada em turmas d Esi Médi. O checimet básic de trigmetria é requerid. Essa atividade fi dividida em duas partes que pdem ser utilizadas em duas u quatr aulas, depeded d ritm de cada turma. Recmeda-se que as atividades sejam realizadas em grups cm até quatr alus cada. Objetivs da atividade relativs à primeira parte: Relaciar a quatidade de lads de um plíg regular cm a medida d âgul cetral determiad pela circuferêcia que circuscreve plíg e lad desse plíg. Determiar a área de triâgul equiláter, de um quadrad, de um petág, de um hexág em circuferêcias de rai dad. Determiar a área de plígs regulares iscrits em circuferêcias de rai dad. Avaliar a aprpriaçã cceitual de gradezas e medidas a partir da aálise de uma situaçã cmum das relações sciais. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

13 Gabarit a) Seja úmer de lads. Cm plíg é regular, âgul cetral crrespde a 360. Dad que é isósceles triâgul frmad pr um ds lads d plíg e 360 pels rais que partem de sua extremidades e que M é pt médi, etã. b) A área d triâgul equiláter é igual a tripl da área d triâgul isósceles btid a ligar cetr d círcul circuscrit as extrems de um ds lads d triâgul R cs R se equiláter. g A3 3 3R secs. c) De frma aálga, a área d quadrad pde ser dada pr R cs R se A4 4 4R secs d) De frma aálga, a área d petág regular pde ser dada pr R cs R se A5 5 5R secs e) De frma aálga, a área d hexág regular pde ser dada pr R cs R se A6 6 6R secs f) De md geral, para um plíg de lads, tem-se dupl tem-se R cs R se A R se A R se cs. Utilizad-se a fórmula arc. Utilizad-se a expressã d item (a) chega-se a A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

14 A 360 R se Objetivs da atividade relativa à seguda parte: Calcular rai d círcul circuscrit a plígs regulares cm perímetr fix. Usar taçã algébrica para represetar valres idexads. Estabelecer um camih cceitual para demstrar matematicamete a cjectura: Dads dis prismas regulares rets, cm mesma área lateral, terá mair vlume cuja base apresetar mair úmer de lads. Gabarit 1) Em cada cas, cm plíg é regular, basta dividir pr para determiar a medida d lad, u seja, se lads e perímetr, etã facilitar a cmpreesã ds estudates. represeta a medida d lad d plíg regular de. É imprtate fazer algus exempls umérics para 360 a) N cas d triâgul equiláter, tem-se 3 e 60. O rai d círcul 3 3 circuscrit é igual à hipteusa d triâgul retâgul em destaque a figura a seguir. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

15 rtat, 3 se60 3 tem-se R3 3 3 R 3 R. Dde, se 6se60 b) N cas d quadrad tem-se se 4 R. Substituid valr de 60 4 R 4 R. Dde, s valres de 4 e 45, tem-se R se45 R. Substituid se Obs.: Cm ss bjetiv é chegar a um padrã, ã é ecessári calcular valr de se 45. c) N cas d petág regular tem-se se 5. se 5 R 5 R. Dde, Substituid s valres de 5 e 36, tem-se R se36 d) N cas d hexág regular tem-se se 6 6 R 6 R. Dde, R R. se Substituid s valres de 6 e 30, tem-se R se30 A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

16 e) N cas geral, para um plíg regular de lads, tem-se se R R Dde, R. Substituid s valres de e, tem-se se R. 360 se ) Nte que as duas partes se cmpletam, mas é ecessári ateçã mmet da cmpsiçã de ifrmações, vist que a primeira parte rai era cstate e a seguda, perímetr ds plígs regulares é que era cstate. O vlume d prisma é igual a prdut da área da base pela altura. Cm a altura é igual a 1, vlume será umericamete igual a valr da área da base. Vams fazer esse exercíci partid das fórmulas gerais. R Da primeira parte tems 360 se A 360 R se. D exercíci aterir, tem-se A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

17 Substituid a seguda expressã a primeira, btém-se: A 360 se 360 se Cm simplificada se se cs, a expressã aterir pde ser A se cs 360 se tg V Se V represeta vlume d prisma regular de lads e altura 1, etã. ara bter as respstas, basta substituir valr de crrespdete tg A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

18 3) artid da expressã que determia V em fuçã de, pdems mtar a tabela a seguir: Expressã de V Valr de V (aprximad) 3 V se 3 4,81 4 V se 4 6,5 5 V se 5 6,88 6 V se 6 7,1 Nte que vlume aumeta em fuçã de e que este valr é sempre iferir a vlume d cilidr de altura 1 e cuja base é um círcul de perímetr igual a 10, que é 10 5 V 7,95. A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.

19 Cm essa demstraçã deve ser acessível as estudates d Esi Médi, ptams pr utilizar a tabela para ilustrar a cvergêcia da sequêcia de valres. Um bm exercíci de Cálcul 1 crrespde à determiaçã d limite desta sequêcia. Questões para discussã Qual a difereça etre gradezas e medidas? A padrizaçã das uidades de medida é uma ecessidade scial? A sequêcia frmada pels rais ds círculs circuscrits as plígs de perímetr cstate, escrits a rdem crescete d úmer de lads, é crescete u decrescete? rfessr(a), esperams que essa prpsta teha ampliad suas ideias. Teha em mete que é ttalmete pssível mudar que fi prpst, alterar a rdem, excluir u icluir assuts etc. O mais imprtate é adequar a prpsta à realidade de sua turma. Cas queira cmpartilhar csc sua piiã sbre este material u ifrmar cm fi us cm a sua turma deixams s sss ctats: ivailmuiz@gmail.cm e feradvillar@ufrj.br. A avaliaçã desta dica pedagógica pels prfessres brasileirs é muit imprtate para a Rede da TV ESCOA. Referêcias HARTUNG, G. E.. Vlume x Área Superficial uma Questã de Ecmia. rtal d rfessr, 010. Dispível em: < Csultres: Ivail Muiz Juir e Ferad Cels Villar Marih A TV Escla leva até a sua sala de aula s melhres dcumetáris e séries de cteúd educativ. Acmpahe ssa prgramaçã Caal 13 da Embratel, Caal 11 da SKY, Caal 694 da Telefôica TV Digital u gratuitamete sitizad sua atea parabólica: aalógica - Hr /Freq e digital bada C Vert /Freq Na iteret acesse e assista a viv, 4 hras.