Apostila de limites e derivadas

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1 ÁREA - Faculdade de Ciêcia e Teclgia Curss de Egeharia Cálcul Dierecial e Itegral I Pressr: Álvar Ferades Seraim a a l 5 Qual valr de a? Apstila de ites e derivadas Uma grade descberta evlve a sluçã de um grade prblema, mas há uma semete de descberta a sluçã de qualquer prblema Seu prblema pde ser mdest; prém, se ele desaiar a sua curisidade e izer uciar a sua capacidade ivetiva, e cas vcê reslva szih, etã vcê pderá eperimetar a tesã e prazer d triu da descberta Gerge Plya Última atualizaçã: /6/6

2 Ídice Limite e ctiuidade Nçã ituitiva de ite Tabelas de aprimações 4 Cálcul de uma idetermiaçã d tip / 5 Deiiçã ituitiva de ite 6 Prpriedades ds ites 6 Limites iiits 8 Limites iiit 9 Epressões idetermiadas Limite udametal epecial Limite udametal trigmétric 4 Fuções itadas 6 Ctiuidade 8 Aplicaçã : Prblema da área sb arc de uma parábla Aplicaçã : Prblema d circuit RL em série Derivada A reta tagete A reta rmal 5 A derivada de uma uçã um pt 5 Derivadas laterais 6 Regras de derivaçã 8 Derivada da uçã cmpsta (Regra da cadeia) Derivada da uçã iversa Derivada das uções elemetares Derivada da uçã epecial Derivada da uçã lgarítmica 4 Derivada das uções trigmétricas 4 Derivada das uções trigmétricas iversas 7 Tabela de derivadas 9 Derivadas sucessivas 4 Derivada a rma implícita 4 Derivada de uma uçã a rma paramétrica 47 Dierecial 5 Aplicações da derivada 5 A regra de L Hspital 5 Iterpretaçã ciemática da derivada 55 Taa de variaçã 58 Aálise gráica das uções 6 Máims e míims 6 Fuções crescetes e decrescetes 6 Critéris para determiar s etrems de uma uçã 65 Ccavidade e ileã 67 Assíttas hriztais e verticais 69 Esbç gráic 7 Prblemas de timizaçã 77 Álvar Ferades

3 Limite e ctiuidade Nçã Ituitiva de ite Csidere a uçã ( ) qualquer que seja úmer real c, valr ( c) está bem deiid Eempl Se etã ( ) Esta uçã está deiida para td R, ist é, Dizems que a imagem de é valr ( ) Graicamete: Csidere agra uma utra uçã g ( ) Esta uçã está deiida R{} Ist sigiica que ã pdems estabelecer uma imagem quad assume valr g()??? simbliza uma idetermiaçã matemática Outrs tips de idetermiações matemáticas serã tratads mais adiate Qual cmprtamet gráic da uçã g quad assume valres muit próims de, prém dieretes de? A pricípi estud d ite visa estabelecer cmprtamet de uma uçã uma vizihaça de um pt (que pde u ã pertecer a seu dmíi) N cas da uçã, qualquer valr atribuíd a determia uma úica imagem, sem prblema algum Mas a uçã g, eiste pt que gera a idetermiaçã Estudems s valres da uçã g ( ) quad assume valres próims (uma vizihaça) de, mas dierete de Para ist vams utilizar tabelas de aprimações Álvar Ferades

4 Tabelas de aprimações As tabelas de aprimações sã utilizadas para aprimar valr da imagem de uma uçã (se eistir) quad a variável se aprima de um determiad pt Atribuid a valres próims de, prém meres d que : (tabela A),5,75,9,99,999,9999 g(),5,75,9,99,999,9999 Atribuid a valres próims de, prém maires d que : (tabela B),5,5,,,, g(),5,5,,,, Observems que pdems trar g() tã próim de quat desejarms, bastad para iss tmarms suicietemete próim de De utra rma, dizems: O ite da uçã g() quad se aprima de (tede a) é igual a Simblicamete escrevems: g ( ) u Observações: ) Os dis tips de aprimações que vems as tabelas A e B sã chamads de ites laterais Quad tede a pr valres meres d que (tabela A), dizems que tede a pela esquerda, e detams simblicamete pr Tems etã que: g ( ) u Obs: O sial egativ epete d simbliza apeas que se aprima d úmer pela esquerda Quad tede a pr valres maires d que (tabela B), dizems que tede a pela direita, e detams simblicamete pr Tems etã que: g ( ) u ) Se a uçã g se aprimasse de valres distits à medida que se aprimasse lateralmete de, pela esquerda e pela direita, etã diríams que ite da uçã g ã eistiria este pt, simblicamete g ( ) Obs: O sial psitiv epete d simbliza apeas que se aprima d úmer pela direita ) O ite da uçã g() quad se aprima de, smete eiste se s ites laterais sã iguais Simblicamete: g ( ) se, e smete se, g ( ) g ( ) Será ecessári sempre cstruir tabelas de aprimações para determiar ite de uma uçã, cas ele eista? Nã! Há uma rma bem mais simples, cm verems a seguir Álvar Ferades 4

5 Cálcul de uma idetermiaçã d tip Sempre que s depararms cm uma idetermiaçã d tip, deverems simpliicar * a epressã da uçã evlvida Lg após, calculams ite da uçã substituid, a epressã já simpliicada, valr de * Para simpliicar a epressã vcê deve utilizar atraçã, racializaçã, dispsitiv prátic de Brit-Ruii para dividir pliômis, etc Vejams s eempls seguites Eempl Determie g ( ), de ( ) g Observe que g () que é uma idetermiaçã matemática! Quad a variável está cada vez mais próima de, a uçã g está cada vez mais próima de quat? Devems etã simpliicar a epressã da uçã g e depis azer a substituiçã direta g ( ) ( )( ) ( ), Etã: g ( ) ( )( ) ( ) Lg, Chegams à mesma cclusã da aálise eita pelas tabelas de aprimações, prém de uma rma mais rápida e sistemática Nã mais utilizarems as tabelas de aprimações para cass semelhates a este!! Vale lembrar que a epressã sigiica que a uçã g ( ) está tã próima de assim cm está suicietemete próim de, prém dierete de Graicamete pdems veriicar iss: Gráic da uçã ( ) g, Álvar Ferades 5

6 Eempl Determie (bserve a idetermiaçã matemática ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 4 Se vcê cstruir as tabelas de aprimações, cstatará que g() está cada vez mais próim de /4 a medida que se aprima de 8 Eempl 4 Determie (bserve a idetermiaçã matemática ) 8 ( ) ( 4) ( )( 4) ( )( ) ( 4) ( ) Deiiçã ituitiva de ite Seja uma uçã deiida um iterval I R cted a, ecet pssivelmete própri a Dizems que ite de () quad se aprima de a é L R, e escrevems ( ) L, se, e smete se, s ites laterais à esquerda e à direita de a sã iguais a à L, ist é, ( ) ( ) L Cas ctrári, dizems que ite ã eiste, em a a símbl ( ) a Prpsiçã (uicidade d ite) Se ( ) L a etã ele é úic e ( ) L a, etã L L Se ite de uma uçã um pt eiste, Pricipais prpriedades ds ites Se ( ) a e g( ) a a) [ ( ) g( ) ] ( ) ± g( ) a a eistem, e k é um úmer real qualquer, etã: ± b) k ( ) k ( ) a a a c) [ ( ) g( ) ] ( ) g( ) a d) a g ( ) ( ) e) k k a a g a a ( ) ( ), a a g ( ) Álvar Ferades 6

7 Eempl 5 Calcule 6 4 usad as prpriedades 6 4 ( ) ( ) 4 4 Obteríams este resultad substituid diretamete: ( ) Atividades (grup ) Calcule s ites abai: a) 4 b) 4 6 c) d) e) 8 ) g) h) 7 49 i) Atividades (grup ) Calcule s ites idicads: a) ( ),, >, calcule: ( ), ( ) e ( ) b) g ( ),,, calcule: g ( ) c) h ( ) 4, <, calcule: h ( ) 5, > d) l( ), <, < 6,, calcule: l( ), l( ), l( ) e l( ) Álvar Ferades 7

8 Limites iiits Quad reslvems um ite e ã ectrams cm respsta valres umérics, mas sim iiit ( u ), dizems etã que ite é iiit Eempl 6 Calcule Neste cas, quad azems a substituiçã de pr a epressã, ectrams Esta ã é uma situaçã especial Sempre que a substituiçã de crrer, k, resultad k d ite será sempre zer, aturalmete E se a substituiçã d valr de crrer k, k? Vams aalisar esta situaçã um cas particular e depis rmalizar uma regra Eempl 7 Estude seguite ite: Devems aalisar s ites laterais Vams recrrer às tabelas de aprimações: Aprimaçã d zer pela direita (taçã ),,,, ()/ Cada vez que tmams suicietemete próim de zer (pela direita), ( ) cresce ideiidamete Simblizams esta situaçã assim: Aprimaçã d zer pela esquerda (taçã ) - -, -, -, -, ()/ Cada vez que tmams suicietemete próim de zer (pela esquerda), ( ) decresce ideiidamete Simblizams esta situaçã assim: Cclusã: Cm s ites laterais sã distits, etã Veja a lad gráic da uçã ( ) Álvar Ferades 8

9 Regra (geeralizaçã) Se cálcul de um ite crrer uma situaçã d tip k, k, etã: k k,k >,k > e e k k,k <,k < k Desta tabela pdems perceber que Se demiadr tede a iiit cm ± umeradr cstate, a razã se aprima de zer Cm verems agra Limites iiit Estams iteressads agra em estabelecer cmprtamet de uma uçã quad a variável cresce ideiidamete ( ) u quad ela decresce ideiidamete ( ) Em algumas situações, a uçã se aprima de um valr uméric (igura ), utrs pde também crescer ideiidamete (igura ) u decrecer ideiidamete (igura ) Figura Figura Figura Eempl 8 Na igura : 4 ( ), a igura : ( ) e a igura : A tabela abai apreseta situações de sma e prdut de iiits que usarems cm reqüecia ( ± ) ( ± ) ( m ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ±? idetermiaçã! e se k * R, etã ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) k ±, se k > k m, se k < k ± k ± Álvar Ferades 9

10 Vale ressaltar aida que, se é um atural ã ul, etã: e, par, ímpar Atividades (grup ) Calcule s ites: a) b) 4 ( ) c) 7 ( ) 5 d) 6 Atividades (grup 4) Calcule s ites: a) 5 5 b) 6 c) 5 d) Epressões idetermiadas Vims que é uma epressã de idetermiaçã matemática Também sã:,,,, e Vams aalisar s quatr primeirs cass Os utrs serã tratads em capítuls psterires A idetermiaçã d tip Eempl 9 Calcule s ites abai: a) 5 b) 4 c) Pdems bservar que estas epressões geram idetermiações d tip, pis quad as epressões d umeradr e demiadr também tedem a valr delas Vejams: Nã pdems airmar, a priri, a) ( ) ( ) b) 4 4 ( ) ( ) Álvar Ferades

11 c) ( ) ( ) Observams que as três situações aalisadas as idetermiações d tip prduziram respstas distitas (cm era esperad, pr iss que é idetermiaçã!) Vcê deve ter tad que para reslver idetermiações deste tip a idéia é clcar term de mair grau em evidêcia umeradr e demiadr Atividades (grup 5) Calcule s ites abai: a) 5 b) 5 c) 4 5 d) 5 A idetermiaçã d tip - Eempl Calcule s ites abai: a) b) 5 Pdems bservar que estas epressões geram idetermiações d tip -, mas ã pdems airmar, a priri, valr delas Vejams: Usad a mesma técica da idetermiaçã aterir a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) Atividades (grup 6) Calcule s ites abai: 5 4 a) b) 5 6 A idetermiaçã d tip Eempl Calcule s ites abai: a) ( ) b) ( ) Álvar Ferades

12 Pdems bservar que estas epressões geram idetermiações d tip, mas ã pdems airmar, a priri, valr delas Vejams: Trasrmams a idetermiaçã em Daí vcê já sabe! a) ( ) técica da racializaçã: b) ( ) Nvamete trasrmams a idetermiaçã para Usad a ( ) Atividades (grup 7) Calcule s ites abai: a) ( ) b) ( 5) 5-5 Limite udametal epecial (a idetermiaçã d tip ) O úmer e tem grade imprtâcia em diverss rams das ciêcias, pis está presete em váris eômes aturais, pr eempl: Crescimet ppulacial, crescimet de ppulações de bactérias, desitegraçã radiativa (dataçã pr carb), circuits elétrics, etc Na área de ecmia, é aplicad cálcul de jurs Fi Matemátic Iglês Jh Napier (55-67) respsável pel desevlvimet da teria lgarítmica utilizad úmer e cm base O úmer e é irracial, u seja, ã pde ser escrit sb rma de raçã, e vale aprimadamete: e,7888 Cm úmer e é ectrad em diverss eômes aturais, a uçã epecial ( ) e é csiderada uma das uções mais imprtates da matemática, mereced ateçã especial de cietistas de dieretes áreas d checimet huma Prpsiçã: ± e A prva desta prpsiçã evlve ções de séries Utilizarems recurs das tabelas de aprimações e gráic para visualizar este resultad Álvar Ferades

13 Tabela ( ),748,769,78 M Faça uma tabela para - Gráic: M () e Eempl Calcule s ites abai: a) 5 b) 4 Nestes dis cass percebems idetermiações d tip Vejams as sluções a) 5 5 e 5 5 b) Neste cas, usarems uma mudaça de variável Faça t Se etã t Lg, 4 4( t ) t t e t t t t t t Atividades (grup 8) Calcule s ites abai: a) 7 b) 5 c) Álvar Ferades

14 Cseqüêcias imprtates d ite udametal epecial: i) ( ) e ii) l( a), a > a a e Atividades (grup 9) Reslva s dis ites acima cm as sugestões a seguir: N item (i) aça a mudaça de variável e use ite udametal epecial t N item (ii) aça a mudaça de variável a t e use item (i) Atividades (grup ) Reslva s ites abai: a) ( ) b) c) e d) 4 e Limite udametal trigmétric O ite udametal trigmétric trata de um ite cuja idetermiaçã é d tip evlved a uçã trigmétrica y se( ) reslverems utrs prblemas Prpsiçã: se ( ) se A uçã ( ) ( ) é par, ist é, ( ) ( ) Se u Este ite é muit imprtate, pis cm ele,, pis ( ) se( ) se( ) se ( ) ( ), ( ) apreseta mesm valr uméric Vams utilizar a tabela de aprimaçã para veriicar este resultad Tabela ( ) se ( ) ±, ±, ±,, ±,, ±,, ± -, M M ( ) Álvar Ferades 4

15 Visualizad gráic da uçã ( ) ( ) se, pdems perceber também este resultad Eempl Calcule s ites abai: a) se ( ) b) se se ( 5) ( ) c) ( ) cs d) tg( ) Sluções: a) se ( ) se( ) se ( ) Faça t Se etã t Lg: se t t () t () * De uma rma geral, k R, ( ) ( ) se 5 b) se cs c) ( 5) se 5 se ( ) se k 5 5 ( ) cs( ) cs( ) cs( ) ( k) se 5 se Vams usar este resultad agra: ( 5) 5 5 ( ) cs ( ) [ cs( ) ] se ( ) [ cs( ) ] se tg d) ( ) se( ) cs( ) ( ) se( ) cs( ) Atividades (grup ) se ( ) cs ( ) se ( ) cs ( ) Reslva s ites abai usad ite trigmétric udametal: a) se( 4) b) cs ( ) c) e 6se ( ) d) 6 se se ( ) ( ) Álvar Ferades 5

16 Fuções itadas Deiiçã: Uma uçã y ( ) é chamada itada, se eiste uma cstate k R ( ) k, D( ), ist é, k ( ) k, D( ) Em utras palavras, ( ) cjut imagem ctid um iterval de etrems reais Obs: D ( ) sigiica dmíi da uçã Eempl 4 Algumas uções itadas e seus gráics *, tal que y pssui () se() e g() cs() () k () se( -) Prpsiçã: Se ( ) e g( ) a u ± é uma uçã itada, etã ( ) g( ) a u ± Eempl 5 a) Calcule Sluçã: se( ) se ( ) se( ) * * Usad a prpsiçã: Se etã resultad é zer Gráic da uçã ( ) ( ) se : Cm a uçã ( ) se é itada, etã Observe que as scilações vã reduzid a sua amplitude quad O resultad d ite permaece mesm se Álvar Ferades 6

17 b) Calcule cs( ) Sluçã: de rma aálga cs ( ) cs Gráic da uçã ( ) ( ) ( ) cs : Observe que, da mesma rma que a uçã aterir, as scilações vã reduzid a sua amplitude quad O resultad d ite permaece mesm se c) Calcule cs( ) (Pr quê?) e cs ( ) é uma uçã itada Lg, cs( ) : Gráic da uçã ( ) cs( ) Atividades (grup ) Reslva s ites abai usad cceit de uçã itada: a) e se( ) b) cs ( ) Álvar Ferades 7

18 Ctiuidade Deiiçã: Seja um pt d dmíi de uma uçã Dizems que é ctíua pt se: ( ) ( ) Eempl 6 A uçã d eempl (pág ) é ctíua pt, pis ( ) ( ) (d seu dmíi) Na verdade esta uçã é ctíua em R, ist é, em tds s pts da reta Eempl 7 Algumas uções que ã sã ctíuas pt : a) b) c) Pis a) ã eiste ( ), apesar de ( ) eistir, este cas ( ) L b) eiste ( ), ist é ( ) L ( ) ( ) ; Eiste ( ) ; c) ã eiste ( ), apesar de ( ) eistir, este cas ( ) L, este cas ( ) L Eempl 8 Veriique se as uções abai sã ctíuas s pts idicads: 6, 4 8 4, 4, mas a) ( ), 4 b) ( ),,, > < 5, g 6 ( 4)( 4) Sluções: a) Calculad ite, tems: ( 4 ) Calculad a imagem, tems: ( 4) ( 4) 4 4 Cm ( ) ( 4) ctíua (u desctíua) pt 4 4 ( 4) 4 4, etã a uçã ã é Álvar Ferades 8

19 b) Calculad ite, tems: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 Cm s ites laterais sã iguais, tems que g( ) 4 Calculad a imagem, tems: g() 5( ) 4 Cm g( ) g( ) Atividades (grup ) Determie, se pssível, a cstate, sed: a, <,, etã a uçã é ctíua pt a R de md que as uções abai sejam ctíuas pt a) ( ) ( ) b) g( ) ( ) Atividades (grup 4) Determie, se pssível, as cstates pt, sed:, > b, < c) ( ) a, ( ) d) g( ) a, a, a e b R de md que as uções abai sejam ctíuas ( π ) acs, < 7 a, ( ) b, > Prpriedades das uções ctíuas Se as uções e g sã ctíuas em um pt, etã: i) ± g é ctíua em ; ii) g é ctíua em ; iii) / g é ctíua em desde que ( ) g Álvar Ferades 9

20 Álvar Ferades Prblema da área sb arc da parábla y iterval [ ], (Figura ) Métd ds retâguls Figura Dividid iterval [ ], em subitervals, cada subiterval terá cmprimet : subiterval,, subiterval,, subiterval,,, subiterval, Obs: Vams cstruir retâguls (Figura ) cujas bases sã a subitervals e cujas alturas sã as images ds etrems direit * de cada subiterval pela uçã y : * a altura pde ser calculada sbre qualquer pt d subiterval, este cas i tmad etrem direit Figura Figura Calculad as área desses retâgul ( h b A ), btems: A, A, A,, A A área ttal desses retâguls ( t A ) s dá uma aprimaçã da área (Figura ) que querems calcular: i i t A A L L

21 ( )( ) ( )( ) 6 6 Obs: A sma [ ] 6 é checida pela órmula ( )( ) Vejams algus resultads para algus valres crescetes de : 6 (Figura ) A,496,85,85,84,8,8 t A área eata que estams prcurad (Figura ) é calculada pel ite: ( )( ) AT 6, (Calcule este ite e mstre que é igual a /) Prblema d circuit RL em série N circuit da igura 4, tems uma assciaçã em série de um resistr (símbl R) e um idutr (símbl L) Da seguda lei de Kirchh (lei das vltages) e d estud das equações diereciais, pde-se mstrar que a crrete i circuit é dada pr i () t R t L E ce, () R de E é uma bateria de vltagem ia, c é uma cstate real e t é temp Uidade de resistêcia: hm Uidade de idutâcia: hery Figura 4 Eercíci : Se uma bateria de vlts é cectada a um circuit em série (cm a ig 4) qual idutr é de / hery e resistr é de hms, determie valr da cstate c e a crrete i t Csidere a crrete iicial e temp iicial iguais a zer () Eercíci : Determie i() t t, sed i ( t) da equaçã () R t L Obs: Quad t term ce da equaçã () se aprima de zer Tal term é usualmete demiad de crrete trasitória A razã E/R é chamada de crrete estaciária Após um lg períd de temp, a crrete circuit é gverada praticamete pela lei de Ohm E Ri Álvar Ferades

22 Derivada A reta tagete Supha que a reta r da igura vá se aprimad da circuerêcia até tcá-la um úic pt Na situaçã da igura 4, dizems que a reta r é tagete a circuerêcia pt P Eempls de retas tagetes ( pt P) a algumas curvas: Fig 5 Fig 6 Fig 7 Na igura 7, apesar da reta tcar a curva em dis pts, ela tagecia a curva em P, cm a igura 4 Estas retas tcam suavemete as curvas s pts P idicads Eempls de retas que ã sã tagetes ( pt Q) a algumas curvas: Fig 8 Fig 9 Estas retas ã tcam suavemete as curvas s pts idicads cm eempl da circuerêcia (ig 4) Elas crtam, peetram as curvas Álvar Ferades

23 Vams determiar a equaçã da reta tagete a uma uçã (uma curva) um pt d seu dmíi Seja y ( ) uma curva deiida iterval ( a,b) Csidere P (, y ), sed y ( ) pt i e Q (, y) um pt móvel, ambs sbre gráic de, um Seja s a reta que passa pels pts P e Q Seja t a reta tagete a gráic de pt P y y y Csiderad triâgul retâgul PTQ, btems ceiciete agular da reta s cm tg ( ) y y y β Supha que pt Q mva-se sbre gráic de em direçã a pt P Desta rma, a reta tg β se aprimará da s se aprimará da reta t O âgul β se aprimará d âgul α, e etã, a ( ) tg ( α) Usad a taçã de ites, é ácil perceber que tg Q P ( β) tg( α) Mas quad Q P tems que Desta rma, ite acima ica tg Q P ( β) tg( α) y y ( ) ( ) tg ( α) Assim ( ) ( ) tg ( α) Álvar Ferades

24 P y um pt sbre seu gráic O ceiciete agular m da reta tagete a gráic de pt P é dad pel ite Deiiçã: Seja y ( ) uma curva e (, ) m ( ) ( ), quad este eistir m tg y ( α) ( ) Equaçã da reta tagete Pdems agra determiar a equaçã da reta tagete t, pis já checems seu ceiciete P, agular e um pt d seu gráic ( ) A equaçã da reta tagete t é: a) ( y y ) m( ) b) A reta vertical se y, se ite que determia m eistir; ( ) ( ) r iiit Eempl 9 Determie a equaçã tagete a parábla ( ) Sluçã: Tems que determiar dis terms y e m ( ) y ( ) y m ( ) ( ) ( ) ( ) L Lg a equaçã da reta tagete é ( y ) ( ) u y pt de abscissa Álvar Ferades 4

25 Equaçã da reta rmal P y um pt sbre seu gráic A reta rmal () a gráic de pt P é a reta perpedicular a reta tagete (t) Deiiçã: Seja y ( ) uma curva e (, ) m A equaçã da reta rmal é ( y y ) ( ), sed que Se m, etã a equaçã da reta rmal é a reta vertical Se ( ) ( ) Atividades (grup 5) m ( ) ( ) r iiit, etã a reta rmal é hriztal e tem equaçã y y Determie a equaçã da reta tagete e da reta rmal a gráic das uções abai s pts idicads Esbce s gráics das uções cm as retas pt de abscissa a) ( ) b) ( ) pt de abscissa 4 A derivada de uma uçã um pt O ite ( ) ( ) Deiiçã: Seja ( ) e deta-se ' ( ) é muit imprtate, pr iss receberá uma demiaçã especial y uma uçã e um pt d seu dmíi Chama-se derivada da uçã pt (lê-se liha de ), ite ' ( ) ( ) ( ), quad este eistir Frma alterativa para derivada: Se izerms, btems a seguite rma para ' ( ): ' ( ) ( ) ( ) Álvar Ferades 5

26 Outras tações para a derivada da uçã ( ) ' ( ) y (lê-se: y liha de ); y um pt qualquer: D (lê-se: derivada da uçã em relaçã à ); dy d (lê-se: derivada de y em relaçã à ) Eempl Dada a uçã ( ), determie ' ( ) Usad ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( )( ) Use as duas rmas da deiiçã ( ) Usad ' ( ) ( ) ( ) : ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) Terema: Tda uçã derivável um pt é ctíua este pt Atividades (grup 6) Determie a equaçã da reta tagete à curva y 5, que seja perpedicular à reta y Determie a equaçã da reta rmal à curva y, que seja paralela à reta y Derivadas laterais Lembre-se que ite de uma uçã um pt smete eiste se s ites laterais eistem e sã iguais Cm a derivada de uma uçã um pt é um ite, esta derivada smete eistirá em cdições aálgas Deiiçã: Seja ( ), detada pr ' ( ) y uma uçã e um pt d seu dmíi A derivada à direita de em é deiida pr ' ( ) ( ) ( ) Álvar Ferades 6

27 Deiiçã: Seja ( ), detada pr ' ( ) em y uma uçã e um pt d seu dmíi A derivada à esquerda de é deiida pr ' ( ) ( ) ( ) Uma uçã é derivável um pt quad as derivadas laterais (a direita e a esquerda) eistem e sã iguais este pt Eempl Csidere a uçã ( ) mas ã é derivável este pt Mstre que esta uçã é ctíua pt é ctíua este pt pis ( ) ( ), >, Sabems que ( ), < Vams calcular ' ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : () Cm as derivadas laterais sã distitas ccluíms que ã eiste ' ( ) Veja gráic da uçã ( ) ( ) Nã eiste reta tagete a gráic desta uçã pt Obs: Quad as derivadas laterais eistem e sã dieretes um pt, dizems que este é um pt aguls d gráic da uçã Neste cas, ã eiste reta tagete um pt aguls N eempl acima a uçã ( ) tem um pt aguls em Atividades (grup 7) Veriique se a uçã abai tem derivada pt Este pt é aguls? Esbce gráic da uçã e cstate a) ( ), > e, pt b) g( ) e,, > pt Álvar Ferades 7

28 Regras de derivaçã Vams apresetar algumas regras que irã acilitar cálcul das derivadas das uções sem recrrer a deiiçã Derivada de uma uçã cstate Se ( ) c, c é uma cstate real, etã ( ) ' ( ) ( ) ( ) Derivada da uçã ptêcia c c ' ' Se é um iteir psitiv e ( ), etã ( ) ' Prva: ( ) ( ) ( ) ( ) Usad Biômi de Newt para epadir ( ), btems ( ) '! ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! Eempl Calcule as derivadas das uções abai: 5 a) ( ) b) ( ) c) ( ) a) ( ) ' ( ) Lg ' ( ) b) ( ) ' ( ) Lg ' ( ) c) 5 ( ) 5 ' ( ) Lg ' ( ) 4 5 Obs: Se r um úmer iteir egativ u racial resultad ctíua válid Atividades (grup 8) Mstre, usad a regra e a deiiçã, que a derivada da uçã ( ) é ' ( ) Mstre, usad a regra e a deiiçã, que a derivada da uçã ( ) é ' ( ) Álvar Ferades 8

29 Derivada d prdut de uma cstate pr uma uçã Se ( ) é uma uçã derivável e c é uma cstate real, etã a uçã ( ) c ( ) derivada dada pr g ' ( ) c ' ( ) Prva: g ( ) c g ( ) ( ) ( ) g( ) c ( ) c ( ) c[ ( ) ( ) ] Eempl Se ( ) c ( ) 5 etã ' ( ) 5( ) 5 g tem 4 Derivada de uma sma de uções Se ( ) e g ( ) sã uçã deriváveis, etã a uçã h ( ) ( ) g( ) h ' ( ) ' ( ) g' ( ) Pesquise a demstraçã deste resultad um livr de cálcul Eempl 4 Se ( ) 4 5 etã ' ( ) 6 tem derivada dada pr 5 Derivada de um prdut de uções Se ( ) e g ( ) sã uçã deriváveis, etã a uçã h( ) ( ) g( ) h' ( ) ' ( ) g( ) ( ) g' ( ) Pesquise a demstraçã deste resultad um livr de cálcul Eempl 5 Se ( ) ( )( ) tem derivada dada pr etã ' ( ) ( )( ) ( )( ) Derivada de um quciete de uções Se ( ) e g ( ) sã uçã deriváveis, etã a uçã ( ) h' ( ) ( ) g( ) ( ) g' ( ) [ g( ) ] ' Pesquise a demstraçã deste resultad um livr de cálcul 5 8 Eempl 6 Se ( ) etã ' ( ) ( ) ( ) h tem derivada dada pr g ( ) ( ) ( 5 8) ( ) Álvar Ferades 9

30 Atividades (grup 9) Usad as regras de derivaçã, calcule as derivadas das uções abai: a) ( ) 8 b) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 4 c) ( ) ( )( 6 ) 5 e) ( ) ) ( ) 4 ( ) g) ( ) 6 h) ( ) 4 i) ( ) ( ) Determie s valres das cstates a e b a parábla ( ) a b equaçã y 8 4 seja tagete a parábla pt Derivada da uçã cmpsta (Regra da cadeia) de md que a reta de Até mmet sabems derivar a uçã g ( ) e também a uçã ( ) Csidere agra a uçã cmpsta g ( ) g( ( ) ) ( ) da uçã cmpsta ( ) Cm pderems bter a derivada g sem desevlver Biômi? A regra que verems agra estabelece uma rma de bter a derivada da uçã cmpsta em terms das uções elemetares e g Regra da cadeia dy u e as derivadas du y g g tem derivada dada pr Se y g( u), ( ) ( ) ( ( )) e du d eistem, etã a uçã cmpsta dy d dy du du d u y ( ) y ( u) u ( ) u g ( ) g ( ( ) ) ( ) As três rmas acima sã equivaletes, mudam apeas as tações Eempl 7 Calcule a derivada das uções abai: a) y ( ) b) y 5 c) y Para calcular a derivada dessas uções, precisams idetiicar as uções elemetares g( u) u ( ) (cujas derivadas checems) que rmam a uçã cmpsta e aplicar a regra a) y ( ) y u u Etã ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Lg ( ) ( ) y u u y u 6 y 6 5 y e Álvar Ferades

31 b) y 5 y u u 5 Etã y ( ) y ( u) u ( ) y ( ) ( 5) Lg y ( ) u c) y 5 5 y u u Etã y ( ) y ( u) u ( ) y ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 4 5u 4 ()( ) ()( ) 5 ( ) ( ) Lg y ( ) 4 5 ( ) 6 Prpsiçã: Se ( ) é uma uçã derivável e é um úmer iteir ã ul, etã Prva: Fazed d d y u, de ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) u e aplicad a regra da cadeia, tems y ( ) y ( u) u ( ) y ( ) u ( ) y ( ) [ ( ) ] ( ) A prpsiçã ctiua válida se r um úmer racial ã ul Eempl 8 Calcule a derivada da uçã y 4 Pdems escrever ( ) y y 4 e calcular a derivada usad a prpsiçã acima: ( ) 4 ( ) ( ) Obs: Cm a regra da prpsiçã acima pderíams calcular tds s eercícis d eempl 7 Mas a regra da cadeia é mais cmpleta, ela pssibilitará a resluçã de utrs prblemas mais cmplicads Álvar Ferades

32 Atividades (grup ) Calcule a derivada das uções abai: a) y ( ) 6 4 b) y ( ) c) y d) ( ) ( 5) y e) 4 ( ) ( ) y ) y 4 Derivada da uçã iversa Se uma uçã y ( ) admite uma uçã iversa ( y) derivada dada pr Sabems que ( ) ( ) ( y) ( ) ( ) ( y) ( ), ( ), etã a uçã iversa tem Aplicad a regra da cadeia, btems que ( ) ( ), desde que ( ) ( ) ( ), daí y 5 regra da derivada da iversa Eempl 9 Seja ( ) Calcule a derivada ( ) ( 4) iverted a uçã e usad a Iverted a uçã: y ( ) 5 ( y) y 5 5 Lg ( ) ( 4) ( 8) Usad a regra da derivada da iversa: y e ( ) Se 4 ( ) ( y) y 5 Assim ( ) ( y) 5 ( 8) 6 4 y 5, etã 8 5 ( ) ( ) ( 4) y 5 Cm ( ) 5 ( ) ( ) 6 5 5, btems Álvar Ferades

33 Atividades (grup ) Calcule a derivada ( ) ( ) Seja y ( ) 5 Seja y ( ), > Calcule a derivada ( ) ( ) usad a regra da derivada da iversa usad a regra da derivada da iversa Derivada das uções elemetares Vams agra apresetar as derivadas das uções elemetares d cálcul Sã elas as uções epeciais, lgarítmicas, trigmétricas e trigmétricas iversas Derivada da uçã epecial Prpsiçã: Se ( ) a, ( a > e a ), etã ( ) a l( a) a a a a a Prva: ( ) ( ) ( ) a a l( a) a epecial (item ii pág 4) ( ) Lembre-se que l( a) é uma cseqüêcia imprtate d ite udametal Cas particular: Se ( ) e, etã ( ) e l( e) e, de e é úmer eperia Eempl Determie a deriva da uçã Usad a regra da cadeia, btems: y 6e y 6e u u y ( ) y ( u) u ( ) 6e u e Atividades (grup ) Calcule a derivada das uções abai: e 5 a) ( ) b) ( ) e c) ( ) e d) ( ) Calcule a área d triâgul retâgul smbread a igura abai, sabed-se que é a reta e pt de abscissa rmal a ( ) Resp: e Álvar Ferades

34 Derivada da uçã lgarítmica Prpsiçã: Se ( ) lg a ( ), ( a > e a ), etã ( ) Prva: A uçã lgarítmica y ( ) lg ( ) a l ( a) é a iversa da uçã epecial y ( y) a Pdems etã usar resultad da derivada da uçã iversa para determiar ( ) Assim: ( ) y ( ) ( y) a l( a) l( a) Cas particular: Se ( ) l( ), etã ( ) l () e Eempl Determie a deriva da uçã 4 e y l ( ) g g Usad a regra da derivada d quciete g g epecial, btems: Atividades (grup ) y Calcule a derivada das uções abai: a) ( ) 4 lg ( 5) b) ( ) l( ) Derivada das uções trigmétricas Prpsiçã: a) y se( ) y cs( ) b) y cs( ) y se( ) c) y tg( ) y sec ( ) d) y ct g( ) y cs ec ( ) e) y sec( ) y sec( ) tg( ) ) y cs ec( ) y cs ec( ) ct g( ) 4 4 ( e 4) [ l( ) ] ( e ) [ l( ) ] c) ( ) e l( ) e a regra da cadeia a uçã d) ( ) ( ) l e Prva: Vams prvar s ites (a), (c) e (e) Os utrs ites têm demstrações aálgas e icam cm eercíci Álvar Ferades 4

35 a) se( ) y Aplicad a deiiçã y cs se ( ) se ( ) se( ) se( ) cs( ) se( ) cs( ) se( ) ( ) cs( ) se( ) [ cs( ) ] se( ) cs( ) se( ) [ cs( ) ] ( ) se se ( ) ( ) ( ) cs cs ( ) ( ) se( ) ( ) cs( ) se Lembre-se que é ite trigmétric udametal i reslvid eempl (c) da pág 5 c) y tg( ) se Cm ( ) ( ) tg e já sabems a derivada uçã se ( ) cs( ) quciete: cs y ( ) cs( ) se( ) [ se( ) ] cs ( ) Lembre-se que cs ( ) se ( ) e) y sec( ) cs ( ) se ( ) cs ( ) cs ( ) e ( ) cs, pdems aplicar a derivada d sec ( ) é a relaçã trigmétrica udametal Cm sec ( ) e sabed-se que a derivada da uçã cs ( ) é se( ) cs( ) a derivada d quciete: ( ) cs( ) ( ) [ se( ) ] cs ( ) y () se() cs ( ) cs( ) se cs ( ) ( ) sec ( ) tg( ), pdems aplicar Eempl Calcule a derivada das uções cmpstas abai: a) se( ) y b) y cs ( ) y tg e d) 5 c) ( ) ( ) ( ) tg y sec Sluções: a) y se( ) Usad a regra da cadeia, btems: y se u ( u) ( ) y ( u) u ( ) cs( u) 6 6 cs( ) y Álvar Ferades 5

36 b) y cs ( ) Usad a regra da cadeia, btems: u u cs y ( ) y ( ) y ( u) u ( ) u [ se( ) ] se( ) cs ( ) y tg e 5 c) ( ) Usad a regra da derivada d prdut ( g ) g g 5 5 ( ) e tg( ) e ( 5) y sec e a regra da cadeia, btems: d) ( ) ( ) tg y sec g Usad a regra da derivada d quciete g g [ sec ( ) ] [ sec( ) ] [ tg( ) ] [ sec( ) tg( ) ] sec ( ) y g e a regra da cadeia, btems: Mstre que esta epressã é igual a ( ) sec ( ) tg se ecessári ( ) ( ) tg y Simpliique-a utilizad a relaçã trigmétrica sec Atividades (grup 4) Calcule a derivada das uções abai: d) ( ) a) ( ) sec( ) ( ) g( ) se ct b) ( ) se( ) cs( ) e) ( ) cs ec c) ( ) tg( ) e ) ( ) cs Álvar Ferades 6

37 4 Derivada das uções trigmétricas iversas Prpsiçã: y y a) arcse( ) y y b) arccs( ) y y c) arctg( ) y y d) arc ct g( ) e) arc sec( ) y y, > y y, > ) arccs ec( ) Prva: Vams prvar s ites (a), (c) e (e) Os utrs ites têm demstrações aálgas e icam cm eercíci a) Seja : [,] [ π, π ] deiida pr y ( ) arcse( ) a uçã ( y) se( y) determiar ( ) Assim: Esta uçã tem cm iversa Pdems etã usar resultad da derivada da uçã iversa para ( ) cs ( y) ( y) ( ) se y Observe que y [ π, π ] Neste cas sial da uçã ( y) trigmétrica udametal cs ( y) se ( y), btems cs( y) se ( y) c) Seja : R ( π, π ) deiida pr y ( ) arctg( ) uçã ( y) tg( y) determiar ( ) Assim: ( ) cs é psitiv Usad a relaçã Esta uçã tem cm iversa a Pdems etã usar resultad da derivada da uçã iversa para ( y) sec ( y) tg ( y) Lembre-se que sec ( y) tg ( y) Álvar Ferades 7

38 e) Seja y arc sec( ) Pdems reescrever esta epressã cm y arccs, > Usad item (b) da prpsiçãe a regra da cadeia, btems: y Obs: lembre-se que Eempl Calcule a derivada das uções abai: b) y arctg a) y arcse( ) Sluçã: a) y arcse( ) Usad a regra da cadeia, btems: y arcse u ( u) y ( ) y ( u) u ( ) ( ) u ( ) b) y arctg Nvamete a regra da cadeia y arctg u ( u) y ( ) y ( u) u ( ) u ( )( ) ( )( ) ( ) 4 y Lg ( ) 4 Atividades (grup 5) ( ) simpliique esta epressã e mstre que é igual a 4 Determie a derivada das uções: a) y arccs( ) b) y arctg( e ) Álvar Ferades 8

39 Tabela de derivadas Vams azer um resum das derivadas das pricipais uções vistas até aqui Nesta tabela u é uma uçã derivável a variável Sã cstates reais c, e a () y c y' ( ) y sec( u) y' sec( u) tg( u) u' ( ) y y' ( ) y cs ec( u) y' cs ec( u) ct g( u) u' ( ) y u u u ( 4) y a y' a l( a) ( 5) y lg ( u) y' u, y' ( 6) y l( u)(, u > ) a u' u' ul y' u' ( 7) y se( u) y' cs( u) ( a) u' u u' ( ) y arc se( u) ( 4) y arc cs( u) ( 5) y arc tg( u) ( 6) y arc ctg( u) u' y' u u' y' u u' y' u u' y' u ( 8) y cs( u) y' se( u) u' ( 7) y arc sec( u), u > y' u u' u ( 9) y tg( u) y' sec ( u) u' ( ) y ct g( u) y' cs ec ( u)u' ( 8) y arc csec( u), u > y' u u' u Regras peraciais Se u e v sã uções deriváveis, etã: ) y u ± v y u ± v ) y u v y u v u v ) u y v u v u v y v Álvar Ferades 9

40 Derivadas sucessivas Em algumas aplicações precisams derivar uma uçã mais de uma vez Se uma uçã y ( ) r derivável, ist é, eiste ( ), pdems pesar a derivada de ( ) e assim sucessivamete Deiims e detams as derivadas sucessivas de uma uçã ( ) abai: y de acrd cm a tabela Cm lê-se: Ntaçã: a derivada u derivada de a rdem ( ) u dy d d y d a derivada u derivada de a rdem ( ) a derivada u derivada de a rdem ( ) 4 a derivada u derivada de 4 a rdem M a derivada u derivada de a rdem Justiicativa para as tações: [ ] ( ) ( ), ( ) ( ) M u u d y d 4 d y d ( 4 ) ( ) u 4 d y d ( ) ( ) u [ ], a partir da quarta derivada usams cardial d y d dy d y d d y, d d d, e assim sucessivamete d d d Eempl 4 4 a) Se ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( 4 ) ( ) 4 ( 5 ) ( ), etã: ( ) ( ), para td 5 Álvar Ferades 4

41 b) Se ( ) e, etã: ( ) e ( ) 4e ( ) 8e ( 4 ) ( ) 6e ( ) ( ) e c) Se ( ) se( ), etã: ( ) cs( ) ( ) se( ) ( ) cs( ) ( ) ( ) se ( ) 4 ( ) ( ) cs se cs se ( ), ( ) ( ) ( ),,5,9,,,6,,, 7,,, 4,8,, Atividades (grup 6) Calcule as derivadas sucessivas até a rdem idicada 4 a) y 9, 4 b) y a b cd, c) y, d) y se( 5) 5, e) y l( ), ( 99) Calcule ( ) π, sed ( ) e se( ) Álvar Ferades 4

42 Derivada a rma implícita Até agra sabems derivar uções que sã epressas a rma y ( ) Agra irems determiar uma maeira de derivar epressões que ã teham a variável y islada (eplicitada) em um ds membrs Sã eempls dessas epressões y, y l( y) 4, etc Em algumas situações é icveiete u até mesm impssível de eplicitar a variável y essas epressões O métd da derivaçã implícita permite ectrar a derivada de uma epressã desta rma, sem a ecessidade de eplicitá-la Uma uçã a rma y ( ), de a variável y aparece islada primeir membr é chamada de uçã eplícita Etretat, algumas vezes as uções estã deiidas pr equações as quais a variável y ã está islada Pr eempl ã está a rma eplícita y ( ) y y Mesm assim, esta equaçã aida deie y cm uma uçã de, pis pdems escrevê-la cm y Cas quiséssems calcular y, pderíams utilizar esta última epressã Uma equaçã em e y pde deiir mais d que uma uçã Pr eempl y que represeta graicamete uma circuerêcia de cetr (, ) e rai uitári (igura ) Eplicitad a variável y ectrams duas uções y ± A uçã y represeta a semicircuerêcia superir (igura ) e represeta a semicircuerêcia ierir (igura ) y igura igura igura Cas quiséssems calcular y, pderíams utilizar uma das epressões y ± Aida este cas é pssível eplicitar a variável y, mesm sabed que parte d gráic é suprimid este prcess Álvar Ferades 4

43 Às vezes prcess para eplicitar a variável y é bastate lg e trabalhs, cm é cas da epressã y y e até mesm impssível pr qualquer métd elemetar, cm este cas ( y) y se O métd da derivaçã implícita permitirá ectrar a derivada y sem a ecessidade de eplicitar y a uçã cm ( ) Deiiçã: Uma epressã a rma F (, y) deie implicitamete uma uçã ( ) gráic de y ( ) cicide cm alguma parte d gráic de F (, y) Eempl 5 Eempls de uções deiidas implicitamete: a) y y b) y c) y y d) se ( y) y y se Vams agra mstrar cm bter a derivada y, s cass d eempl 5, sem eplicitar y Usarems a regra da cadeia para derivar s terms da epressã F (, y) que evlvem y a) y y Esta epressã deie y cm uma uçã de implicitamete, lg: d d d d d ( y y ) ( ) d d ( y) ( y) ( ) dy y d y y dy d d d y d ( ) Derivams ambs s membrs em relaçã a Derivada de uma sma de uções Observe que usams a derivada de um prdut em d ( y) dy d Apeas mudams s símbls: y ( ) y d y ( ) y y y Álvar Ferades 4

44 Pderíams bter a derivada y derivad diretamete ()( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y Vejams: y, lg Vcê pde estar se pergutad: y ( ) Obtivems distitas? y, mas aterirmete calculams ( ) y y Estas epressões sã Obviamete ã, pis se izerms y : ( ) y a epressã y y, vams bter y ( ) Ateçã: Nã é ecessári veriicar se as derivadas calculadas as rmas eplícita e implícita cicidem, mesm prque em algus cass ã é pssível mesm islar a variável y Cas queirams calcular valr da derivada y um pt, pr eempl, basta ectrarms valr da imagem y, substituid a epressã y y Depis y calculams y cm estes dis valres, pis y depede de duas variáveis Vejams: y y y 4 y y 6 ( ) y 6 8 y Observe que ectrams este mesm valr usad ( ) y ( ) 6 8 y pt : ( ) Mas lembre-se: em sempre é pssível islar a variável y para calcular y Álvar Ferades 44

45 b) y d d d ( y ) ( ) ( y ) yy y d d d y c) y y d d d d ( y y) ( ) ( y ) ( y) d d d y y y y y y d [() y y ] y ( y ) y y y d) se ( y) y d d d d d d d d ( se( y) y) ( ) se( y) ( y) ( ) cs( y)( [ ) y y ] y d d y cs ( y) y cs( y) y y cs y cs ( y) ( y) Vejams algus eempls que crrem cm mair reqüêcia em derivaçã implícita: d ( y ) y y d d d d d d d d d [ tg( y) ] sec ( y) y y y [ e ] e y y [ l( y) ] y [ arctg( y) ] y y Álvar Ferades 45

46 Atividades (grup 7) Determie a derivada y ' das curvas dadas implicitamete pr: a) y 4 b) y y y y d) e y y e) y y c) y se( y) ) tg( y) y Determie a equaçã da reta tagete e da reta rmal a gráic de cada uçã abai, s pts idicads a) l ( y) y pt (, ) P b) y y, pt em que a rmal é vertical c) 6 y 9 (elipse), s pts de a rmal é paralela à reta 6 y 7 Seja C a circuerêcia dada implicitamete pr y e t a reta tagete à C pt de abscissa, cm mstra a igura abai Calcule valr da área smbreada 4 Determie a área d triâgul AOB a igura abai sabed-se que r é a reta tagete a curva C, y dada implicitamete pr e cs( ) A,, pt ( ) Álvar Ferades 46

47 Derivada de uma uçã a rma paramétrica Fuçã a rma paramétrica Sejam y y () t () t uções de uma mesma variável t, t [ a,b] A cada valr de t iterval [ a,b] crrespde um úic par ( ( t), y( t) ) as uções () t e y() t uma curva pla P pla cartesia Se y rem ctíuas, quad t variar de a até b, pt P descreverá As equações parâmetr y y Se a uçã () t () t () t sã chamadas de equações paramétricas da curva e t é chamad de admite uma iversa t t( ), pdems escrever y y( t( ) ) parâmetr t Neste cas, tems y cm uma uçã de, ist é, y y( ), eiad Mesm quad a uçã () t ã admite iversa, em algus cass, pdems bter uma rma implícita da curva, eiad parâmetr t de rma cveiete Dizems que as equações y y Eempl 6 () t () t deiem a rma paramétrica de uma curva plaa t a) As equações, t R, deiem a reta de equaçã y Para veriicar ist basta y t islar parâmetr t a equaçã t e substituir em y t t b) As equações, t R, deiem a parábla de equaçã y Para veriicar y t ist basta islar parâmetr t a equaçã t e substituir em y t c) As equações cs y se ( t) () t Pis as equações cs() t, t [,π] e se( t), deiem a circuerêcia de equaçã y 4 y satisazem y 4, para td t R Álvar Ferades 47

48 y ( ) 4 [ cs() t ] [ se() t ] 4 cs ( t) 4 se ( t) 4 cs ( t) se ( t) Observe este cas que a uçã cs( t) ã admite iversa iterval [, π] ectrada para a curva i implícita t e a rma Cas geral: y y a cs a se () t () t, t [,π], a >, deiem a circuerêcia de equaçã ( ) ( y y ) a Prve! d) Frma paramétrica da Elipse: y y a cs b se () t () t, t [,π], a b e ambs psitivs, deiem a elipse de equaçã ( ) ( y y ) a b Pis cs() t ( ) ( y y ), se() t e cs ( t) se ( t) a b Vams ver agra cm bter a derivada de uma uçã a rma paramétrica Seja y y () t () t a rma paramétrica que deie y cm uma uçã de Supha que as uções y() t y, ( t) e a sua iversa t( ) t sejam deriváveis Pdems etã bter a cmpsta y y( t( ) ) e aplicar a regra da cadeia para calcular ( ) y ( ) y ( t) t ( ) Vims estud da derivada da uçã iversa que ( ) () t () t () t y y ( ) y ( t) () t () t y y ( ) é a derivada de uma uçã a rma paramétrica t Daí, tems que () t y : Álvar Ferades 48

49 Eempl 6 a) Calcule a derivada y ( ) da uçã y( ) t 5 y 6t y ( ) () t () t, t R y 6 y deiida a rma paramétrica pr Pderíams bter este resultad eiad parâmetr t, bted a uçã y( ) diretamete y ( ) : 5 5 t 5 t y 6 9 Daí, y ( ) b) Calcule a derivada y ( ) da uçã y( ) t y t t y ( ) () t () t, t R y t t Para bter a derivada em uçã de, basta substituir t pr y y e calculad y deiida a rma paramétrica pr : ( ) t y ( ) ( ) y ( ) Observe que vamete pderíams bter este resultad eiad parâmetr t, bted a uçã y e calculad y ( ) ( )( ) ( ) ( ) c) Determie a equaçã da reta tagete a elipse cs y 4 se ( t) () t, t [,π] pt π t 4 A equaçã da reta tagete é y y y ( ) π Cálcul de : cs 4 Cálcul de π y : y 4 se 4 ( ) Cálcul de y pt y y () t () t 4 cs se () t () t 4 π t : 4 ct g π 4 () t y ct g () Lg, a reta tagete é igual a y ( ) ( ) u y 4( ) Álvar Ferades 49

50 Gráic: Atividades (grup 8) Calcule a derivada ( ) y das uções deiidas parametricamete s pts idicads a) set y cs t, t π b) cs y se t t, π t 6 Determie a equaçã da reta tagete e da reta rmal a gráic de cada uçã abai, s pts idicads se t π π a),t,, y se t π pt t 6 b) 6t y 6t ( t ) ( t ) pt de abscissa 5, t, Determie valr da área smbreada a igura abai Sabe-se que r é a reta tagete a elipse () t, t [, π] () t cs π C :, pt t y se A πab, de a e b sã s cmprimets ds semi- Obs: A área da elipse é dada pela órmula eis Resp: ( 8 π) 6 Álvar Ferades 5

51 Dierecial dy Até agra tem sid vist apeas cm uma simples taçã para a derivada de uma uçã d dy dy y ( ) em relaçã a variável, ist é, y ( ) ( ) O que arems agra é iterpretar d d cm um quciete etre dis acréscims (diereciais) Acréscims e decréscims Se a partir de um determiad valr smarms u subtrairms um determiad valr estarems azed um acréscim u decréscim a variável * R, Nesta igura tems que > Sem perda de geeralidade, pdems supr > para a ssa aálise Seja ( ) y uma uçã derivável e um acréscim a variável Deiiçã: O dierecial de, detad pr d, é valr d acréscim Csidere t a reta tagete a gráic de ( ), ist é, d y pt Seja α âgul de icliaçã de t Deiiçã: O dierecial de y, detad pr dy, é acréscim a rdeada da reta tagete t, crrespdete a acréscim d em y ( d) ( ) De acrd cm a igura pdems bservar que quciete tg( α) Mas tg ( α ) ( ) esta é a iterpretaçã gemétrica da derivada Lg dy ( ) d dy dy d ( ) d, pis O acréscim dy pde ser vist cm uma aprimaçã para y Esta aprimaçã é tat melhr quat mer r valr de d Ist é, se d, etã y dy Daí pdems dizer que y dy se d r bem peque Álvar Ferades 5

52 Cm y ( d) ( ) e dy ( ) d Eempl 7, btems que ( d) ( ) ( ) d, u seja, ( d) ( ) d ( ) Calcule dierecial dy das uções abai: a) y b) se( ) Sluções: y c) l( sec( ) ) y a) dy ( )d b) dy cs( )d c) dy tg( )d Calcule um valr aprimad para ( 9,9 ) usad diereciais Sluçã: Pdems pesar a uçã ( ) de querems calcular um valr aprimad para ( 9,9 ) Para ist vams utilizar ( d) ( ) d ( ) ( ) Daí, ( d) ( ) d ( ) ( (,) ) ( ) (,) ( ), de pdems azer e d, ( 9,9 ) ( ) (,) 4 (,) Lg ( 9,9 ) 96 O valr eat é 96, Lembre-se: quat mer valr de d, melhr é a aprimaçã Atividades (grup 9) Ectre y e dy para s valres dads as uções abai e cmpare s resultads ( y dy) a) y 5 6 ;,; b) y ;,; : Usad dierecial, calcule um valr aprimad para: a),5 b) 4, c) Álvar Ferades 5

53 Aplicações da derivada A regra de L Hspital Esta regra permite calcular certs tips de ites (cujas idetermiações sã d tip aplicad as regras de derivaçã u ) Sejam e g uções deriváveis um iterval abert I, ecet pssivelmete, um pt Supha que g ( ), I e a a I a) Se ( ) g( ) a a e a g ( ) ( ) L, etã a g ( ) ( ) a g ( ) ( ) L ; b) Se ( ) g( ) a a ± e a g ( ) ( ) L, etã a g ( ) ( ) a g ( ) ( ) L Eempl 8 Calcule s ites abai usad a regra de L hspital a) e - b) 4 c) ( ) se e d) e e e) ( ) Sluções: a) e - (veriique a idetermiaçã d tip ) e - e Álvar Ferades 5

54 b) 4 (veriique a idetermiaçã d tip ) 4 ( ) se c) e e se e e 4 5 (veriique a idetermiaçã d tip ) ( ) cs( ) e e Observe que aida há uma idetermiaçã d tip Neste cas pdems ctiuar aplicad a regra cs e e ( ) se( ) e e ( ) se Lg, e e e d) (veriique a idetermiaçã d tip ) e e Observe que aida há uma idetermiaçã d tip Neste cas pdems ctiuar aplicad a regra e e e Lg, e) ( ) Veriique que a idetermiaçã agra é d tip Neste cas, precisams trasrmá-la em u para pder aplicar a regra de L Hspital Vams usar duas l a ( ) l a e e l prpriedades ds lgarítims Sã elas: ( ) ( ) l( ) e e e l ( ) ( ) l ( e e ) e e e Pdems aplicar esta mesma técica para reslverms idetermiações d tip Atividades (grup ) Calcule s seguites ites usad a regra de L hspital: a) e e b) se se ( π) c) sec( ) tg( ) d) [ se( ) ] π Álvar Ferades 54

55 Iterpretaçã ciemática da derivada Vams agra iterpretar a derivada d pt de vista da ciemática, que estuda mvimet ds crps Verems que a velcidade e a aceleraçã de um crp pdem ser determiadas através das derivadas de primeira e seguda rdem, respectivamete, quad checems a uçã hrária d mvimet d crp Velcidade Csidere um crp que se mve em liha reta e seja s( t) s a sua uçã hrária, ist é, espaç percrrid em uçã d temp O deslcamet d crp iterval de temp t t t s s t t s t e é deiid pr ( ) ( ) A velcidade média d crp este iterval de temp é deiida pr v m ( t t) s( t) s s t t A velcidade média d crp ã dá uma irmaçã precisa sbre a velcidade em cada istate d mvimet iterval de temp t e t t Para bterms a velcidade istatâea d crp istate t, precisams calcular a velcidade média em itervals de temp cada vez meres, ist é, azed t A velcidade istatâea d crp istate t é deiida pr v () t v t m s s t t t ( t t) s( t) t s () t A velcidade istatâea v () t é a primeira derivada da uçã hrária ( t) Assim, () t s () t s v Aceleraçã De rma aálga a cceit de velcidade vem de aceleraçã: A aceleraçã média d crp iterval de temp a m ( t t) v( t) v v t t t e t t é deiida pr A aceleraçã istatâea d crp istate t é deiida pr a () t a t m v v t t t Cm () t s () t em relaçã a temp Assim () t s ( t) ( t t) v( t) t v () t Assim, () t v () t a v pdems escrever a aceleraçã istatâea cm a seguda derivada ds espaç a at, sed cstates v a velcidade iicial e a a aceleraçã d mvimet Neste cas, a Obs: N MRUV a uçã hrária é d segud grau s() t s v () t s espaç iicial, velcidade istatâea é dada pr v() t s ( t) v at a () t v () t a e a aceleraçã istatâea é dada pr Álvar Ferades 55

56 Eempl 9 a) Supha que um crp em mvimet retilíe teha uçã hrária deiida pr s() t t t e istate t ele iicia mvimet Csidere espaç medid em metrs e temp em seguds Determie: i) a velcidade média d crp iterval de temp[,] ; ii) a velcidade d crp istate t ; iii) a aceleraçã média d crp iterval de temp[,] ; iv) a aceleraçã d crp istate t Sluçã: s s( t t) s( t) s( ) s( ) 8 8 i) v m 4m / s t t ii) v () t s () t 4t v() 4 8m / s iii) a m ( t t) v( t) v( ) v( ) 8 v v 4m / s t t iv) a() t s () t 4 a( ) 4m / s b) Uma partícula em mvimet retilíe tem a uçã hrária dada pr s( t) t t 6t Csidere espaç medid em metrs e temp em seguds Determie: i) Em que istate a partícula pára, ist é, tem velcidade ula? ii) Determie a aceleraçã da partícula istate t 4,5 s Sluçã: i) v() t s () t 6t 4t 6 v() t 6( t 7 ) 6( t )( t 5) () t 6( t )( t 5) t s v u t 5s Assim a partícula tem velcidade ula s istates t s e t 5s ii) a () t s () t t 4 a( 4,5 ) ( 4,5) 4 m / s Álvar Ferades 56

57 Atividades (grup ) D sl um prjétil é disparad verticalmete para cima Sua altura (em metrs) é dada em uçã d temp (em seguds) pr h() t 6t t Determie: i) As uções velcidade e aceleraçã d prjétil; ii) Em que istate t > prjétil pára? iii) Quats seguds dura td trajet d prjétil? iv) Cm que velcidade e aceleraçã prjétil atigirá sl? A equaçã d mvimet de uma partícula é s ( t) t Determie: i) istate em que a velcidade é de m/s ; ii) a distâcia percrrida até este istate; iii) a aceleraçã da partícula quad t s, s em metrs e t em seguds 4 5 t A equaçã hrária d mvimet retilíe de uma partícula é s () t ( t 4) t 5 6 Csidere s em metrs e t em seguds Determie em que istate t > a aceleraçã da partícula é ula Álvar Ferades 57

58 Taa de variaçã Vims a seçã aterir que se s s() t é a uçã hrária d mvimet retilíe de um crp, a s velcidade média é dada pr v m e a velcidade istatâea é a dada pela derivada t s s () () ( t t) s( t) v v t s t Da mesma rma, a aceleraçã média é a m e a t t t t t v v aceleraçã istatâea é dada pela derivada () () ( t t) v( t) a t v t t t t t As razões v m e a sã eempls de taas médias de variaçã um iterval e as razões m s v v() t s () t e a() t v () t sã eempls de taas istatâeas de variaçã t t t t um pt, u simplesmete taas de variaçã um pt Deiiçã: De uma rma geral, se y ( ) é uma uçã, a razã de variaçã da uçã iterval [, ] y ( ) ( ) ( ) y é chamada de taa média e a derivada é chamada de taa de variaçã da uçã pt Tda taa de variaçã pde ser iterpretada cm uma derivada Iterpretad a derivada desta rma, pdems reslver diverss prblemas das ciêcias que evlvem razões istatâeas de variaçã Eempl 4 Supha que um óle derramad através da ruptura d taque de um avi se espalhe em rma circular cuj rai cresce a uma taa de m/h Cm que velcidade a área d derramamet está cresced istate em que rai atigir 6m? Sluçã: A taa cm que rai cresce é de m/h Pdems iterpretar e detar esta taa de variaçã cm dr m / h dt Querems calcular a taa cm que a área cresce em relaçã a temp Pdems detar esta taa de da variaçã cm A área d derramamet é circular, lg A πr dt da Querems calcular dt dr e tems A regra da cadeia relacia estas razões através de dt da dt da dr da Assim, πr 4πr Quad rai atigir 6m a área d derramamet dr dt dt 4π 6 m / h 4πm / estará cresced a uma taa de ( ) h Álvar Ferades 58

59 Diretrizes para reslver prblemas de taa de variaçã Desehe uma igura para auiliar a iterpretaçã d prblema; Idetiique e dete as taas que sã checidas e a que será calculada; Ache uma equaçã que relacie a quatidade, cuja taa será ectrada, cm as quatidades cujas taas sã checidas; 4 Derive esta equaçã em relaçã a temp, u use a regra da cadeia, u a derivaçã implícita para determiar a taa deschecida; 5 Após determiada a taa deschecida, calcule-a em um pt aprpriad Eempl 4 Um taque de água tem a rma de um ce circular ivertid cm base de rai m e altura igual a 4m Se a água está sed bmbeada detr d taque a uma taa de m /mi, ectre a taa a qual ível da água está elevad quad a água está a m de prudidade Dad dv dh m mi, devems ectrar dt dt quad h m As gradezas V e h estã relaciadas pela equaçã V πr h, que é vlume d ce Para bter vlume V cm uçã da altura h, pdems eiar a variável r usad semelhaça de triâguls: r h h r Assim, V 4 h π π h h Derivad ambs s lads em relaçã a temp t, btems dv dt dv dh dv π dh dh 4 dv h dh dt dt dt dt πh dt Substituid dv m mi e h m, tems dt dh dt 4 8,8 m mi π 9π Álvar Ferades 59

60 Atividades (grup ) ) Uma bla de eve esérica é rmada de tal maeira que seu vlume aumeta à razã de 8 cm /mi Cm que velcidade aumeta rai istate em que a bla tem 4 cm de diâmetr? ) Um autmóvel que viaja à razã de m/s, aprima-se de um cruzamet Quad autmóvel está a m d cruzamet, um camihã que viaja à razã de 4 m/s atravessa cruzamet O autmóvel e camihã estã em rdvias que rmam um âgul ret uma cm a utra Cm que velcidade aastam-se autmóvel e camihã s depis d camihã passar pel cruzamet? ) Uma escada cm m de cmprimet está apiada uma parede vertical e alta Num determiad istate a etremidade ierir, que se ectra a 5m da parede, está escrregad, aastad-se da parede a uma velcidade de m/s Cm que velcidade tp da escada está deslizad este mmet? 4) Um balã está a 6 m acima d sl e se eleva verticalmete à razã de 5 m/s Um autmóvel passa pr bai d balã viajad à m/s Cm que velcidade varia, um segud depis, a distâcia etre balã e autmóvel? 5) Despeja-se água um recipiete de rma côica, à razã de 8 cm /mi O ce tem cm de prudidade e cm de diâmetr em sua parte superir Se eiste um ur a base, e ível da água está subid à razã de mm/mi, cm que velcidade a água estará escad quad esta estiver a 6 cm d ud? 6) Um lad de retâgul está cresced a uma taa de 7 cm/mi e utr lad está decresced a uma taa de 5 cm/mi Num cert istate, s cmprimets desses lads sã cm e 7 cm, respectivamete A área d retâgul está cresced u decresced esse istate? A que velcidade? 7) Dis resistres variáveis R e R sã ligads em paralel A resistêcia ttal R é calculada pela equaçã R ( R ) ( R ) Se R e R estã aumetad às taas de, hm s e, hm s respectivamete, a que taa varia R istate em que hms e R 9 hms? R 8) Um triâgul isósceles tem s lads iguais cm 5 cm cada um Se âgul θ etre eles varia à razã de π 9 rad pr miut, determie a variaçã da área d triâgul quad θ π 6 rad Álvar Ferades 6