OBMEP NÍV. 6)A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em cm

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1 NÍV NÍVEL 7 a Lista 1) Qual é mair ds númers? (A) (B) 0+6 (C) (D) (0+ 6) (E) ) O símbl representa uma peraçã especial cm númers. Veja alguns exempls = 10, 8 = 7, 7 = 11, 5 1 = 10. Quant vale (8 7)? (A)19 (B)9 (C)10 (D) 0 (E) 60 ) Se dis lads de um triângul medem 5 cm e 7 cm, entã terceir lad nã pde medir: (A)11cm (B)10 cm (C) 6 cm (D) cm (E)1cm ) Se 8 = 1, entã é igual a: 6 (A) 0 (B) 1 (C) (D) 5 (E) 9 5) O que representam as expressões (a), (b) e (c) na figura a lad? a 1,5 (a) a + 1, 5a (b) a + a (c) a(1, 5 + a) 6)A figura é cmpsta de triânguls retânguls isósceles tds iguais. Qual é a área em cm da parte smbreada? 0 cm (A) 0 (B) 5 (C) 5 (D) 5 (E)50 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 8

2 Slu SOLUÇÕES 7 a Lista 1. (D) Lembre que se num prdut um ds fatres é zer, entã prdut também é zer. Tems: = 0; = = 6; = + 0 = ; (0 + 6) = 6 = 1 e = = 0. Lg, mair é (0+ 6).. (E) Tems que descbrir qual é a regra dessa peraçã. Nte que = 10 = +, 8 = 7 = 8 +, 7 = 11 = 7 +, 5 1 = 10 = Pdems cncluir que a regra que define a peraçã é a b= a b+ a. Assim, tems: (8 7) = ( ) = 6 = 6 + = 60.. (E) Lembre que num triângul a sma de dis lads quaisquer tem que ser mair que terceir lad. Cm nã é mair d que 7, terceir lad nã pde ser 1.. (E) 8 = 8 + = 8 + = 5 = 5. Lg, 5 = 1 6 =, dnde 5 = = Nte que a figura é um retângul frmad pr quadrad de lad a e um retângul de lads 1, 5 e a. (a) a = área d quadrad e 1, 5 a = área d retângul. Lg a + 1, 5a representa a smas dessas duas áreas, e prtant a área ttal da figura. (b) a + = a + 1, 5 + a + 1, 5 é perímetr da figura. (c) A figura é um retângul de largura a e cmpriment a + 1, 5, lg a(1, 5 + a) é a área ttal da figura. 6 cm 6. (D) Sluçã 1: O cmpriment da hiptenusa de cada um ds 5 triânguls é 0 5 = 6cm. O quadrad frmad pr desses triânguls tem lad igual a 6 cm, lg sua área é 6 cm. Lg, cada um ds triânguls tem 6:=9 cm de área. Prtant, a área da parte smbreada é 9 5 = 5cm Sluçã : Pel Terema de Pitágras, tems área da parte smbreada é x 18 5 = 5 = 5cm = x x =. A Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

3 NÍVEL 8 a Lista 1) Se eu der duas barras de chclate para Tiã, ele me empresta sua bicicleta pr hras. Se eu lhe der 1bmbns, ele me empresta a bicicleta pr hras. Amanhã, eu lhe darei uma barra de chclate e bmbns. Pr quantas hras ele me emprestará a bicicleta? (A)1 (B)1 (C) (D) (E) { } é igual a: ) ( ) (A) 0 (B) (C) (D) (E) 10 ) Na figura, as retas FD e EC sã paralelas? A E 6 F C ) Se x > 5, entã qual ds númers abaix é menr? B 8 8 D (A) 5/x (B) 5/ ( x + 1) (C) 5/ ( 1) x (D) /5 x (E) ( x + ) 1/5 5)O quadrad STUV é frmad de um quadrad limitad pr retânguls iguais. O perímetr de cada retângul é 0 cm. Qual é a área, em cm, d quadrad STUV? (A) 00 (B) 00 (C) 160 (D) 100 (E) 80 6) a) Calcule as diferenças: 1 1 ; 1 1 ; 1 1 ; ; b) Deduza de (a) valr da sma: c) Calcule a sma: Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 85

4 SOLUÇÕES 7 a Lista 8 a Lista 1. (C) crrespnde barras hras crrespnde 1 bmbns hras lg crrespnde 1barra 1,5 hras crrespnde bmbns 0,5 hras Lg, Tiã me emprestará a bicicleta pr 1, 5 + 0, 5 = hras. (E) As rdens de priridade para reslver uma expressã sã: parênteses clchete chaves 1 e multiplicações e divisões smas e subtrações 1 ( ) = = = Tems: = ( ) = { ( ) } = + = 6= 1= N triângul BCE, tems BÊC=180 -( +8 )=90. N triângul AFD, tems: =180 -(8 +6 )=90. Lg, as retas FD e EC sã perpendiculares a AB, prtant, sã paralelas.. (B) Sluçã 1: Cm a questã tem uma única respsta, ela é válida para qualquer valr de x. Pdems entã esclher um valr para x, pr exempl x = Tems:,,, x x+ = = = =, =. Vems que x /5 e ( x + 1/5 ) x 10 x x sã maires que 1, lg estã excluíds prque as utras três pções sã menres que 1. Cm 5/10,5/11e5/9 têm mesm numeradr, menr é que tiver mair denminadr, que é 5/11, 5 u seja, x + 1. Sluçã : Se x>5, entã 5, 5 e 5 sã menres d 1 e x x+ 1 e sã maires d que 1. Lg, as x x+ 1 x pções D e E estã excluídas. Cm 5, 5 e 5, têm mesm numeradr, menr é que tem mair x x+ 1 x 1 5 denminadr, que é. x (A)Dentems pr C e L, cmpriment e a largura respectivamente de cada um ds quatr retânguls. O perímetr de cada retângul é (C + L). Entã, (C + L) = 0 C + L = 0. Observe na figura que lad d quadrad STUV é C+L, e prtant sua área é A=( C+L) =0 =00cm. 86 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

5 6. Sluçã: a) 1 1 = 1 ; 1 1 = 1 6 ; 1 1 = 1 1 ; == 1 0 ; = b) = = 1 = c) Nte que s denminadres sã prduts de númers cnsecutivs, iniciand n 1: = Mas, geralmente, usand a decmpsiçã de cada parcela cm n item (a) pdems prvar que: = n ( n+ 1) n+ 1 Lg: L = = = 0, Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 87

6 NÍVEL 9 a Lista 1) Calcule s ânguls que nã estã indicads e perímetr da figura sabend que BD=BC e. ) Quais s valres de x que satisfazem 1 <? x 9 9 (A) x < (B) x > (C) < x < (D) x < 9 (E) x< ux> )Quantas sluções inteiras e psitivas satisfazem a dupla inequaçã 000 < nn ( + 1) < 005? (A)1 (B) (C) (D) (E)5 ) Na figura, O é centr d círcul e AB= 5cm. Qual é diâmetr desse círcul? 5) Se a, b e c sã númers naturais tais que a = b= 7c, entã menr valr de a+ b+ c é: (A) 8 (B)6 (C) 61 (D)56 (E) 6) Na figura tems TU=SV. Quant vale ângul? (A) 0 (B)50 (C)55 (D) 65 (E) Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

7 7) O café, bl e gat Dez minuts antes de clcar bl n frn, eu clquei meu gat d lad de fra da casa. O bl deve czinhar pr 5 minuts, entã eu clquei despertadr para tcar 5 minuts, após clcar bl n frn. Imediatamente fiz um café para mim, que me tmu 6 minuts. Três minuts antes de acabar de beber café gat entru em casa. Iss fi 5 minuts antes d despertadr tcar. O telefne tcu n mei d temp entre eu acabar de fazer café e gat entrar em casa. Falei a telefne pr 5 minuts e desliguei. Eram h59min da tarde. (a) A que hras clquei gat fra de casa? (b) Quants minuts depis de clcar gat fra de casa, despertadr tcu? (c) Quant temp gat estava fra de casa até mment em que telefne tcu? Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 89

8 Sluç SOLUÇÕES 9 a Lista 1. O triângul ABE é isósceles prque tem dis ânguls iguais. Lg s lads AE e AB sã iguais, prtant AB=10m. O triângul BCD também é isósceles prque tem dis lads iguais, BC=BD, lg. Cm, entã s três ânguls d triângul BCD sã iguais, lg cada um vale 180 = 60. Assim, ele é equiláter e tems BD=BC=CD=115m. Assim, perímetr da figura é: = 696m.. (E) ( x ) 9 x < < 0 = < 0 x x x x x 1cas:9 > 0e < 0: x 9 9 x> 0 x< e x < 0 x<. Cm 9 < a sluçã sã tds s númers x menres que, ist é x <. cas:9 x< 0ex > 0: 9 9 x< 0 x> e x > 0 x> 9 Cm < a sluçã sã tds s númers x maires que 9/, ist é 9 Lg, a sluçã da inequaçã é x< u x>. 9 x >.. (E) Cm s númers que aparecem sã tds psitivs, pdems elevá-ls a quadrad mantend s sinais, ist é: 000 < nn ( + 1) < 005. Observe que n e n + 1 sã inteirs cnsecutivs. Lg, tems as seguintes pções: 000 < < < < < < < < < < 005 Lg, tems 5 pssibilidades para n : 000, 001, 00, 00 e Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

9 . Observe que OC é um rai d círcul. Tems que OC=AB=5cm pr serem as diagnais d retângul OABC. Lg, diâmetr é 10 cm. 5. (C)Cm a, b e c sã númers naturais, segue que a é múltipl de, b múltipl de e 7c múltipl de 7. Cm, e 7 sã prims entre si (só pssuem 1 cm divisr cmum), menr múltipl cmum de, e 7 é 7= 8. Prtant: a= 8 a= 8 ; b= 8 b= 1 ; 7c= 8 c= 1. Lg, menr valr para a+ b+ c é = (D) Lembre que a sma ds ânguls interns de um triangul é 180. D triângul STU tems que =180 - ( )=75. Lg, esse triângul é isósceles (pr ter dis ânguls iguais) e prtant TU=SU. Cm TU=SV, segue que SU=SV. Prtant, triângul SUV também é isósceles, e prtant = = Vams listar s events crrids e cntar temp gast em cada um. A primeira atividade fi clcar gat fra da casa, lg nssa lista cmeça cm essa atividade e temp é cntad a partir dela. Atividade Gat fra de casa Bl n frn Fazer café Despertadr tca Gat entra em casa Acabar de tmar café Telefne tca Desligar telefne Temp depis que gat fi pst fra de casa 0 minuts 10 minuts 10+6=16 minuts 5+10=5 minuts 5-5=0 minuts 0+= minuts 16+(0-16):=8 minuts 8+5 = minuts Pdems agra dar as respstas. (a) Às :59hras desliguei telefne, que crreu minuts depis de clcar gat fra de casa. Lg a respsta é :59-0:=:6. (b) O despertadr tca 5 minuts após clcar gat fr a de casa. (c) 8 minuts Pdems saber exatamente a hra de cada atividade; veja na tabela a seguir. Atividade Temp depis que gat Hra atual fi pst fra de casa Gat fra de casa 0 minuts :59-0:=:6 Bl n frn 10 minuts :6+0:10=:6 Fazer café 10+6=16 minuts :6+0:16=: Despertadr tca 5+10=5 minuts :6+0:5=:11 Gat entra em casa 5-5=0 minuts :6+0:0=:06 Acabar de tmar café 0+= minuts :6+0:=:09 Telefne tca 16+(0-16):=8 minuts :6+0:8=:5 Desligar telefne 8+5 = minuts :59 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 91

10 NÍVEL 10 a Lista 1) Se m é um númer natural tal que m = 81, entã m é igual a: (A) 6 (B) 0 (C) 6 (D)99 (E)100. Quais figuras estã crretas? FIGURA I FIGURA II B FIGURA III ) Sinal de um prdut e sinal de um quciente: a, b, c e d sã quatr númers nã nuls a b tais que s qucientes,,, sã psitivs. Determine s sinais de a, 5 7a abc abcd b, c e d. ) Quais ds númers abaix sã negativs? ; ; ; ; ) As retas r e s sã paralelas, encntre x e y: Dia Temperatura máxima em C Temperatura mínima em em C a -feira 7-1 a -feira 0-11 a -feira a -feira a -feira 1-7 6) A tabela mstra as temperaturas máximas e mínimas durante 5 dias seguids em certa cidade. Em qual dia crreu mair variaçã de temperatura? 9 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

11 Sluç SOLUÇÕES 10 a Lista 1. (C)Tems m = 81= ; dnde m =. Lg, m = = = 6.. Na figura I, tems = 176 que é menr d que 180 ; lg a figura está errada. Na figura II, tems = 18 que é mair d que 180 ; lg a figura está errada. Na figura III, tems = 180, e a figura está crreta.. Sluçã. a > 0 a > b Tems a > 0 7a> 0, lg: > 0 b > 0 b < 0 7 a > 0 abc > 0. Cm a > 0 e b < 0 segue que c< 0( a b c > 0) abc + 18 > 0 abcd < 0, cm abc > 0 segue que d < 0. abcd. Cm 100 > 99 entã 100 > 99. Lg, > 0 e 11 10< 0. Analgamente: > > Assim, > 0 e < 0. Finalmente, < 5 < < 0. Os númers negativs sã 11 10, e Tems 80 + y = 180 y = x + 80 = 180, dnde x = 0..Cm as retas r e s sã paralelas, segue que, Dia Temperatura máxima em C Temperatura mínima em em C Variaçã a -feira (-1)=7+1=19 a -feira (-11)=0+11=11 a -feira (-15)=-+15=1 5 a -feira (-8)=9+8=17 6 a -feira (-7)=1+7=0 6. A variaçã de temperatura é a diferença entre a máxima e a mínima. Tems : Lg, a mair variaçã crreu na 6 a feira. Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 9

12 Nível NÍVEL 11 a Lista 1) O númer que fica entre /5 e / é (A) 1 6 (B) (C) 5 (D) 7 (E) 1 ) A figura mstra retângul mair dividid em 18 retânguls menres, tds cm a mesma largura. Que fraçã d retângul mair representa a parte em cinza? ) Na lista de frações, n quadr a lad, tems: frações cuja sma é 5 frações cuja diferença é frações cuj prdut é 5 frações cuj quciente é 5 Encntre a fraçã que está sbrand. ) N triângul KLM tems KL=KM, KT=KS e LKS=0. O ângul x é: (A)10 (B)15 (C) 0 (D) 5 (E)0 L S K x T M 5) Escreva dentr ds círculs s númers inteirs que trnam crreta a sucessã de perações. x ) Iara pssui R$ 50,00 para cmprar cps que custam R$,50 e prats que custam R$ 7,00. Ela quer cmprar n mínim prats e 6 cps. O que ela pde cmprar? 9 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

13 SOLUÇÕES 11 a Lista 1. (D) /5 e / sã menres que 1 (numeradr menr que denminadr) ; pr sua vez, / e 5/ sã maires que 1 (numeradr mair que denminadr), lg (B) e (C) estã excluídas. Tems 1/6 menr d que 1/. Cm 1/=0,5 e /5=0, segue que: 1 1 < <. Lg únic númer entre /5 e / é / ,5 0, Um númer x que fica entre /5 e / é um númer mair d que /5 e menr d que / u seja < x < 5. Observe na figura, a regiã em cinza tem a mesma área que a d enunciad. Cm tds s retânguls têm a mesma largura, retângul mair está dividid em partes iguais pels segments paralels a seu cmpriment. Lg, a regiã em cinza representa ¼ d retângul mair.. (a) frações cuja diferença é 5 : 5 5 = = 10 = (b) frações cuj prdut é : = = = (c) frações cuja sma é 5 : = = = = (d) frações cuj quciente é 5 : 5 = 5 = 5. Lg, fraçã que está sbrand é / Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 95

14 . (B) Sejam. O triângul KLM é isósceles prque tem dis lads iguais; cnsequentemente seus ânguls da base sã iguais, ist é:. Analgamente, triângul KST também é isósceles e prtant. Usarems agra que a sma ds ânguls interns de um triângul é 180. Acmpanhe na figura: N triângul STM tems: x+ α β = 180 x= β α N triângul KLM tems: α + α y = 180 y = 150 α. Lg, β + β α = 180 β α = 15. Prtant, x = Clcand x num ds círculs e aplicand a sucessã de peraçã btems dnde x=. x + x = + 1, x x + x = x +1 x + x x+ 6. Sejam c e p númer de cps e prats que Iara pde cmprar. Lg seu gast é,5c + 7 p. Ela só tem R$ 50,00, lg,5c + 7 p 50 (I) Além diss, ela quer cmprar n mínim prats e 6 cps, lg p ec 6 (II). Devems encntrar dis númers inteirs c e p (númer de cps e prats sã númers inteirs) que satisfaçam (I) e (II). Se ela cmprar prats sbram 50 7 = reais para s cps. Cm = 8,50 +, ela pdem cmprar 8 cps (sbrand-lhe R$,00 ). Se ela cmprar 5 prats sbram = 15 reais para s cps. Cm 15 = 6,50, ela pde cmprar 6 cps. Se ela cmprar 6 prats sbram = 8 reais para s cps, que lhe permite cmprar apenas 1 cp que nã é que ela quer. Lg, Iara pde cmprar prats e 8 cps, u 5 prats e 6 cps. 96 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

15 NÍVEL 1 a Lista 1) Quants sã s númers inteirs x tais que 5< x 1 5? (A) (B)9 (C)10 (D)11 (E)1 ) Na figura mstra nve quadrads. A área d quadrad A é 1cm e d quadrad B é 81cm. Qual a área d quadrad I em centímetrs quadrads? (A)196 (B) 56 (C) 89 (D) (E)61 ) André, Brun, Celina e Dalva ganharam junts 1medalhas num cncurs. André fi que mais ganhu medalhas, Brun ganhu dbr de Celina e Dalva a mais que Brun. Quantas medalhas cada um pde ter ganhad? ) Célia quer trcar cm Guilherme figurinhas de um álbum sbre animais brasileirs. Celina quer trcar figurinhas de brbleta, 5 tubarã, cbra, periquit e 6 macac. Tdas as figurinhas de Guilherme sã de aranha. Eles sabem que: (i) 1 figurinha de brbleta vale figurinhas de tubarã (ii) 1 figurinha de cbra vale figurinhas de periquit (iii)1 figurinha de macac vale figurinhas de aranha (iv) 1 figurinha de periquit vale figurinhas de aranha (v) 1 figurinha de tubarã vale figurinhas de periquit Quantas figurinhas Célia receberá se ela trcar tdas que quiser? 5)Escreva numa linha s númers de 1 a 15 de md que a sma de dis númers adjacentes nessa linha seja um quadrad perfeit. 6) Um retângul está dividid em regiões, duas delas cm áreas cm e 1 cm cnfrme indicad na figura. Qual é a área da utra regiã? Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 97

16 Sluç SOLUÇÕES 1 a Lista 1. (C) Smand 1 a tds s membrs das duas desigualdades tems 5+ 1< x < x 6. Os valres inteirs de x que satisfazem as duas desigualdades sã: -, -, -1, 0, 1,,,, 5, 6.. (D) O lad de A é 1= 1cm e de B é 81 = 9cm. Agra tems: Lad de G = lad de de B-lad de A=9-1=8cm Lad de C = lad de B+lad de A=1+9=10cm Lad de F = lad de G-Lad de A=8-1=7cm Lad de H=lad de G+lad de F=8+7=15cm Lad de B+lad de C=lad de G+lad de F+lad de E 9+10=8+7+lad de E. Lg, lad de E=cm Lad de D=ladC+lad de E=10+=1cm Lad de I=lad de E+lad de D=18cm. Finalmente, a área de I é 18 = cm. Dentems pr A, B, C e D númer de medalhas ganhas pr André, Brun, Celina e Dalva respectivamente, entã A+ B+ C+ D = 1. Agra, tems: Brun ganhu dbr de Celina B = C Dalva a mais que Brun : D= B+ A B A 5B 6 5 6=6 B Daí btems A+ B+ + B+ = 1 A+ 5B= 6. Cm A e B = =6 sã númers inteirs, tems as seguintes pssibilidades para A e B: =6 Cm André fi que mais recebeu medalhas, a sluçã A= e B=6 nã serve. Agra usand as cndições C=B/ e D=B+, btems as seguintes pssibilidades de medalhas para cada um deles, mstradas n quadr a lad. André Brun Celina Dalva Ttal 8 := +=7 1 1 :=1 += :=0 0+= 1 98 Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

17 . A meda de trca de Guilherme sã figurinhas de aranha, lg vams calcular valr-aranha de cada tip de figurinha usand as infrmações (a), (b), (c), (d) e (e). brbleta = 1 tubarã = periquit = 7 aranha ( a) ( e) ( d) 1 5 tubarã = 10 periquit = 0 aranha (e) (d) 5 10 cbra = 9 periquit = 7 aranha (b) (d) 9 6 periquit = 18aranha (d) 6 6 macac = aranha (c) 6 Lg, ela receberá = 171 figurinhas de aranha. 5. Primeir verificams quais s númers que pdem ser adjacentes. Númers Pssíveis vizinhs Os algarisms 8 e 9 só têm cada um apenas um pssível vizinh, lg eles devem ser clcads n iníci e n fim da fila, seguids de seus únics vizinhs:. 8 1??????????? 7 9 Sbram s númers,,, 5, 6, 10,11 1, 1, 1 e 15. Na tabela de vizinhs vems que a lad d 7 só pdems clcar e a lad d 1. Tems entã: 8 1????????? Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas 99

18 Cnsultand a tabela de vizinhs e s númers que sbram, chegams à respsta. Veja a seguir a sluçã pass a pass. Frmaçã da linha em cada etapa Sbram 8 1??????????? 7 9,,, 5, 6, 10, 11, 1, 1, 1, ?????????? 7 9,, 5, 6, 10, 11, 1, 1, 1, ????????? 1 7 9,, 5, 6, 10, 11, 1, 1, ??????? ,, 6, 10, 1, 1, ?????? , 6, 10, 1, 1, ????? , 6, 10, 1, ???? , 6, 10, ??? , 10, Respsta base altura 6. Lembre que a área de um triângul é, nde a altura é relativa à base esclhida. N triângul AEB tems base = AB=cmpriment d retângul e a altura relativa a essa base é BC= AB BC largura d retângul. Lg, = AB BC = 8. Lg a área d retângul é 8cm. Prtant, a área pedida é 8 ( + 1) = 8 7 = 11cm Olimpíada Brasileira de Matemática das Esclas Públicas

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