Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 MATEMÁTICA Seu pé direito nas melhores faculdades FUVEST a Fase /janeiro/0 0. Determine o conjunto de todos os números reais para os uais vale a desigualdade log 6 ( ) log ( + ) < log 6 ( ) log ( + ) < (C.E.) Assim, > 0 < < Þ + > 0 > Þ < < log 6 ( ) log ( + ) < log ( ) log ( + ) < log ( ) log ( + ) < ( ) log < + ( ) < log ( ) ( + ) < + ( ) < log + < < + < + < + > CPV fuvfjan Como + > 0, então: < + 5 > Þ Þ < < 5 5 > + 5 < 3 S = ] ; [ 5 5

2 FUVEST /0/0 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. Na figura abaio, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G. Cálculo da área da superfície S: S = S MBFE + S NBFG + S EFG + S MBN + S EGNM + S MBFE = S 3 NBFG = = S EFG =. = 5 5 S MBN =.. = 8 h 5 3 = h = E G S EGNM = = 8 5 h h 5 S = S= S= M N CPV fuvfjan

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST /0/ Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas uestões, sendo 7 de Português, de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas uestões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo auelas ue seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras uestões são de Português, a última deve ser uma uestão de Matemática e, ainda mais: duas uestões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? c) Dado ue um candidato vai receber uma prova ue começa com 7 uestões de Português, ual é a probabilidade de ue ele receba uma versão classe A? a) uestões: 7 de Português, de Geografia e 3 de Matemática. P =! b) Português G M 7! N. 3 N = 5!.! 3! = 0 8 = 7 { 3 Geo e Mat 3 Geo e Mat juntas O número de provas classe A é n (A) = 7! Þ n (A) = c) Começando com 7 uestões de Português = 7P P(A 7P) = na ( ) n ( 7 P) P(A 7P) = 7! = 7! 7! P(A 7P) = 6 35 fuvfjan CPV

4 FUVEST /0/0 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número compleo z 0 = + i i + i. b) Determine um polinômio de grau, com coeficientes inteiros, ue tenha z 0 como raiz. c) Determine os números compleos w tais ue z 0. w tenha módulo igual a 5 e tais ue as partes real e imaginária de z 0. w sejam iguais. d) No plano compleo, determine o número compleo z ue é o simétrico de z 0 com relação à reta de euação = 0. a) z 0 = + i i + i = i i + + i = + i. Assim: Re (z 0 ) = e Im (z 0 ) = b) Um polinômio do o grau, cujos coeficientes são inteiros, admite as raízes conjugadas z 0 = + i e z 0 = i. Portanto, é dado por P() = a( i). ( + i) = a( + + ) = a( + 5 ) Como os coeficientes são inteiros, o coeficiente a deve ser múltiplo de, ou seja, a = k (k Î Z*). Assim, um polinômio nestas condições pode ser: P() = + 5 c) Sendo w = +.i (, Î ), temos: ( + i) ( +.i) = +. i +. i = i + z 0. w = 5 (I) Assim: z 0. w = i + e devemos ter: = + (II) De (I), temos: 5 + = + = 50 De (II) 3 = Þ = 3 (III) Substituindo (III) em (I) resulta: + = e 6 = = ou = + = = e = 6 Os compleos procurados são: w = 6 + i e w = 6 i = 0 d) No plano compleo, sendo z = (; ) simétrico a z 0 = ( ; ) em relação à reta = 0, temos a figura ao lado: z 0 = ( ; ) Assim: z = (; ) z = (; ) CPV fuvfjan

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST /0/ As raízes da euação do terceiro grau 3 + k 6 = 0 são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine a) as raízes da euação; b) o valor de k. 06. As circunferências C e C estão centradas em O e O, têm raios r = 3 e r =, respectivamente, e tangenciamse eternamente. Uma reta t é tangente a C no ponto P, tangente a C no ponto P e intercepta a reta OO no ponto Q. Sendo assim, determine a) o comprimento P P ; b) a área do uadrilátero O O P P ; c) a área do triângulo QO P. a) Sendo,, as raízes em P.G, da euação 3 + k 6 = 0, temos:.. = 6 (I) + + = (II) Q 3 P O 3 O R 3 P De (I): 3 = 6 Þ = Substituindo-se em (II): + + = + = = 0 Assim, = ou = e as raízes da euação são, e 8. b) Sendo uma raiz da euação, temos 3. + k 6 = 0 a) Seja O R // P P portanto R0 = 3, RO = 9 Aplicando o teorema de Pitágoras no O R0 Temos 5 = + 9, isto é = Onde P P = b) A área do trapézio O, O P P é dado por ( 3+ ) S = = 90 S = 90 c) QP O ~ QP O k = 56 QP QP QP QP + = = OP OP 3 QP = Então OP = + = 6 e a área do QP O é S QPO = 6. = 96 fuvfjan CPV

6 6 FUVEST /0/0 Seu pé direito nas melhores Faculdades COMENTÁRIO DO CPV A Banca Eaminadora de Matemática da FUVEST está, mais uma vez, de parabéns por ter elaborado uma prova contendo uestões conceitualmente claras e bem abrangentes, com a ual terá perfeitas condicões de selecionar adeuadamente os melhores candidatos. Os assuntos abordados foram: Questão : Função Modular / Logaritmos e Ineuações Questão : Geometria Plana (áreas) e Geometria Espacial Questão 3: Análise Combinatória e Probabilidades Questão : Números Compleos / Polinômios e Geometria Analítica (aplicação gráfica) Questão 5: Euações Algébricas e Progressões Geométricas Questão 6: Geometria Plana Podemos auilatar o alto nível dessa prova pela diversidade de assuntos abordados nas 6 uestões propostas. CPV fuvfjan