Termos. Tempo. t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n. 0 (origem) ( ) n-1 n

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1 CAPÍTULO II RENDAS Cálculo Financeiro * Francisco Antunes Paulo Mêda Enquadramento Regime de Juro Composto Sabe-se que utilizando o factor de actualização (1+i) -n o de capitalização (1+i) n é possível movimentar no tempo um capital de cada vez. Mas e se forem ? Pode dar uma trabalheira enorme!!! 3 1

2 Conceito de renda Conjunto de capitais (termos) que ocorrem em intervalos de tempo iguais i (equidistância temporal). Não interessa que os diferentes capitais (os termos) sejam de igual montante. A periodicidade id d da renda é definida id pelo período de tempo entre dois termos consecutivos. 4 Conceito de renda Para definir uma renda é preciso saber: o momento de referência; o momento de vencimento do primeiro termo; o número de termos; o valor de cada termo; o intervalo de tempo (constante) entre os termos. 5 2

3 Representação de uma renda Termos t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n 0 (origem) ( ) n-1 n Tempo 6 Valor actual de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n V 0 = t 1.(1+i) t 2.(1+i) t 3.(1+i) t (n 1).(1+i) -(n (n-1) + t n.(1+i) -n (n-1) 7 3

4 Valor acumulado de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n V = t.(1+i) (n-1) + t.(1+i) (n-2) + t.(1+i) (n-3) n t (n-1) 1).(1+i) ) + t n n é o momento em que ocorre o último termo 8 Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS O número de termos é finito. PERPÉTUAS O número de termos pode ser considerado d ilimitado. 9 4

5 Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS ( ) ( ) n-1 n PERPÉTUAS ( ) ( ) + 10 Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS O período da renda corresponde ao período da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal, ). FRACCIONADAS O período da renda difere do período da taxa. 11 5

6 Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS ( ) (i mensal) ( ) 34 meses FRACCIONADAS (i anual) meses 12 Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor. VARIÁVEIS Os termos têm valores diferentes: Sem regularidade matemática; Com progressão aritmética; Com progressão geométrica. 13 6

7 Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES ( ) ( ) 34 VARIÁVEIS ( ) ( ) Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS Coincide com a origem. DIFERIDAS O momento de referência é anterior à origem. 15 7

8 Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS ( ) ( ) 34 DIFERIDAS ( ) ( ) Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) Os termos vencem no final de cada período. ANTECIPADAS Os termos vencem no início de cada período. 17 8

9 Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) ( ) ( ) ANTECIPADAS ( ) ( ) Quadro Resumo 19 9

10 Quadro Resumo 20 Não interessa!!! 21 10

11 Só nos interessam: TEMPORÁRIAS PERPÉTUAS CONSTANTES VARIÁVEIS INTEIRAS basta converter a taxa das fraccionadas IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS basta actualizar/capitalizar l através de (1+i)- n /(1+i) n 22 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS CONSTANTES 23 11

12 Valor actual: renda constante V 0 = t 1.(1+i) t 2.(1+i) t 3.(1+i) t (n 1).(1+i) -(n (n-1) + t n.(1+i) -n (n-1) mas como t1 = t2 = t3 = = tn-1 = tn vem que: n V 0 = t. 1 ( 1 i a ni i ) A ni 24 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t t t t t meses 25 12

13 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 26 Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% meses 27 13

14 Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 28 Valor actual: renda constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses 29 14

15 Valor acumulado: r. constante V n = t. 1 ( V n = V 0.(1+i) n vem que: 1 i i n ) (. 1 i ) n s ni 30 Valor acumulado: r. constante V n = V n = V 0.(1+i) n t. ( 1 i n 1 i vem que: ) s ni S ni 31 15

16 Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t t t t t meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 32 Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 33 16

17 Valor acumulado: r. constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 4? Qual é o valor da renda no final do prazo? 34 Valor acumulado: r. constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 7? 35 17

18 Valor acumulado: r. constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 70? Qual é o valor da renda no momento 70? 36 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS VARIÁVEIS Sem regularidade matemática; Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica

19 TERMOS SEM REGULARIDADE Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar) termo a termo para a data de análise! (i mensal = 3%) meses 38 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-2)r t+(n-1)r n-1 n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 39 19

20 Valor actual com termos em PA V 0 = V 0 = t.(1+i) (t+r).(1+i) (t+2r).(1+i) [t+(n-2).r].(1+i) -(n (n-1) + [t+(n-1).r].(1+i) -n 1 1 i n ( ) i r nr. t nr i i a ni a Ani 40 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r meses 41 20

21 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 42 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% meses 43 21

22 Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 44 Valor actual com termos em PA 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses 45 22

23 Valor acumulado em PA V n = V 0.(1+i) n vem que: V = = n a S A 1 i ni a ni n 46 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-2) t.r (n-1) n-1 n 47 23

24 Valor actual com termos em PG V 0 = t.(1+i) (t.r).(1+i) (t.r 2 ).(1+i) [t.r (n-2) ].(1+i) -(n (n-1) + [t.r (n-1) ].(1+i) -n V 0 = t (1 i) n g n r. r Ani n 1i 1i 48 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146, meses 49 24

25 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 26, % ,1 146, meses 50 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146, meses 51 25

26 Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146, meses 52 Valor acumulado em PG V n = V 0.(1+i) n vem que: = = n n r 1i t. A 1i g ni r 1 i V n = = n 53 26

27 Caso particular da PG r =(1+i) ,1 146, Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1) r = 1+ 0,1 = 1,1 g Ani = n.t.(1+i) RENDAS PERPÉTUAS TERMOS CONSTANTES meses 1) Calcule o valor actual do último termo: 1.1) Considere uma taxa mensal de 10% 1.2) Considere uma taxa mensal de 20% 55 27

28 Valor actual: renda constante V 0 = 1 1 i t. i ( ) Como (1+i) - 0, vem que 56 Valor actual: renda constante V 0 = 1 t. i a i A i Não faz sentido falar de valor acumulado 57 28

29 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% meses 58 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 59 29

30 Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% meses 60 Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 61 30

31 RENDAS PERPÉTUAS TERMOS VARIÁVEIS Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica. 62 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-1)r n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 63 31

32 Valor actual com termos em PA V 0 = V 0 ( 1 n 1 i i ) Como (1+i) - 0, vem que r nr. t nr i i 1 r nr t r i. t nr 2 i i i i a A i 64 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r meses 65 32

33 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 66 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% ??? meses 67 33

34 Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 68 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-1) n 69 34

35 Valor actual com termos em PG n n V = t r 1i. 0 (1 i) n r 1i n n t r t 1i t.. n n (1 i) r 1 i (1 i) r 1 i 1i r [r (1+i)] 0, apenas se r < (1+i) g A i 70 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 20% ,1 146, meses 71 35

36 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 791, % ,1 146, meses 72 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 20% ,1 146, meses 73 36

37 Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 20% , meses 74 37