6. Capitalização. E.g., a 5 anos à taxa juro anual de 3,5% resulta no fim do prazo uma entrega de x(1+3,5%)^5 = 118.

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1 1 2 Sumário (16ª aula) 6. Capitalização Taxa de juro anual equivalente 6.4. Noção de Desconto Capitalização composta Vimos que os contratos de empréstimo consideram um montante e uma taxa de juro por unidade de tempo E.g., a 5 anos à taxa juro anual de 3,5% É necessário calcular o total a devolver ao fim do prazo 23 Nov Capitalização composta E.g., a 5 anos à taxa juro anual de 3,5% resulta no fim do prazo uma entrega de x(1+3,5%)^5 = ,63 Mas esta conta é difícil de fazer E quando a taxa de juro anual e o prazo são pequenos, posso desprezar os juros de juros Se não considerar os juros de juros no fim do prazo a entrega será x(1+3,5%x5) = ,00 O erro será de 1,27% (1268,63 ) Em vez de uma série geométrica uso uma aritmética 5 6 A operação aritmética é mais facilmente entendida pelos agentes económicos que compram bens e serviços a crédito: Frigoríficos, televisores, automóveis, férias no Brasil, etc. Então, nestes contratos a capitalização é simples Recordo que Ln[V.(1+r)^n]= Ln(V) + n.ln(1+r)» Ln(V) + n. r, sse r» 0 Ln(V) + n. r» Ln[V. (1 + n. r)], sse n. r» 0 Quer dizer que V.(1+r)^n» V.(1+r.n) se e só se r e r.n forem próximos de zero.

2 7 8 Para a mesma taxa, o juro capitalizado de forma composta é sempre maior que o juro capitalizado de forma simples (tem os juros de juro), excepto se a taxa de juro fosse negativa. Mas é necessário eu saber qual é a taxa verdadeira Taxa Anual Equivalente Mas queremos saber qual seria à taxa anual se a capitalização fosse a composta Por exemplo, comprei um frigorífico por 250 a pagar no fim de 2 anos com um juro simples anual de 5% 250x(1+2x5%) = 250x(1+r)^2 r = (1+2x5%)^0,5 1 = 4,88% A taxa de juro anual equivalente é de 4,88% 9 10 Por exemplo, tenho um cartão de crédito Tem um tecto de 1000 No fim dos meses, amortizo pelo menos 10% da dívida Sobre a parte que não pagar, incide 1% de taxa de juro Mais 1 de mensalidade Quanto é a taxa de juro anual equivalente que pago? É dependente do perfil do cliente. Podemos dizer que 1% ao mês corresponde a uma taxa anual de (1,01)^12 1 = 12,68% Vejamos um cliente que comprar todos os meses 300 e fica a dever 500. Cada mês paga de juros: meses Assumindo as compras no meio dos meses, o capital médio em divida é 300 / = 650 O juro mensal é de 6 (taxa mensal de 6/650 = 0,92%) TAE de 1,0092^12 1 = 11,66% meses Mas, normalmente, os contratos têm prestações periódicas E.g., por cada 100, pagar 9 por mês durante 1 ano Será de 8%?

3 13 14 Tmensal 1,20% TAE 15,45% Mês Inicio Juros Amort Fim 1 100,00 1,20 9,00 92, ,20 1,11 9,00 84, ,31 1,02 9,00 76, ,33 0,92 9,00 68, ,25 0,82 9,00 60, ,07 0,72 9,00 51, ,79 0,62 9,00 43, ,42 0,52 9,00 34, ,94 0,42 9,00 26, ,36 0,32 9,00 17, ,68 0,21 9,00 8, ,89 0,11 9,00 0,00 E se fizéssemos uma conta simples Se amortizo, em média devo metade (50 ) Pago de juros 8 A taxa de juro anual é aproximadamente 16% A TAE que determinei com o Solver é 15,45%!!! Em termos matemáticos, a determinação da TAE implícita num contrato complexo é difícil, tendo muitas vezes que ser feito por tentativa e erro. Normalmente, constrói-se um modelo numa folha de cálculo e usa-se a ferramenta Solver. Questão 1: No fim do ano uma empresa atribui 1000 de premio à primeira criança a nascer no dia 1 de Jan de Sendo que o dinheiro é depositado com a remuneração de 1% por semestre e só pode ser levantado quando a criança atingir os 18 anos. Quanto receberá a criança quando levantar o dinheiro? A)1430,77 B) 1360,00 C) 1340,73 C) 1403, Exercício 1: Ao fim do prazo, de correram 18x2=36 semestres O valor será 1000x(1,01)^36 = 1430,77 É a resposta A) A) 1430,77 B) 1360,00 C) 1340,73 C) 1403,37 Questão 2: Dois primos que fazem anos no mesmo dia, no dia em que fizeram um 10 anos e outro 15 anos, receberam de herança Euros em certificados de aforro; estipulava-se que aquela quantia deveria ser repartida de forma que cada um recebesse aos 18 anos o mesmo valor. Se vigorar a taxa de juro anual de 2.5%, qual deve ser o montante recebido pelo mais novo? A) 46917,34 B) 46193,74 C) 49617,43 D) 46371,94

4 19 20 Questão 2: Um demora 8 anos e outro 3 anos Sendo X o dinheiro que o mais novo recebe e arredondando a 4 casas decimais X.(1+2,5%)^8 = ( X).(1+2,5%)^3 X.1,2184= ( X).1,0769 1,2953.X= , X = 46917,61 (é a A) Questão 3 - Num empréstimo de , convencionou-se que o devedor faria o pagamento só no fim do 4º ano, liquidando então Qual é a taxa de juro anual equivalente implícita no contrato? A) 6,00% B) 5,53% C) 6,23 D) 5,87% A) 46917,34 B) 46193,74 C) 49617,43 D) 46371, Questão x(1+r)^4= r = 1,24^0,25-1 = 0,05525 A) 6,00% B) 5,53% C) 6,23 D) 5,87% Questão 4 - Qual o valor total acumulado por um capital de após 30 anos e meio de capitalização composta, à taxa trimestral de 0,5%? A)1610,00 B)1743,76 C) D)1941,43 A) 2,00% B) 2,02% C) 2,04% D) 2,06% Questão 4 - Qual o valor total acumulado por um capital de após 30 anos e meio de capitalização composta, à taxa trimestral de 0,5%? 1000 x1,005^(30,5x4) = , opção C A)1610,00 B)1743,76 C) D)1941,43 Questão 5 - Em 1873 foi vendido um quadro por 100 contos de Reis. Sendo que foi vendido em 2004 por 2,5 milhões de, qual foi a TAE de valorização? A) 6,7% B) 11,4% C) 15,9% D) 17,3% (1+0,5%)^4 = 1,005^4 = 2,0151%, opção B A) 2,00% B) 2,02% C) 2,04% D) 2,06%

5 25 Questão 5 - Em 1873 foi comprado um quadro por 100 contos de Reis. Sendo que foi vendido em 2004 por 2,5 milhões de, qual foi a TAE de valorização? 100x(1+r)^131= r =5.000^(1/131)-1= 0,06718, opção A) A) 6,7% B) 11,4% C) 15,9% D) 17,3%