Enquadramento CAPÍTULO II RENDAS CAPÍTULO II RENDAS. Cálculo Financeiro * Francisco Antunes. Cálculo Financeiro * Francisco Antunes

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Camila Alvarenga Cerveira
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1 CAPÍTULO II RENDAS Cálculo Financeiro * Francisco Antunes CAPÍTULO II RENDAS Cálculo Financeiro * Francisco Antunes Enquadramento Regime de Juro Composto Sabe-se que utilizando o factor de actualização (1+i) -n o de capitalização (1+i) n é possível movimentar no tempo um capital de cada vez. Mas e se forem ? Pode dar uma trabalheira enorme!!! 3 1

2 Conceito de renda Conjunto de capitais (termos) que ocorrem em intervalos de tempo iguais (equidistância temporal). Não interessa que os diferentes capitais (os termos) sejam de igual montante. A periodicidade da renda é definida pelo período de tempo entre dois termos consecutivos. 4 Conceito de renda Para definir uma renda é preciso saber: o momento de referência; o momento de vencimento do primeiro termo; o número de termos; o valor de cada termo; o intervalo de tempo (constante) entre os termos. 5 Representação de uma renda Termos t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n 0 (origem) ( ) n-1 n Tempo 6 2

3 Valor actual de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n V 0 = t 1.(1+i) -1 + t 2.(1+i) -2 + t 3.(1+i) t (n-1).(1+i) -(n-1) + t n.(1+i) -n 7 Valor acumulado de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n V n = t 1.(1+i) (n-1) + t 2.(1+i) (n-2) + t 3.(1+i) (n-3) + + t (n-1).(1+i) + t n n é o momento em que ocorre o último termo 8 Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS O número de termos é finito. PERPÉTUAS O número de termos pode ser considerado ilimitado. 9 3

4 Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS ( ) ( ) n-1 n PERPÉTUAS ( ) ( ) + 10 Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS O período da renda corresponde ao período da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal, ). FRACCIONADAS O período da renda difere do período da taxa. 11 Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS ( ) (i mensal) ( ) 34 meses FRACCIONADAS (i anual) meses 12 4

5 Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor. VARIÁVEIS Os termos têm valores diferentes: Sem regularidade matemática; Com progressão aritmética; Com progressão geométrica. 13 Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES ( ) ( ) 34 VARIÁVEIS ( ) ( ) Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS Coincide com a origem. DIFERIDAS O momento de referência é anterior à origem. 15 5

6 Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS ( ) ( ) 34 DIFERIDAS ( ) ( ) Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) Os termos vencem no final de cada período. ANTECIPADAS Os termos vencem no início de cada período. 17 Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) ( ) ( ) ANTECIPADAS ( ) ( )

7 Quadro Resumo 19 Quadro Resumo 20 Não interessa!!! 21 7

8 Só nos interessam: TEMPORÁRIAS PERPÉTUAS CONSTANTES VARIÁVEIS INTEIRAS basta converter a taxa das fraccionadas IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS basta actualizar/capitalizar através de (1+i)- n /(1+i) n 22 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS CONSTANTES 23 Valor actual: renda constante V 0 = t 1.(1+i) -1 + t 2.(1+i) -2 + t 3.(1+i) t (n-1).(1+i) -(n-1) + t n.(1+i) -n mas como t1 = t2 = t3 = = tn-1 = tn vem que: V 0 = 24 8

9 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t t t t t 5 25 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2%

10 Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% Valor actual: renda constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses 29 Valor acumulado: r. constante V n = V 0.(1+i) n vem que: V n = 30 10

11 Valor acumulado: r. constante V n = V n = V 0.(1+i) n vem que: 31 Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t t t t t 5 Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 32 Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 33 11

12 Valor acumulado: r. constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% Qual é o valor acumulado da renda no momento 4? Qual é o valor da renda no final do prazo? 34 Valor acumulado: r. constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% Qual é o valor acumulado da renda no momento 7? 35 Valor acumulado: r. constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 70? Qual é o valor da renda no momento 70? 36 12

13 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS VARIÁVEIS Sem regularidade matemática; Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica. 37 TERMOS SEM REGULARIDADE Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar) termo a termo para a data de análise! (i mensal = 3%) 38 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-2)r t+(n-1)r n-1 n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 39 13

14 Valor actual com termos em PA V 0 = t.(1+i) -1 + (t+r).(1+i) -2 + (t+2r).(1+i) [t+(n-2).r].(1+i) -(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i) -n V 0 = 40 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r 41 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26, %

15 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% Valor actual com termos em PA 4) Considere uma taxa mensal de 2% meses 45 15

16 Valor acumulado em PA V n = V 0.(1+i) n vem que: V n = = 46 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-2) t.r (n-1) n-1 n 47 Valor actual com termos em PG V 0 = t.(1+i) -1 + (t.r).(1+i) -2 + (t.r 2 ).(1+i) [t.r (n-2) ].(1+i) -(n-1) + [t.r (n-1) ].(1+i) -n V 0 = 48 16

17 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146,41 49 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 26, % ,1 146,41 50 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146,

18 Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 2% ,1 146,41 52 Valor acumulado em PG V n = V 0.(1+i) n vem que: V n = = 53 Caso particular da PG r =(1+i) ,1 146, Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1) r = 1+ 0,1 = 1,1 = n.t.(1+i)

19 RENDAS PERPÉTUAS TERMOS CONSTANTES meses 1) Calcule o valor actual do último termo: 1.1) Considere uma taxa mensal de 10% 1.2) Considere uma taxa mensal de 20% 55 Valor actual: renda constante V 0 = Como (1+i) - 0, vem que 56 Valor actual: renda constante V 0 = Não faz sentido falar de valor acumulado 57 19

20 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% meses 58 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 59 Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% meses 60 20

21 Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 61 RENDAS PERPÉTUAS TERMOS VARIÁVEIS Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica. 62 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-1)r n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 63 21

22 Valor actual com termos em PA V 0 = Como (1+i) - 0, vem que 64 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r meses 65 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26, % meses 66 22

23 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% ??? meses 67 Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% meses 68 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-1) n 69 23

24 Valor actual com termos em PG V 0 = [r (1+i)] 0, apenas se r < (1+i) 70 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 20% ,1 146, meses 71 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 791, % ,1 146, meses 72 24

25 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 20% ,1 146, meses 73 Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 20% , meses 74 25

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