Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão [2] 2007/2008

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1 Licenciatura em Gestão Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão [2] 2007/2008 Noções Fundamentais Rendimento = Consumo + Poupança [Aforro] Aforro = Entesouramento + Investimento Financeiro Entesouramento = A poupança diz-se entesourada quando é mantida sob a forma de moeda [Liquidez; Disponibilidade Imediata]. Investimento Financeiro = Aplicação em Activos que não gozam de disponibilidade imediata [ou, pelo menos, essa disponibilidade está sujeita a certas restrições ou custos], com vista à produção de um novo rendimento. 2

2 Noções Fundamentais Capital CREDOR DEVEDOR Capital + Juro 3 Noções Fundamentais Credor o que cede o capital durante um determinado período de tempo ficando impossibilitado de o utilizar, devendo como tal ser recompensado através do juro que lhe é devido. Devedor o que beneficia do uso desse capital, durante esse período de tempo, e, como tal, devendo compensar quem lho cedeu através do pagamento de um juro. 4 2

3 Noções Fundamentais Prazo de aplicação do capital Período de tempo que decorre entre a cedência do capital e o seu reembolso, acrescido do respectivo juro. Juro Diferença entre o valor entregue ao credor para saldar a dívida e o capital por este cedido. 5 Noções Fundamentais Taxa de juro Não é usual definir um valor monetário para o juro devido. O habitual é acordar um valor fixo e referente a um determinado período, a taxa de juro, que nos permite calcular o valor do juro. Assim, é normal falar-se em taxas de juro do tipo: 4% ao ano, 0,9% ao trimestre. A taxa de juro exige a indicação do período a que se refere. O juro, em cada período de capitalização, é igual ao capital no início do período, multiplicado pela taxa de juro aplicável a esse período (que pode ou não coincidir com o período de referência da taxa). 6 3

4 Regimes de Capitalização Regime de capitalização simples Juros são pagos periodicamente. Não há juros de juros (Juro Total = Juro Simples) Regime de capitalização dito simples Acumulação de juros ao capital mas não há juros de juros Regime de capitalização composta Juros acumulam ao capital. Há juros de juros (Juro Total = Juro Simples + Juro de Juro) 7 Regime de Capitalização Simples Capital inicial é Taxa de juro no período t é i Momento n Juro - J t,t- i i i... i Capital - C t Juro Total Pago periodicamente n JT = Jt, t = n C0 i t= 8 4

5 Regime de Capitalização Simples - Exemplo Capital inicial é 00 Taxa de juro no período t é 0% Momento Juro - J t,t Capital - C t Juro Total Pago periodicamente 4 JT = Jt,t = % t= 9 Regime de Capitalização Dito Simples Capital inicial é Taxa de juro no período t é i Momento n Juro - J t,t- i i i... i Capital - C t + J,0 = + i C + J 2, = + i + i = +2 i C 2 + J 3,2 = +2 i + i = +3 i... C n- + J n,n- = +(n-) i + i = +n i Juro Total Pago em n n JT = J,t = n C0 t= t i 0 5

6 Regime de Capitalização Dito Simples - Exemplo Capital inicial é 00 Taxa de juro no período t é 0% Momento Juro - J t,t Capital - C t = % 0 +0 = %+00 0% = % 20 +0= %+00 0%= % = 00 +(4-) 00 0%+00 0% = % Juro Total Pago em 4 4 JT = Jt,t = % t= Regime de Capitalização Composta Capital inicial é Taxa de juro no período t é i Momento n J t,t- i C i = (+i) i C 2 i = (+i) 2 i... C n- i = (+i) n- i Capital - C t + J,0 = + i = (+i) C + J 2, = (+i) + (+i) i = (+i) 2 C 2 + J 3,2 = (+i) 2 + (+i) 2 i = (+i) 3... C n- + J n,n- = (+i) n- + (+i) n- i = (+i) n Juro Total Pago em n JT n = Jt t=,t = C 0 n [( + i) ] 2 6

7 Regime de Capitalização Composta - Exemplo Capital inicial é 00 Taxa de juro no período t é 0% Momento J t,t- Capital - C t % 0 0% = 00(+0%) 0% 2 0% = 00 (+0%) 2 0% = % = 00(+0%) 0 + = 00(+0%) + 00(+0%) 0% = 00 (+0%) , = 00(+0%) (+0%) 2 0% = 00(+0%) 3 Juro Total Pago em 3 3 JT = Jt t=,t = 00 3 [( + 0%) ] 3 Regime de Capitalização Composta Juro de Juro t 2 3 C t- J t,t- JT t ,0 2, 33, JJ t,t- - 2, C t , 0 0% = 2 0% = 2, i = 0% 4 7

8 Regime de Capitalização Composta JJ t,t- = i JT t- E como JT t- = C o x (+i) t- - Então JJ t,t- = i x [ C o x (+i) t- - ] 5 Regime de capitalização composta Capital inicial é Taxa de juro no período t é i Momento n Capital - C t C = (+i) C 2 = (+i) 2 C 3 = (+i) 3... C n = (+i) n, C, C 2,..., C n representam o valor do mesmo capital em momentos diferentes C n éo valor futuro de (e de C, C 2, etc), capitalizado àtaxa i éo valor actual de C n (e de C, C 2, etc), descontado àtaxa i C k =C l (+i) k-l Doravante será sempre assumido o regime composto, salvo indicação em contrário. 6 8

9 Exercício O Sr. Esteves efectuou, há dois anos, um depósito a prazo de Euros o qual capitalizava semestralmente. Na altura, a taxa de juro semestral em vigor era de 2%. Hoje, passados dois anos, a taxa de juro semestral diminuiu para, 5%. Considerando que não se prevê que a taxa vá sofrer alterações, quanto dinheiro deverá receber o Sr. Esteves, se levantar o seu depósito daqui a 2 anos? Resposta - 488,54 7 Exercício t C t i t,t- (+i t,t- ) C t ,00 2,00%, , ,00 2,00%, , ,00 2,00%, , ,08 2,00%, , ,32,50%, , ,69,50%,050.5,49 6.5,49,50%,050.38, ,76,50%, , ,54 8 9

10 Exercício: Exemplo de Tabelas Financeiras 9 Exercício Extracto de Tabelas financeiras, i=2,0%, i=,5% 0000 x,08243 x,0636 =.488,

11 Regra de Equivalência entre Valor Actual e Valor Futuro Sempre que se opera com capitais respeitantes a diferentes momentos no tempo, temos obrigatoriamente de os referenciar ao mesmo momento: C k C k (+i) t-k k C t (+i) k-t t C t Duas taxas dizem-se equivalentes se a sua aplicação ao mesmo valor inicial, para o mesmo período de tempo, resulta no 2 mesmo valor final. Taxas Efectiva e Nominal Taxa nominal i (z) sendo z o factor de conversão da taxa nominal (regra geral anual) para obter a taxa efectiva, isto é, aquela que se aplica para calcular os juros: z Período de capitalização anual semestral trimestral mensal i i z (z) per.de cap. = Taxa efectiva no período de capitalização 22

12 Efeito da Frequência da Capitalização Frequência # Taxa proporcional Valor inicial Valor final Taxa anual efectiva Anual 0,00% ,000% Semestral 2 5,00% ,250% Trimestral 4 2,50% ,38% Mensal 2 0,83% ,47% Semanal 52 0,9% ,506% Diária 365 0,03% ,56% Contínua ,57% 23 Efeito da Frequência da Capitalização (i) Capitalização Discreta x t+ k = x t + R m mk X t+k > 0 m R = taxa de juro nominal; m = número de subperíodos [Ex (período = ano): Sem =2; Trim = 4; Mês = 2]; k = número de períodos de capitalização. 2

13 Efeito da Frequência da Capitalização (ii) Crescimento Contínuo Se m Donde: x = x t+ k x = x Rk t+ k e Logaritmizando obtém-se: R ln t t e Rk ( x ) ln( x ) t+ k = k t R = taxa de juro nominal; k = número de períodos de capitalização. e = 2,78288 [Nº de Neper] Ex: e 0% = 0.57,092 R = ln(0.57,092)- ln(00.000) = 0%/ano. Ex2: e 2,5%x4 = 0.57,092 R = [ln(0.57,092)- ln(00.000)]/4 = 2,5%/Trim. Efeito da Frequência da Capitalização (iii) Relação entre taxas de juro equivalentes nos casos discreto e contínuo Por um lado: R = taxa de crescimento contínuo (ou instantânea) r t+,t = taxa de crescimento discreto Por outro lado: Donde: x = x ( + r + t t t +, t x = x t+ t e R e = + rt +,t R R ( r t, t ) e = r + + R = ln + e t, t ) Ex: e 0% = 0.57,092 r t+,t =e 0% -=0,57092%. Donde: (+0,57092%) = 0.57,092. Ex2: (+0%) = 0.00,00. R = ln(+0%) = 9,530798%. Donde: e 9,530798% = 0.00,00. 3

14 Taxas de Juro Nominais e Reais i: Taxa de juro a preços correntes (dita nominal) g: Taxa de inflação i r : Taxa de juro real (a preços constantes) (+i) Preços correntes k t (+i) / (+g) Preços constantes ( + i r = ( + i) g ) - 27 Rendas Situação, num regime de capitalização composta, em que há lugar a várias transferências de capital (termos/prestações) realizadas de forma regular, no mesmo sentido e em momentos equidistantes no tempo. 28 4

15 Rendas - classificação Valor dos termos Constantes Variáveis Número de termos Temporária Perpétua (Perpetuidade) Período Renda Anual (Anuidade) Renda Semestral (Semestralidade) Renda Mensal (Mensalidade) Finalidade Acumulação Amortização Remuneração Momento de início Imediata Diferida Localização Antecipada Posticipada 29 Valor Futuro de uma Renda Postcipada de Termos e Taxa Constantes Para efeito de constituição de uma poupança são efectuados periodicamente, com início no momento, n depósitos de igual montante, P, os quais são remunerados à taxa efectiva i (o período da renda coincide com o período de capitalização). Pretende-se calcular o valor acumulado até ao momento n (C n ) n P P P P P P Juros totais: JT n = C n n P n (+ i) Cn = P i Demonstração: Soma dos termos de uma progressão geométrica. 30 5

16 Valor Futuro de uma Renda Antecipada de Termos e Taxa Constantes Suponha uma situação semelhante à anterior mas com uma única diferença: o primeiro depósito é feito no momento n - n P P P P P P C n (+ i) = P (+ i) i n 3 Exercício O Sr. A vem fazendo depósitos trimestrais de 400 euros desde há 5 anos atrás numa instituição financeira, que remunera os depósitos da seguinte forma: - Saldos até euros 3% por trimestre - Saldos iguais ou superiores a euros,25% por mês. a) Calcule o saldo da conta do Sr. A após o º depósito. b) Calcule o saldo hoje, logo após o 2º depósito. c) Calcule o total de juros recebidos pelo Sr. A até hoje. d) Hoje o Sr. B pediu um financiamento ao Sr. A de euros o qual seria pago através de 6 prestações bimensais, iguais e postcipadas calculadas à taxa de juro 3% por trimestre. Calcule o valor de cada uma dessas prestações. e) Sabendo que a partir de hoje os únicos movimentos efectuados na conta do Sr. A serão os depósitos correspondentes aos recebimentos de B, calcule o saldo da sua conta bancária daqui por 4 anos. 32 6

17 Valor Actual de uma Renda Postcipada de Termos e Taxa Constantes Suponha que é contraída uma dívida no momento 0 ( ) a qual deverá ser totalmente amortizada através de n prestações de igual montante, P, sendo a primeira entregue no momento. A taxa efectiva em vigor é i (o período da renda coincide com o período de capitalização) n.. P P P P P = (+ i) P i n Juros totais: JT n = n P 33 Demonstração: Soma dos termos de uma progressão geométrica. Valor Actual de uma Renda Postcipada Perpétua = Lim n P (+ i) i n = P i 34 7

18 Valor futuro / Actual de uma Renda Postcipada a Taxa Variável EXERCÍCIO: O prémio de um concurso consistiu em cinco pagamentos de 0000 euros cada um, a intervalos de um ano. O vencedor investiu sempre prontamente cada um desses pagamentos numa conta que foi remunerada às seguintes taxas: º ano: 2%; 2 ano: 3%; 3º ano: 3,5%; 4º e 5º anos: 4%. a) Qual será o saldo da conta ao completar-se o 5º ano? b) Se o prémio consistisse num só pagamento, de quanto teria que ser para que o valor final da conta fosse o calculado em a)? 35 Valor Actual com Crescimento dos Termos da Renda a Taxa Constante (i) Valor Actual de Uma Perpetuidade com Crescimento C0 P = i g Obs: ) Numerador reporta-se à data e não à data zero; 2) g<i. (ii) Valor Actual de Uma Anuidade com Crescimento P + g C0 = i g + i N 8

19 Valor Futuro/Actual de uma Renda Postcipada de Termos Crescentes a Taxa de Crescimento Constante EXERCÍCIO: A fim de constituir uma poupança para a sua reforma, um indivíduo decidiu investir todos os anos 5% do seu rendimento anual, com início dentro de um ano, terminando 4 anos depois dessa data de início. O seu rendimento anual é actualmente de e estima-se que crescerá 2% ao ano. Assumindo que a taxa de rendimento do fundo gerado pelo investimento é de 4% ao ano, calcule: a) O valor actual do investimento. b) O valor acumulado ao fim de 5 anos. 37 Determinação de N Resolução em Ordem a N: [Número de Períodos Necessários Para Atingir C N, Partindo de.] (i) Com Um Único Cash Flow (ii) Com Anuidades C ln C N = ln N 0 ( + i) P ln P C0*i N = ln ( + i) 9

20 Determinação de i Resolução em Ordem a i [Yield ou TIR] (i) Com Um Único Cash Flow [PV e FV N ] C i = C N (ii) Múltiplos Cash Flows N 0 Processo Iterativo. Taxa Interna de Rentabilidade TIR: a taxa à qual o valor actual de uma série de cash-flows é0. Exercício: Um carro cujo preço de venda (a pronto) é de 8000 é vendido por 36 prestações mensais de 400. O comprador deve ainda pagar uma entrada de 5000 e comissões de 00 no início de cada um dos 3 anos de prestações. Calcule a TIR. i = TIR (taxa efectiva mensal) = 0,69% 40 20

21 TAEG - Decreto-Lei nº 359/9, de 2 de Setembro Artigo 4.º Taxa anual de encargos efectiva global - A taxa que torna equivalentes, numa base anual, os valores actualizados do conjunto dos empréstimos realizados ou a realizar pelo credor, por um lado, e dos reembolsos e encargos realizados ou a realizar pelo consumidor, por outro, designa-se taxa anual de encargos efectiva global, abreviadamente TAEG, e é calculada de acordo com a expressão matemática constante no anexo n.º ao presente diploma, que dele faz parte integrante. 5- No cálculo da TAEG não são incluídas as seguintes despesas: c) As despesas de transferência de fundos, bem como os encargos relativos à manutenção de uma conta destinada a receber os montantes debitados a título de reembolso do crédito, de pagamento dos juros e dos outros encargos, excepto se, não dispondo o consumidor de liberdade de escolha para o efeito, tais despesas forem anormalmente elevadas, sem prejuízo do disposto na alínea a) do número seguinte; 6- Incluem-se igualmente no cálculo da TAEG: a) As despesas de cobrança dos reembolsos e pagamentos referidos na alínea c) do número anterior; b) As despesas de seguro ou de garantia que se destinem a assegurar ao credor, em caso de morte, invalidez, doença ou desemprego do consumidor, o reembolso de uma quantia igual ou inferior ao montante total do crédito, incluindo os juros e outras despesas, e que sejam exigidas pelo credor como condição para a concessão do crédito. Anexo I d) Os resultados do cálculo serão expressos com uma precisão de, pelo menos, uma casa decimal. 4 TAEG - Decreto-Lei nº 359/9, de 2 de Setembro Exercício: Um carro cujo preço de venda (a pronto) é de 8000 é vendido em 36 prestações mensais de 400. O comprador deve ainda pagar uma entrada de 5000 e comissões de 00 no início de cada um dos 3 anos de prestações. Calcule a TIR. i = TIR (taxa efectiva mensal) = 0,69% TAEG = 8,54% PV (400;36;0,56%) = 3000 Tx. Anual equivalente a 0,56% mensal = 6,98% 42 2

22 Determinação de P Resolução em Ordem a P [Anuidade, Semestralidade,...] (i) A Partir de C N P = C N N ( + i) i (ii) A Partir de P = C 0 ( i) + i N Sistemas de Amortização de Empréstimos Reembolso de Uma Só Vez Juro Pago Período a Período Juro Acumulado ao Capital Sinking Fund Sistemas de Amortização Periódica Sistemas de Pagamentos Constantes ( Sistema Francês ) Sistema de Reembolsos Constantes 44 22

23 Reembolso de Uma Só Vez com Sinking Fund Sinking fund: quando se constitui um processo de capitalização paralelo com o objectivo de reembolsar uma dívida (num outro processo de capitalização). Exemplo: Os termos de um empréstimo obrigacionista com reembolso de uma só vez prevêem pagamentos regulares para um sinking fund, administrado por um trustee. O pagamento pode ser na forma de cash ou então o emitente pode optar por comprar obrigações no mercado e entregá-las ao fundo. No primeiro caso o trustee sorteia obrigações e reembolsa-as ao valor nominal. 45 Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e com Prazo Fixo Através de Pagamentos Constantes Decomposição da prestação constante em duas parcelas: Juro do período (J t,t- ) Quota do capital (M t ) P P P P P = , , , , ,975 i=0% 46 23

24 Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e Com Prazo Fixo Através de Pagamentos Constantes Prestação = Quota do capital + juro = C = 8362,025 C 2 = 6560,253 C 3 = 4578,303 C 4 = 2398,58 C 5 = J,0 J 2, J 3,2 J 4,3 J 5,4 2637, , , , , , , ,83 239,86 M = 637,975 M 2 = 80,772 M 3 = 98,95 M 4 = 280,45 M 5 = 2398,58 M t = M t- (+i) 5 t= M t = 47 Amortização de Empréstimo a Taxa Fixa e com Prazo Fixo Através de Reembolsos Constantes Prestação = Reembolso constante + juro = C = 8000 C 2 = 6000 C 3 = 4000 C 4 = 2000 C 5 = J,0 J 2, J 3,2 J 4,3 J 5, M = 2000 M 2 = 2000 M 3 = 2000 M 4 = 2000 M 5 = 2000 M t = M t- 5 t= M t = 48 24

25 Bibliografia Chaves, C., Maciel, E., Guimarães, P. e Ribeiro, J. (999), Instrumentos Estatísticos de Apoio à Economia: Conceitos Básicos; McGraw-Hill. [Capítulo 4] Cadilhe, M., Matemática Financeira Aplicada (994), Edições Asa, 3ª Edição. Caderno de Exercícios nº2. 49 Licenciatura em Gestão Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão [2] FIM 25