x (j) lim x x4 5x 4 3x x 2 + 2x 1 x 3 x 2 + x 1 3x 5 2x 2 + 5x 1 x 3x5 (g) lim (h) lim x 4 x 4 (i) lim x + (5x2 3x) 2x x 2
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- Renata Bicalho Prado
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1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Departamento de Ciências Eatas LCE 2 Eercícios Limites: Infinitos, no infinito, assíntotas e continuidade. Calcule os seguintes ites: (a) 2 (b) ( ) 25 2 (c) 6 3 (d) 2 (e) ( ) (f) (g) 4 (h) ( ) (i) (j) (k) (l) (m) 3 5 (n) (o) (p) (q) (r) 3 4 (s) e (t) (u) 3 4 (v) e 2+ (w) 3 2. Calcule os ites: 8 (a) 3 ( 3) 2 (b) (c) ( ) (d) ( 2 + +) 4 2 (e) (f) (g) 3+5 (h) 4 4 (i) (52 3) 2 (j) + + (k) 0 ( (l) (m) 3 ) 3. Nos eercícios abaio, ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico: (a) f()= 5 3 (b) f()= (c) f()= (d) f()= (e) f()= 3 (+2) 2 (f) f()= (g) f()= A equação de Michaelis-Menten é usada para modelar a velocidade de uma reação química em função da concentração de substrato. Na agricultura, muitas vezes é
2 utilizada para descrever a velocidade de absorção de um nutriente pela planta em função da concentração do nutriente no solo. A equação de Michaelis-Menten é dada por V()= v k+, 0 em que V() é a velocidade de absorção, é a concentração do nutriente na solução presente no solo e v e k são parâmetros positivos. Considere v=5 M/s e k=0 M. (a) Com o auílio de ites, determine qual é a velocidade de reação quando a concentração de nutriente tende a zero; (b) Qual o comportamento ite da função quando +? (c) Desenhe o gráfico da função e indique, com base no comportamento ite da função no item (b), qual o nome que poderíamos atribuir ao parâmetro v? 5. A equação de Mitscherlich(909) é amplamente utilizada para modelar a produtividade das safras em função da adubação, sendo epressa por y()=a( e c ), 0 em que y() é a produtividade obtida com a dose de adubo, A é o valor máimo que a produção pode atingir e c é um parâmetro positivo. Mas, de acordo com Cerrato & Blackmer (990), muitos agrônomos preferem utilizar o modelo abaio como alternativa para a equação de Mitscherlich: g()=a+b+c, 0 em que g() é a produtividade obtida com a dose de adubo e a, b e c são parâmetros reais. Suponha que, após a realização de um eperimento de adubação, obteve-se o seguinte resultado: y()=99,59( e 0,05 ) e g()= 38,07,65+29,97. (a) Encontre os valores ites para as funções y() e g() quando as doses são insignificantes, ou seja, tendem a zero. (b) Com base no resultado encontrado no item (a), compare os modelos sob o ponto de vista agronômico. (c) O que acontece com os valores das funções y() e g() se tomarmos dose arbitrariamente grandes? 2
3 Produtividade (kg/ha) Mitscherlich Cerrato et al Dose de Nitrogênio (Kg/ha) (d) Com base no resultado encontrado no item (c), compare os modelos sob o ponto de vista agronômico. 6. Um ensaio de dose-resposta é conduzido para avaliar a eficácia de um novo pesticida sobre uma população de insetos que causa prejuízo no campo. O estudo conclui que a probabilidade de um inseto morrer logo após a aplicação do inseticida é de p()= em que 0 é a dose ministrada, em µg. +e8 0,05, () (a) Desenhe o gráfico da função com o auílio de uma tabela de valores (considere indo de 0 a 300 µg). (b) Com o auílio dos ites, estude a probabilidade de sucesso p() quando a dose é ecessiva. Qual é o significado biológico do resultado? (c) Qual é o valor ite para a probabilidade de sucesso p() quando a dose aplicada é insignificante, ou seja, quase nula? Qual é o significado biológico para o valor encontrado? 7. Determine k tal que a seguinte função seja contínua em qualquer intervalo: f()= { k,0 <2 3 2,2 8. Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de : 3
4 (a) f()= em =2 (b) f()= +2 + em = (c) f()= 2+ em = (d) f()= { em =4 (e) f()= +, para 2 2, para >2 em =2 { 2 +, para 3 (f) f()= em =3 2+4, para >3 { 2 (g) f()= +, para 2 em = 3, para > 9. Suponha que a temperatura do ar é 30 o F. Nesse caso, a sensação térmica (em o F) para uma velocidade do vento v (em minhas por hora) é dada por 30, para 0 4 W(v)=,25v 8,67 v+62,3, para 4<v<45 7, para v 45 (a) Qual é a sensação térmica para v=20 milhas por horas? E para v=50 milhas por horas? (b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0 o F? (c) A função sensação térmica W(v) é contínua em v=4? E em v=45? 0. Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo elétrico E() em um ponto P situado a uma distância de unidade do centro da esfera é dada por: E(v)= 0, para 0<<R 2 2, para =R 2, para >R Faça um gráfico de E(). A função é contínua para >0? Respostas. (a) 0 (e) + (i) 0 (m) + (q) (u) (b) + (c) 25 6 (f) 2 (g) + (j) + (k) + (n) + (o) 0 (r) + (s) + (v) 0 (d) 0 (h) (l) 0 (p) (t) 2 (w) 2 2. (a) + (d) + (g) (j) + (m) + (b) + (e) (h) (k) (c) (f) + (i) + (l)
5 (a) A.V.: =/3A.H.: y=5/3 (d) A.V.: = 2 e =2, A.H.: y=0 (b) A.V.: = 3/5, A.H.: y= 3/5 (e) A.V.: = 2, A.H.: y=0 (c) A.V.:, A.H.: y= 2 e y=2 (f) A.V.: = 3 e =3, A.H.: y=0 (g) A.V.: =0 e =3/2, A.H.: y= 5
6 4. (a) Devemos calcular o ite lateral à direita de V() quando tende ao zero: 0 + v +k = = 0 + = 0 0 +(+0) 0 = 0. (b) Devemos calcular o ite de V() quando tende ao infinito: v +k =? Para realizar tal tarefa, dividiremos o numerador e o denominador da função racional pela potência de maior grau. No caso de v=5 e k=0, temos que v ( ) = v + k = v. 5 ( ) = = 5M/s. (c) O parâmetro v caracteriza uma assíntota horizontal que representa o valor máimo que a velocidade de reação (ou absorção) V() pode atingir. 5. (a) Devemos calcular os ites laterais à direita de y() e g() quando tende ao zero: [ y()= A( e c )=A e c] = A( e 0 )= Assim, y() 0 quando 0 +. Por outro lado, g()= (a+b+c )=a+b +c =a Dessa maneira, g() a= 38,07 quando 0 +. (b) O modelo de Mitscherlich indica que não há produção se a dose é insignificante. Enquanto isso, o modelo descrito por Cerrato & Backmer resulta em uma produtividade negativa 6
7 para doses desprezíveis, o que não possui sentido prático. (c) Devemos calcular os ites de y() e g() quando tende ao infinito: [ y()= A( e c )=A e c] = A( e )=A. Assim, y() A=99,59 quando. Por outro lado, Ou seja, g()= (a+b+c )=a+b +c. g()= 38,07,65 +29,97 = + (indeterminado). Por meio de racionalização, temos que (29,97,65)= (29,97,65) (29,97 +,65) (29,97 +,65) (898,20 2,72 2 ) = (29,97 +,65). (2) Agora, devemos dividir o numerador e o denominador pela potência de maior grau: ( 898,20 Dessa maneira, g() se. ) 2,72 ( ) = 2,72 29,97 3 +,65 0 =. (3) (d) No modelo de Mitscherlich a produtividade caminha para um valor máimo à medida 6. (a) a que a dose aumenta. Por outro lado, no modelo descrito por Cerrato & Blackmer a produtividade atinge valores arbitrariamente grandes e negativos, o que é absurdo sob o ponto de vista agronômico. No entanto, para escala de doses utilizada no eperimento, as duas funções descrevem bem a relação. 7
8 (b) Devemos calcular o ite de p() quando tende ao infinito: +ep(8 0,05) = +ep ( 8 0,05) = =. +e O significado biológico desse resultado é o seguinte: a probabilidade do inseto morrer é de (a morte é certa) se tomarmos uma dose suficientemente grande. (c) Uma dose insignificante é uma dose muito pequena (tão pequena quanto quisermos), mas 7. k=6 ainda maior que zero. Então devemos calcular o ite lateral à direita da função quando tende a zero ep(8 0,05) = +ep ( ,05) = +e 8 = 0, O significado biológico por trás desse resultado é o seguinte: a probabilidade do inseto que recebeu dose nula morrer durante o período de avaliação é praticamente zero (0, 03%). 8. (a) contínua (c) não contínua (e) não contínua (g) contínua (b) contínua (d) não contínua (f) contínua 9. (a) 3,8; -7 (b) 25 milhas por hora (c) contínua 0. a A função é contínua somente para >R, portanto, no intervalo aberto (0, ) a função não é contínua. 8
1. Nos exercícios abaixo, ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de cada. 2 x (x + 2) 2
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