Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas Cursos de Engenharia

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1 Universidade São Judas Tadeu Faculdade de Tecnologia e Ciências Eatas Cursos de Engenharia Laboratório de Física Centro de assa e Centro de Gravidade utor: Prof Luiz de Oliveira Xavier dm ( dm X( BNCD: TUR: Data: luno R -

2 GRUPO: NOT: Centro de assa e Centro de Gravidade Introdução: O Centro de assa (C é um conceito muito útil no estudo da quantidade de movimento (ou momento p de um objeto o estudar um sistema de partículas sabemos que quando as forças eternas ao sistema não eistem ou quando a soma das forças eternas é nula, F et, a quantidade de movimento do C do sistema será preservada e permanecerá constante, esmo que eistam forças internas, ou seja, forças de interação entre as partículas, o momento do C permanecerá constante Podemos eemplificar pedindo que você imagine o sistema solar Se considerarmos que ele encontra-se isolado, longe o suficiente da estrela mais próima de forma a desprezar as forças gravitacionais eternas, a quantidade de movimento (ou momento do C do sistema solar permanecerá constante Se o C do sistema solar estiver parado, ele permanecerá parado ou se estiver com alguma velocidade, no caso V C, ela permanecerá constante O C do sistema obedecerá à a lei e permanecerá em inércia de movimento s forças gravitacionais entre o sol e os planetas são forças de interação que obedecem à a lei São forças internas ao sistema solar e anulam-se mutuamente por ação e reação as onde ficaria o C e qual seria a sua massa? Precisamos apenas encontrar a localização do C massa a ser considerada é apenas toda a massa do sistema Para o sistema solar, o valor escalar da quantidade de movimento associado ao seu C (ou momento p C poderia ser calculado por p C V C, onde é toda a massa do sistema solar as onde ficaria então o C afinal? Bem, a massa do Sol é cerca de,86% da massa de todo o sistema solar! Com esta informação é fácil imaginar porque o C do sistema solar fica praticamente no centro do Sol atematicamente, o cálculo que leva ao conhecimento das coordenados do C do sistema leva em conta a massa e a coordenada de cada partícula s coordenadas do C são obtidas por uma média ponderada entre as coordenadas das partículas Os pesos para a ponderação da média são as massas de cada partícula Para um sistema de três partículas, por eemplo, teremos para as coordenadas, e z do C do sistema: ( m + m + m, ( m + m + m e z ( zm + zm + zm, onde a massa total do sistema é a soma da massa das três partículas: m + m + m Para um objeto com distribuição contínua de massa, devemos calcular a massa total por meio da densidade e a soma discreta acima assume uma forma integral: dm, dm e z zdm, onde a massa total será dm Não fique surpreso! O símbolo é um S e significa Soma e a componente dm representa uma quantidade de massa, entenda como m, porém infinitamente menor Na maioria dos objetos a força peso muitas vezes está presente O peso está aplicado a cada partícula pertencente ao objeto O Centro de Gravidade ( é a coordenada onde podemos considerar aplicada toda a força peso do corpo Se a aceleração da gravidade g for constante em todos os pontos do objeto, então o coincidirá com o C Para o eemplo anterior das três partículas considere que cada partícula está sujeita a uma aceleração da gravidade diferente Então teremos que calcular as coordenadas do como uma média ponderada onde o peso de cada partícula será o próprio peso para a ponderação da média: ( m g + m g + mg ( p + p + p P m g + m g + m g ( Se a gravidade é a mesma em todos os pontos, g g g g, então é fácil perceber que ssim, as coordenadas do coincidirão com as coordenadas do C aceleração da gravidade muda muito pouco com a altitude e, portanto podemos considerar na prática o C O edifício Petronas Towers na alásia possui 45 m de altura gravidade muda somente,4% entre o valor na base e o valor no topo do edifício ssim, o Centro de Gravidade das Torres está somente abaio do Centro de assa! rranjo eperimental: Neste eperimento você determinará teoricamente o C de dois objetos planos regulares Determinará também o destes objetos por um método prático Um cálculo simples de integral também será utilizado para determinar o C de um destes objetos Você utilizará cartolina para produzir os objetos étodo teórico: determinação teórica do C levará em conta a simetria dos objetos Você deverá considerar principalmente que a distribuição de massa é homogênea (a massa está distribuída por igual em toda a superfície do objeto De um dos lados da cartolina você usará um procedimento teórico para encontrar o centro

3 geométrico do objeto Em um retângulo, por eemplo, este centro é obtido pelo cruzamento das diagonais simplesmente Em um triângulo, ele é obtido pelo cruzamento das linhas medianas que são as linhas que unem o vértice à metade do lado oposto conforme é mostrado na figura abaio Em um objeto composto por polígonos regulares conforme a letra U na figura, o C pode até ficar fora do objeto! Observe que na construção geométrica do C da letra U na Figura, o objeto foi dividido em três retângulos, todos com a mesma massa e o centro de massa de cada retângulo forma um triângulo que fornecerá o C do objeto pelo cruzamento das medianas C C C C C Figura - No caso do triângulo, o C é obtido pelo cruzamento das três linhas medianas Figura Centro de massa da letra U O objeto é dividido em tres retângulos com massas iguais étodo prático: pós determinar o Centro Geométrico dos objetos de massa homogênea, o que corresponde ao Centro de assa (C, você utilizará o auílio da gravidade local para determinar o Centro de Gravidade ( dos objetos Você utilizará um método prático conhecido como o método do fio de prumo No local do laboratório podemos considerar que a gravidade g é constante e, portanto os resultados práticos para o devem coincidir com os resultados teóricos do C O método prático consiste em espetar o objeto plano feito de cartolina em uma agulha Permita que o furo seja adequado para que o objeto possa girar em torno da agulha livremente, sem atrito Fure em um ponto próimo à borda e gire o objeto para que ele realize algumas voltas em torno do eio da agulha livremente Ótimo! ssim que ele parar de oscilar amarre na agulha, o fio de linha que possui uma massa na outra etremidade Este fio é também conhecido como fio de prumo O fio de prumo passará pelo Centro de Gravidade do objeto gora faça uma marca na cartolina na etremidade oposta ao furo, por onde passa o fio de prumo Observe a sequência na Figura a seguir Figura étodo prático para determinar o com o uso de um fio de prumo Retire o objeto da agulha e trace uma linha do furo até a marca feita do lado oposto Esta linha passa pelo Centro de Gravidade do objeto Repita o processo para mais dois furos em outras etremidades e trace mais duas linhas s três linhas se cruzarão no eperimental ou definirão um pequeno triângulo que conterá o e, portanto, conterá também o C Fure com a agulha o ponto encontrado eperimentalmente para o Se o seu ensaio for de boa qualidade, o deverá coincidir com o C encontrado geometricamente do outro lado da cartolina Pendure o objeto por este furo e ele deverá permanecer em equilíbrio estático (o que implica não haver oscilações em torno do eio da agulha aterial: Cartolina, tesoura, régua, fio de prumo com massa, agulha no suporte 4 Procedimento: Recorte na cartolina dois objetos conforme os esquemas em cada sistema de coordenadas das Figuras e 4 abaio Encontre o C teórico e o prático 4 Objeto : Recorte um triângulo semelhante ao famoso Triângulo Retângulo,4,5, porém com os dois catetos de tamanho e conforme o desenho abaio s coordenadas do C (, deverão ser encontradas numericamente conforme a orientação do sistema de coordenadas (, da Figura 4 abaio

4 ( Preencha a Tabela com as coordenadas obtidas para o C pelo método teórico (cruzamento das medianas e para o pelo método prático (agulha e fio de prumo Figura 4 Triângulo retângulo e o sistema de coordenadas (, X( (6 TBEL : Coordenadas do C e do do triângulo retângulo C étodo Teórico ( étodo Prático ( 4 Objeto : Para este ensaio recorte a letra U observada anteriormente na Figura, porém com o tamanho e o formato mostrados no sistema de coordenadas abaio: ( Preencha a Tabela com as coordenadas obtidas para o C pelo método teórico (geométrico e para o pelo método prático (agulha e fio de prumo 6 X( (6 TBEL : Coordenadas do C e do do objeto (Letra U C étodo Teórico ( étodo Prático ( Figura 5 - Sistema de coordenadas e as dimensões do objeto (Letra UOs retângulos têm áreas iguais GRPEIE NO RELTÓRIO OS DOIS OBJETOS RECORTDOS N CRTOLIN CO OS TRÇDOS GEOÉTRICOS FEITOS PR OBTER O C TEÓRICO DE U LDO D CRTOLIN E O TRÇDO EXPERIENTL PR OBTER O PRÁTICO CO O FIO DE PRUO E GULH DO OUTRO LDO D CRTOLIN INDIQUE OS PONTOS PR O C E PR O 4 Cálculo do C utilizando a integral: Para o triângulo da Figura 4 você determinará o C também por meio do cálculo integral Nesta técnica desenvolvida por Isaac Newton, o triângulo pode ser dividido em vários retângulos verticais estreitos onde em cada um, o C é encontrado pelo cruzamento das diagonais Como o triângulo é muito estreito, a coordenada é a coordenada do C coordenada do C fica na metade da altura de cada retângulo Observe o desenho da Figura 6 a seguir: ( X( Figura 6 Divisão da área do triângulo em retângulos estreitos para a soma integral densidade de massa do papel é uma constante σ ssim, a porção m de massa para cada retângulo é: m σ, (massa(gramasσ (gramas/ ( massa total é a soma da massa de todos os retângulos m σ σ, sendo a área do retângulo, dada pelo lado vezes a base,, onde é a largura estreita do retângulo forma integral é escrita quando é infinitamente pequeno: σ d, (substituindo por e por d coordenada na integral é substituída pela equação da reta que define 4 o triângulo: ( o que fornece: σ d

5 Para um número N de retângulos calculamos o C pela soma ponderada de todos: ( m + m + + N mn e ( m + m + + N mn densidade σ é constante aparecendo no numerador e no denominador cancelando-se mutuamente O cálculo fica apenas em função das áreas: ( a + a + + N an e ( a + a + + N an Observe que o eio fornece retângulos desde a origem até a coordenada Soma dos retângulos dá a massa do triângulo σ e comparando-se esta equação com a última equação no final do quadro da Figura 6 acima, a área do triângulo fica: d O cálculo da integral foi: d, de inicial até fina l Ora, pode parecer complicado, mas todos nós sabíamos desde o início que a área do triângulo era a base vezes a altura dividida por : ( X / 54 Isso funciona! gora observe o desenvolvimento para o cálculo das integrais na Tabela a seguir e realize a conta da última linha da tabela para as coordenadas do C: ( TBEL : Cálculo das coordenadas do C para o triângulo utilizando a integral σ dm σ d d σ σ σ dm d d σ σ σ 4 4 d; para 4 d; para 4 d 4 d Final Inicial 54 4 Final Inicial ( O cálculo acima confirma o seu resultado anterior para o triângulo? ( SI ( NÃO Referência: Coleção de Eercícios de Física Prof Luiz de Oliveira Xavier Editora Universidade São Judas