Formalismo óptico matricial e aplicações

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1 Revsta Braslera de Ensno de Físca, v 37, n 3, wwwsbscaorgbr DOI: Formalsmo óptco matrcal e aplcações Optcal matrx ormalsm and applcatons FA Callegar, AA Fresch Centro de Engenhara, Modelagem e Cêncas Socas Aplcadas, Unversdade Federal do ABC, Santo André, SP, Brasl Recebdo em 2/2/25; Aceto em 25/3/25; Publcado em 3/9/25 O ormalsmo óptco matrcal é desenvolvdo a partr da aplcação da le de Snell para descrever a reração de raos ótcos numa superíce esérca A segur, dto ormalsmo é aplcado para achar e justcar parâmetros típcos e expressões como dstânca ocal, condção de magem e aumento lateral para o caso de uma lente esérca na mersa em ar Além dsso, é estudado o caso de uma lente esérca na mersa em dos meos óptcos com índces de reração derentes e encontrados os parâmetros e expressões correspondentes para este caso Palavras-chave: óptca matrcal, lentes nas, oco, aumento lateral The optcal matrx ormalsm s developed by applyng Snell law to descrbe the reracton o optcal rays n a sphercal surace Ths ormalsm s then appled to nd and justy typcal parameters and expressons as ocal dstance, mage condton and lateral magncaton or a thn sphercal lenses mmerse n ar Also, the case o thn sphercal lenses mmersed n two meda wth derent reracton ndex s studed, and the correspondng parameters and expressons are ound Keywords: matrx optcs, thn lenses, ocus, lateral magncaton Introdução No ensno da óptca geométrca, o ormalsmo matrcal nem sempre é utlzado ou, quando ensnado, não é totalmente explorado Contudo, ele é ntutvo e o seu uso ornece resultados baseados em consderações íscas, ao nvés de geométrcas Neste trabalho, é desenvolvdo o ormalsmo óptco matrcal aplcando a le de Snell da reração a uma superíce esérca A segur, esse ormalsmo é utlzado para obter os resultados conhecdos da dstânca ocal, a condção de magem e aumento lateral para uma lente esérca na mersa em ar O estudo é então estenddo para o caso mas geral de uma lente na mersa em dos meos de índce de reração derentes Este ultmo caso tem nteresse prátco mas não é estudado na bblograa usualmente utlzada 2 Optca matrcal A notação utlzada no desenvolvmento do ormalsmo matrcal e a orma nal das matrzes correspondem às apresentadas na Re [] Também será assumda a convenção de snas da mesma reerênca, que é a convenção adotada pela maor parte dos textos Desde que lentes esércas serão tratadas neste trabalho, vamos analsar prmero a reração de um rao óptco numa superíce E-mal: ulvocallegar@uabcedubr esérca, como mostrado na Fg Fgura - Dagrama esquemátco do exemplo estudado neste trabalho Na gura, o rao ncdente se propaga num meo com índce de reração e az um angulo α com o exo óptco Esse rao é reratado na superíce esérca e transmtdo com angulo α 2 com respeto ao exo óptco em um meo com índce de reração A altura, com respeto ao exo óptco, na qual o rao ncdente atnge a esera é y Devemos aplcar a le de Snell, para o qual devemos consderar os ângulos de ncdênca e reração a respeto da normal à nterace No nosso caso, dta normal está dada pelo rao da esera, R, o qual az um angulo ϕ com o exo óptco Chamamos os ângulos de ncdênca e reração de θ e θ 2, respectvamente Aplcando a le de Snell, temos Copyrght by the Socedade Braslera de Físca Prnted n Brazl

2 333-2 Callegar e Fresch sn θ sn θ 2 Os ângulos θ e θ 2 podem ser escrtos como unção dos ângulos α, α 2 e o ângulo ϕ como θ α + ϕ, θ 2 α 2 + ϕ 2 Assm, a le de Snell ca snα + ϕ snα 2 + ϕ 3 A segur, a aproxmação paraxal é aplcada Em dta aproxmação, é assumdo que os ângulos θ e θ 2 << Como consequênca, α, α 2 e ϕ são também muto pequenos, e também y << R Nessas condções, y 2 + d tan α 9 Na aproxmação paraxal, α <<, daí, tan α α e a Eq8 se reduz a y 2 + dα Podemos agora expressar as Eqs 8 e em orma matrcal, denndo o vetor nα, y Para a reração na superíce esérca, temos n2 α 2 R y 2 n α sn α α cos α e sn α 2 α 2 cos α Notar que, aplcando a operação de multplcação de matrzes, o resultado correspondente ao elemento α 2 equvale à Eq 8 Já a equação y 2, conrma que não houve mudança na altura y do rao na reração Para o deslocamento do rao, temos Também, para o angulo auxlar ϕ, temos, sn ϕ y/r cos ϕ Desenvolvendo a Eq 3, sn α cos ϕ + sn ϕ cos α sn α 2 cos ϕ + sn ϕ cos α Substtundo as Eqs 4 e 6 na Eq 7, obtemos α 2 α + y R 8 Essa expressão descreve a reração de um rao numa superíce curva Notar que, se a superíce or plana, e, R tendendo a nnto, a Eq 8 se reduz à le de Snell, escrta na aproxmação paraxal Agora, devemos descrever a varação da altura, y, que um rao sore na propagação retlínea num meo com índce de reração Para sso, consderamos a stuação mostrada na Fg 2 n2 α 2 d y 2 n α 2 onde o resultado correspondente ao elemento α 2 é a le de Snell na aproxmação paraxal e o resultado correspondente ao elemento y 2 equvale à Eq 3 Lente na mersa em ar A ormulação matrcal é muto útl quando temos város elementos reratvos em cascata O resultado nal é obtdo pela multplcação das matrzes correspondentes a cada elemento Como um exemplo de aplcação, vamos estudar o caso de uma lente na, com índce de reração n, mersa em ar, como mostrado na Fg 3 Fgura 2 - Calculo da varação da altura do rao respeto do exo óptco A varação da altura com respeto ao exo óptco quando o rao percorre uma dstânca d no meo com índce, está dada por Fgura 3 - Lente esérca na em ar Consderamos a luz se propagando da esquerda para a dreta Um rao se propagando no ar, azendo um angulo α com respeto ao exo, atnge a lente num ponto com altura A segur, esse rao abandona a lente num ponto com altura y 2 e com angulo α 2 Como temos duas superíces reratoras, vamos consderá-las separadamente, como lustra a Fg 4

3 Formalsmo óptco matrcal e aplcações Fgura 4 - Lente esérca na em ar, duas superíces reratoras Os raos de curvatura à esquerda,, e à dreta,, estão ndcados na gura Ao estarmos consderando lentes nas, a altura do rao, y, não muda devdo ao deslocamento do rao no nteror da lente, e, y y 2 Agora devemos expressar o vetor α 2, y 2 como unção do vetor α, Vamos usar o vetor nα, y como ntermedáro Para a supercce reratora à dreta com, a Eq ca α2 n R nα 2 3 y 2 onde, pos temos ar à dreta dessa nterace A segur, deveremos expressar nα, y como unção de α, nα n y y 4 onde, já que agora, à esquerda da superíce reratora, temos ar A segur, expressamos o vetor α 2, y 2 como unção do vetor α,, ntroduzndo a Eq 4 na Eq 3 e obtemos α2 n y 2 n 5 A segur, aplcamos smplesmente a operação de multplcação de matrzes para obtermos α2, n y 2 6 Onde reconhecemos o elemento da lnha e coluna 2 da matrz da Eq 6 como sendo o negatvo do nverso da dstânca ocal da lente, -/ É bom lembrar aqu que o conceto de oco em lentes nas é ntroduzdo sem demonstração em alguns lvros de texto báscos usualmente utlzados, por exemplo as Res [2] e [3] Como saberíamos, a partr do ormalsmo matrcal, do sgncado desse elemento? Para sso, basta consderar um exe de raos paralelos ao exo óptco, e, ncdndo desde o nnto Consderemos um desses raos, a uma altura com respeto ao exo óptco A segur, dto rao é reratado pela lente e se propagará uma dstânca z à dreta, ver Fg 5 Fgura 5 - Raos paralelos ncdndo na lente esérca na em ar Vamos aplcar o ormalsmo matrcal ao caso representado na Fg 5 α2 y 2 z 7 onde a prmera matrz do segundo membro da Eq 7 descreve o deslocamento, z, do rao, após ter sdo reratado pela lente, y 2 é a altura do rao com respeto ao exo óptco no ponto z Para smplcar a notação, o elemento -2 da matrz correspondente à lente o substtuído por -/ Observar que a ordem de multplcação das matrzes é undamental lembrar que o produto de matrzes não é comutatvo Como regra, podemos ler a Eq 7 da dreta para a esquerda e pensar no prmero elemento que o rao ncdente, α, encontra, que é a lente A segur, vem o deslocamento através do espaço Multplcando matrzes a Eq 7 ca α2 y 2 z z Resolvendo para y 2, temos 8 y 2 zα + z 9 Mas α, por termos raos ncdentes paralelos ao exo óptco Daí a Eq 9 ca y 2 z 2 A nterpretação da Eq 2 é obva agora: se z, y 2 será gual a zero, ndependente do valor de, em outras palavras, a lente ocalza os raos em z Fo suposto mplctamente uma lente convergente, e > > e <, pela convenção de snas adotada Contudo, essa dedução vale também para lentes dvergentes Observar na Eq 2, se <, os raos ocam em z - oco vrtual Outra dedução que pode ser eta agora, a partr do ormalsmo matrcal, é a condção de magem, e, dado um objeto a uma certa dstânca, s o, da lente, qual será a dstânca magem, s? Em geral sto é resolvdo através de consderações geométrcas Contudo, o ormalsmo matrcal nos dá a oportundade de resolver esse problema através de argumentos puramente íscos

4 333-4 Callegar e Fresch Podemos consderar cada ponto do objeto como um gerador de ondas esércas dvergentes e, se aastando do ponto objeto Para ormar uma magem, a lente deve azer com que essas ondas esércas dvergentes se transormem em ondas esércas convergentes, e o ponto de convergênca será justamente o ponto magem correspondente ao ponto objeto Essa dea está esquematzada na Fg 6, onde também são representados, além das reerdas ondas, alguns raos óptcos perpendculares às rentes de onda Os símbolos e h representam a altura do objeto e da magem, respectvamente Fgura 6 - Formação de magem a través da lente α Fazendo a analse matrcal, temos h s s o αo 2 Como já dto, para entendermos equações óptcas matrcas, podemos lê-las da dreta para a esquerda Incalmente, o rao que sa do objeto, com angulo α o e altura, percorre uma dstânca s o A segur, o rao é reratado na lente Por últmo, o rao percorre uma dstanca s, até o ponto magem correspondente Fazendo o produto ndcado na Eq 2, obtemos α h, so s + s o sso, s αo 22 Resolvendo a equação para a altura do ponto magem, h, temos h s + s o s s o α o + s 23 A condção de magem já menconada envolvendo as ondas esércas dvergentes e convergentes, pode ser expressa matematcamente a partr da Eq 23 A varação da altura h de um ponto magem o ponto extremo, por exemplo, deve ser ndependente do angulo α que corresponde ao conjunto de ângulos com o qual os raos são emtdos no ponto objeto correspondente Matematcamente h s + s o s s o + α o s s o 24 Naturalmente surge da a condção de magem, também conhecda como equação de Gauss Outro resultado que pode ser obtdo agora é o do aumento lateral da magem, dendo como M T h 25 Substtundo a condção de magem, Eq 24, na Eq 23, temos h s 26 Da, com ajuda do últmo termo da Eq 24 é smples mostrar que M T h s s, 27 s o o qual já é amplamente conhecdo 4 Lente na mersa em dos meos óptcos derentes O próxmo passo é calcularmos a dstânca ocal, a condção de magem e o aumento lateral para uma lente na, com índce de reração n, mersa em dos meos com índces e ver Fg 7 Fgura 7 - Lente na mersa em meos com índces e Esta stuação e de grande nteresse prátco, por exemplo, nos mcroscópos de mersão, onde o espaço entre a ace externa da objetva e a amostra ou a cobertura da amostra é preenchda com óleo Isto é eto para aumentar a apertura numérca do mcroscópo [4] Aplcando o método matrcal, temos n2 α, n, 2 n R s 2 h, n n,, n α s, h 28 A Eq 28, lda da dreta para a esquerda, pode ser agora aclmente nterpretada Notar a ntrodução dos índces de reração correspondentes a cada meo, onde tratamos cada superíce reratva consderando os índces à esquerda e dreta O rao que sa do ponto objeto, com angulo α o e altura, percorre uma dstânca s o, no meo com índce A segur, esse rao é reratado na superíce reratora, com rao, e depos, na

5 Formalsmo óptco matrcal e aplcações outra superíce com rao, ambas com índce n e, a lente na Por últmo, o rao percorre uma dstanca s, no meo com índce, até o ponto magem correspondente Devdo à extensão da matrz resultante vamos escrevê-la em orma smbólca como n2 α M M 2 n α h M 2 M 22 h A segur, detalhamos cada um dos elementos M s n n s n n M 2 M 2 s [ s M 22 s [ n n n n s ] + s 32 ] + 33 Observar que, se no elemento M 2, que corresponde a -/ no caso da lente na mersa em ar, zermos, recuperamos eetvamente o nverso da dstânca ocal nesse caso Identcamos então o elemento M 2 como sendo o negatvo do nverso da dstânca ocal da lente na mersa nos meos de índces e Evdentemente, sto também pode ser demonstrado aplcando o mesmo racocíno que nas Eqs 6-9 Com sto, as Eqs 3-33, podem ser escrtas de uma orma mas compacta M s 34 M 2 35 M 2 s + s s 36 M 22 s 37 O próxmo passo será determnar a condção de magem para este sstema Para sso, escrevemos a Eq 29, explctamente, agora com os elementos expressados como nas Eqs n2 α h s, s + s s, s n α 38 Resolvendo a equação matrcal 38, para h, temos h [ s h + s s ] α + s h 39 A condção de magem, como antes, requer que a dervada de h com respeto a α o seja nula; daí, obtemos s + s s 4 De onde chegamos a s + s 4 Notar que, se na Eq 4, e, lente na mersa em ar, é recuperada a Eq 24, como esperado Podemos também obter a expressão para o aumento lateral, M t, da lente, ntroduzndo a Eq 4, na Eq 39 h s h 42 Da, obtemos M T h h s s 43 s Onde, mas uma vez, azendo, e, lente mersa em ar, recuperamos o resultado esperado, a Eq 27 5 Conclusões Neste trabalho o desenvolvdo o ormalsmo matrcal para propagação de raos óptcos, partndo da le de Snell da reração aplcada a uma superíce esérca A segur, dto ormalsmo o aplcado a duas superíces reratoras em cascata lente na mersa em ar Foram deduzdas e justcadas as noções de oco e dstânca ocal para a lente Também, o deduzda a condção de magem através de consderações íscas e o aumento lateral da magem Por últmo, oram deduzdas a dstânca ocal, a condção de magem e o aumento lateral para uma lente na mersa em dos meos com índces de reração derentes Reerêncas [] E Hecht, Optcs Addson Wesley, 22, 4th ed [2] Sears e Zemansky, Fsca IV, Ótca e Físca Moderna Pearson, São Paulo, 25, ª ed [3] RA Serway e JW Jewett, Jr Prncípos de Físca, Volume 4, Óptca e Físca Moderna Thomson, São Paulo, 25 [4] objectveshtml