Transformações Lineares. Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

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1 Transformações Lineares Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 2004/2005

2 Índice Definição Representação Matricial 2 AComposiçãodeTransformaçõesLineareseoProdutoMatricial 0 2 MudançadeBase 2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 3 3 Inversa de uma Transformação Linear 6 4 Exercícios Resolvidos 9 5 Exercícios Propostos 26 6 Soluções dos Exercícios Propostos 28 Bibliografia 29

3 Recorde-se que uma aplicação (ou função) de um conjunto sobre outro é uma regra que, a cada elemento do primeiro conjunto (conjunto de partida), faz corresponder um e um só elemento do segundo (conjunto de chegada) As transformações lineares são aplicações entre dois espaços vectoriais que, num certo sentido, preservam as operações de adição e multiplicação escalares definidas nesses espaços A importância de que se revestem na resolução de diversos problemas de Engenharia, tornam as transformações lineares um tema obrigatório de estudo num curso introdutório de Álgebra Linear Neste capítulo faremos uma digressão sucinta pelos aspectos essenciais das transformações lineares, realçando, nomeadamente, as ligações estreitas existentes entre as noções de transformação linear edematriz Definição Representação Matricial Supondo fixada a base canónica em IR 2, consideremos a matriz 0 A = 0 eovector x =(, /3) IR 2 Representando este vector pela matriz coluna calcular o produto 0 /3 A x = = = y 0 /3 /3 (),podemos A multiplicação de A por x pode então ser vista como uma acção de transformação do vector x =(, /3) no vector y =( /3, ) A figura ilustra geometricamente o que aconteceu: ao ser multiplicado por A, o vector x sofreu uma rotação de +90, sendo transformado (ou aplicado) no vector y 3 / y = +90º x = / 3 Figura : Rotação de +90 o Em geral, a multiplicação da matriz A pelo vector genérico x =(x,x 2 ) IR 2 conduz ao vector y =( x 2,x ) pois 0 x x2 A x = = = y (2) 0 x 2 x Geometricamente, o vector transformado y =( x 2,x ) pode ser visto como o resultado da rotação de x =(x,x 2 ) de 90 no sentido positivo, tal como ilustra a fig 2 Não havendo perigo de confusão quanto à base fixada, identificaremos um vector de IR n com a matriz coluna formada pelas suas componentes 2 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

4 x x = x 2 x 2 x 2 +90º 2 x x 2 Ax = x x Figura 2: Rotação de +90 definida pela matriz A Deste modo, a matriz A define uma aplicação T de IR 2 para IR 2, designada por rotação, quea cada vector x IR 2 associa o vector y = A x IR 2 Simbolicamente, T pode representar-se por T : IR 2 IR 2 x y = T ( x) =A x O vector y = T ( x) diz-se a imagem do vector x por intermédio da transformação T Tendo em conta (2), a rotação T pode ser, alternativamente, definida por T : IR 2 IR 2 (x,x 2 ) T (x,x 2 )=( x 2,x ) T diz-se uma transformação linear dado que satisfaz as condições da definição seguinte: Definição Sejam E e F dois espaços vectoriais sobre o mesmo corpo IK T : E F diz-se uma transformação (ou aplicação) linear de E em F se: Uma aplicação T ( x + y) =T ( x)+t ( y), quaisquer que sejam x, y E; 2 T (λ x) =λt ( x), quaisquer que sejam x E e λ IK Por outras palavras, T é uma transformação linear de E em F se a imagem da soma de dois vectores de E é igual à soma das imagens dos vectores e a imagem do produto de um vector de E por um escalar coincide com o produto do escalar pela imagem do vector Quando se considera uma transformação linear entre dois espaços vectoriais, admite-se que estes têm o mesmo conjunto de escalares De notar também que as duas condições da definição anterior podem ser reunidas na condição T (λ x + µ y) =λt ( x)+µt ( y), para todos os vectores x e y de E e todos os escalares λ e µ de IK De facto, esta última igualdade é equivalente às anteriores podendo ser igualmente utilizada para definir transformação linear Uma transformação linear de E em F também se diz um homomorfismo Em particular, dir-se-á um monomorfismo se é injectiva, um epiformismo se é sobrejectiva, um isomorfismo se é bijectiva, um endomorfismo se F = E e um automorfismo se é simultaneamente um endoformismo e um isomorfismo 3 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

5 Exemplo Comecemos por verificar que a rotação T ( x) =A x vista acima é uma transformação linear Com efeito, dados dois quaisquer vectores x e y pertencentes a IR 2 e um escalar arbitrário λ IR, as propriedades da multiplicação de matrizes permitem escrever T ( x + y) =A( x + y) =A x + A y = T ( x)+t ( y) e T (λ x) =A(λ x) =λa x = λt ( x) Mais geralmente, seja A uma matriz qualquer de tipo m n e x um vector de IR n A aplicação T :IR n IR m definida por T ( x) =A x é uma transformação linear A verificação resulta das propriedades da multiplicação de matrizes, tal como no caso da rotação Exemplo 2 Uma das transformações lineares mais simples é a função f :IR IR dada for f(x) =ax, com a IR Esta função é representada geometricamente, num plano onde se fixou um referencial cartesiano ortonormado, por uma recta que passa pela origem e tem declive a Com efeito, f é uma transformação linear pois, para quaisquer x, y IR e λ IR,tem-se f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y) e f(λx) =a(λx) =λ(ax) =λf(x) Por outro lado, já a função quadrática f(x) =x 2 (representada geometricamente por uma parábola) não é uma transformação linear pois, por exemplo, para x =e y =, tem-se f( + ) = f(2) = 2 2 =4e f() + f() = =2 Assim, f( + ) 6= f() + f(), e, portanto, a primeira condição da definição não se verifica Vejamos algumas propriedades das transformações lineares Proposição Sejam E e F dois espaços vectoriais sobre o corpo IK e T uma transformação linear de E em F Então vale o seguinte: (a) T ( 0 E )= 0 F, onde 0 E e 0 F designam respectivamente os vectores nulos de E e F (b) T ( x) = T ( x), x E (c) T ( x y) =T ( x) T ( y), x, y E (d) Se x = λ v + + λ p v p, com v,, v p E e λ,,λ p IK, então T ( x) =T (λ v + + λ p v p )=λ T ( v )+ + λ p T ( v p ) Demonstração Para provar (a) recorde-se que 0 IK x = 0 E para qualquer x E Então, atendendo à definição de transformação linear e de novo à igualdade anterior, tem-se T ( 0 E )=T (0 IK x) =0 IK T ( x) = 0 F A propriedade (b) é consequência de x =( ) x De facto, daqui segue-se que T ( x) =T [( ) x] =( )T ( x) = T ( x), atendendo à definição de transformação linear Quanto à propriedade (c) tem-se, atendendo a que x y = x+( y), àdefinição de transformação linear e à propriedade (b): T ( x y) =T [ x +( y)] = T ( x)+t ( y) =T ( x) T ( y) Deixa-se a demonstração de (d) como exercício 4 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

6 Exemplo 3 Considere-se T : IR 2 IR 2 (x,x 2 ) T (x,x 2 )=(x 2,x ) Para verificar que é uma transformação linear realizam-se os seguintes passos: Sejam x =(x,x 2 ) e y =(y,y 2 ) dois quaisquer vectores de IR 2 Então, T ( x + y) =T [(x,x 2 )+(y,y 2 )] = T (x + y,x 2 + y 2 )=(x 2 + y 2,x + y ) =(x 2,x )+(y 2,y )=T (x,x 2 )+T (y,y 2 )=T ( x)+t ( y), sendoa2 a e3 a igualdades devidas à operação de adição de vectores e as restantes justificadas pelas definições de x, y e T Destemodo,verifica-se a primeira condição da definição 2 Sejam x =(x,x 2 ) IR 2 e λ IR Então, T (λ x) =T [λ(x,x 2 )] = T (λx,λx 2 ) =(λx 2,λx )=λ(x 2,x )=λt (x,x 2 )=λt (x), sendo as igualdades justificadas exactamente como no procedimento anterior, ficando assim satisfeita a segunda condição da definição Q T ( x ) = ( x, x ) 2 x x 2 P x = ( x, x ) 2 x 2 x Figura 3: Reflexão Para interpretar geometricamente a transformação T observe-se a figura 3 que sugere a simetria dos vectores (x,x 2 ) e (x 2,x ) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares Sejam P e Q as extremidades dos vectores (x,x 2 ) e (x 2,x ), respectivamente O ponto médio do segmento [PQ] tem a forma x +x 2 2, x +x 2 2 pertencendo, portanto, à referida bissectriz Simultaneamente, [PQ] é perpendicular a esta recta, pois sendo PQ = T (x,x 2 ) (x,x 2 )=(x 2 x,x x 2 ) e (, ) um vector com a direcção daquela bissectriz, tem-se PQ (, ) = (x 2 x,x x 2 ) (, ) = 0 Assim, é natural dizer que T é uma reflexão Vejamos agora se, à semelhança da transformação rotação, é possível representar matricialmente a reflexão T A resposta é afirmativa pois: 5 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

7 3 O vector (x,x 2 ) pode escreve-se na forma donde, pela alínea (d) da proposição, ou seja, (x,x 2 )=x (, 0) + x 2 (0, ) T (x,x 2 )=x T (, 0) + x 2 T (0, ), (3) (x 2,x )=x (0, ) + x 2 (, 0) 2 Esta igualdade escreve-se matricialmente na forma x2 0 = x x + x 2 0 pelo que equivale ao seguinte produto matricial: 0 x = 0 Assim, a matriz A T = 0 0 x 2 x2 x, permite definir alternativamente a reflexão T por T ( x) =A T x, x IR 2 Supondo fixada em IR 2 a base canónica e =(, 0) e e 2 =(0, ), da igualdade (3) conclui-se que as colunas da matriz A T são, respectivamente, as imagens de e e e 2 por meio de T expressas naquela base Efectivamente, tem-se T ( e )=(0, ) = e 2 e T ( e 2 )=(, 0) = e, pelo que a a coluna de A T contém as coordenadas de e 2 e, a 2 a coluna, as coordenadas de e AmatrizA T diz-se a matriz representativa de T relativamente à base fixada em IR 2 Exemplo 4 Seja T :IR 3 IR 2 afunçãodadapor T (x,x 2,x 3 )=(x,x 3 ) Para verificar que T é linear sejam (x,x 2,x 3 ) e (y,y 2,y 3 ) quaisquer vectores de IR 3 e λ IR Então, de forma análoga à do exemplo 3, tem-se e T [(x,x 2,x 3 )+(y,y 2,y 3 )] = T (x + y,x 2 + y 2,x 3 + y 3 ) =(x + y,x 3 + y 3 )=(x,x 3 )+(y,y 3 ) = T (x,x 2,x 3 )+T (y,y 2,y 3 ) T [λ(x,x 2,x 3 )] = T (λx,λx 2,λx 3 ) =(λx,λx 3 )=λ(x,x 3 ) = λt (x,x 2,x 3 ) Supondo fixadas em IR 3 e IR 2 as respectivas bases canónicas, tal como foi sugerido no exemplo anterior e será provado no teorema, para obter a representação matricial de T bastará calcular T ( e )=T (, 0, 0) = (, 0), T ( e 2 )=T (0,, 0) = (0, 0) e T ( e 3 )=T (0, 0, ) = (0, ) econsiderara matriz de tipo 2 3 formada por estas imagens, isto é, A T = x =(x,x 2,x 3 ), verifica-se que T ( x) =A T x pois A T x = x x 0 2 = x x x 3 De facto, para qualquer 6 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

8 Exemplo 5 Considere-se a transformação T :IR n IR n tal que T ( x) =c x, onde c éumaconstante real Trata-se de uma transformação linear que, no caso de c =0, se diz a transformação nula de IR n em IR n e é representada matricialmente pela matriz nula Caso c =,obtém-sea transformação identidade em IR n, que é representada matricialmente pela matriz identidade de ordem n, I n,vistoquet ( x) = x T ( x) =I n x Exemplo 6 Seja P n o espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a n e S n = {,x,x 2,,x n } a sua base canónica Considere-se, em particular, a transformação D : P 3 P 3 (designada por operador de derivação) que a cada polinómio faz corresponder a sua derivada p(x) =a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P 3 D(p) = dp dx (x) =a +2a 2 x +3a 3 x 2 P 3 D é uma transformação linear pois, dados p(x) =a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3,q(x) =b 0 +b x+b 2 x 2 +b 3 x 3 e λ escalar, tem-se D(p + q) = D(p)+ D(q) e D(λp) =λd(p) De facto, estas igualdades deduzem-se com facilidade, atendendo a que a derivada da soma é a soma das derivadas e que a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função Para obter a matriz representativa de D, vamos exprimir na base S 3 = {, x,x 2,x 3 } as imagens dos elementos de S 3 por meio de D Tem-seentão D() = 0 = 0 +0 x +0 x 2 +0 x 3, D(x) == +0 x +0 x 2 +0 x 3, D(x 2 )=2x =0 +2 x +0 x 2 +0 x 3, D(x 3 )=3x 2 =0 +0 x +3x 2 +0 x 3 e, portanto, D pode ser representada matricialmente por A D = A matriz representativa de D comporta toda a informação que é essencial para determinar os coeficientes da derivada de qualquer polinómio de P 3 e, consequentemente, essa mesma derivada De facto, obtêm-se os coeficientes da derivada dum polinómio p(x) =a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 multiplicando a matriz A D pelos coeficientes de p(x) : A D a 0 a a 2 a 3 = Vimos, no exemplo acima, que qualquer matriz de elementos reais define uma transformação linear Nos restantes exemplos, mesmo quando as transformações lineares não foram dadas matricialmente, foram determinadas matrizes representativas A questão que naturalmente se põe, é a de saber se qualquer transformação linear de um espaço vectorial para outro tem uma representação matricial A resposta é afirmativa no caso dos espaços vectoriais de dimensão finita como se mostra no resultado seguinte a 0 a a 2 a 3 = a 2a 2 3a MAIC Ano Lectivo 2004/2005

9 Teorema Sejam E e F espaços vectoriais de dimensão finita Suponham-se fixadas em E e em F as bases ordenadas 2 { e, e 2,, e n } e { f, f 2,, f m }, respectivamente, e seja T : E F uma transformação linear Então, a imagem y = T ( x) F de qualquer vector x E obtém-se por em que: y = A x y y 2 y m = A A é uma matriz do tipo m n e as suas colunas são, respectivamente, as coordenadas dos vectores T ( e ),T( e 2 ),, T( e n ) relativamente à base { f, f 2,, f m } de F ; x,x 2,,x n são as coordenadas de x relativamente à base fixada em E, istoé, x = x e + x 2 e x n e n ; y,y 2,,y m são as coordenadas de y relativamente à base fixada em F,istoé, y = y f + y 2 f2 + + y m fm A matriz A é única e diz-se a matriz representativa de T relativamente às bases fixadas em E eemf x x 2 x n Demonstração Dado que T é uma transformação linear tem-se T ( x) = T (x e + x 2 e x n e n ) = x T ( e )+x 2 T ( e 2 )+ + x n T ( e n ), (4) ou seja, T ( x) é uma combinação linear das imagens dos vectores da base { e, e 2,, e n } de E Ora, estas imagens representam-se na base { f, f 2,, f m } de F por, T ( e i )=a i f + a 2i f2 + + a mi fm, i =,n ou matricialmente por T ( e i )= Então, por (4), T ( x) pode escrever-se na forma a a 2 T ( x) =x + x 2 a m = a i a 2i a mi a 2 a 22 a m2 + + x n a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n a m x + a m2 x a mn x n a n a 2n a mn (5) 2 Suporemos aqui que os vectores das bases de E e F obedecem a uma ordenação pré-fixada 8 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

10 Note-se que as linhas desta última matriz são exactamente as coordenadas de T ( x) na base { f, f 2,, f m } inicialmente fixada em F Designando T ( x) por y e aquelas coordenadas por y,y 2,,y m,obtém-sede(5) y y 2 y m = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn ou seja, y = A x em que A designa, como se enunciou, a matriz cujas colunas são as imagens por meio de T dosvectoresdabasefixada em E Visto que estas imagens se escrevem de maneira única em função dos vectores da base de F,conclui-sequeA éaúnicamatrizquerepresentat nas bases ordenadas fixadas em E e F Exemplo 7 Seja T : R 3 R 2 a transformação definida por T (x,x 2,x 3 )=(x 2,x + x 3 ) e suponha-se fixada em IR 3 a base canónica { e, e 2, e 3 } = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} eemir 2 abase { f, f 2 } = {(, 0), (, )} Para obter a matriz representativa de T há que sucessivamente calcular: x x 2 x n T ( e )=T (, 0, 0) = (0, ) = f +f 2 ; T ( e 2 )=T (0,, 0) = (, 0) = f +0f 2 ; T ( e 3 )=T (0, 0, ) = (0, ) = f +f 2 Dispondo nas colunas de uma matriz as coordenadas de T ( e ),T( e 2 ) e T ( e 3 ) na base { f, f 2 }, obtém-se a matriz que representa T nas bases fixadas: 0 Por outro lado, se em IR 2 abasefixada tivesse sido a base canónica formada pelos vectores e =(, 0) e, e 2 =(0, ), a transformação T seriarepresentadapelamatriz 0 0, 0 pois T ( e )= e 2,T( e 2 )= e e T ( e 3 )= e 2 Exemplo 8 Suponha-se de novo a reflexão T :IR 2 IR 2 dada por T (x,x 2 )=(x 2,x )Orajá se viu que estando fixada em IR 2 a base canónica, a matriz que representa T é 0, 0 pois T ( e )=T (, 0) = (0, ) = e 2 e T ( e 2 )= e Suponha-se, por outro lado, fixada em IR 2 abase { f, f 2 } com f =(, ) e f 2 =(, ) Para obter a matriz de T na nova base há que determinar T ( f ) e T ( f 2 ) e exprimir estes vectores naquela base Então, como T ( f )=T (, ) = (, ) = f +0f 2 e T ( f 2 )=T (, ) = (, ) = 0f f 2, tem-se que a representação matricial de T na base { f, f 2 } é 0 0, 9 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

11 A Composição de Transformações Lineares e o Produto Matricial Consideremos agora duas transformações lineares T : E F e S : F G entre espaços vectoriais de dimensão finita A composição de S com T é a transformação S T definida por (S T )( x) =S (T ( x)), x E Vimos no teorema anterior que a cada transformação linear está associada a matriz que a representa relativamente às bases consideradas Observemos agora que a composição de transformações lineares está associada ao produto das matrizes que representam aquelas transformações nas bases consideradas Proposição 2 Sejam E,F e G espaços vectoriais sobre o mesmo corpo e designemos respectivamente por A T e A S as matrizes que representam as transformações lineares T : E F e S : F G relativamente a bases fixadas em E, F e G Então, a matriz A S T que representa S T, relativamente às mesmas bases, é o produto de A S por A T, isto é, A S T = A S A T Demonstração Provemos primeiro que S T é uma transformação linear quaisquer x, y E tem-se Com efeito, para (S T )( x + y) =S (T ( x + y)) = S (T ( x)+t ( y)) = S (T ( x)) + S (T ( y)) = (S T )( x)+(s T )( y) Por outro lado, para qualquer x E e todos os escalares λ tem-se (S T )(λ x) =S (T (λ x)) = S (λt ( x)) = λs (T ( x)) = λ (S T )( x), e, portanto, S T é uma transformação linear Considerando fixadas bases em E, F e G, tem-se, atendendo à definição de S T eaoteorema anterior: (S T )( x) =S (T ( x)) = S (A T x) =A S A T x, x E Visto que a representação matricial de uma transformação linear é única, resulta destas igualdades que A S T = A S A T, tendo em conta que S T élinear Exemplo 9 Consideremos duas transformações lineares T :IR 2 IR 3 e S :IR 3 IR 2 representadas, relativamente às bases canónicas de IR 2 e IR 3,por A T = e A S = 0 Tem-se então que a matriz representativa de S T :IR 2 IR 2 é dada por 2 0 A S T = A S A T = = Consequentemente, (S T )(x,x 2 )=(x +3x 2, 2x 2 ) Por outro lado, a matriz representativa de T S :IR 3 IR 3 é A T S = A T A S = = donde (T S)(x,x 2,x 3 )=(x + x 2,x + x 2, 3x + x 2 + x 3 ), 0 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

12 2 Mudança de Base Seja T : E E um endomorfismodoespaçovectoriale de dimensão finita Quando neste espaço se efectua uma mudança de base, cada vector de E passa a ser representado por coordenadas distintas das iniciais Estamos agora interessados em estudar a alteração provocada por uma mudança de base na matriz representativa do endomorfismo T Comecemos com um exemplo ilustrativo Exemplo 0 Seja E um espaço vectorial de base { e, e 2, e 3 } e T : E E uma transformação linear cuja representação relativamente à base indicada é 0 2 A = Considerando o sistema de vectores { f, f 2, f 3 }, em que f = e + e 2 f 2 = e e 3 f 3 = e +2 e 3, (6) pretende-se: (a) Mostrar que { f, f 2, f 3 } é uma nova base de E (b) Determinar a matriz associada a T na nova base Para ver (a) basta verificar que f, f 2 e f 3 são linearmente independentes Ora, λ f + λ 2 f2 + λ 3 f3 = 0 E equivale a λ ( e + e 2 )+λ 2 ( e e 3 )+λ 3 ( e +2 e 3 )= 0 E m (λ λ 2 + λ 3 ) e + λ e 2 +( λ 2 +2λ 3 ) e 3 = 0 E Como e, e 2 e e 3 são linearmente independentes, a última igualdade equivale a λ λ 2 + λ 3 =0 λ =0 λ 2 +2λ 3 =0 pelo que f, f 2 e f 3 são linearmente independentes Passemos à resolução de (b) Como λ =0 λ 2 =0 λ 3 =0, T ( f )=T ( e + e 2 )=(, 0, ), T ( f 2 )=T ( e e 3 )=(3,, 0) T ( f 3 )=T ( e +2 e 3 )=( 5, 2, 0), e as expressões de T ( f ),T( f 2 ) e T ( f 3 ) na base { f, f 2, f 3 } obtêm-se por: λ λ 2 + λ 3 = λ f + λ 2f2 + λ 3f3 =(, 0, ) λ =0 λ 2 +2λ 3 = λ λ 2 + λ 3 =3 λ f + λ 2f2 + λ 3f3 =(3,, 0) λ = λ 2 +2λ 3 =0 e λ f + λ 2f2 + λ 3f3 =( 5, 2, 0) λ λ 2 + λ 3 = 5 λ =2 λ 2 +2λ 3 =0 λ =0 λ 2 = λ 3 =0 λ = λ 2 = 4 λ 3 = 8 λ =2 λ 2 =4 λ 3 =7, MAIC Ano Lectivo 2004/2005

13 Consequentemente, a matriz associada a T na nova base é B = Podemos agora perguntar se existe alguma relação entre entre as matrizes A e B do exemplo anterior Efectivamente, A e B são matrizes semelhantes, isto é, existe uma matriz P, invertível, tal que B = P AP Antes de justificar esta afirmação, vejamos como pode P ser obtida Considerando as igualdades (6) dadas no enunciado para relacionar as bases { f, f 2, f 3 } e { e, e 2, e 3 }, podemos escrever [ f f2 f3 ]=[ e e 2 e 3 ] 0 0 (7) 0 2 A mencionada matriz P éprecisamenteamatrizqueseencontramaisàdireitanestaigualdadee diz-se a matriz de mudança de base, isto é, P = Note-se que a matriz P é invertível Com efeito, as a,2 a e3 a colunas de P são formadas, respectivamente, pelas coordenadas de f, f 2 e f 3 na base { e, e 2, e 3 } Deste modo, as colunas de P são linearmente independentes se e só se f, f 2 e f 3 também o forem Dado que estes vectores são linearmente independentes, conclui-se que o mesmo acontece com as colunas de P, peloque esta matriz é invertível Além disto, supondo que x se exprime na base { e, e 2, e 3 } por x = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3, podemos escrever esta igualdade na forma matricial do seguinte modo: x = e e 2 e 3 x x 2 x 3 Logo, por (7), concluimos que ou, mais sucintamente, h i x = f f2 f3 x = P x x 2 = x 3 h f f2 f3 i x0 x 0 2 x 0 3 h i h i f f2 f3 P X = f f2 f3 X 0, onde X e X 0 designam as matrizes coluna correspondentes às coordenadas de x nas bases { e, e 2, e 3 } e { f, f 2, f 3 }, respectivamente Deduz-se assim que X 0 = P X X = PX 0, (8) exprimindo estas igualdades a relação existente entre as coordenadas de x em cada uma daquelas bases Generalizando para vectores com um qualquer número finito de coordenadas, podemos enunciar: Proposição 3 Se { e,, e n } e { f,, f n } são duas bases de um espaço vectorial de dimensão finita e P é a matriz de mudança de base, então as matrizes coluna X e X 0, que representam um mesmo vector x em cada uma das bases, estão relacionadas por X = PX 0 2 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

14 Passamos agora a justificar o que afirmámos atrás: as matrizes A e B do exemplo 0 são semelhantes Supondo fixada em E abase{ e, e 2, e 3 }, a transformação T pode escrever-se matricialmente na forma Y = AX, (9) onde X é a matriz coluna que representa, naquela base, um dado vector x E e Y representa a correspondente imagem, na mesma base Se a base de E passar a ser { f, f 2, f 3 }, a transformação T passar-se-á a representar por Y 0 = BX 0, (0) onde X 0 e Y 0 são, respectivamente, as expressões de X e Y na nova base Sendo P amatrizde mudança de base temos, por (8), que Y 0 = P Y e X = PX 0 Utilizando estas igualdades e (9), obtemos Y 0 = P Y = P AX = P AP X 0 Comparando esta expressão com (0), conclui-se que B = P AP, isto é, as matrizes que representam T nas bases { f, f 2, f 3 } e { e, e 2, e 3 } são semelhantes No caso do exemplo 0, o leitor pode facilmente verificar que a inversa da matriz de mudança de base P obtida em (7) é P = equep AP = B Todas as deduções feitas são evidentemente válidas num espaço vectorial de dimensão finita, pelo que podemos enunciar: Proposição 4 Seja E um espaço vectorial de dimensão finita Um endomorfismo T : E E é representado em bases diferentes por matrizes semelhantes 2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Seja T : E F uma transformação linear Associados a T consideram-se habitualmente dois subconjuntos, um do espaço vectorial de partida, E, e o outro do espaço vectorial de chegada, F OprimeiroéoconjuntodovectoresdeE que são aplicados no vector nulo 0 F de F, designado por espaço nulo de T ou núcleo de T e representado habitualmente por Nuc(T ) (ou Ker T 3 ) Tem-se assim, o Nuc(T )= n x E : T ( x) = 0 F O segundo subconjunto mencionado, é o conjunto das imagens de E por meio de T,designa-se por imagem de T ou contradomínio de T, representa-se por T (E) e, formalmente, é dado por T (E) ={T ( x) F : x E} = { y F : x E : y = T ( x)} Sendo A a matriz representativa de T, éimediatoverificar que Nuc(T ) coincide com o espaço nulo da matriz A equet (E) não é mais do que o espaço das colunas da mesma matriz (recordem-se as secções 45 e 46 do volume I Consequentemente, o seguinte resultado é válido: Proposição 2 Seja T : E F uma transformação linear Então, o núcleo de T eaimagem de T sãosubespaçosvectoriaisdee e F, respectivamente 3 Abreviaturadapalavrainglesakernel 3 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

15 Exemplo 2 Considere-se a transformação linear T :IR 3 IR 2 definida por Tem-se T (x,x 2,x 3 )=(x 2,x + x 3 ) Nuc(T )={(x,x 2,x 3 ) IR 3 : T (x,x 2,x 3 )=(0, 0)} = {(x,x 2,x 3 ) IR 3 :(x 2,x + x 3 )=(0, 0)}, donde os vectores do núcleo de T verificam o sistema de equações ½ x2 =0 x + x 3 =0 ½ x2 =0 x = x 3 Assim, Nuc(T ) é constituído pelos vectores de IR 3 da forma ( x 3, 0,x 3 )=x 3 (, 0, ), ouseja, Nuc(T )=h(, 0, )i Para obter T (IR 3 )={(y,y 2 ) IR 2 : (x,x 2,x 3 ):T (x,x 2,x 3 )=(y,y 2 )} basta ver para que vectores (y,y 2 ) IR 2 é possível o sistema ½ x2 = y T (x,x 2,x 3 )=(y,y 2 ) x + x 3 = y 2 Escrevendoamatrizampliadadestesistemaecalculandoarespectivacaracterística(paraoqueé suficiente efectuar uma troca de linhas) obtém-se 0 0 y 0 y2 0 y y Como a característica da matriz dos coeficientes iguala a da matriz ampliada, conclui-se que o sistemaésemprepossível,qualquerquesejaovector(y,y 2 ) IR 2 Consequentemente, T (IR 3 )= IR 2 Finalmente, o conjunto {(0, ), (, 0)} constitui uma base de T (IR 3 ), visto que é formado pelas colunas da matriz representativa de T homólogas das que contêm os redutores da matriz em escada Observe-se que no exemplo anterior é válida a igualdade dim Nuc(T )+dimt (IR 3 )=+2=dimIR 3, isto é, a soma das dimensões do núcleo de T e da imagem de T iguala a dimensão do espaço de partida O resultado seguinte estabelece que aquela igualdade é válida em geral Teorema 2 Seja E um espaço vectorial de dimensão finita e T : E F uma transformação linear Então, dim Nuc(T )+dimt (E) =dime Demonstração Seja n =dime e e,, e k uma base para Nuc(T ), donde k =dimnuc(t ) n Pelo teorema 24 (pág 59) de [4], aqueles elementos são parte de uma certa base de E, por exemplo, onde k + r = n Vamos demonstrar que os r elementos e,, e k, e k+,, e k+r () T ( e k+ ),,T( e k+r ) (2) 4 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

16 formam uma base de T (E) Ficará assim demonstrado que dim T (E) =r evistoquek + r = n, fica igualmente provado o teorema Vejamos primeiro que os r elementos (2) geram T (E) Para tal, seja y T (E) Então, existe x E tal que y = T ( x) Dado que tem-se x = λ e + + λ k e k + λ k+ e k+ + + λ k+r e k+r, y = T ( x) = kx λ i T ( e i )+ i= k+r X i=k+ λ i T ( e i )= k+r X i=k+ λ i T ( e i ), atendendo a que T é uma transformação linear e ao facto de T ( e )= = T ( e k )= 0 F Isto prova que os r elementos de (2) geram T (E) Provemos finalmente a independência linear destes vectores Suponhamos que existem escalares λ k+,,λ k+r tais que Então, pela linearidade de T, T k+r X i=k+ Ã k+r X i=k+ λ i T ( e i )= 0 F λ i e i! = 0 F pelo que o vector x = λ k+ e k+ + + λ k+r e k+r Nuc(T ) Logo, existem escalares λ,,λ k tais que x = λ e + + λ k e k e, portanto, x x = kx λ i e i i= k+r X i=k+ λ i e i = 0 E Dado que os vectores () são linearmente independentes, os escalares λ i,i=,,k+r, são nulos e, assim, os r elementos considerados em (2) são linearmente independentes Exercício 2 Supondo fixada em IR 3 a base canónica, determinar onúcleoeaimagemdatransformação linear T :IR 3 IR 3 definida por T (x,x 2,x 3 )=( 2x,x 2 + x 3,x ) Resolução Bastará determinar os espaços nulo e das colunas da matriz representativa de T Esta última é a matriz A = , 0 0 pois T (, 0, 0) = ( 2, 0, ), T (0,, 0) = (0,, 0) e T (0, 0, ) = (0,, 0) Paraobteroespaçonuloé necessário resolver o sistema A x = 0, procedendo-se como segue: L + L L Assim, A x = 0 équivalentea ½ x =0 x 2 + x 3 =0 ½ x =0 x 2 = x 3, 5 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

17 donde Nuc(T )={(0, x 3,x 3 ):x 3 IR} = h(0,, )i Para obter o espaço imagem T (IR 3 ) é necessário determinar os vectores y =(y,y 2,y 3 ),para os quais o sistema A x = y é possível, prodecendo-se do seguinte modo: y 0 y y 3 Assim, aquele sistema é possível se e só se 2 L + L y 0 y y + y 3 2 y + y 3 =0 y = 2y 3, dondeosvectoresdet (IR 3 ) são da forma ( 2y 3,y 2,y 3 )=y 2 (0,, 0)+y 3 ( 2, 0, ), ou seja, T (IR 3 )= h{(0,, 0), ( 2, 0, )}i Visto que os vectores geradores de T (IR 3 ) são linearmente independentes tem-se dim T (IR 3 )=2 Como não podia deixar de ser, verifica-se que dim Nuc(T )+dimt (IR 3 )=dimir 3 3 Inversa de uma Transformação Linear Considere-se a matriz cos θ A θ = sen θ sen θ cos θ Fixada a base canónica em IR 2, esta matriz define a transformação linear T θ :IR 2 IR 2 dada, para cada (x,x 2 ) IR 2, por T θ (x,x 2 )=(x cos θ x 2 sen θ, x sen θ + x 2 cos θ) T θ pode ser interpretada geometricamente como uma rotação dos vectores do plano de θ radianos Com efeito, é fácil verificar analiticamente que θ é o ângulo formado pelo vector (x,x 2 ) epelasua imagem T θ (x,x 2 ), oquejustifica a interpretação geométrica dada (recorde-se a matriz () que foi interpretada geometricamente como uma rotação de 90 no plano; trata-se de um caso particular de A θ visto que coincide com A π/2 ) y y = y2 y2 = xsenθ + x 2cosθ x 2 θ θ x x = x 2 y = xsenθ x 2cosθ x Figura 4: Rotação de θ rad e a sua inversa Na figura 4, a imagem (y,y 2 )=T (x,x 2 ) pode ser entendida como o resultado da rotação do vector (x,x 2 ) É natural portanto a pergunta: existe uma transformação contrária que reponha 6 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

18 a situação inicial, isto é, que permita obter (x,x 2 ) apartirde(y,y 2 )? Intuitivamente, conclui-se de imediato que a transformação procurada é a rotação de θ radianos Esta transformação diz-se a transformação inversa de T θ erepresenta-seport θ Por analogia com A θ, amatrizquea define é dada por: cos ( θ) sen ( θ) cos θ sen θ A θ = = sen ( θ) cos( θ) sen θ cos θ Note-se que A θ é a matriz inversa de A θ,poisa θ A θ = I 2, como pode ser facilmente verificado Este facto revela o paralelismo existente entre a operação de inversão de matrizes e a operação de inversão de transformações lineares Para melhor precisarmos as noções anteriores, consideremos a transformação linear T : E T (E) F Diremos que T é uma transformação invertível se T é injectiva, isto é, se transforma elementos distintos de E em elementos distintos de F Equivale a afirmar que, para x, y E, se x 6= y então T ( x) 6= T ( y), ou, o que é o mesmo, x, y E, T( x) =T ( y) x = y Refira-se também que T : E F é sobrejectiva se T (E) =F, pois, assim, qualquer elemento do conjunto de chegada é imagem de um elemento do conjunto de partida Uma tranformação linear simultaneamente injectiva (monoformismo) e sobrejectiva (epimorfismo) é bijectiva (isomorfismo) O resultado seguinte permite caracterizar as transformações invertíveis de diversas formas, decorrendo daí o seu interesse Proposição 3 Sejam E e F espaçosvectoriaisdedimensãofinita e T : E T (E) F uma transformação linear Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (a) T éinvertível; (b) A transformação inversa T : T (E) F E definida por T [T ( x)] = x, x E, é uma transformação linear; (c) Nuc(T )={ 0 E },istoé,onúcleodet reduz-se ao vector nulo de E; (d) T transforma vectores linearmente independentes de E em vectores linearmente independentes de F,istoé,se v, v 2,, v p são vectores linearmente independentes de E então T ( v ),T( v 2 ),, T( v p ) são vectores linearmente independentes de F Demonstração Provar-se-á sucessivamente (a) (b) (c) (d) (a) (a) (b) Em primeiro lugar, é necessário verificar que T é uma aplicação Com efeito, dado u T (E), existeumeumsó x E tal que T ( x) = u Isto porque, atendendo à injectividade de T, é absurdo supor a existência de dois vectores x e y tais que x 6= y e T ( x) =T ( y) = u Por conseguinte, T é uma aplicação Para verificar que T é linear, sejam u, v T (E) e λ, µ escalares Assim, existem x, y E tais que u = T ( x) e v = T ( y) Então, T (λ u + µ v) =T (λt ( x)+µt ( y)) = T (T (λ x + µ y)) = λ x + µ y = λt ( u)+µt ( v), tendo em conta que T élinearequet ( u) =T [T ( x)] = x e T ( v) =T [T ( y)] = y, por definição de T Fica assim provado que T é uma transformação linear 7 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

19 (b) (c) Seja x E tal que T ( x) = 0 F Aplicando T a ambos os membros, obtém-se x = T ( 0 F ) Como por hipótese T é uma transformação linear, tem-se T ( 0 F )=T (0 0 F )=0 T ( 0 F )= 0 E, pelo que x = 0 E Consequentemente, Nuc(T )={ 0 E } (c) (d) Queremos provar que T ( v ),T( v 2 ),,T( v p ) são linearmente independentes Ora, à px px! px λ i T ( v i )= 0 F T λ i v i = 0 F λ i v i = 0 E, i= i= pois Nuc(T ) = { 0 E } Como, por hipótese, v, v 2,, v p são linearmente independentes, segue-se que λ,λ 2,,λ p =0 Consequentemente, T ( v ),T( v 2 ),, T( v p ) são linearmente independentes (d) (a) Há que provar que T é injectiva, isto é, que T ( x) =T ( y) x = y, x, y E Dado que T édedimensãofinita, pode supor-se, sem perda de generalidade, que { e, e 2,, e n } é uma base de E Então, sejam x = λ e + λ 2 e λ n e n e y = µ e + µ 2 e µ n e n vectores de E tais que T ( x) =T ( y) Esta igualdade equivale a à n! à X n! X T λ i e i = T µ i e i i= ou ainda, tendo em conta que T é linear, a i= i= nx (λ i µ i ) T ( e i )= 0 F (3) i= Como e, e 2,, e n são linearmente independentes, resulta da hipótese que T ( e ),T( e 2 ),, T ( e n ) são também independentes Então, de (3) conclui-se que λ µ,λ 2 µ 2,,λ n µ n, são todos nulos e, portanto, x = y, como se queria provar Por último, é estabelecido formalmente o paralelismo entre transformações inversas e matrizes inversas Proposição 32 Sejam E e F espaços vectoriais da mesma dimensão e T : E F uma transformação linear invertível representada matricialmente relativamente a certas bases de E e F pela matriz quadrada A T Então, T é bijectiva e a transformação inversa T é representada matricialmente relativamente às referidas bases pela matriz inversa de A T,istoé,A T =(A T ) Demonstração Sendo T injectiva tem-se que dim Nuc(T )= 0 E Da igualdade dim Nuc(T )+ dim T (E) =n edofactodef ter a mesma dimensão que E, resultaquet (E) =F Assim,T ésobrejectiva e, portanto, bijectiva Da proposição 3-(b) segue-se então que ambas as transformações lineares compostas T T e T T são representadas pela matriz identidade I n,pois T T ( x) =T [T ( x)] = x = I n x, x E e T T ( x) =T [T ( x)] = x = I n x, x F Por outro lado, seja A T a matriz quadrada que representa a transformação linear inversa T nas bases consideradas Pela proposição 2, A T T = A T A T e A T T = A T A T donde, A T A T = A T A T = I n, ou seja, A T é a matriz inversa de A T 8 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

20 Exemplo 3 Considere-se a transformação linear T :IR 3 IR 3 cuja representação matricial é A T = 0, 0 supondo fixada a base canónica em IR 3 Pretende-se averiguar se T é bijectiva e, em caso afirmativo, obter a transformação inversa Para resolver a primeira das questões, é suficiente determinar o núcleo e a imagem de T Com efeito, para obter o núcleo efectuam-se as operações seguintes: L 2 + L L + L Conclui-se então que o sistema homogéneo T (x,x 2,x 3 )=(0, 0, 0) é possível e determinado, o que implica que Nuc(T )={(0, 0, 0)}, ouseja,t é injectiva Para obter o subespaço imagem T (IR 3 ) efectuam-se os seguintes procedimentos: 0 y y 2 0 y 3 2 L 2 + L 3 L + L 2 0 y 0 2 y 2 + y y 3 y 2+y 2 0 y 0 2 y 2 + y 0 y 3 Assim, T (IR 3 )=IR 3 pois o sistema é sempre possível, qualquer que seja y =(y,y 2,y 3 ) IR 3 Deste modo, T é sobrejectiva e, dado que é injectiva, é bijectiva Aliás, este facto poderia ter sido imediatamente concluido após a verificação da invertibilidade de T Com efeito, sendo T invertível e representada por uma matriz quadrada fica garantido, pela proposição 32, que T é bijectiva Finalmente, a determinação da transformação inversa T pode, portanto, fazer-se calculando amatrizinversadea T, queéamatriz 0 2 Consequentemente, T (x,x 2,x 3 )=(x x 2,x + x 2 x 3, x x 2 +2x 3 ), como facilmente se verifica multiplicando (A T ) por (x,x 2,x 3 ) 4 Exercícios Resolvidos Verifique quais das aplicações são lineares (considere C como um espaço vectorial real): (a) T : IR 3 IR 2 (x, x 2,x 3 ) T (x,x 2,x 3 )=(x, 2x + x 2 ) (b) S : C IR 4 z = x + yi S(z) =S(x + yi) =(x, x + y, y, x), 9 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

21 (c) ϕ : IR 2 IR 3 (x, x 2 ) ϕ(x,x 2 )=(x,x 2,k), k constante real Resolução Em cada uma das alíneas vamos proceder à verificação das condições da definição de transformação linear (a) Verificação de : para quaisquer x =(x,x 2,x 3 ) e y =(y,y 2,y 3 ) de IR 3, tem-se T ( x + y) =T ((x,x 2,x 3 )+(y,y 2,y 3 )) = T (x + y,x 2 + y 2,x 3 + y 3 ) =(x + y, 2(x + y )+(x 2 + y 2 )) =(x, 2x + x 2 )+(y, 2y + y 2 ) = T (x,x 2,x 3 )+T (y,y 2,y 3 ) = T ( x)+t ( y) Verificação de 2: para quaisquer x =(x,x 2,x 3 ) IR 3 e λ IR, tem-se T (λ x) =T (λ(x,x 2,x 3 )) = T (λx,λx 2,λx 3 ) =(λx, 2λx + λx 2 )=λ(x, 2x + x 2 ) = λt (x,x 2,x 3 )=λt ( x) Logo T é linear (b)verificação de : para quaisquer z = x + y i e z 2 = x 2 + y 2 i de C, temos S(z + z 2 )=S ((x + y i)+(x 2 + y 2 i)) = S ((x + x 2 )+(y + y 2 )i) =(x + x 2,x + x 2 + y + y 2, (y + y 2 ),x + x 2 ) =(x,x + y, y,x )+(x 2,x 2 + y 2, y 2,x 2 ) = S(x + y i)+s(x 2 + y 2 )=S(z )+S(z 2 ) Verificação de 2: para quaisquer z = x + yi C e λ IR, temos S(λz )=S (λ(x + y i)) = S(λx + λy i) =(λx,λx + λy, λy,λx )=λ(x,x + y, y,x ) = λs(x + y i)=λs(z ) Logo S é linear (c) Dados x =(x,x 2 ) e y =(y,y 2 ) de IR 2, tem-se, por um lado, por outro, ϕ( x + y) = ϕ [(x,x 2 )+(y,y 2 )] = ϕ(x + y,x 2 + y 2 )=(x + y,x 2 + y 2,k); ϕ( x)+ϕ( y) = ϕ(x,x 2 )+ϕ(y,y 2 ) = (x,x 2,k)+(y,y 2,k)=(x + y,x 2 + y 2, 2k) Portanto ϕ verificaacondiçãoseesóse2k = k k =0 Facilmente se vê também que neste caso ϕ verifica a condição 2 Logo ϕ élinearseesósek =0 2 Considere a transformação linear T :IR 3 IR 2 definida por T (x, y, z) =(3x + y 2z,2y +2z) 20 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

22 (a) Determine a matriz representativa de T supondo fixadas: i As bases canónicas tanto em IR 3 como em IR 2 ; ii A base {(,, ), (0,, ), (0, 0, )} em IR 3 e a base canónica em IR 2 (b) Classifique T quanto à injectividade e sobrejectividadeeindiqueumabaseparanuc(t ) e a dimensão de T (IR 3 ) Resolução (a-i) Seja A T amatrizdet considerando fixadas em IR 2 e IR 3 a base canónica As colunas de A T são as coordenadas dos transformados T (, 0, 0), T(0,, 0) e T (0, 0, ) na base canónica de IR 2 Como T (, 0, 0) = (3, 0) = 3(, 0) + 0 (0, ), T (0,, 0) = (, 2) = (, 0) + 2 (0, ) e T (0, 0, ) = ( 2, 2) = 2(, 0) + 2 (0, ), tem-se A T = (a-ii) Seja B T amatrizdet supondo fixadas em IR 3 abase{(,, ), (0,, ), (0, 0, )} eem IR 2 a base canónica As colunas de B T são as coordenadas dos transformados dos vectores da base considerada em IR 3 expressos na base canónica de IR 2 Como T (,, ) = (2, 4) = 2(, 0) + 4 (0, ), T (0,, ) = (, 4) = (, 0) + 4 (0, ) e T (0, 0, ) = ( 2, 2) = 2(, 0) + 2 (0, ), conclui-se B T = (b) Vamos obter o núcleo de T : Como Nuc(T )={(x, y, z) :T (x, y, z) =(0, 0)} T (x, y, z) =(0, 0, 0) ½ 3x + y 2z =0 2y +2z =0 ½ x = z y = z, tem-se Nuc(T )={(z, z, z) :z IR} Assim, {(,, )} constitui uma base para Nuc(T ) e T não é injectiva, pois Nuc(T ) 6= {(0, 0, 0)} Vamos agora obter o subespaço imagem de T Ora, T (IR 3 )={(a, b) IR 2 : (x, y, z) IR 3 : T (x, y, z) =(a, b)} Para determinar os vectores (a, b) que tornam o sistema T (x, y, z) =(a, b) possível, vamos transformar a respectiva matriz ampliada numa matriz em escada: ½ " # 3x + y 2z = a 3 2 a T (x, y, z) =(a, b) 2y +2z = b b Conclui-se assim que o sistema é sempre possível qualquer que seja (a, b) IR 2, pelo que T (IR 3 )=IR 2 Consequentemente, dim T (IR 3 )=2e T é sobrejectiva, uma vez que T (IR 3 ) coincide com o conjunto de chegada 2 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

23 3 Considere o espaço vectorial real M 2 das matrizes reais de ordem 2 eoendomorfismo T : M 2 M 2 definido por 2 T (X) =XA, sendo A = 0 (a) Mostre que T é uma transformação linear (b) Determine a matriz representativa de T relativamente à base canónica de M 2 : ½ ¾ E =,E =,E =,E 0 4 = 0 (c) Caracterize Nuc(T ) e T (M 2 )T é um automorfismo? Resolução (a) T é linear pois dadas quaisquer duas matrizes X, Y M 2 e um escalar arbitrário λ IR, as propriedades da multiplicação de matrizes garantem que as seguintes igualdades são verdadeiras: T (X + Y )=(X + Y ) A = XA + XB = T (X)+T (Y ) e T (λx) =(λx) A = λ (XA)=λT (X) (b) Efectuemos o cálculo das imagens dos vectores da base canónica por meio de T : T (E ) = = = E E T (E 2 ) = = = E T (E 3 ) = = = E E T (E 4 ) = = = E Consequentemente, a matriz representativa de T na base considerada é (c) O núcleo de T édefinido por Nuc(T )={X M 2 : T (X) =O} Como a b 2 T (X) =O XA = O = c d 0 a 2a + b 0 0 = c 2c + d 0 0 a =0 a =0 2a + b =0 b =0 c =0 c =0 2c + d =0 d = MAIC Ano Lectivo 2004/2005

24 ½ 0 0 conclui-se que Nuc(T )= 0 0 ¾, istoé,onúcleoreduz-seaovectornulodem 2 Do teorema 2 sai então que dim T (M 2 )=4, pelo que T (M 2 )=M 2 Uma vez que T é injectiva e sobrejectiva, T é bijectiva, tratando-se, portanto, de um isomorfismo Como também é um endomorfismo, conclui-se que T é um automorfismo 4 Relativamente às bases canónicas, determine as matrizes das transformações lineares T ϕ e ϕ T, em que T e ϕ estão definidas no exercício resolvido Resolução Visto que T (, 0, 0) = (, 2), T(0,, 0) = (0, ) e T (0, 0, ) = (0, 0), conclui-se que a matriz representativa de T, A T, é dada por 0 0 A T = 2 0 Por outro lado, no caso da aplicação ϕ é obrigatório que k =0, pelo que a respectiva matriz representativa é A ϕ = Por conseguinte, 0 0 A T ϕ = A T A ϕ = = e A ϕ T = A ϕ A T = = Considere a transformação linear T µ : IR 2 IR 2 (µ parâmetro real) cuja representação matricial em relação à base canónica de IR 2 é 0 µ 2 A µ = 4 5 (a) Determine os valores de µ para os quais T µ éinjectiva (b) Determine T (IR 2 ) V, onde V é o subespaço de IR 2 representado geometricamente pelo eixo dos xx (c) Diga qual a matriz que representa T 2 relativamente à base {(, ), (, 0)} de IR 2 Resolução (a) T µ éinjectivaseesósenuc(t µ )={ 0} o que equivale a dizer que a única solução do sistema A µ x =0é a solução nula Isto equivale ainda a dizer que a característica de A µ é 2, ou seja, det A µ 6=0 0 µ = 0 4 µ 2 6=0 µ/ {, } (b) Comecemos por calcular o subespaço T (IR 2 ) para o basta determinar quais os vectores a IR 2 a que tornam possível o sistema A b x = Ora, b 0 0 a 4 5 b, 4 5 b 0 0 a 23 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

25 donde o sistema é possível se e só se a =0, tendo-se, pois, T (IR 2 )=h(0, )i (eixo dos yy) Visto que V = h(, 0)i (eixo dos xx), tem-se T (IR 2 ) V = { 0} e T (IR 2 )+V = h(0, ), (, 0)i =IR 2,dondeT (IR 2 ) V =IR 2 (c) A imagem de um vector genérico x =(x,x 2 ) IR 2 por meio de T 2 é dada por 0 3 x 3x T 2 ( x) =A 2 x = = x 2 4x +5x 2 As colunas da matriz representativa de T 2 relativamente à base {(, ), (, 0)} são as coordenadas de T 2 (, ) = ( 3, ) e T 2 (, 0) = (0, 4) nessa base A expressão de T 2 (, ) = ( 3, ) na base {(, ), (, 0)} obtém-se resolvendo o sistema ½ γ γ γ (, ) + γ 2 (, 0) = ( 3, ) 2 = 3 γ = ½ γ = γ 2 =4 Analogamente, para exprimir T 2 (, 0) = (0, 4) na base {(, ), (, 0)} resolve-se ½ ½ γ γ γ (, ) + γ 2 (, 0) = (0, 4) 2 =0 γ =4 γ =4 γ 2 =4 Assim, T 2 é representada na base considerada pela matriz Considere a tranformação linear T :IR 3 IR 3 definida por T (x, y, z) =(2x, 4x y, 3y z) (a) Determine a matriz representativa de T supondo fixadas em IR 3 : i A base canónica; ii A base {(, 0, ), (0,, 0), (0,, )} (b) Mostre que as matrizes determinadas em (a) são semelhantes (c) Mostre que T é invertível e determine a sua inversa Resolução (a-i) Seja { e, e 2, e 3 } a base canónica de IR 3 Como T (, 0, 0) = (2, 4, 0), T(0,, 0) = (0,, 3) e T (0, 0, ) = (0, 0, ), tem-se A T = T (, 0, 0) T (0,, 0) T (0, 0, ) = (a-ii) Seja B T amatrizdet na base considerada Designemos os elementos desta base por f, f 2 e f 3, respectivamente As colunas de B T são as coordenadas dos transformados destes vectores, T ( f )=T (, 0, ) = (2, 4, ), T ( f 2 )=T (0,, 0) = (0,, 3) e T ( f 3 )=T (0,, ) = (0,, 4), na mesma base AexpressãodeT ( f ) nestabaseobtém-sede µ =2 µ f + µ 2f2 + µ 3f3 =(2, 4, ) µ 2 µ 3 =4 µ + µ 3 = µ =2 µ 2 = µ 3 = 3 24 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

26 AexpressãodeT ( f 2 ) obtém-se de µ =0 µ f + µ 2f2 + µ 3f3 =(0,, 3) µ 2 µ 3 = µ + µ 3 =3 µ =0 µ 2 =2 µ 3 =3 Finalmente, a expressão de T ( f 3 ) na base considerada obtém-se de µ =0 µ f + µ 2f2 + µ 3f3 =(0,, 4) µ 2 µ 3 = µ + µ 3 = 4 µ =0 µ 2 = 3 µ 3 = 4 Então, h B T = T ( f ) T ( f 2 ) T ( f 3 ) i = (b) Pretende-se ver que A T e B T são matrizes semelhantes, isto é, que existe uma matriz P, invertível, tal que B = P AP Continuando a representar respectivamente por f, f 2 e f 3 os elementos da base {(, 0, ), (0,, 0), (0,, )}, tem-se que as relações entre esta base e { e, e 2, e 3 } são as seguintes, f = e + e 3 f 2 = e 2 f 3 = e 2 + e 3 ou, matricialmente, [ f f2 f3 ]=[ e e 2 e 3 ] Designando por P a matriz que se encontra mais à direita nesta igualdade, verifica-se que as colunas de P são precisamente os vectores f, f 2 e f 3 AmatrizP é a matriz procurada pois, P A T P = = = = B T (c) Uma transformação linear é invertível se o seu núcleo se reduz ao vector nulo Ora Nuc(T )= (x, y, z) IR 3 : T (x, y, z) =(0, 0, 0) ª ecomo 2x =0 T (x, y, z) =(0, 0, 0) 4x y =0 3y z =0 x =0 y =0 z =0, 25 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

27 conclui-se que Nuc(T )={(0, 0, 0)} Consequentemente, T é injectiva Recordando a proposição 32, tem-se que a determinação de T pode fazer-se calculando simplesmente a matriz inversa de A T, que é a matriz A T = Assim, T (x, y, z) =A T x y z = 2 x 2x y 6x 3y z 5 Exercícios Propostos Das aplicações a seguir definidas indique as que são transformações lineares: (a) T :IR 2 IR 2 dada por T (x, y) =(2x y, x) (b) T :IR IR 2 dada por T (x) =(, 3) (c) T :IR IR 2 dada por T (x) =(2x, x) (d) T :IR 2 IR 3 dada por T (x, y) =(xy,y,x) (e) T :IR 2 IR 3 dada por T (x, y) =( x, y, 0) (f) T : P 2 P 3 dada por T (p(x)) = p(0)x 2 + Dp(0)x 3 (g) T : P 3 P 4 dada por T (p(x)) = + xp(x) (h) T : M n M n dada por T (X) =XA AX, onde A M n e A 6= O (i) T : M n M n dada por T (X) =(X + A) 2 (X +2A)(X 3A), onde A M n e A 6= O 2 Seja f :IR 2 IR 3 uma transformação linear tal que f(, 0) = (,, 2) e f(0, ) = (3, 0, ) Determine f(x,x 2 ) para qualquer (x,x 2 ) IR 2, utilizando a definição de aplicação linear 3 Qual a matriz da transformação linear do exercício 2, supondo fixadas: (a) Em IR 2 e IR 3 as bases canónicas (b) Em IR 2 a base canónica e em IR 3 abase{(, 0, ), (, 2, ), (0,, )} (c) Em IR 2 abase{(, ), (, )} eemir 3 abase{(, 0, ), (, 2, ), (0,, )} 4 Dada a transformação linear T :IR 3 IR 2 tal que T (x, y, z) =(2x y + z, 3x + y 2z) eas bases {(,, ), (0,, ), (0, 0, )} e {(2, ), (5, 3)} de IR 3 e IR 2, respectivamente: (a) Qual a matriz da transformação linear relativamente às bases canónicas? (b) Qual a matriz da transformação linear relativamente às bases dadas? (c) Se v =(3, 4, 2) (expresso na base canónica) qual o transformado nas bases dadas? 5 Considere a aplicação T : P 2 P 2 dada por T (p(x)) = p(x +) (a) Mostre que T élinear (b) Qual a matriz da transformação linear relativamente à base {,x,x 2 }? 26 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

28 6 Relativamente às bases canónicas, determine as matrizes das transformações lineares T f e f T, em que T e f estão definidas nos exercícios 4 e 2, respectivamente 7 Seja f :IR 3 IR 2 tal que f(x, y, z) =(2x + y, x + y + z) (a) Verifique que f é uma transformação linear (b) Determine uma base para Nuc(f) ejustifique que f não é injectiva (c) Caracterize f(ir 3 ) Será f sobrejectiva? Justifique 8 Considere a aplicação P :IR 3 IR 3 definida por P (x, y, z) =(x, y, 0) (a) Verifique que P é uma transformação linear e interprete-a geometricamente (b) Mostre que P 2 = P (P 2 = P P ) (c) Determine Nuc(P ) e P (IR 3 ) Situe esses espaços na interpretação geométrica anterior e indique uma base para cada um deles 9 Considere a aplicação linear ϕ :IR 3 IR 3 dada pelas equações sendo { e, e 2, e 3 } uma base de IR 3 ϕ( e )= e +2 e 2 ϕ( e 2 )= e + e 3 ϕ( e 3 )= e 3, (a) Determine as dimensões de Nuc(ϕ) e ϕ(ir 3 ) (b) Verifique se o subespaço gerado por h e 2, e 3 i é invariante para a aplicação dada E h e 3 i? 0 Considere a aplicação T :IR 3 IR 3 definida por T (x, y, z) =(u, v, w), em que u = x y + z v =5x +2y z w = 3x 4y +3z Determine bases para Nuc(T ) e T (IR 3 ) Será T um automorfismo? Justifique Considere um espaço vectorial E de dimensão 3 Seja ϕ um endomorfismo de E cuja matriz relativamente à base { e, e 2, e 3 } é 0 2 A ϕ = (a) Mostre que ϕ é um automorfismo (b) Considere o conjunto de vectores {ē, ē 2, ē 3 } tal que ē = e + e 2 ē 2 = e e 3 ē 3 = e +2 e 3 i VerifiquequesetratadeumanovabasedeE ii Determine a matriz associada a ϕ na nova base iii Determine as coordenadas do vector v = a e + b e 2 + c e 3 na nova base 27 MAIC Ano Lectivo 2004/2005

29 2 Considere a aplicação linear T λ :IR 3 IR 4 cuja representação matricial em relação às bases canónicas de IR 3 e IR 4 édadapelamatriz 4 5 A λ = λ (a) Determine os valores de λ para os quais T λ é injectiva (b) Determine o conjunto de elementos de IR 3 cuja imagem por T é (6, 5, 5, 7) (c) Diga qual a matriz que representa a aplicação T relativamente às bases {(,, 0), (, 2, ), (0,, 3)} de IR 3 e à base canónica de IR 4 3 Considere a aplicação linear T :IR 2 IR 3 de matriz A T = 0 relativamente às bases 0 { e, e 2 } e { f, f 2, f 3 } Sejam { e 0, e 2 0 } e { f 0, f 2 0, f 3 0 } novas bases fixadas em IR 2 e IR 3 tais que f 0 = f +2f 3 ½ e 0 = e + e 2 e 0 2 = e e f 0 2 = f 2 f 0 3 = f, (a) Determine a matriz A 0 T de T relativamente às novas bases (b) Determine na base { e, e 2 } ooriginalde v = 2f f3 0 4 Considere a aplicação f : P 2 M 2 dada por f(c + bx + ax 2 b + a c )= b a (a) Mostre que f élinear (b) Determine a matriz representativa de f relativamente às bases {,x,+x 2 } de P 2 e ½ ¾ 0 0,,, de M 2 (c) Descreva os subespaços Nuc(f) e Im(f) e indique as respectivas dimensões 5 Considere a aplicação linear T :IR 3 IR 3 definida por T (x, y, z) =(2x, 4x y, 2x +3y z) Mostre que T é invertível e dertermine a sua inversa 6 Soluções dos Exercícios Propostos Sim, não, sim, não, não, sim, não, sim A, sim sse A 2 = O 2 f(x,x 2 )=( x +3x 2,x, 2x + x 2 ) 3 (a) 3 0 ; (b) ; (c) MAIC Ano Lectivo 2004/2005