A Métrica de Schwarzschild em Coordenadas Retangulares (The Schwarzschild Metric in Rectangular Coordinates)

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1 A Métrica e Schwarzschil em Coorenaas Retangulares (The Schwarzschil Metric in Rectangular Coorinates) Valir Monteiro os Santos Gooi valir.msgooi@gmail.com RESUMO Transformamos a métrica e Schwarzschil e coorenaas esféricas para retangulares, confirmano que a conclusão obtia por Einstein sobre réguas ispostas perpenicularmente a um campo gravitacional mantémse inalteraa quano utilizamos a solução exata e Schwarzschil, obtia nas conições e campo estático no vácuo e com simetria esférica. Além esta transformação também falamos novamente sobre as velociaes a luz no sentio raial e perpenicular meias na superfície a Terra, lembramos e testes para a verificação o princípio a constância a velociae a luz e calculamos a aceleração a luz e os corpos em geral num campo gravitacional estático raial. ABSTRACT We transform the Schwarzschil metric in spherical coorinates to rectangular, confirming that the conclusion obtaine by Einstein for rules ispose perpenicular to a gravitational fiel remains unchange when using the exact solution of Schwarzschil, obtaine uner the conitions of static fiel in vacuum an with spherical symmetry. Beyon this transformation also talke again about the spee of light in raial an perpenicular irections measures in the Earth's surface, we recall tests for the verification of the principle of the constancy of the spee of light an calculate the acceleration of light an boies in generally, in a raial static gravitational fiel. Palavras-chaves: métrica, Schwarzschil, Einstein, tempo, espaço, velociae, aceleração, luz, Relativiae Geral, Relativiae Restrita, princípio a constância a velociae a luz, Michelson-Morley, Sol, Terra, blinagem, quea livre, graviae, campo gravitacional, gravitação, Newton. Keywors: metric, Schwarzschil, Einstein, time, space, spee, acceleration, light, general relativity, special relativity, principle of constancy of the spee of light, Michelson-Morley, Sun, Earth, shieling, free fall, gravity, gravitational fiel, gravitation, Newton. 1. Introução Em nosso mais recente artigo sobre a variabiliae a velociae a luz [1] usamos o fato e que as réguas uniae não sofrem alteração em seu tamanho sob a influência e um campo gravitacional estático quano ispostas perpenicularmente a este campo, isto e acoro com o famoso artigo e 1

2 Einstein publicao em 1916 [2], one lançou os Funamentos a Relativiae Geral. O mesmo comportamento se poe atribuir a uma régua ou barra e comprimento genérico, ese que pequeno comparao com a istância r ao centro o sistema. Sabemos que em [2] Einstein não tinha aina uma solução exata para as suas equações e campo, solução que foi encontraa pela primeira vez por Schwarzschil [3], one obteve a métrica em coorenaas esféricas (r,, ) s 2 = (1 2 Φ) c 2 c2 t 2 r2 1 2 r2 (θ 2 + sen 2 θ φ 2 ). (1) c 2Φ Vamos aqui transformar esta métrica em coorenaas retangulares (x, y, z) e confirmar que a conclusão obtia por Einstein sobre réguas ispostas perpenicularmente a um campo gravitacional mantém-se inalteraa quano utilizamos a solução exata e Schwarzschil, obtia nas conições e campo estático no vácuo e com simetria esférica, conforme se espera que ocorra em sistemas planetários, como o sistema solar [4]. O comportamento os relógios e as réguas ispostas raialmente no campo gravitacional já verificamos [5] que está e acoro com o artigo original e Einstein. Além esta transformação também falaremos novamente sobre as velociaes a luz no sentio raial e perpenicular (seção 4) meias na superfície a Terra, lembraremos e testes para a verificação o princípio a constância a velociae a luz e calcularemos a aceleração a luz e os corpos em geral num campo gravitacional estático raial (seção 5), concluino este trabalho na seção 6. 2 A transformação e coorenaas A transformação entre coorenaas retangulares e esféricas é aa por x = r senθ cosφ, x R (2.1) y = r senθ senφ, y R (2.2) z = r cosθ, z R (2.3) cujas transformações inversas são r = x 2 + y 2 + z 2, 0 r < (3.1) φ = arctg y, 0 φ 2π x (3.2) θ = arctg ( x2 +y 2 ), 0 θ π. (3.3) Da regra a caeia 2 z

3 f = f x i x i (4) e a erivaa o arco-tangente u arctg u = 1 1+u 2 u x, π 2 < arctg u < π 2 (5) obtemos r = xx+yy+zz r (6.1) φ = yx+xy x 2 +y 2 (6.2) θ = 1 r 2 [(xx+yy)z (x 2 +y 2 )z] x 2 +y 2. (6.3) A métrica (1) transforma-se em coorenaas retangulares substituino as relações (3) e (6) em (1), com Assim r 2 sen 2 θ = x 2 + y 2. (7) r 2 = (x 2 x 2 + y 2 y 2 + z 2 z 2 + 2xyxy + 2xzxz + +2yzyz)/r 2 (8.1) e portanto com φ 2 = y2 x 2 2xyxy+x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 (8.2) θ 2 = 1 r 4 [(xx+yy) 2 z 2 2(xx+yy)(x 2 +y 2 )zz+(x 2 +y 2 ) 2 z 2 ] x 2 +y 2 3 (8.3) s 2 = A t 2 (x2 x 2 +y 2 y 2 +z 2 z 2 +2xyxy+2xzxz+2yzyz) Ar 2 1 r 2 [(xx+yy) 2 z 2 2(xx+yy)(x 2 +y 2 )zz+(x 2 +y 2 ) 2 z 2 ] x 2 +y 2 (y2 x 2 2xyxy+x 2 y 2 ) x 2 +y 2, (9)

4 A = (1 2 Φ GM c2), Φ =, r (10) 2 e os usuais significaos e G, M e c. Seno assim, a métrica e Schwarszchil escreve-se e forma pouco elegante em coorenaas retangulares, ao contrário o que acontece quano escrita em coorenaas esféricas, mas ao menos através esta forma será possível analisar melhor, mais exatamente, o comportamento e réguas (comprimentos, istâncias) ispostas perpenicularmente ao campo central. Nas coorenaas esféricas, por sua vez, o formato natural estas réguas uniae seriam curvas, arcos e círculo, mais aequaas para se meirem ângulos. 3 Réguas ispostas perpenicularmente ao campo gravitacional Estano a massa M na origem o sistema e coorenaas, com base na métrica e Schwarzschil em coorenaas retangulares (9), uma régua e comprimento 1 na ausência e campo e graviae, com um os extremos localizao em (x, 0, 0) e o outro em (x, 1, 0) terá, na presença o campo, um comprimento s 2 = 1 = lim x 0, y 0 ( yx+xy) 2 x 2 +y 2 = y 2, (11) one se fez em (9) x = z = t = 0, y 0, y = z = 0, x 0. A equação (11) leva a y = ±1, mostrano que nossa régua não sofre alteração e tamanho sob a influência o campo gravitacional, quano isposta perpenicularmente a este campo, conforme o resultao original obtio por Einstein em [2]. Estano a régua paralela ao eixo z, e (0, y, 0) a (0, y, 1), com x = y = t = 0, z 0, x = z = 0, y 0, obtemos, semelhantemente, s 2 = 1 = lim x 0 1 (x 2 +y 2 ) 2 z 2 = z 2, r 2 x 2 +y 2 (12) e aí z = ±1, tal qual o resultao anterior. Se a régua estiver com um os extremos no eixo z e paralela ao eixo x, e (0, 0, z) a (1, 0, z), com y = z = t = 0, x 0, x = y = 0, z 0, teremos s 2 = 1 = lim x,y 0 1 r 2 (xx) 2 z 2 x 2 +y 2 = x 2, (13) 4

5 e então x = ±1, conforme esperao, garantino assim que a conclusão e Einstein em primeira orem e aproximação também vale para a solução exata. 4 Velociaes a luz em três situações Sabeno que há simetria entre as três ireções x, y, z, ou seja, a régua poe estar inistintamente paralela ao eixo x, y ou z, respectivamente com um e seus extremos sobre o eixo y, z ou x, seu tamanho não sofrerá alteração quano um campo gravitacional tem origem no centro o sistema e coorenaas. Então nós temos para a velociae a luz moveno-se raialmente em relação ao centro e forças c = (1 2 Φ) c, (14) c2 e para a velociae a luz moveno-se perpenicularmente a este campo c T = 1 2 Φ c (1 Φ c 2 c2) c, (15) seno c a velociae a luz no vácuo e livre e efeitos gravitacionais, Φ = GM r o valor absoluto o potencial gravitacional e r a istância o ponto one se mee a velociae à origem o sistema. c inica um movimento acelerao para a velociae a luz no sentio raial, conforme veremos na próxima seção. Existem ois principais momentos em que poemos consierar que a luz, moveno-se sobre uma superfície horizontal na Terra, está num movimento perpenicular ao centro e forças (o Sol): quano o Sol está na máxima altura, i.e., ao meio-ia (aproximaamente), e ecorrias mais 12 horas, ou seja, à meia-noite (aproximaamente), quano a istância ao centro o Sol é máxima. Será nesta última situação que a velociae a luz será máxima (c + ), pois a influência gravitacional será mínima. Se M S é a massa o Sol, D T S é a istância Terra-Sol e R T é o raio a Terra teremos (usano valores méios) c = c 2 c GM S D T S, c = c c 5,9199 m/s (16.1) c T c 1 c GM S D T S R T, c T = c c T 2,9601 m/s (16.2) 5

6 c + = c 1 c GM S D T S +R T, c + = c c + 2,9598 m/s, (16.3) valores estes que variam conforme a época o ano (solstícios, equinócios, perihélio, afélio, etc.) e latitue geográfica. A menor velociae (c ) é obtia ao nascer ou pôr o Sol, e a maior velociae (c + ) é a obtia por volta a meia-noite. Percebe-se que c + e c T istam entre si e apenas 0,0003 m/s, e em termos práticos nenhuma iferença apresentariam (exceto que se verifique urante as meias que a Terra se comporta como uma blinagem para a graviae o Sol, ou seja, sua graviae não chegaria até a superfície a face oposta na Terra, o que seria mais uma grane escoberta). Diferença maior está entre c T (ou c + ) e c. Nós temos c = c T c 2,96 m/s c T c +, (17) como é fácil perceber que c é aproximaamente igual ao obro as outras uas velociaes. A Terra também contribui com a alteração a velociae a luz em sua superfície, mas sua influência aina é menor que a o Sol, cerca e 14 vezes menor: M S DT S M T RT 14,18. (18) A equação (16.2) aplicaa apenas a Terra fornece c T c 1 c GM T R T, c T = c c T 0,21 m/s, (19) one se usou nos cálculos acima o valor parão para a velociae a luz no vácuo: c = m/s. O resultao (19) mostra pequena a influência a Terra na velociae a luz quano comparaa com a o Sol, equações (16). Lembrano que a Terra está em movimento, possui tanto um movimento e rotação em torno e seu próprio eixo (465 m/s) quanto um movimento e translação ao reor o Sol ( 29,78 km/s), temos aina boa oportuniae e testar o princípio a constância a velociae a luz. Para qualquer um os horários em que se tomem meias e velociae eve-se calcular a velociae a luz tanto num sentio (A-B) quanto no outro (B-A). Dao o princípio a inércia, e seno curto o trajeto, não é esperaa variação a velociae a luz ao muar o sentio e seu trajeto (o que também explica o resultao negativo a experiência e Michelson-Morley com o interferômetro, 6

7 sem precisarmos recorrer a nenhuma contração espacial ou ilatação temporal). 5 Aceleração a luz e os corpos num campo gravitacional raial A velociae (14) no sentio raial ao campo gravitacional prevê aceleração, já que a istância r ao centro varia com o movimento, e portanto a velociae varia com o tempo. Vamos nesta seção calcular esta aceleração seguino o que é possível euzir a Relativiae Geral, primeiro para a luz e epois para os corpos em geral. Em Espaço-Tempo e a Métrica e Schwarzschil [5] obtivemos e aí r = 1 2 ρ, (20) c2 t = τ 1 2 c 2. (21) V r = r = (1 2 t c 2 ) ρ τ, (22) velociae V r meia em um movimento raial sob um campo gravitacional estático com simetria esférica e origem no centro o sistema e one ρ τ é a respectiva velociae meia na ausência o campo. Conforme temos aotao, = GM r Fazeno ρ τ, o valor absoluto o potencial gravitacional. = c a velociae a luz no vácuo, (22) fica igual a c = (1 2 GM ) c = c 2, c2 cr (23) ou seja, a velociae c a luz iminui quano a luz viaja raialmente sob a influência e um campo gravitacional, iminuição esta em relação à sua velociae c sem campo e graviae. Mencionamos em nossa Nota sobre a Variabiliae a Velociae a Luz [1] que (23) correspone a um movimento levemente acelerao, mas tratase e uma aceleração maior o que os corpos materiais comuns têm na superfície a Terra. Derivano (23) em relação ao tempo obtemos a aceleração raial o movimento a luz: 7

8 t c = 2 GM c t (1 r ) = +2 GM c r r 2. (24) Fazeno r c obtemos t c +2 GM, r 2 (25) o obro a aceleração que os corpos materiais normalmente têm num campo gravitacional, prouzio pela massa M. Fazeno r = c em (24) temos, mais exatamente, t c = +2 GM c c r GM GM = (1 2 r c 2 r ), (26) o que mostra que a aceleração a luz ecresce com o aumento a istância ao centro. No infinito temos lim r c = 0. (27) t Resultao mais inesperao que o ao em (25) é a aceleração os corpos orinários neste campo gravitacional. Fazeno ρ τ = V 0 em (22), a velociae constante (por exemplo) que se obteria sem a influência a massa M, temos t V r = t Fazeno então ( 2GM c 2 r V 0) = 2GM V 0 c 2 t (1 r ) = +2GM V 0 8 r c 2 r 2. (28) r = V r = (1 2 c 2 ) V 0 (29) em (28), conforme (22), obtemos finalmente a r = t V r = +2 GM V2 0 r 2 c 2 (1 2 GM c 2 r ), (30) que é muito iferente o que se obtém experimentalmente na superfície a Terra, a r Newton = GM r 2. (31)

9 Este é um resultao funamental sobre o espaço-tempo, que merece nossa reflexão. Parece razoavelmente aceitável quano V 0 = c, mas para pequenos valores e V 0, as velociaes habituais que estamos acostumaos, por exemplo, um lançamento e bolinhas para cima ou uma quea livre em ireção ao chão, fornece algo muito iferente o valor meio por nossas experiências, que na superfície a Terra é a r Newton 9,8 m/s 2. Em especial, se V 0 = 0 temos a r = 0, ou seja, corpos originalmente imóveis não teriam aceleração quano colocaos neste campo. Difícil e acreitar, ifícil e entener. Teríamos que imaginar talvez que na ausência e graviae só existiria a velociae a luz (V 0 = c), para que quano na presença esta força cheguemos a uma aceleração mais ou menos igual a que conhecemos (exceto pelo fator 2). Embora seja muito seutor imaginar um muno e luz, one só granes massas possam afetar esta velociae, não creio que seja isso o mais sensato a concluir. Vejamos a título e curiosiae: igualano (30) e (31) obtemos V 0 c 2 2 0,7071c, que seria então a velociae aproximaa que os corpos teriam num muno sem graviae, para que sob o efeito gravitacional aquiram a aceleração clássica, e Newton, aa por (31). Mesmo a aceleração seno a mesma, a velociae continuaria muito grane comparaa com as velociaes não relativistas que temos, e portanto é pura especulação uma velociae tão alta e que puesse ser consieraa normal. 6 Conclusão Em algumas situações é mais vantajoso utilizar a solução e Schwarzschil em coorenaas retangulares, embora apresente mais longa expressão que a solução em coorenaas esféricas. Um campo gravitacional não altera o tamanho e uma régua quano isposta perpenicularmente a este campo, o que vimos com a solução exata e Schwarzschil expressa em coorenaas retangulares. Temos quatro momentos o ia one é interessante meirmos a velociae a luz na superfície a Terra: nascer o Sol, meio-ia (ou com o Sol o mais próximo possível o zênite), pôr o Sol e meia-noite (ou com o Sol o mais próximo possível o zênite no extremo oposto a Terra), momentos one poe-se verificar as equações aas em (16). Talvez a meia e c + possa inicar uma blinagem gravitacional a Terra para a graviae o Sol, mesmo que parcial. 9

10 Toa meia a velociae a luz poe ser um bom momento para verificarmos também o princípio a constância a velociae a luz na Relativiae Restrita, meino-a em um sentio e também no sentio oposto, consierano a Terra um referencial inercial em movimento (ao menos por breves momentos, urante as meias). O que calculamos na seção 5 sobre a aceleração a luz e os corpos foi, para nós, uma surpresa. A luz não só tem velociae variável, o que já tinha sio exposto por Einstein [6], mas apresenta aceleração em um movimento alinhao a um campo gravitacional, seguno a Relativiae Geral, que é a orem o obro a que os corpos comuns têm neste campo, a conhecia aceleração GM r2 a gravitação e Newton. Mesmo se isto é aceitável para o movimento a luz, não nos parece viável a aceleração estes corpos comuns quano calculaa pela Relativiae Geral; calcula-se um valor bem menor que o meio pelas verificações experimentais. Mais simples que viajar a Plutão é meir a velociae a luz na superfície a Terra, e mais simples que meir a velociae a luz é meir a velociae e uma bolinha na superfície a Terra, e sua aceleração. DEDICATÓRIA A Stephen e Jane Hawking, à Teoria e Tuo, a Deus. REFERÊNCIAS 1. Gooi, V.M.S., Note on the Variability of the Spee of Light, isponível em (2015). 2. Einstein, A., Os Funamentos a Teoria a Relativiae Geral, em Textos Funamentais a Física Moerna, vol. I, O Princípio a Relativiae, traução e Mário José Saraiva o artigo original Die Grunlage er allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen er Physik, 49, (1916). Lisboa: Funação Calouste Gulbenkian (1983). 3. Schwarzschil, K., On the Gravitational Fiel of a Point-Mass, Accoring to Einstein s Theory, em o original Uber as Gravitationsfel eines Massenpunktes nach er Einsteinschen Theorie, Sitzungsberichte er Koniglich Preussischen Akaemie er Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math. Klasse, (1916). 4. Lorenci, V. e, Teoria a Gravitação, em Programa Mínimo e Cosmologia, cap. 1, org. Mario Novello et al. Rio e Janeiro: Jauá Eitora (2010). 10

11 5. Gooi, V.M.S., Space-Time an the Schwarzschil Metric, isponível em (2015). 6. Einstein, A., Sobre a Influência a Graviae na Propagação a Luz, em Textos Funamentais a Física Moerna, vol. I, O Princípio a Relativiae, tra. Annalen er Physik, 35 (1911). Lisboa: Funação Calouste Gulbenkian (1983). 11