RECONCILIAÇÃO ROBUSTA DE DADOS UTILIZANDO O SIMULADOR EMSO

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1 RECONCILIAÇÃO ROBUSTA DE DADOS UTILIZANDO O SIMULADOR EMSO I. SARRUF, D. Q. F. MENEZES, L. S. SANTOS e D. M. PRATA Unversdade Federal Flumnense, Departamento de Engenhara Químca e de Petróleo. Unversdade Federal do Ro de Janero, Programa de Engenhara Químca/ COPPE. E-mal para contato: pratadego@gmal.com RESUMO A presença de erros grosseros corrompe os resultados obtdos por meo de procedmentos de reconclação de dados que consderam dstrbução de probabldades Normal. A abordagem clássca para ldar com esse problema consste na detecção e elmnação ou compensação desses erros, o que pode ser feto teratvamente por estratégas seqüencas ou smultâneas. A lteratura centífca tem mostrado que dstrbuções dervadas da estatístca robusta são potencas canddatas para realzar este procedmento, resultando em estmadores robustos que reduzem ou elmnam os efetos negatvos dos erros grosseros sobre as estmatvas, sem a necessdade de elmná-los e smultaneamente a reconclação, evtando estratégas teratvas e computaconalmente ntensvas. Este trabalho ntroduz os estmadores robustos de Bell, Ramsay e Insha e realza uma para análse comparatva entre estes e os estmadores robustos presentes no smulador EMSO e os apresentados por Kong et al. (000) e Zhou et al. (006) em um problema fortemente não lnear, em estado estaconáro. Os estmadores de Bell, Welsch e Lorenzana obtveram os melhores resultados.. INTRODUÇÃO Dados amostras de processos reas, em escala laboratoral, planta ploto ou ndustral contém nerentemente erros de medção. Tas erros são classfcados como pequenos aleatóros ou grosseros. Estes erros estão assocados com a precsão e calbração dos nstrumentos de medção, ntervenção humana (amostragem, análse e transcrção), falhas, ncrustações e deteroração na nstrumentação, flutuações súbtas de força e/ou perturbações não conhecdas no processo (almentação com contamnantes ou nbdores) e anda pela exstênca da varabldade do processo (algumas vezes causadas pelos esquemas de controle). Desta manera, não se espera que conjuntos de dados reas meddos obedeçam às les de conservação como balanços de massa e energa. Portanto, um procedmento de retfcação de dados é essencal para obter uma recuperação satsfatóra da nformação contda nos dados. Procedmentos de retfcação de dados são utlzados em dferentes aplcações como controle de processos e otmzação, montoramento de processos, detecção de falhas, entre outros. O procedmento mas usado para a retfcação é a reconclação de dados (RD), onde dados meddos são ajustados de manera estatstcamente coerente pelo estmador (função objetvo) resultante da formulação de máxma verossmlhança sobre a dstrbução estatístca dos erros de medção assumda, de forma a satsfazer às les de conservação e demas Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos

2 restrções mpostas ao sstema (modelo matemátco), obtendo estmatvas confáves para as varáves e parâmetros do processo (Prata et al., 00). Tradconalmente é assumda dstrbução Normal, que resulta no estmador de mínmos quadrados ponderados (MQP). Para que esta fnaldade seja atngda, dos outros procedmentos são geralmente utlsados durante o processo de retfcação: a classfcação das varáves e a detecção de erros grosseros (DEG). O prmero determna se a nformação dsponível é sufcente para resolver o problema de reconclação/estmação e dentfcar os conjuntos de varáves observáves (varáves meddas e não-meddas que podem ser estmadas por meo das demas varáves meddas e pelas restrções do processo) e não-observáves (varáves não meddas que não podem ser estmadas). O segundo procura por valores meddos que não seguem a dstrbução estatístca admtda, uma vez que estes a nvaldam. Erros grosseros podem ser dvddos em valores espúros (outlers) e desvos sstemátcos (bas). Outro procedmento mportante é caracterzação da matrz de varânca/covarânca dos erros de medção, já que as varáves envolvdas no processo possuem grandezas dstntas, obtdas por nstrumentos de medção com dferentes graus de precsão. O nverso desta matrz pondera coerentemente o peso dado às varáves na função objetvo (estmador), evtando-se ajustes tendencosos. Geralmente, é assumdo não haver correlação entre os erros de medção, e esta matrz possu a forma dagonal (matrz de varâncas). Erros grosseros causam estmatvas pobres ou desvadas (para varáves e parâmetros) em procedmentos tradconas de RD, estmação de parâmetros (EP) ou ambos (RDEP) que consderam dstrbução Normal. A abordagem clássca para ldar com esse problema consste na detecção e elmnação ou compensação desses erros, o que pode ser feto teratvamente por estratégas seqüencas ou smultâneas. A lteratura centífca tem mostrado que dstrbuções dervadas da estatístca robusta são potencas canddatas para realzar este procedmento, resultando em estmadores robustos (função objetvo do problema de otmzação assocado à estrutura do procedmento de RDEP) que reduzem ou elmnam os efetos negatvos dos erros grosseros sobre as estmatvas, sem a necessdade de elmná-los e smultaneamente a RDEP, evtando estratégas teratvas e computaconalmente ntensvas. O smulador braslero EMSO - Ambente para Modelagem, Smulação e Otmzação - (Soares e Secch, 00) dspõe de rotnas computaconas propramente desenvolvdas para RD em estado estaconáro com restrções lneares ou não lneares, nclundo testes tradconas para a DEG e os seguntes estmadores robustos: Normal Contamnada, Far, Cauchy, Hampel, Logístca e Lorenzana, descrtos em Özyurt e Pke (004). Segundo esta dreção, este trabalho ntroduz os estmadores robustos de Bell, Ramsay e Insha, e realza uma para análse comparatva entre estes e os estmadores robustos presentes no smulador EMSO e os apresentados por Kong et al. (000) e Zhou et al. (006) em um problema fortemente não lnear, em estado estaconáro na presença de erros grosseros. Este trabalho está organzado em cnco seções, além desta ntrodução. Na Seção é realzada uma breve revsão da lteratura, ressaltando o problema de DEG e estmadores robustos. A Seção descreve a formulação geral do problema de reconclação robusta de dados. Na Seção 4 é apresentado o problema estudado e o crtéro de avalação dos estmadores robustos. Na Seção 5 são apresentados os resultados obtdos. E, fnalmente, na Seção 6 as conclusões do trabalho são apresentadas. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos

3 . REVISÃO DA LITERATURA Mutos métodos para DEG foram propostos, sendo geralmente assumdo haver um únco erro grossero presente nos dados. Desde que mas de um erro grossero esteja presente no conjunto de dados analsado, é necessára uma estratéga para detectá-los e elmná-los ou compensá-los. E sto é conhecdo por detecção de múltplos erros grosseros (DMEG). Esta pode ser seqüencal ou smultânea. Na estratéga seqüencal os erros grosseros são dentfcados seqüencalmente, um por um. Bascamente dvde-se entre os métodos da elmnação seral ou compensação seral. A estratéga smultânea busca detectar todos os erros grosseros presentes nos dados smultaneamente ou em uma smples teração. Estratégas baseadas em combnações de métodos também foram propostas, utlzando o melhor de cada método e compensando suas defcêncas. Entretanto, estas estratégas são, geralmente, desgnadas para processos operando em estado estaconáro e estão baseadas na utlzação da dstrbução Normal com méda zero para os erros de medção, resultando no estmador de máxma verossmlhança de MQP. Embora a hpótese de normaldade para os erros de medção seja usual, outras técncas estatístcas e dstrbuções de erros de medção podem ser utlzadas para smultânea RD e DEG/DMEG, uma vez que a dstrbução Normal é extremamente afetada por erros grosseros. São exemplos: a análse de agrupamentos (clusters), as redes neuronas artfcas e os estmadores robustos. Estes métodos alternatvos podem ser utlzados ndependentemente das restrções (estaconára ou dnâmca; lnear ou não lnear) e evtam elmnações de meddas e procedmentos teratvos (Prata et al., 00). Os estmadores robustos têm sdo muto reportados na lteratura técnca para ldar com o problema de RD e DMEG smultaneamente - Reconclação Robusta de Dados (RRD) -. Tjoa e Begler (99) provaram que usando o estmador baseado na dstrbução Normal Contamnada, ao nvés do tradconal MQP, qualquer valor espúro presente nas meddas poda ser substtuído por valores reconclados, sem necesstar de esquemas teratvos. Johnston e Kramer (995) reportaram a vabldade e o melhor desempenho de estmadores robustos para o problema de RD, bem como ntroduzram o estmador robusto Lorenzana. Albuquerque e Begler (996) e Arora e Begler (00) analsaram os estmadores robustos em sstemas dnâmcos usando dados smulados. Prata et al. (00) foram poneros na análse de estmadores robustos em um sstema dnâmco com restrções não lneares usando dados ndustras, bem como ntroduzram o estmador robusto de Welsch. Kong et al. (000) e Jn et al. (0) desenvolveram seus própros estmadores robustos. O prmero estudo comparatvo entre alguns estmadores robustos, para problemas de RD operando em estado estaconáro, fo realzado por Özyurt e Pke (004). Eles concluíram que os estmadores de Cauchy e Hampel obtveram resultados promssores. Zhou et al. (006) também realzaram estudo comparatvo entre estmadores robustos, ntroduzndo o estmador de Huber. Prata et al. (008) realzaram o prmero estudo comparatvo entre estmadores robustos para um problema de RD dnâmco com restrções não lneares. Eles concluram que os estmadores de Welsch e Lorenzana obtveram os melhores resultados. Subseqüentemente, dferentes estmadores robustos e seus desempenhos em reconclação de dados foram reportados em dversos problemas (Prata et al. 00). Estes estudos têm mostrado o enorme potencal da estatístca robusta, pos a nsensbldade dos estmadores robustos a dvergêncas de hpóteses deas faz com que eles tendam a gnorar valores atípcos. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos

4 . O PROBLEMA DE RECONCILIAÇÃO ROBUSTA DE DADOS (RRD) Exstem mutas classes de estmadores robustos, sendo as mas populares aquelas utlzadas nos estmadores-m, que são generalzações de um estmador de máxma verossmlhança (Albuquerque e Begler, 996). Assumndo que os erros de medção não são correlaconados, o problema de RRD estaconáro, de forma generalzada, adota a formulação, mn sujeto a h g x, u 0 x, u 0 x z mn ( ) () () onde é uma função razoavelmente monotônca, e σ são, respectvamente, o resíduo padronzado e o desvo padrão da varável dscreta medda z, x e u são os vetores das varáves meddas reconcladas e não meddas (observáves) estmadas, respectvamente. Fnalmente, h e g são as restrções algébrcas de gualdade e desgualdade, respectvamente. Apresentam-se os estmadores de MQP, Welsch (Prata et al., 00), Ramsay (Ramsay, 977), Bell (Bell, 980) e Insha (Ullah et al., 006) como possíves escolhas para. MQP: Welsch: MQP ( ) () c W W (, cw ) exp (4) cw Ramsay:, c ) c exp c Bell: Insha: R ( R R R c (5) R 5c BL BL (, cbl ) (6) 4 5cBL c I ci I (, ci ) arctan 4 4 (7) 4 ci ci Nestas funções c w, c R, c BL, c I são parâmetros de sntona relaconados a efcênca relatva. Quanto mas robusto é um estmador, menos efcente ele é (Albuquerque e Begler, 996). Este parâmetro é mportante para a comparação entre dos ou mas estmadores, sendo calculada em relação a uma dstrbução de referênca, quase sempre adotada a dstrbução Normal (Prata et al., 00). Para uma efcênca relatva de 95% os valores correspondentes das constantes de sntona são: c w =.9846, c R =0.569, c BL =.85 e c I =.96. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos 4

5 Os métodos usados para mensurar a robustez de um estmador envolvem a chamada função de nfluênca (FI). Para os estmadores-m, a FI corresponde à dervada da função em relação ao resíduo padronzado ( ) e, de manera smplfcada, corresponde ao peso (nfluênca) dado ao efeto da magntude de um erro grossero (quase sempre mensurado em termos de múltplos do resíduo padronzado) sobre as estmatvas obtdas. O estmador MQP não é robusto, pos sua função de nfluênca é FI MQP =, ou seja, a nfluênca de erros grosseros nas estmatvas é lmtada (falta de robustez) e aumenta proporconalmente com o aumento da magntude do erro grossero. Pelo contráro, os estmadores de Welsch, Ramsay, Bell e Insha possuem FI que decresce de forma lmtada tendendo à zero, que anulam o efeto negatvo de erros grosseros sobre as estmatvas, mesmo com o aumento de sua magntude, por sso são classfcados como "redescendng". Já os estmadores de Far, Huber e Kong sofrem nfluênca dos erros grosseros, mesmo que de forma lmtada, por sso são classfcados como "monótonos". Esta comparação é lustrada na Fgura. Fgura - Função de Influênca (FI). 4. O PROBLEMA NÃO LINEAR Este problema fo proposto orgnalmente por Pa e Fscher (988) e utlzado por dversos autores, para avalação de estmadores robustos (Tjoa e Begler, 99; Kong et al., 000; Özyurt e Pke, 004; Zhou et al., 006, Jn et al., 0). O problema é consttuído por ses restrções não lneares, as quas são apresentadas na Equação (8). Exstem cnco varáves meddas x até x 5, todas redundantes, e três varáves não meddas u até u, todas observáves. 0.5x x x x x x u u x x x u x x x x x x x x u x u u 0 u x u x u u u x u u x 0 x u u u x u (8) Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos 5

6 Os valores exatos para as varáves meddas, os correspondentes desvos-padrão e os valores exatos para as varáves não meddas são: x exato [4.54 [ ] ] T T u exato [ ] T Zhou et al. (006) utlzaram os mesmos dados smulados por Kong et al. (000) que desenvolveram três estudos de caso para avalação dos estmadores robustos de Huber e Kong, respectvamente. No caso são adconados erros grosseros nas varáves x e x (magntude de desvos-padrão em ambos) para DMEG. É proposto neste trabalho o estudo de caso 4. Neste são adconados erros grosseros nas varáves x e x com magntude de 6 e 5 desvos-padrão, respectvamente. Os outros autores embora se utlzem deste exemplo, não apresentam os dados meddos, uma vez que geram mutos dados smulados e se utlzam de avalações percentuas. Neste trabalho serão avalados os estmadores robustos: Normal Contamnada, Bell, Far, Cauchy, Huber, Insha, Kong, Logístca, Lorenzana, Ramsay e Welsch, utlzando o pacote de otmzação do smulador EMSO, onde é possível escrever a função objetvo (estmador). Escolheu-se o otmzador IPOPT, para resolver o problema. 4.. Crtéro de Avalação Para avalar a qualdade do resultado dos estmadores robustos sobre os dados corrompdos por erros grosseros para as estmatvas das varáves meddas e não meddas será utlzado o crtéro SSE (Sum of Squared Error), apresentado na Equação 9. x x u u do exato estmado reconcla SSE (9) exato Este fo o crtéro utlzado por Zhou et al. (006). Quanto menor for a SSE obtda, provavelmente melhor terá sdo o resultado, ndcando uma dferença pequena entre os valores reconclados /estmados e os exatos. Uma crítca é que este crtéro não leva em consderação o desvo-padrão para as varáves meddas (resíduo padronzado). Para a detecção do erro grossero utlzou-se o teste clássco para 95% de confança com base na dstrbução Normal, apresentado na Equação 0, uma vez que se conhece σ. x reconcla do x meddo.96 (0) 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO São apresentados os resultados para o caso 4 proposto neste trabalho, que vsa a detecção de múltpos erros grosseros. Os valores meddos, reconclados, os estmados das varáves não meddas e os valores do crtéro SSE obtdos são apresentados na Tabela. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos 6

7 Tabela Estudo de caso 4 (Proposto neste trabalho). Varáves x x x x 4 x 5 u u u SSE Valores Exatos Valores Meddos 4, * MQP N. Contamnada Cauchy Far Logístca Lorenzana Bell Insha Ramsay Welsch Kong Huber Na Tabela observa-se que os estmadores robustos de Bell, Welsch e Lorenzana obtveram os menores valores para o crtéro de SSE (0.0096, e 0.00), e consequentemente os melhores resultados na reconclação/estmação na presença de múltplos erros grosseros. Os dos últmos estmadores corroboram os resultados apresentados por Prata et al. (008), onde se destacaram. Observa-se que o tradconal estmador de MQP obteve um valor altíssmo (00 vezes maor) para SSE (0.9587) o que mostra a sua falta de robustez. Assm, verfca-se a necessdade de estratégas de detecção e elmnação/compensação de erros grosseros quando o estmador de MQP for utlzado. Estes resultados mostram, também, a essênca da utlzação dos estmadores robustos que são capazes de realzar o procedmento de RD e DMEG smultaneamente, evtando estratégas com base em procedmentos teratvos e, geralmente, computaconalmente ntensvos. Todos os estmadores robustos detectaram corretamente os erros grosseros nas varáves x e x, com exceção dos estmadores de Far e Kong, que cometeram um erro tpo II para a varável x, ou seja, declararam esta varável lvre de erro grossero quando este exsta. 6. CONCLUSÕES Este trabalho ntroduzu os estmadores robustos de Bell, Ramsay e Insha para a realzação do procedmento de RD e DMEG smultaneamente. Realzou-se uma análse comparatva entre os estmadores propostos e os estmadores presentes no smulador EMSO e os apresentados por Kong et al. (000) e Zhou et al. (006) em um problema fortemente não lnear, em estado estaconáro. Os estmadores de Bell, Welsch e Lorenzana obtveram os melhores resultados, na presença de múltplos erros grosseros com magntude elevada (acma de 6 desvos-padrão). Este estudo deve ser aprmorado consderando outros estmadores. Área temátca: Smulação, Otmzação e Controle de Processos 7

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