Mat.Semana 2. PC Sampaio (Natália Peixoto)

Transcrição

2 CRONOGRAMA 09/02 Introdução ao Estudo de Conjuntos 10/02 Conjuntos Númericos 16/02 Razões e Proporções 17/02 Porcentagem

3 23/02 Introdução ao Estudo das Funções 24/02 Função Afim: Definição e Taxa de Crescimento

4 Razões e proporções 16 fev 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Introdução ao tema A maioria dos estudantes tende a acreditar que razão é apenas um quociente em forma de fração que relaciona duas grandezas, o que não está completamente errado. Mas, a definição de razão é um pouco mais ampla. Denominamos razão à comparação de duas grandezas ou de dois números numa mesma unidade de medida. Ela pode ser por subtração ou divisão (viu, não é apenas divisão!), a cujo o resultado é uma diferença é dita razão aritmética e a cujo o resultado é um quociente é dita razão geométrica. O que é uma razão? Razão é o quociente de duas grandezas (a/b), em que a e b representam duas grandezas quaisquer. A razão também pode ser representada da seguinte maneira: a:b ( Lê-se a está para b). Exemplos: A velocidade do carro é de 80 km/h. Temos uma razão entre duas grandezas: O espaço que pode ser medido em Km e o tempo que pode ser medido em horas. O preço da gasolina está R$ 3,79 por litro. As grandezas são o valor monetário R$ e o volume em litros. Entendido o conceito de razão, podemos falar sobre proporção, que é a igualdade de duas ou mais razões. Ambos conceitos andam atrelados e muitas vezes são confundidos ou usados incorretamente. Esse assunto na verdade já começou quando introduzimos a ideia de grandezas direta e inversamente proporcionais e seu estudo se prolonga para escalas, porcentagem, relações entre grandezas e assim por diante. Ouso dizer que é o tópico mais importante para o ENEM e que você precisa tê-lo bem esclarecido em sua mente. Evite as atitudes não pensadas como multiplica cruzado, corta os dois lados, passa pra lá multiplicando, entre outras, não que as máximas não estejam corretas, mas é essencial que você tenha conhecimento do porquê se multiplica cruzado, se cancela os denominadores e troca-se as operações. O que é grandeza? Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Exemplos: Massa, Temperatura, velocidade, tempo O que é uma proporção? Uma proporção é uma igualdade de razões. Exemplo: 3/6 = 1/2. Repare que essa igualdade é verdadeira pois simplificando ambos os membros da primeira razão por 3 obteremos a fração seguinte, 1/2. Perceba que, ao multiplicar 6 por 1 e 3 por 2, se obterá uma igualdade. Observação 1: Em uma proporção qualquer, o produto dos meios (6 e 1 no exemplo) será igual ao produto dos extremos (3 e 2 no exemplo). Observação 2: Se a ordem dos elementos for alterada, mas o produto dos meios ainda for igual ao produto dos extremos, a proporcionalidade ainda será mantida. Exemplo: a/b = c/d ad = ac e b/d = a/c bc = ad. Propriedades de proporção Seja a seguinte proporção: a/c = c/d Somando 1 em cada membro: a/b + 1 = c/d + 1 Escrevendo de outra maneira: a/b + b/b = c/d + d/d i. Obteremos a Propriedade 1: a/b = c/d a+b/b = c+d/d Lembrando-se da observação 2: a+b/c+d = b/d 72 ii. Propriedade 2: Seja a seguinte proporção: a/b = c/d Subtraindo 1 de cada membro: a/b- 1 = c/d 1 Escrevendo de outra maneira: a/b b/b = c/d d/d Então: a-b/b = c-d/d

6 EXERCÍCIOS DE AULA 1. Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: Jogador I Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho? 2. a) I b) II c) III d) IV e) V Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é 73 a) 1/8 b) 7/8 c) 8/7 d) 8/9 e) 9/8 3. Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a) b) c)

7 d) e) 4. Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. a) 17/70. b) 17/53. c) 53/70. d) 53/17. e) 70/ A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. 74 A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é a) b) c) d) e)

8 EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Calcule os valores de x e de y, sabendo que: a) b) c) d) e) f) 2. Calcule: a) x, y e z, sabendo que x + y + z = 40 e que b) x, y e z, sabendo que e ainda, x + 2y + 3z = 60. c) x + y, sabendo que, na série de razões, a + b = 13 e y x = 1. d) x, y, z e w, sabendo que e que x + y + z + w = Se igual a:, onde x, y e z são inteiros positivos e diferentes, então é a) 1/2 b) 3/5 c) 2/3 d) 5/3 e) Determine o valor de: a) x, sendo y = 12 e sabendo que a grandeza x é diretamente proporcional à grandeza y e assume o valor 40 quando y = 8. b) y, sendo x = 10 e sabendo que a grandeza y é inversamente proporcional à grandeza x e assume o valor 48 quando x = 4. A herança de R$30.000,00 deve ser repartida entre Antonio, Bento e Carlos. Cada um deve receber em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, respectivamente, e inversamente proporcionais às idades de cada um. Sabendo-se que Antonio tem 12 anos, Bento tem 15 e Carlos 24, qual será a parte recebida por Bento?

9 6. Considere que no primeiro dia do Rock in Rio 2011, em um certo momento, o público presente era de cem mil pessoas e que a Cidade do Rock, local do evento, dispunha de quatro portões por onde podiam sair, no máximo, 1250 pessoas por minuto, em cada portão. Nestas circunstâncias, o tempo mínimo, em minutos, para esvaziar a Cidade do Rock será de: a) 80 b) 60 c) 50 d) 40 e) Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de água, no caso do suco e de uma parte de concentrado para seis de água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão fosse igual a: a) 1/2 b) 3/4 c) 1 d) 4/3 e) Para trabalhar o conceito de proporcionalidade dentro de um contexto próximo do universo da criança, o professor pode utilizar-se do modelo da bicicleta com a idéia da transmissão do movimento da coroa para a catraca. A criança pedala fazendo girar a coroa; uma correia se move e faz girar a catraca ligada à roda; a roda gira e a bicicleta se move. Como a medida do diâmetro da coroa é diferente da medida do diâmetro da catraca, cada volta na coroa não implica em uma volta na catraca. Já a catraca e a roda giram na mesma freqüência, isto é, uma volta na catraca significa uma volta na roda. Numa bicicleta a medida do diâmetro da coroa é igual a 15 cm e a medida do diâmetro da catraca é igual a 6 cm.

10 Se, ao pedalar esta bicicleta, uma criança girar 12 vezes a coroa, quantas vezes girará, em correspondência, a catraca? a) 30 b) 24 c) 15 d) 7,5 e) 4,8 QUESTÃO CONTEXTO Sambódromo / Passarela do Samba O Sambódromo do Rio de Janeiro é o nome popular da Passarela do Samba, onde acontece os desfiles das escolas de samba do Rio de Janeiro. Esta construção de 1984, fica na rua Marques de Sapucaí, local onde muito antes do Sambódromo as escolas já desfilavam. Mas antigamente as arquibancadas e camarotes para a assistência eram montadas anualmente para a festa, e ao termino eram desmontadas. O sambódromo foi projetado pelo Arquiteto Oscar Niemeyer e teve sua construção finalizada em Se tornou um também um ícone arquitetônico do Rio de Janeiro, e este tipo de construção acabou desencadeando uma onda de construção de sambódromos por várias capitais do Brasil. Fatos e História do Sambódromo O nome oficial do Sambódromo é Passarela Professor Darcy Ribeiro, um antropólogo, escritor, educador, professor universitário, político, ex-ministro, e vice- -governador do Estado do Rio de Janeiro na época da construção. Darcy Ribeiro é tido como um dos principais articuladores da construação da passarela do Samba, e a ideia de uma parte mais larga, em forma de praça cercada por arquibancandas ao final da passarela, é atribuída à ele, assim como o nome Praça da Apoteose é tida como sendo de sua autoria. A idéia de Darcy Ribeiro era criar um espaço na extremidade final da passarela, onde ao final do desfile as escolas de samba e seus participantes atingiriam o esplendor final culminando cada desfile com uma festa monumental e gloriosa. O Sambódromo foi construído em apenas 120 dias, usando muitas técnicas de construção pré-moldada em concreto armado. A pista tem 700 metros de extensão e 13 metros de largura na pista do desfile e sua capacidade é de aproximadamente 60 mil espectadores.

11 com/carnaval/sambodromorio.html Dados do Projeto do Sambódromo Capacidade e Setores do Sambódromo: A capacidade atual do Sambódromo é de espectadores no total, divididos em vários setores como: Camarotes com pessoas. Frisas com lugares. Arquibancadas especiais contando com lugares. Arquibancadas populares contando com lugares. Cadeiras individuais contando com Sabendo que um novo sambódromo foi construído e que: i) a capacidade atual está para a antiga assim como 1 : 2; ii) os camarotes e as frisas mantiveram a mesma capacidade; iii) as arquibancadas tiveram suas capacidades reduzidas a quarta parte; iv) assentos não discriminados não foram alterados; determine a razão entre a capacidade antiga das cadeiras individuas e a nova. GABARITO 01. Exercícios para aula 1. d 2. d 3. d 4. a 5. a 03. Questão contexto 570 : Exercícios para casa 1. a) 15 e 17 b)20 e 37 c) 56 e 16 d) 60 e 25 e) 15 e 40 f) 21 e a) 8, 12 e a b) 6, 9 e 12 c) 5 4. a) 60 d) 15, 9, 21 e 3 b) 19,2 5. R$12.000,00 6. e 7. d 8. a