QUESTÃO 18 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
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- Luiz Felipe Jerónimo Bentes Klettenberg
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1 Nome: N.º: endereço: data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 03 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (OBMEP) Se dividirmos um cubo de m de aresta em cubinhos de mm de aresta, que altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima do outro? a) m b) km c) 0 km d) 00 km e) 000 km Convertendo metros em milímetros, temos que m = 000 mm. Assim, o cubo ficou dividido em 000 x 000 x 000 = 0 9 cubinhos de lado mm de altura cada um. Colocando-se um sobre o outro os 0 9 cubinhos, teremos uma coluna de comprimento, igual a 000 x 000 x 000 = 0 9 mm = 0 9 x 0 3 m = 0 6 m = 0 3 km = 000 km Resposta: E QUESTÃO 7 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura: Sendo V(x) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo, o resto da divisão de V (x) por x + x + é igual a: a) zero b) x + c) d) x e) x +
2 O volume do paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento (a), pela altura (b), pela largura (c), ou seja, V = a. b. c Assim, V(x) = (x + 6). (x + ). (x + ) V(x) = (x + x + x + ) (x + ) V(x) = x 3 + x + x + x + x + x + x + V(x) = x 3 + 0x + 8x + Dividindo-se V(x) por x + x +, obteremos: x 3 + 0x + 8x + x + x + x 3 8x x x + x + x + x x 0 Resposta: A QUESTÃO 8 Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura: Qual a distância de A até B? 3 a) m b) m c) 3 m d) m e) m
3 Podemos dividir o quadrilátero ABCD em duas figuras, o retângulo BCDE e o triângulo ABE. O triângulo A ^EB é retângulo em ^E. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x = + x = + x = fi, pois x > 0 Resposta: D QUESTÃO 9 Resolvendo a equação x + 5x = 0, em, obtêm-se as raízes x e x. Podemos afirmar que: [(x + x ) : (x. x )] é igual a: a) 0, b),8 c) 3,... d) 08, e) 8 ạ solução: Lembrando que as raízes x e x, da equação do ọ grau ax + bx + c = 0 (a 0) são tais que x + x = S = b e x. x = P = c, temos: a a 3
4 fi (+ 5) x + x = = 5 x + 5x = 0 x + x = = Então [(x + x ) : (x. x )] = [( 5) : ( )] 5 = = =,8 5 ạ solução: Aplicando Bháskara, temos: b ± D. a (+ 5) ± 5..( ). 5 ± 5 ± x = 3 x = 8 Dessa forma, [(x + x ) : (x. x )] = {[3 + ( 8)] : [3. ( 8)]} = [( 5) : ( )] = 5 = = =,8 5 Resposta: B QUESTÃO 0 (UFF-RJ ADAPTADO) As soluções inteira da equação x + x = x + não é um número: a) igual a 3 33 b) Divisor de zero c) Múltiplo de zero d) Divisível por e) Primo
5 Resolvendo a equação do.o grau, aplicando a fórmula de Bháskara, temos: x + x = x + x + x + x x = 0 Lembrando que b + b ac, temos:. a ( ) ± ( ).. ( ). ± + 88 ± 59 ± 3 O número é primo, é divisível por (como todo número inteiro), é tal que 3 33 = 3 3 = e, é divisor de zero (como todo número inteiro) só não é múltiplo de zero, pois o único múltiplo de zero é zero. Resposta: C QUESTÃO (UFPA) Observe a figura: 5
6 A parte hachurada da figura, onde é o conjunto universo, e A, B, C são conjuntos representa: a) A B C b) A B C c) (A B) (A C) d) (A B) (A C) e) (A B C) (A B C) A única parte não hachurada é a intersecção entre os conjuntos A, B, C. Assim temos a união entre os três conjuntos menos a intersecção entre os três conjuntos. Resposta: E QUESTÃO (FGV-SP) Seja n o resultado da operação A soma dos algarismos de n é: a) 8 b) 9 c) 0 d) e) Fatorando a diferença de dois quadrados temos que: = ( ). (375 37) = 79. = 79 Assim, n = 79, e a soma de seus algarismos é = 0 Resposta: C QUESTÃO 3 O Sudoku é um jogo de desafio lógico, inventado pelo ma temático Leonhard Euler ( ). Na década de 70, es se jogo foi redescoberto pelos japoneses, que o reba tiza ram como Sudoku, palavra com o significado de nú me ro sozinho. É jogado em um quadro com 9 por 9 qua drados, que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados quadrantes. O jogador deve preen cher o quadro maior de forma que todos os espaços em branco contenham números de a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna, linha ou quadran te X Com base nessas informações, o algarismo a ser colo cado na casa marcada com X no quadro anterior é a) b) 5 c) 7 d) 6 e) 3 6
7 I. x {,, 6, 7, 8, 9} II. x {, 7} III. x {5, 7} IV. Por exclusão: 3 Resposta: E QUESTÃO (PUC-SP 00) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo: Se A, A, A 3 e A são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A + A 3 = 36 m, A A = m e A 3 =. A, a área da quarta sala, em metros quadrados, é: a) b),5 c),8 d) 5 e) 5,5 Em metros quadrados, temos: ) A partir da figura, temos: A = a. c A = a. d A 3 = b. c A = b. d A. A = a. b. c. d A. A 3 = a. b. c. d Portanto: A. A = A. A 3 A. A 3 A = A (I) 7
8 ) Das equações dadas, tem-se: A + A + A 3 = 36 A A = A 3 =. A A + A + A3 = 36 (II) A = + A A 3 = A ( + A) + A + A = 36 A = + A A 3 = A. A = A = + A A 3 = A 3) Substituindo na igualdade (I), vem: 6. A = = 8 Resposta: A A = 8 A = 6 A 3 = QUESTÃO 5 (OBMEP) As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de a, de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura a seguir. Qual é o produto dos números das faces coladas? a) b) 8 c) 60 d) 70 e) 7 I = 78 II. A soma de faces opostas é 78 6 = 3 III. A face colada do dado da direita é 0, pois = 3 IV. No dado da esquerda, a face oposta ao é e a oposta ao 5 é 8. V. A face colada no dado da esquerda é 6, pois o único par que sobrou é 6 e 7, e 6 é par. VI. O produto dos números das faces coladas é 6. 0 = 60. 8
9 Observação: Resposta: C QUESTÃO 6 (OBMEP) As duas figuras a seguir são formadas por cinco quadrados iguais. Observe que elas possuem eixos de simetria, conforme assinalado a seguir. 9
10 As figuras a seguir também são formadas por cinco quadrados iguais. Quantas das figuras anteriores possuem pelo menos um eixo de simetria? a) 3 b) c) 5 d) 6 e) 7 Os que possuem pelo menos um eixo de simetria são: Resposta: B 0
11 QUESTÃO 7 Os números inteiros a, b, c e d são os maiores possíveis e tais que a < b, b < 3c e c < d. Se d < 00, então, o maior valor de a será: a) 367 b) 375 c) 39 d) 399 e) 00 ) Se d < 00, então, o maior valor inteiro de d será 99. ) Se c < d e d = 99, então, c < ) Se c < 396, então o maior valor inteiro de c será 395. ) Se b < 3c e c = 395, então b < 85. 5) Se b < 85, então o maior valor inteiro de b será 8. 6) Se a < b e b = 8, então a < ) Se a < 368, então o maior valor inteiro de a será 367. Resposta: A QUESTÃO 8 Cada quadrado da sequência a seguir é formado por quadradinhos claros e por apenas um escuro. ạ ạ 3 ạ ạ Admitindo-se que a regularidade dessa sequência permaneça para os demais quadrados, a equação que permite determinar a posição n do quadrado que tem 399 quadradinhos claros é: a) n = 399 b) n + n 399 = 0 c) n + n 399 = 0 d) n + n = 0 e) n + n = 0 quadrado... quadradinhos claros n... (n + ) Assim, (n + ) = 399 n + n 399 = 0 Resposta: C
12 QUESTÃO 9 O resultado da expressão: pode ser representado por: a) b) c) d) 5 3 e) Resolvendo a expressão, temos que: (3 ) = = = = 3 :3 =3 = 3 = = Resposta: C (3 5 ) QUESTÃO 30 Se 5 operários trabalhando 0 horas por dia abriram um canal de 38 metros de comprimento em 7 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 5 dias de 7 horas de trabalho? a) 60 operários b) 70 operários c) 80 operários d) 90 operários e) 00 operários Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número de operários com as demais, temos: Número de operários Número de horas por dia Comprimento Número de dias x GIP GDP GIP
13 A grandeza número de operários é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia. Assim, sendo: =.. =.. 70 x x Resposta: B 3
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