Conjuntos Conjuntos Numéricos

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1 REVISÃO

2 Conjuntos Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Racionais Dízimas periódicas 7 0, = 9 0, = , = , = 2, = , = 21,

3 CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR: POR: = = 18 POR: = 0 ou múltiplo de = 11 POR 12 POR 18...

4 01- Um investigador em busca de informações precisas, encontrou uma velha nota fiscal, na qual estava registrada a aquisição de 72 itens de uma mesma mercadoria por um valor total de R$ x67,9y, sendo que o primeiro e último algarismos _x e y_ estavam ilegíveis. Sabendo que é possível achar o valor exato da nota fiscal, determine o produto xy. a) 2 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 72 k = x67,9y k = x67,9y 72 k = x67,9y 8 9 x 6 7,9 y 8 7 y x 6 7,9 2 x x + 24 = 27, x = 3 Então

5 02- O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. Disponível em: Acesso em: 27 fev No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número a) 32. b) 34. c) 33. d) 35. e) = 346 anos Períodos de 11 anos, então: Ciclos Completos 5º Ano do próximo ciclo Então, está no 32º Ciclo.

6 Sabe-se que os meses de Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano, ocorreu em uma 4ª feira. Então, 15 de outubro daquele mesmo ano, foi: a) 2ª feira b) 3ª feira c) 4ª feira d) 5ª feira e) 6ª feira Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Semanas completas 2º dia da próxima semana 4ª feira + 2 dias = 6ª feira

7 QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL: Expoentes (3 +1) (2+1) (1+1) = 24 D+ 03- (ENEM de 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela decomposição 2 x. 5 y.7 z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é a) x.y.z b) (x+1).(y+1) c) x.y.z 1 d) (x+1).(y+1).z e) (x+1).(y+1).(z+1) 1 O número de divisores naturais de um número é dado por (x+1) (y+1) (z+1). No caso, teríamos (x+1)(y+1)(z+1) 1 divisores naturais diferentes de N.

8 CÁLCULO --- MMC MDC--- 72, 48, , 48, , 48, 36 36, 24, , 4, , 24, 18 18, 12, , 4, , 12, 09 09, 06, , 2, , 04, 03 09, 03, , 1, 1 03, 01, 03 3 mdc(72, 48, 36) = 12 01, 01, mmc(72, 48, 36) = 144

9 04- Três grandes navios de turismo fazem a mesma rota, partem de Vitória no Espírito Santo para Fortaleza no Ceará e retornam a Vitória. O primeiro faz o percurso completo em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 6 dias. Se os três navios partem juntos de Vitória numa quinta feira dia 5 de fevereiro de um ano bissesto, uma possível data do mesmo ano que poderá ocorrer os três navios partirem juntos novamente de Vitória será a) segunda feira dia 5 de abril. b) domingo dia 4 de abril. c) domingo dia 5 de abril. d) sábado dia 4 de abril. e) domingo dia 6 de abril. 60 dias 7 4 dias 8 semanas 5ª feira + 4 dias = 2ª feira M.M.C(4, 5, 6) = 60 Sendo o ano bissexto, o mês de fevereiro tem 29 dias. 24 dias de fevereiro 31 dias de março 5 dias de abril 60 dias

10 05- Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível de funcionários de uma mesma área. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30. MDC (30, 36, 48) = 6 funcionários cada equipe Determinando o número total de equipes: = : 6 = 19 equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

11 06- Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm 30 de 810 cm e 10 de cm todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças. 540, 810, , 81, , 9, , 3, 4 2x40+ 3x30+ 4x10 = 210 =2 x 210 = 420 MDC = 270 cm = 2,70 m = 135 cm = 1,35 m

12 PROPORÇÃO GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Três grandezas são diretamente proporcionais a 2,3 e 5. Calcule seus valores sabendo que sua soma é 36. X + Y + Z = = = = X Y Z GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Três grandezas são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. Calcule seus valores sabendo que sua soma é = = = 36 X Y Z 1/ 3 + 1/ 4 + 1/ = 3,6 9/12 = 48 x = 7,2 y = 10,8 z = 18 x = 16 y = 12 z = 8

13 Três grandezas são diretamente proporcionais a 2,3 e 5. Calcule seus valores sabendo que 3X 2 Y + 4 Z = 40 3 X ( 2) Y 4 Z + + = = = ( 2) x = = 2 y = 6 z = 10

14 Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1, b) 2,00 c) 2, d) 4,00 e) 8,00 Cimento = 2x1 = 2

15 08- Para incentivar com a quantia de R$ 600,00 três jogadores A, B e C, o presidente de um clube determinou que a mesma fosse dividida de forma diretamente proporcional ao número de gols e inversamente proporcional ao número de faltas. Sabendo-se que A, B e C fizeram 2, 3 e 4 gols, e 4, 2 e 3 faltas, respectivamente, determine quanto o jogador B receberá. a) R$ 90,00 b) R$ 270,00 c) R$ 180,00 A + B + C = = = 600 d) R$ 220, = e) R$ 260, B= 3 2 Letra B 180 = 270

16 09- Quando estava na 3ª série colegial, participei de um grupo de trabalho de biologia, composto de 4 pessoas: André, Beth, Carlos e eu. Combinamos que os gastos com os materiais seriam divididos inversamente à participação de cada um na elaboração do trabalho, ou seja, quem trabalhasse mais pagaria proporcionalmente menos. No balanço final, após a entrega do trabalho, o resultado foi o seguinte: Total dos gastos: R$ 840,00 Tempo trabalhado: André: 15h, Beth: 20h, Carlos: 30h e eu: 40h. Dessa forma, André, Beth, Carlos e eu, pagamos, respectivamente: a) R$ 350,00, R$ 210,00, R$ 175,00 e R$ 105,00. b) R$ 320,00, R$ 240,00, R$ 160,00 e R$ 120,00. c) R$ 105,00, R$ 175,00, R$ 210,00 e R$ 350,00. d) R$ 120,00, R$ 160,00, R$ 240,00 e R$ 320,00. e) R$ 400,00, R$ 200,00, R$ 140,00 e R$ 100, = = = 840 A B C E = = A = 320 B = 240 C = 160 E = 120 Letra B

17 Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M. HUGHES-HALLETT, et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Bücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a) b) c) d) e) S 3 M 2 = k S 3 = M 2 k S = 3 M 2 k S 2 M = k

18 A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é: a) b) c) d) e) 2 k.b.d S 2 x k.b.d S 2 x 2 k.b.d S x 2 k.b.d S x S k.b.2d 2x Letra A

19 A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. 2 Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é: a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40. Ar Ab = Ar Ab = Ar Ab = 6,25 2 Ar Ab = 39,0625

20 REGRA DE TRÊS SIMPLES GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS VELOCIDADE 60km/h 80km/h DISTÂNCIA = 120km X X = 160km GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS VELOCIDADE TEMPO 60km/h 5 h 100km/h X X = 3 h

21 REGRA DE TRÊS COMPOSTA Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 6 confeiteiros poderão fazer 320 tortas O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas) REFERENCIAL Tempo n. de confeiteiros quantidade de tortas X = X X = 4

22 10- Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: A) 90 dias B) 80 dias C) 12 dias D) 36 dias E) 64 dias REFERENCIAL Letra E OPERÁRIOS T(DIAS) h/d COMPRIMENTO LARGURA K 15 X K 12 X 6 36 K = K

23 11- Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será: REFERENCIAL N Abelhas...T(meses)...D(dias)...h/dia...Litros mel...k...k...k...k...k......w...w...w...w...x K W =. W. W. K W K K K X X = W K 4 3

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25 12- Dois digitadores (de computador) executam o mesmo serviço de digitação em tempos diferentes. O mais experiente consegue completar o trabalho em duas horas enquanto o outro completa em três horas. O objetivo é realizar o trabalho no menor tempo possível, distribuindo partes do trabalho com cada um dos digitadores, de forma que, ambos concluam, juntos, suas tarefas, executando o trabalho completo. Esse tempo mínimo será A) 95 min. B) 72 min. C) 90 min. D) 150 min. Adote 1 h como referência: x X = 1,2 X = 1,2 60 X = 72 min

26 13- Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, levam cada um 9 e 10 horas, respectivamente, para construir um mesmo muro de tijolos. Trabalhando juntos no serviço, sabe-se que eles assentam 10 tijolos a menos por hora em relação ao que se esperaria da combinação da velocidade de trabalho de cada um. Se juntos os dois trabalhadores constroem o muro em 5 horas, o número de tijolos assentados no serviço é igual a X = Número total de tijolos a) 450. Número de tijolos colocados por hora: b) 600. T1 T2 Juntos c) 900. X X X d) _ 10 = e) X + 9X _ X = X = 900

27 Problemas envolvendo diagramas

28 16. Em uma escola que funciona em três períodos, 60% dos professores lecionam de manhã, 35% lecionam à tarde e 25% lecionam à noite. Nenhum professor da escola leciona tanto no período da manhã quanto no período da noite, mas todo professor leciona em pelo menos um período. Considerando-se apenas essas informações, assinale a alternativa em que os dados apresentados sobre esses professores são necessariamente verdadeiros. Professores da escola que lecionam somente no período da tarde representam, em relação ao total, Professores da escola que lecionam nos períodos da tarde e da noite representam, em relação ao total Professores da escola que lecionam somente no período da noite representam, em relação ao total a) exatamente 15% no máximo 20% no mínimo 5% b) exatamente 15% no mínimo 20% no máximo 5% c) exatamente 20% entre 5% e 15% entre 10% e 20% d) exatamente 25% no máximo 20% no mínimo 5% e) exatamente 25% no mínimo 20% no máximo 5% Letra A

29 M 60 y T y x y 25 x x N 60 y + x + y + 25 x + 35 y x = 100 (x + y) = x + y = 20 Somente no período da tarde: = 15 Tarde e noite: x é no máximo 20 (pois x + y = 20) Somente no período da noite: no mínimo 5 (25 20 = 5).

30 16- Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é: a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18 M H 16 x x 20 x y n( M H ) = n(m) + n(h) n(m H) + y 30 = x 30 = 36 x + y + y x y = 6 d) No mínimo 6

31 ÁREA MÁXIMA DE RETÂNGULOS Dispomos de 120 m de tela para fazer um cercado retangular, Calcule a área máxima do terreno dadas as condições abaixo: Muro

32 Exponenciais

33 O elemento químico Califórnio Cm 247, emite partículas alfa, transformando-se no elemento Cúrio, Cm 247. Essa desintegração obedece à função exponencial N(t) = N 0 e αt onde N(t) é quantidade de partículas de Cm 247 no instante t em determinada amostra; N 0 é a quantidade de partículas no instante inicial; e α é uma constante, chamada constante de desintegração. Sabendo que em 898 anos a concentração de Cm 247 é reduzida à metade, pode-se afirmar que o tempo necessário para que a quantidade de Cm 247 seja apenas 25% da quantidade inicial está entre a) 500 e 1000 anos. b) 1000 e 1500 anos. c) 1500 e 2000 anos. d) 2000 e 2500 anos. e) 2500 e 3000 anos.

34 Dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem depreciação. Na compra de um carro de luxo no valor de R$ ,00 o consumidor sabe que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem, a cada instante, um valor menor do que o valor que tinha um ano antes. Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre: (Use log 3 = 0,48) a) 8 e 10 anos. b) 10 e 12 anos. c) 12 e 14 anos. d) 14 e 16 anos.

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36 MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES = 7 3 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA As notas acima terão pesos, respectivamente, iguais a 2, 3 e = = 6,1

37 MODA E MEDIANA Moda Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados. Exemplo 1. Os dados abaixo se referem à idade de 20 alunos de uma turma de 6º ano. {12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11} A moda desse conjunto de dados será a idade que mais aparece, ou seja: M o = 12 (pois é a idade que aparece mais vezes no conjunto)

38 Exemplo 2. A tabela abaixo apresenta as notas em matemática de uma turma de 30 alunos. a nota que mais aparece nesse conjunto de dados é 7. Portanto, M o = 7.

39 Exemplo 3. Os dados abaixo são referentes ao número dos calçados vendidos em uma loja num determinado dia. {35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42} Nesse caso, existem dois números de sapatos que aparecem mais vezes: 35 e 36. Logo, a moda pode ser: M o = 35 ou M o = 36 Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto de dados é bimodal.

40 Definição de Mediana (M d ): é o valor (pertencente ou não ao conjunto de dados) que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesmo tamanho. De uma forma mais simples, é o valor que divide o conjunto de dados ao meio. Para determinar a mediana de um conjunto de dados é necessário, primeiro, construir o rol. O rol é a ordenação do conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente. 1. Mediana de um conjunto de dados com número de elementos ímpar. Considere o conjunto de dados abaixo, referentes ao salário médio dos funcionários de uma empresa em reais. Salário: 1500, 1300, 1200, 1250, 1600, 1100, 1450, 1210, 1980 Observe que nesse conjunto de dados temos 9 elementos, 9 salários. Primeiro devemos montar o rol: Rol = {1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1450, 1500, 1600, 1980} Quando o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, a mediana é o valor que divide o conjunto ao meio, portanto M d = Observe que à esquerda e à direita de 1300 existem 4 elementos.

41 2. Mediana de um conjunto de dados com número de elementos par. Considere o conjunto de dados abaixo, referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa. Salário: 1500, 1300, 1200, 1250, 1600, 1100, 1450, 1210, 1980, 1420 Rol = { 1100, 1200, 1210, 1250, 1300, 1420, 1450, 1500, 1600, 1980} Nesse conjunto existem 10 elementos. Nesse caso a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Note que tanto à direita como à esquerda dos dois valores centrais há 4 elementos. Assim,

42 QUESTÃO SOBRE MEDIANA 50% 50% % 25% 40% 10%

43 Progressões

44 PROGRESSÃO ARITMÉTICA

45 Alternativa (D) De acordo com o enunciado, devemos proceder a soma dos 10 termos de uma P.A. de razão 1,25 conforme a seguinte tabela:

46 02- Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, Quantas peças, então, ela produziu no 1º ano de funcionamento? a) 520 b) 475 c) 598 d) 621 e) 820 Solução. O aumento em uma quantidade constante indica uma progressão aritmética. Escrevendo os termos indicados em função do 1º termo de da razão, temos: a a1 4r 1460 ( 1) a1 4r 1460 i) 3r a a1 7r 1940 a1 7r 1940 ii) Produção(1º ano) a (160) r

47 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 01- A população de uma favela cresce, por ano, segundo uma PG. Em 1996, o total de habitantes era 3.000, mas, em 2004, a população atingiu o total de habitantes. Qual foi o total de habitantes da favela em 2000? Solução. Considerando q a razão, a 1 = 3000 (ano de 1996); a 9 = (ano de 2004), temos: a a ano(2000) : a (3000). q (3000). 4 q 8 q (3000).(3) q habitan tes 4 9 3

48 02- Um estudante começa a ler um livro e, ao final do primeiro dia, conseguiu ler seis páginas, apenas. No decorrer da leitura, o estudante ficou empolgado e passou a ler, todos os dias, o dobro do número de páginas lidas no dia anterior. Ao final do 6º dia, terminou de ler o livro. Qual era o total de páginas do livro? Solução. A razão da PG é 2. Encontrando a soma ao fim dos 6 dias, temos: 6 a1 6 (6).1 S6 6 6.(2) 6.(64) a 2 (6) (6) páginas

49 Juros Simples Aumentos e reduções percentuais j = c i t m = c + j m = c (1 + i t) (1 ± i) Juros Compostos m = c (1 + i) t j = m c Dois aumentos consecutivos de 30% 30% + 30% = 60% (1 + 0,3) (1 + 0,3) = 1,3 1,3 = 1,69 Aumento de 60% Aumento de 69% Dois aumentos consecutivos de 10% e 20% e uma redução de 30% 10% + 20% - 30% = 0% (1 + 0,1) (1 + 0,2)(1 0,3) (1,1)(1,2)(0,7) = 0,924 = 92,4% Não aumentou nem reduziu Redução de 7,6%

50 02- Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.800,00 ou então com R$ 400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.500,00 após 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta A pessoa que paga a prazo tem uma diferença de 1400 reais na hora da compra. No entanto, ela deve um montante final de 1500 reais daqui a dois meses. Ou seja, há uma taxa de juros i = 1400(1 + i x 2) 1500/1400 = 1 + 2i 1,071 = 1 +2i 1,071 1 = 2i 0,071 = 2i i = 0,071/2 i = 0,035 i = 3,5% Resposta: 3,5% de juros ao mês.

51 EXERCÍCIOS

52 A B C D E Alternativa (D) Pelo texto, temos que: 1500 Ti = 1200 Te logo, Ti= 4/5Te Como o caminhão receberá 900 telhas, restam 600 telhas, que equivalem a: Ti = 4/5 (600), portanto Ti = 480

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56 O ciclista percorre 16 quadras de ida e 16 quadras de volta, totalizando 32 quadras por dia. Como o período considerado é de 5 dias, temos : 32x5 = 160 quadras durante a fase de implantação do programa. Como a escala é 1:25000, o percurso total foi de: 160x25000 = cm = 40 km.

57 Dica... Para não esquecer aquele detalhe de última hora...

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59 UMA ÓTIMA PROVA PRA VOCÊS. Professor Favalessa