Existência e multiplicidade de soluções para sistemas de equações de Schrödinger semilineares em R n

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Doutorado em Matemática Existência e multiplicidade de soluções para sistemas de equações de Schrödinger semilineares em R n Paulo de Souza Rabelo Tese de Doutorado Recife 30 de outubro de 2008

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3 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Paulo de Souza Rabelo Existência e multiplicidade de soluções para sistemas de equações de Schrödinger semilineares em R n Trabalho apresentado ao Programa de Doutorado em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor em Matemática. Orientador: João Marcos Bezerra do Ó Recife 30 de outubro de 2008

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7 Dedico a Izabel Alves de Souza Rabelo (in memorian)

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9 Agradecimentos É tanta gente, diferente gente! São muitos a agradecer. A cada fio de cabelo caído, uma lembrança, uma gratidão tomou seu lugar. Obrigado Solange Reis, pelo suporte familiar e sentimental. Obrigado João Marcos, pelo suporte intelectual e orientação. Para completar o triplé de estabilidade, agradeço ao Cnpq pelo suporte financeiro. Àqueles que encontrei pelo caminho e aqui estão anônimos, guardo-os todos em meu coração. Vocês são porretas. Obrigado. vii

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11 E aprendi que se depende sempre de tanta, muita, diferente gente. Toda pessoa sempre é as marcas das lições diárias de outras tantas pessoas. E é tão bonito quando a gente entende que a gente é tanta gente onde quer que a gente vá. E é tão bonito quando a gente sente que nunca está sozinho, por mais que pense estar. GONZAGUINHA (Caminhos do Coração)

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13 Resumo Neste trabalho, estudamos questões relacionadas à existência e multiplicidade de soluções do tipo estacionária para uma classe de sistemas de equações de Schrödinger com potenciais mudando de sinal e não-linearidades ilimitadas na variável x. Consideraremos diversos tipos de crescimento para o termo não-linear. Na obtenção de nossos resultados usamos métodos variacionais do tipo mini-max e teoria de regularidade de equações elípticas de segunda ordem. Palavras-chave: Sistemas elípticos, métodos variacionais, teorema do passo da montanha, método de iteração de Moser, desigualdade de Trudinger-Moser, índice de Morse. xi

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15 Abstract In this work, we study questions related to existence and multiplicity of solutions of the type stationary for a class of systems of Schrödinger equations with sign-changing potential and nonlinearities unbounded in the variable x. To obtain our results, we use variational methods of the type minimax and regularity theory of elliptic equations of second order. Keywords: Schrödinger equations, variational methods, mountain-pass theorem, Moser iteration method, Trudinger-Moser inequality, Morse index. xiii

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17 Sumário 1 Sistemas elípticos superquadráticos e não-quadráticos Introdução A estrutura variacional Prova dos Teoremas e Existência de pontos críticos sob hipóteses do Teorema Existência de pontos críticos sob hipóteses do Teorema Regularidade e comportamento assintótico Multiplicidade de soluções Sistemas elípticos com crescimento supercrítico Introdução Reformulação do problema e resultados preliminares Soluções do problema auxiliar Prova do Teorema Prova do Teorema Sistemas elípticos em dimensão dois Introdução Alguns resultados preliminares A estrutura variacional Prova do Teorema Prova do Teorema Sobre o nível mínimo - Prova do Lema Prova do Teorema Equações de Schrödinger com não-linearidades indefinidas Reformulação do problema Condições geométricas Limitação da sequência de soluções Caso 1: a(x 0 ) > Caso 2: a(x 0 ) = Prova do Teorema Alguns teoremas tipo Liouville não-linear 68 xv

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19 Lista de Figuras Neste trabalho faremos uso da seguinte simbologia: C, C 0, C 1, C 2,... denotam constantes positivas (possivelmente diferentes); Se Ω R N é um conjunto mensurável, então Ω denota sua medida de Lebesgue em R N ; B R denota a bola aberta centrada na origem e raio R > 0; X é o dual topológico do espaço de Banach X;, denota o par dual entre X e X; Denotemos a convergência fraca em X por e a convergência forte por ; supp( f ) denota o suporte da função f ; u + = max{u,0} e u = max{ u,0}; χ Ω denota a função característica do conjunto Ω; ( u u =, u,, u ) denota o gradiente da função u; x 1 x 2 x N u = L p (Ω) = N 2 u i=1 xi 2 denota o Laplaciano de u; { u : Ω R mensurável : conexo, denota o espaço de Lebesgue com norma dada por Ω } u p dx < com 1 p < e Ω R N um aberto ( ) 1/p u p = u(x) p dx. R n L (Ω) denota o espaço das funções mensuráveis que são limitadas quase sempre em Ω com norma dada por u = inf{c > 0 : u(x) C quase sempre em Ω}; xvii

20 xviii LISTA DE FIGURAS C0 (RN ) denota o espaço das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto; { } C 0,σ u(x) u(y) (Ω) = u C(Ω) : sup x,y Ω x y σ < com 0 < σ < 1, e C k,σ (Ω) são as funções em C k (Ω) tais que todas as derivadas parciais até a ordem k estão em C 0,σ (Ω); Para 1 p < +, W 1,p (Ω) = com norma dada por { u L p (Ω) : g i L p (Ω); u ϕ dx = g i ϕ dx, Ω x i Ω ϕ C0 (Ω) e i {1,,N}} ( u 1,p = ( u p + u p ) dx Ω ) 1/p e W 1,p 0 (Ω) é o fecho do espaço C0 (Ω) com respeito à norma acima. Quando p = 2, escrevemos W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω) e W 1,2 0 (Ω) = H0 1(Ω). Para 1 p < +, p = N p N p é o expoente crítico de Sobolev.

21 CAPÍTULO 1 Sistemas elípticos superquadráticos e não-quadráticos 1.1 Introdução Neste capítulo estudamos a existência de soluções não-triviais para uma classe de sistemas elípticos semilineares da forma u i + a i (x)u i = f i (x,u 1,,u m ) com x R n e i {1,,m}, (P) onde as funções a i : R n R e f i : R n R m R são contínuas com f i (x,0,,0) = 0. Consideramos a situação variacional em que ( f 1,, f m ) = F para alguma função F : R n R m R de classe C 1, cuja notação F é padrão para o gradiente de F nas variáveis U = (u 1,,u m ) R m. Sobre R m usaremos o produto escalar euclideano, com a norma associada =, 1/2. Denotando = diag(,, ) e A(x) = diag(a 1 (x),,a m (x)), podemos reescrever o sistema acima na forma U + A(x)U = F(x,U). Motivados pelo trabalho de Sirakov [49] que, no caso escalar, mostrou a existência de uma solução não-trivial quando os potenciais mudam de sinal e as não-linearidades são ilimitadas em x R n, estendemos esses resultados para sistemas elípticos tipo gradiente. Por outro lado, assumindo sobre a não-linearidade a hipótese de não-quadraticidade no infinito, introduzida por Costa-Magalhães em [20], melhoramos os resultados obtidos por Costa [19], no sentido que ampliamos a classe de potenciais e usamos não-linearidades mais gerais. Isso aumenta o grau de dificuldade no tratamento de tais tipos de sistemas, já complicados pela perda de compacidade devido à não limitação do domínio. Com o objetivo de aplicarmos métodos variacionais, consideramos o seguinte subespaço de H 1 (R n,r m ) { } E = U H 1 (R n,r m ) : A(x)U U dx < +, Rn o qual, sob as hipóteses (A 1 ) e (A 2 ) abaixo, é um espaço de Hilbert quando dotado com o produto escalar U,V E = [ U V + A(x)U V ]dx Rn e norma correspondente U E = U,U 1/2 E. Aqui, como usual, H1 (R n,r m ) denota o espaço de 1

22 2 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS Sobolev modelado em L 2 (R n,r m ) com norma U 2 H 1 (R n,r m ) = m i=1 R n( u i 2 + u i 2 )dx. Suponhamos que o potencial A(x) C(R n,r m ) satisfaz as seguintes hipóteses: (A 1 ) Existe D > 0 tal que a i (x) D para todo x R n e i = 1,,m. Para assegurar o mergulho contínuo de E em H 1 (R n,r m ) assumimos a seguinte condição sobre o primeiro autovalor do operador + A(x): [ R (A 2 ) λ 1 = inf n U 2 + A(x)U U ] dx U E\{0} U 2 dx > 0. R n Usaremos a seguinte notação: Se Ω R n é aberto e 2 s < 2n/(n 2), colocamos ν s (Ω) = inf U H 1 0 (Ω,Rm )\{0} Ω [ U 2 + A(x)U U ] dx ( Ω U s dx) 2/s, e fazemos ν s (/0) = +. Com o objetivo de obtermos um resultado de compacidade, também assumiremos as seguintes hipóteses: (A 3 ) lim R + ν s(r N \B R ) = + ; (A 4 ) Existem uma função K(x) Lloc (RN ), com K(x) 1, e constantes α > 1, c 0, R 0 > 0 tais que ( ) ] 1/α K(x) c 0 [1 + min 1 i m a+ i (x) para todo x R 0. Com relação às não-linearidades, assumimos que as funções f i C(R n R m,r) não precisam ser limitadas em x proposto que seus crescimentos sejam controlados pelo potencial A(x). Mais precisamente, (F 1 ) F(x,U) CK(x)(1 + U p ) para todo (x,u) R n R m, onde C > 0, 1 p < p # (n +2)/(n 2) se n 3 ou 1 p < se n = 1,2 (posteriormente determinaremos o que significa p # ); (F 2 ) F(x,U) /K(x) = o( U ) quando U 0 uniformemente em x R n. Vamos considerar primeiro o caso superquadrático, isto é, (F 3 ) Existe uma constante µ > 2 tal que 0 < µf(x,u) U F(x,U) para todo (x,u) R n (R m \{0}). Estabelecemos então nosso primeiro resultado.

23 1.1 INTRODUÇÃO 3 Teorema Suponhamos que (A 1 ) (A 4 ) e (F 1 ) (F 3 ) são satisfeitas, com s = p+1 em (A 3 ). Então (P) tem uma solução forte U C 1 (R n,r m ) W 1,2 (R n,r m ) que decai no infinito. Se, em adição, F(x,U) é par em U, então (P) tem infinitas soluções. A seguir, consideramos o caso não-quadrático, isto é, quando substituimos a condição (F 3 ) devido a Ambrosetti-Rabinowitz pela hipótese de não-quadraticidade no infinito introduzida por Costa-Magalhães em [20] que é suficiente para obtermos a condição de compacidade de Cerami. Mais precisamente, assumiremos que (F 4 ) Existem θ > 0 e a > 0 tais que U F(x,U) 2F(x,U) a U θ > 0 para todo (x,u) R n (R m \{0}). Neste caso, estabelecemos o segundo resultado sobre a existência de uma solução não-nula para o problema (P). Teorema Sob as hipóteses do Teorema 1.1.1, com (F 3 ) trocado por (F 4 ) e 2θ > nα(p 1)/(α 1) se n 2 ou θ > α(p 1)/(α 1) se n = 1, assumimos, em adição, que F satisfaz as condições de cruzamento (F 5 ) limsup U 0 2F(x,U) U 2 2F(x,U) α < λ k < β liminf U + U 2 uniformemente em x R n ; (F 6 ) F(x,U) 1 2 λ k 1 U 2 para todo (x,u) R n R m. Então valem as mesmas conclusões do Teorema Observação As hipóteses (A 1 )-(A 4 ) foram introduzidas por Sirakov [49] com o objetivo de estudar o problema escalar u +V (x)u = f (x,u) em R n com N Seguindo a mesma idéia em [49], verificamos que uma condição suficiente para a hipótese (A 3 ) é que lim ( m i=1 A i M)\B R ) = 0 para todo M > 0, R + onde A i M = {x Rn : a i (x) M}. Assim, potenciais satisfazendo V (x) 1 e 1/V (x) L 1 (R n ) ou tais que, para cada M > 0, o conjunto {x R n : V (x) < M} tem uma medida de Lebesgue finita, também satisfazem as condições (A 1 ) e (A 3 ). O potencial V (x) = x1 2x2 1...x2 n C, com qualquer contante C > 0 escolhida tal que λ 1 > 0, satisfaz as condições (A 1 ) e (A 3 ) mas não satisfaz as hipóteses acima. 3. Um exemplo de uma não-linearidade f (x,u) satisfazendo a hipótese (F 4 ) mas não (F 3 ) para o problema escalar é F : R n R R dada por F(x,u) = 1 β g(x) u β ln u, se u 0, e F(x,u) = 0, se u = 0, onde g(x) é uma função contínua positiva.

24 4 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS 4. Existe uma relação de dependência entre o potencial A(x) e a não-linearidade F(x,U) tal que o crescimento de F(x,U) também impõe restrições sobre os potenciais. Por exemplo, a função F(x,U) = qω(x)( u 1 q 1 u 1,, u m q 1 u m ), com ω(x) β > 0, satisfaz nossas hipóteses desde que a i (x) [ω(x)] α, para x > R 0 e i {1,,m}. 1.2 A estrutura variacional Nossa escolha do ambiente variacional E assegura que o mergulho em H 1 (R n,r m ) é continuo e que o funcional Φ : E R dado por Φ(U) = 1 2 U 2 E F(x,U)dx R n = 1 2 U 2 E N(U), é bem definido e de classe C 1. Este é o conteúdo dos próximos dois lemas. Lema Suponhamos que as hipóteses (A 1 ) e (A 2 ) são satisfeitas. Então E é um espaço de Hilbert continuamente mergulhado em H 1 (R n,r m ). Demonstração. Afirmamos que existe uma constante ζ > 0 tal que U 2 E ζ U 2 dx para todo U E. (1.1) R n De fato, se assumirmos por contradição que a afirmação é falsa, então obtemos uma sequência (U k ) E tal que U k 2 E 1 k U k 2 dx. R n Fazendo W k = U k 1 2 U k, temos que W k 2 dx = 1 e W k E 1 R n k. Por (A 2 ) segue que λ 1 W k 2 2 W k 2 E 1 k. Desde que λ 1 > 0, concluímos que W k 2 0. Por outro lado, usando (A 1 ), encontramos D W k 2 dx A(x)W R n R n k W k dx = W k 2 E W k 2 dx R n 1 k 1.

25 1.2 A ESTRUTURA VARIACIONAL 5 Isto implica que W k 2 2 1/D > 0 para todo k N. Mas isto é uma contradição. Assim, 2 U 2 E ζ U 2 dx + λ 1 U 2 dx R n R n min{ζ,λ 1 } + U 2 )dx R n( U 2 mostra que o mergulho de E em H 1 (R N,R m ) é contínuo. Agora provaremos que E é completo. Suponhamos que (U k ) é uma sequência de Cauchy em E. Pela continuidade do mergulho de E H 1 (R N,R m ) temos que (U k ) é uma sequência de Cauchy em H 1 (R n,r m ) e daí existe U H 1 (R n,r m ) tal que U k U H 1 (R n,r m ) 0. Logo, existe uma subsequência ( U k j ) de (Uk ) e h L 2 (R n ) tal que U k j (x) U(x) e U k j (x) h(x) quase sempre em R n, para todo j N. Desde que A(x)U U dx A+ (x)u U dx, Rn R n onde A + (x) = (a + 1 (x),,a+ m(x)), podemos assumir que a i (x) 0 para todo x R n e i = 1,,m. Notemos que A 1/2 (U ki U k j ) 2 2 = A(x)(U R n k i U k j ) (U ki U k j )dx U ki U k j 2 E ) implica que (A 1/2 U k j é uma sequência de Cauchy em L 2 (R n,r m ), e então podemos extrair uma subsequência tal que para todo inteiro r 1. Agora, fazendo g k (x) = A 1/2 U r+1 A 1/2 U r r k r=1 temos pela desigualdade de Minkowski que g k 2 A 1/2 (x)(u r+1 (x) U r (x)) k A 1/2 (U r+1 U r ) 2 1. r=1 Assim, usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, concluímos que g k (x) converge quase sempre em R n para um limite finito g(x) L 2 (R n ). Desde que, para cada l N, temos A 1/2 (x)(u r+l (x) U r (x)) g r+l 1 (x) g r 1 (x),

26 6 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS quase sempre em R n, tomando o limite quando l +, obtemos que quase sempre em R n. Dessa forma, A 1/2 (x)(u(x) U r (x)) g(x) g r 1 (x) g(x) A 1/2 (x)u(x) g(x) A 1/2 (x)u r (x) quase sempre em R n, e consequentemente, A 1/2 U L 2 (R n,r m ). Isto implica que U E. Resta provarmos que U k U em E. Isto segue da convergência de (U k ) em H 1 (R n,r m ) e do fato que R n (U k U) 2 dx 0 A 1/2 (U k U) 2 2 = A(x)(U R n k U) (U k U)dx 0. Lema Assuma que (A 1 )-(A 2 ), (A 4 ) e (F 1 )-(F 2 ) são satisfeitas. Então o funcional Φ é bem definido e de classe C 1 sobre E. Além disso, para todo ε > 0 existe C ε > 0 tal que R n F(x,U) dx ε U 2 E +C ε U p+1 E. (1.2) Demonstração. Por (F 2 ), dado ε > 0 existe δ > 0 tal que F(x,U) εk(x) U sempre que U < δ. Agora, para U δ, segue por (F 1 ) que Assim, F(x,U) c 0 K(x)(1 + U p ) ( ) 1 = c 0 K(x) U p U p + 1 ( ) 1 c 0 K(x) δ p + 1 U p. F(x,U) K(x)(ε U +C ε U p ) (1.3) uniformemente em x R n, para todo U R m. Seja ξ (t) = F(x,tU) com t [0,1]. Então, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número θ (0,1) tal que ξ (1) ξ (0) = ξ (θ), isto é, F(x,U) = m i=1 m i=1 F(x,tu 1,,θu i,,tu m ) u i u i f i (x,tu 1,,θu i,,tu m ) u i,

27 1.2 A ESTRUTURA VARIACIONAL 7 que em combinação com (1.3) implica F(x,U) K(x)(ε U +C ε U p ) U =K(x) ( ε U 2 +C ε U p+1). (1.4) Agora, usando (A 4 ) concluímos que K(x) U s dx = K(x) U s dx + K(x) U s dx R n x R 0 x >R 0 [ ( ) ] 1/α max {K(x)} U s dx + c min x R 0 x R 0 x >R 0 1 i m a+ i (x) U s dx { } C U s m s+ a + i (x)1/α u i s dx. x >R 0 i=1 Pela desigualdade de Hölder, obtemos (1.5) [ ] 1/α [ ] (α 1)/α a + i (x)1/α u i s dx x >R 0 a + i (x) u i 2 dx x >R 0 u i (αs 2)/(α 1) dx x >R 0 (1.6) e por (A 1 ) temos a + i (x) u i 2 dx = i(x) u i 2 dx a i (x) u i 2 dx a x >R 0 R n i (x) u i 2 dx x R 0 x >R 0 [ ai (x)u 2 R n i + Du 2 ] i dx. (1.7) Substituindo (1.6), (1.7) em (1.5) e usando (A 3 ), encontramos que { K(x) U s dx C U s R n s + ( U 2 E + D U 2 ) 1/α } (αs 2)/α 2 U (αs 2)/(α 1) { ( C U s s D ) } 1/α U 2/α E λ U (αs 2)/α. (αs 2)/(α 1) 1 Assim, o espaço E pode ser mergulhado no espaço { } LK(x) s (Rn,R m ) := U : R n R m mensurável : K(x) U s dx < + R n proposto que (αs 2)/(α 1) < 2. Em particular, para s = p + 1, temos que (1.8) p < p # = n + 2 n 2 4 α(n 2). (1.9) Portanto, R n K(x) U s dx c U s E

28 8 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS para todo 2 s < p # + 1 e F(x,U) dx ε R n K(x) U 2 dx +C ε R n K(x) U p+1 dx R n ε U 2 E +C ε U p+1 E. Esta expressão mostra que o funcional Φ é bem definido. Nosso próximo objetivo é mostrar que Φ é de classe C 1 sobre E. Notemos que o primeiro termo de Φ é C 1 com derivada de Gáteaux U,V E. Agora, para verificarmos a diferenciabilidade no segundo termo definamos γ : [0,1] R por γ(σ) = F(x,U + tσv ), onde V = (v 1,,v m ) E. Então, pelo Teorema do Valor Médio, existe θ(x) (0,1) tal que γ(1) γ(0) = γ (θ(x)), isto é, Por (1.3) temos que F(x,U +tv ) F(x,U) = m i=1 F(x,U + θ(x)tv ) tv i u i = tv F(x,U + θ(x)tv ). 1 t F(x,U +tv ) F(x,U) K(x) V ( U + V ) + K(x)C V ( U p + V p ) CK(x) [ U 2 + U p+1 + V 2 + V p+1]. Desde que o termo à direita é integrável, podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue para concluirmos que N (U),V = lim [N(U +tv ) N(U)] t = V F(x,U)dx. R n t 0 1 Como N (U) é linear e limitada, é suficiente provarmos que a derivada de Gáteaux de N é contínua. Seja U k U em E. Então U k U em L s (B R,R m ) para todo 2 s 2 e R > 0. Consequentemente, a menos de subsequência, existe h(x) L s (R n ) tal que U k (x) h(x) e U k (x) U(x) quase sempre em R n. Dado W E, definimos Então, por (1.3), G k (x) W F(x,U k ) G k (x) = W(x) F(x,U k (x)). K(x)( U k +C 1 U k p ) W [ W 2 K(x) 2 + h(x) 2 ( +C 1 W p+1 + h(x) p+1)] 2 = m(x),

29 1.2 A ESTRUTURA VARIACIONAL 9 com m(x) L 1 (R n ). Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue temos que G k (x) G(x) = W(x) F(x,U(x)) em L 1 (R n ) e daí lim k W F(x,U k)dx = R n W F(x,U)dx. R n Assim, para cada W E com W E = 1, obtemos N (U k ) N (U) E = sup W E =1 = sup W E =1 e a prova do Lema está completa. N (U k ) N (U),W R n W [ F(x,U k) F(x,U)]dx 0, Observação Segue da expressão (1.9) que p # 2 1 quando α +. Assim, nosso resultado estende o principal teorema em Costa [19], onde os potenciais são coercivos e podemos tomar α + e K(x) uma constante positiva. Notemos que pontos críticos de Φ são soluções fracas do sistema (P) porque para todo V E implica que 0 = Φ (U),V = U,V E V F(x,U)dx R n R n [ u i ϕ i + a i (x)u i ϕ i f i (x,u)ϕ i ]dx = 0 para todo ϕ i C c (R n ) e i = 1,,m. Na sequência, estabelecemos a compacidade do mergulho E L s K(x) (Rn,R m ). Proposição Suponhamos que (A 1 )-(A 4 ) e (F 1 )-(F 2 ) valem. Então o mergulho de E em L s K(x) (Rn,R m ) é compacto para todo 2 s < p # + 1. Demonstração. O mergulho contínuo foi estabelecido na prova do Lema Vamos mostrar que (A 3 ) é uma condição suficiente para que o mergulho seja compacto. Suponhamos que U k 0 em E. Considerando os mergulhos E H 1 (R n,r m ) H 1 (B R,R m ) L s (B R,R m ), temos que U k 0 em L s (B R,R m ) para todo 2 s < 2 e R > 0. Seja φ C (R n ) tal que 0 φ 1, φ 0 sobre B R e φ 1 sobre R n \B R+1. Então U k s s = C ( (1 φ)u k s s + φu k s [ s) ] = C (1 φ) s U k s dx + φ s U k s dx. B R+1 R n \B R

30 10 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS O primeiro termo tende a zero quando k + e denotemos ele por β k. Agora, fazendo W k = φu k 1 s φu k, temos que W k H0 1(Rn \B R,R m ) e W k s = 1. Pela definição de ν s (Ω) segue que ν s (R n \B R ) φu k 2 [ s (φuk ) 2 + A(x)(φU k ) (φu k ) ] dx R n \B R e, em consequência, U k s s β k + 1 ν s (R n \B R ) s/2 φu k s E = β k + γ R, onde γ R 0 quando R + por (A 3 ). Logo, U k 0 em L s (R n,r m ) para todo 2 s < 2. Pela expressão (1.8) no Lema temos que ( U s LK(x) s (Rn,R m ) { U C s s D ) } 1/α U 2/α E λ U (αs 2)/α (αs 2)/(α 1) 1 para qualquer U E. Assim, concluímos que U k 0 em L s K(x) (Rn,R m ) com 2 s < 2 4(α(n 2)) 1. As próximas duas proposições mostram que Φ satisfaz uma condição de compacidade do tipo Palais-Smale. Recordemos que (U n ) E é uma sequência de Palais-Smale para Φ se é limitada e Φ (U n ) 0 no espaço dual E. Proposição Suponhamos que (A 1 )-(A 4 ) e (F 1 )-(F 3 ) valem. Então, com s = p + 1 em (A 3 ), o funcional Φ satisfaz a condição de Palais-Smale sobre E. Demonstração. Primeiro provaremos que se U k U em E, então R n(u k U) [ F(x,U k ) F(x,U)] dx 0 quando k +. Com efeito, segue da Proposição que U k U em L p+1 K(x) (Rn,R m ) e assim, pelo Teorema de Lebesgue Inverso, podemos encontrar uma subsequência, ainda denotada por (U k ), e uma função h L p+1 K(x) (Rn ) tal que U k (x) h(x) e U k (x) U(x) quase sempre em R n. Desde que (U k ) é limitada em L 2 K(x) (Rn,R m ), tomando H k (x) = U k (x) U(x) F(x,U k (x)) F(x,U(x)) temos que H k (x) 0 quase sempre em R n. Pela desigualdade de Young e (1.3), obtemos que H k (x) ε[k(x)( U k 2 + U 2 )] +C ε [K(x)( U k p+1 + U p+1 ) + U k p U + U p U k ] C 1 [K(x)( U k 2 + U 2 )] +C 2 K(x) h(x) p+1 = C 1 ω k +C 2 g,

31 1.2 A ESTRUTURA VARIACIONAL 11 onde ω k,g L 1 (R n ) e ω k L 1 (R n ) M. Como g é integrável, para cada δ > 0 existe r 1 > 0 tal que g(x)dx < δ. x >r 1 2C 2 Analogamente, para cada k N, existe R k > 0 tal que ω k (x)dx < δ. x >R k 2C 1 Desde que U k U em L 2 K(x) (Rn,R m ), existe k 0 N tal que U k L 2 K(x) (R n,r m ) U L 2 K(x) (Rn,R m ) + δ 4C 1 para todo k > k 0. Assim, tomando r 2 > 0 tal que segue que x >r 2 K(x) U 2 dx < δ 8C 1, ω k (x)dx K(x) U k 2 dx + K(x) U 2 dx x >r 2 x >r 2 x >r 2 2 K(x) U 2 dx + δ x >r 2 4C 1 δ 2C 1 para todo k > k 0. Escolhendo R = max{r 1,r 2,R 1,...,R k0 } temos que H k (x)dx = C 1 ω k (x)dx +C 2 g(x)dx < δ x >R x >R para todo k N. Agora verificamos que para todo δ > 0 podemos encontrar r > 0 tal que, para qualquer S R n com S < r, temos x >R H k L 1 (S) < δ para todo k N. Isto é, {H k } é uniformemente integrável. De fato, fazendo { } δ δ r = min,, 2MC 1 2C 2 g L 1 (R n ) segue que S H k (x)dx C 1 S ω k (x)dx +C 2 S g(x) dx C 1 M S +C 2 S g L 1 (R n ) < δ.

32 12 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS Logo, podemos aplicar o Teorema de Convergência de Vitali para concluírmos que H k 0 em L 1 (R n ). Agora se (U k ) E é tal que Φ(U k ) K e Φ (U k ) E 0, então ( µ ) U k 2 E Φ(U k ) 1 µ Φ (U k )U k K +C U k E. Assim, (U k ) E é limitada em E e tem uma subsequência fracamente convergente. Desde que 1 2 U k U 2 E = Φ (U k ) Φ (U),U k U + R n(u k U) [ F(x,U k ) F(x,U)] dx, (1.10) concluímos que (U k ) tem uma subsequência convergente. À seguir, recordemos a condição de compacidade de Cerami. Definição Um funcional Φ C 1 (E,R) é dito satisfazer a condição de compacidade de Cerami se qualquer sequência (U k ) E tal que Φ(U k ) c e (1 + U k ) Φ (U k ) 0, possui uma subsequência convergente. Proposição Sob as hipóteses da Proposição 1.2.5, com (F 3 ) trocado por (F 4 ) e 2θ > n(p 1) se n 2 ou θ > p 1 se n = 1, Φ satisfaz a condição de compacidade de Cerami. Demonstração. Provaremos somente o caso n 3, os casos n = 1,2 sendo similares. Seja (U k ) E uma sequência de Cerami com Φ(U k ) K. Afirmamos que (U k ) tem uma subsequência limitada em E. Suponhamos por contradição que U k E + quando k +. Usando (F 4 ) obtemos por um lado que 2Φ(U k ) Φ (U k )U k = [U R n k F(x,U k ) 2F(x,U k )]dx a U θ θ e, por outro lado, Assim, para todo k N, 2Φ(U k ) Φ (U k )U k 2 Φ(U k ) + Φ (U k ) E U k E K 1. U k θ K 2. (1.11) Escrevendo Q k (x) = U k (x) F(x,U k (x)) 2F(x,U k (x)) temos que lim sup Q k(x)dx K 1. (1.12) k + R n Agora, pela expressão (1.4) encontramos que 1 2 U k 2 E Φ(U k ) = F(x,U k(x))dx R n ε K(x) U k 2 dx +C 1 K(x) U k p+1 dx, R n R n

33 1.2 A ESTRUTURA VARIACIONAL 13 e substituindo (1.8) vemos que [ 1 2 U k 2 E Φ(U k ) ε U k (1 + D ] ) 1/α U k 2 E λ [ 1 +C U k p+1 p+1 + (1 + D ] λ )1/α U k 2/α E U k α(p+1) 2 α α(p+1) 2. α 1 (1.13) Sem perda de generalidade, assumimos que θ min{p + 1, α(p+1) 2 α 1 } < 2 (o caso θ > max{p + 1, α(p+1) 2 α 1 } > 2 segue sem outra restrição sobre θ). Assim, pela desigualdade de interpolação ([8], Nota 2, pag. 57), U p+1 U 1 t θ U t 2 e U α(p+1) 2 U 1 s θ U s 2, (1.14) α 1 para todo U L θ (R n,r m ) L 2 (R n,r m ), com 1 p + 1 = 1 t θ + t 2 e α 1 α(p + 1) 2 = 1 s θ + s 2. Assim, usando a continuidade do mergulho E L 2 (R n,r m ), a desigualdade (1.13) torna-se ( 1 2 ε(1 + D ) ) U k 2 E Φ(U k ) ε U k 2 2 +C 2 U k (1 t)(p+1) λ θ U k t(p+1) E 1 e daí, para ε suficientemente pequeno, +C 3 U k U k 2 E K 1 + K 2 U k K 3 U k t(p+1) E α(p+1) 2 (1 s) α θ U k 2 α α(p+1) 2 +s α E, +s α(p+1) 2 α α + K 4 U k 2 E. (1.15) De acordo com as relações 1.14 deduzimos que t(p+1) < 2 e α 2 < 2 proposto que 2θ > nα(p 1)/(α 1). Fazendo W k = U k / U k E e usando o mergulho compacto de E em L 2 (R n,r m ) concluímos que existe W E tal que, a menos de uma subsequência, W k W em E e W k W em L 2 (R n,r m ). Assim, W k (x) W(x) quase sempre em R n. Agora, dividindo (1.15) por U k 2 E e passando o limite, obtemos 1 K 4 W s α(p+1) 2 α Isto fornece W 0 e implica que o conjunto S = {x R n : W(x) 0} tem uma medida positiva. Desde que Q k (x) a U k (x) θ > 0 e U k (x) + para x S, segue pelo Lema de Fatou que lim inf Q k(x)dx liminf Q k (x)dx k + R n k + S aliminf U k (x) θ dx a k + S S lim inf k + U k(x) θ dx +. Isto contradiz (1.12). Portanto, usando a expressão (1.10) obtemos uma subsequência convergente.

34 14 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS O mergulho compacto de E em L 2 K(x) (Rn,R m ) implica o seguinte resultado. Lema O espectro do operador + A(x) sobre E consiste de uma sequência (λ k ) de autovalores tais que λ k + quando k +. Demonstração. Para cada U E definimos o funcional linear S : E R por S(W) = U,W L 2 (R n,r m ). Então pelo Teorema de Representação de Riesz, existe T (U) E tal que T (U),W E = S(W) = U,W L 2 (R n,r m ). Assim, o operador T : E E é linear, limitado, simétrico e definido positivo. Pelo mergulho compacto de E em L 2 (R n,r m ) segue que T é compacto. Escrevendo o problema de autovalores como U + A(x)U = λu U,W E = λ T (U),W E para todo W E, temos que T (U) = λ 1 U e daí λ n + quando k +. A próxima proposição é técnica e será usada na prova do Teorema Proposição Assuma que (A 1 )-(A 4 ), (F 1 )-(F 2 ) e (F 5 ) valem. Então para todo β (λ k,β) temos N(U) β U 2 2 lim inf U E + U 2 0. E Demonstração. Por (F 5 ) existe R > 0 tal que F(x,U) β U 2 para todo x R n e U > R. Tomando Ω R = {x R n : U(x) < R}, temos que N(U) = F(x,U)dx + F(x,U)dx Ω R R n \Ω R F(x,U)dx + β U 2 dx Ω R R n \Ω R [ = F(x,U) ΩR β U 2] dx + β U 2 2. Assim, basta mostrarmos que onde N R (U) = N R (U) lim inf U E + U 2 0, E [F(x,U) β U 2 ]dx. Afirmamos que lim U E + N R(U) Ω U 2 R E = 0. De fato, por contradição, suponhamos que existe δ 0 > 0 e uma sequência (U k ) em E tal que U k E + e N R (U k ) δ 0 U k 2 E para todo k N. Assumimos que N R(U k ) 0 (o caso N R (U k ) < 0 sendo

35 1.3 PROVA DOS TEOREMAS E similar). Seja W k = U k / U k E. Desde que W k E = 1 e o mergulho de E em L 2 K(x) (Rn,R m ) é compacto, existe W E tal que Fazendo W k W em E W k W em L 2 K(x) (Rn,R m ) W k (x) W(x) quase sempre em R n W k (x) h(x) L 2 K(x) (Rn ). Q k (x) = onde χ k é a função característica do conjunto [ ] F(x,Uk (x)) U k (x) 2 β χ k (x) W k (x) 2, Ω(R,k) = {x R n : 0 < U k (x) < R}, temos que Q k(x)dx = R n Ω(R,k) [ ] F(x,Uk (x)) U k (x) 2 β Uk 2 U k 2 dx δ 0 > 0 (1.16) E para todo k N. Por outro lado, como h L 2 K(x) (Rn ) L 2 (R n ), Q k (x) ( F(x,U k(x)) U k (x) 2 β)h 2 (x) (εk(x) +C ε K(x) U k (x) p 1 β)h 2 (x) (εk(x) + R p 1 C ε K(x) β)h 2 (x) deduzimos que Q k L 1 (R n ). Além disso, Q k 0 quase sempre em R n pois sobre o conjunto {x R n : W(x) = 0} temos W k (x) 0, enquanto, se W(x) > 0, então U k (x) = U k E W k (x) +. Logo, χ k (x) = 0 para k suficientemente grande. Portanto, pelo Teorema de Lebesgue, concluímos que R n Q k(x)dx 0, o que contradiz a expressão (1.16). 1.3 Prova dos Teoremas e Agora estamos em posição de provarmos os teoremas anunciados na introdução. A prova é dividida em vários passos Existência de pontos críticos sob hipóteses do Teorema Suponhamos que U 1. Faremos uso da representação em coordenadas polares esféricas U = (ρ,φ) = (ρ,φ 1,,φ m 1 ),

36 16 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS onde ρ 1, π φ 1 π, 0 φ 2,,φ m 1 π e u 1 = ρ sin(φ 1 )sin(φ 2 ) sin(φ m 1 ), u 2 = ρ cos(φ 1 )sin(φ 2 ) sin(φ m 1 ), u 3 = ρ cos(φ 2 ) sin(φ m 1 ),. u m = ρ cos(φ m 1 ). Substituindo na hipótese (F 3 ), obtemos µf(x,u) ρf ρ (x,u) e assim F(x,U) ( ) min F(x,V ) U µ > 0 (1.17) V =1 para todo x R n e U 1. Logo, dado qualquer conjunto limitado S R n, existe C = C(S) > 0 tal que F(x,U) C U µ (1.18) para todo x S e U 1. Dessa forma Φ(U) 1 2 U 2 E C U µ L µ (S). Isto mostra que existem muitos e E tais que Φ(e) < 0. Agora, usando o mergulho de E em L s (R n,r m ) para 2 s < p # + 1 temos que ( ) 1 Φ(U) 2 ε U 2 E C ε U p+1 E e tomando ε = 1/4 e escolhendo r > 0 tal que 1/4 C ε r p 1 > 1/8, obtemos Φ(U) 1 8 U 2 E para todo U E r. Portanto, a geometria do passo da montanha é válida e considerando que o funcional Φ é de classe C 1 e satisfaz a condição de Palais-Smale, podemos usar o Teorema do Passo da Montanha para concluirmos a existência de um ponto crítico U E do funcional Φ com Φ(U) > 0 (ver [6], [42]). Em outras palavras, o problema (P) tem uma solução fraca não-trivial, e a prova de existência do Teorema está completa Existência de pontos críticos sob hipóteses do Teorema Nossa prova inicia-se com uma decomposição conveniente do espaço E. Seja N k 1 = {φ k 1 1,,φ k 1 j k 1 }

37 1.3 PROVA DOS TEOREMAS E base ortonormal do autoespaço correspondendo ao autovalor λ k 1 do operador + A(x) e denotemos por E + λ k 1, E 0 λ k 1 e E λ k 1 os subespaços de E onde I λ k 1 T é definido positivo, zero e definido negativo, respectivamente. O operador T sendo definido no Lema Assim, Notemos que, se i k 1, então E = (E λ k 1 E 0 λ k 1 ) E + λ k 1 = E E +. 0 = φ i j 2 E λ i φ i j 2 2 φ i j 2 E λ k 1 φ i j 2 2, donde φ i j E. Por outro lado, se i > k 1, temos que φ i j E+. Logo, dim(e ) < +. Agora, escolhendo α > 0 e β > 0 tal que lim sup U 0 2F(x,U) U 2 α < α < λ k < β 2F(x,U) < β liminf U U 2, (1.19) temos que existe δ > 0 tal que F(x,U) ( α/2) U 2 sempre que U < δ. Se U δ, então procedendo como na prova da expressão (1.3), verificamos que F(x,U) K(x)C ε U p+1. Assim, F(x,U) α 2 U 2 + K(x)C ε U p+1 para todo x R n e U R m. Usando o mergulho de E em L p+1 K(x) (Rn,R m ) obtemos que Φ(U) 1 ( U 2 2 E α U 2 ) 2 M U p+1 E para todo U E. Observamos que E + α = E+ λ. Com efeito, E + α E+ k 1 λ e se existir U k 1 E + λ \E + α tal que U 2 k 1 E α U então U φ i j para todo i k 1. Pela caracterização do autovalor λ k segue que λ k U 2 E U 2 2 α, o que contradiz (1.19). Assim, podemos tomar m > 0 tal que U 2 E α U 2 2 m U 2 E para todo U E +, pois do contrário, existe uma sequência (U k ) in E + tal que U k 2 E α U k n U k 2 E e daí λ k α. Mas isto contradiz a hipótese que α < λ k. Logo, ( ) Φ(U) m M U p 1 E U 2 E

38 18 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS para todo U E +, e assumindo p > 1 em (F 1 ), obtemos que U E = ρ < ( m/ M) 1/(p 1) implica para todo U E +. Por outro lado, por ( f 6 ) vemos que Φ(U) ω > 0 (1.20) Φ(U) 1 2 ( U 2 E λ k 1 U 2 2) 0 (1.21) para todo U E. Agora, dado ε > 0, segue da proposição anterior que existe R ε > 0 tal que para todo U E com U E R ε. Desde que temos que existe m β > 0 tal que e tomando 0 < ε < m β obtemos que N(U) 1 2 β U 2 2 ε U 2 E U 2 E β U 2 2 < U 2 E λ k 1 U 2 2 0, U 2 E β U 2 2 m β U 2 E, Φ(U) ( ) + ε U m β 2 E < 0 (1.22) para todo U E E 0 λ k, with U E R ε. Portanto, as estimativas (1.20) (1.22) mostram que o funcional Φ exibe a geometria requerida pelo Teorema do Passo da Montanha Generalizado [6, 43] e desde que este teorema continua válido quando trocamos a condição Palais-Smale pela condição de Cerami, podemos concluir que Φ possui um ponto crítico Û E com Φ(Û) > ω > 0, e em particular, Û Regularidade e comportamento assintótico. Usaremos um argumento tipo bootstrap"para mostrarmos que U é uma solução forte do problema (P). Isto é, cada componente de U é duas vezes fracamente diferenciável em R n e satisfaz (P) quase sempre em R n. De fato, seja U W 1,2 (R n,r m ) satisfazendo [ U ϕ + A(x)U ϕ]dx = Rn R n ϕ F(x,U)dx para todo ϕ C c (B 2,R m ), onde B 2 = B(x 0,2R) é uma bola de raio 2R centrada em x 0. Então, U é uma solução fraca da equação U = h(x) em B 2, (1.23)

39 1.3 PROVA DOS TEOREMAS E onde h(x) = F(x,U(x)) A(x)U(x). Fazendo 1 < p 1 = 2 /p < 2, segue de (1.3) e hipóteses (A 1 ) e (A 4 ) que ( h(x) p 1 C U p 1 + U 2 ). Desde que concluímos que h L p 1(B 2,R m ) e W 1,2 (B 2,R m ) L 2 (B 2,R m ) L p 1 (B 2,R m ), h L p 1(B2,R m ) C ( ) U L p 1(B2,R m ) + U p L pp 1(B 2,R m. ) Agora, se w é o potencial Newtoniano de h, segue de [27, Teorema 9.9] que w W 2,p 1(B 2,R m ) e w = h(x) (1.24) quase sempre em B 2. Combinando (1.23) e (1.24) temos que B 2 (U w) ϕ dx = 0, para todo ϕ C c (B 2,R m ). Isto é, U w é uma solução fraca de ϑ = 0 em B 2. Como U w W 1,2 (B 2,R m ), podemos aplicar o Lema de Weyl [31, Corolário 1.2.1] para concluirmos que U w C (B 2,R m ). Logo, U W 2,q 1(B 2,R m ). Desde que 1 < p < (n+2)/(n 2), existe δ > 0 tal que (n+2)/(n 2) = p(1+δ). Assim, p 1 = 2n(1 + δ) (n + 2). Considerando que W 2,p 1(B 2,R m ) L r 1(B 2,R m ) com r 1 = np 1 /(n 2p 1 ), existe p 2 (p 1,r 1 ) tal que U W 2,p 2(B 2,R m ). De fato, fazendo p 2 = r 1 /p temos que r 1 > p 2 e como p 2 (n 2)(1 + δ) = > 1 + δ, p 1 n 2 4δ segue que p 2 > p 1. Usando o argumento anterior, temos que W 2,p 1 (B 2,R m ) L r 1 (B 2,R m ) L p 2 (B 2,R m ) e h(x) p 2 C( U p 2 + U r 1), donde h L p 2(B 2,R m ) com ( ) h L p 2(B2,R m ) C U L p 2(B2,R m ) + U p L pp 2(B 2,R m ) e U W 2,p 2(B 2,R m ). Seguindo deste modo, obtemos uma sequência ilimitada ( ) npk p k+1 = 1 p n 2p k

40 20 CAPÍTULO 1 SISTEMAS ELÍPTICOS SUPERQUADRÁTICOS E NÃO-QUADRÁTICOS tal que p k+1 /p k > 1 + δ e h L p k+1(b2,r m ) C ( ) U L p k+1(b2,r m ) + U p L pp. k+1(b 2,R m ) Assim, U W 2,s loc (Rn,R m ) para todo 2 s < +. Pelo Teorema de Mergulho de Sobolev, U C 1,α (B 2,R m ) com 0 < α < 1 n/s e s > n. Notemos que se as não-linearidades fossem de classe C 1 ou Hölder contínuas, então U seria uma solução clássica do problema (T K ). Pela estimativa elíptica interior [27, Teorema 9.11] temos U W 2,s (B 1,R m ) C ( U L s (B 2,R m ) + h L s (B 2,R m )), onde B 1 = B(x 0,R). Logo, ) U C 1,α (B 1,R m ) ( z C L s (B 2,R m ) + U p L sp (B 2,R m. ) Se s > n, temos pelo mergulho de Sobolev ) U C 1,α (B 1,R m ) ( U C L s (B 2,R m ) + U p L s (B 2,R m. ) Fazendo x 0 +, concluímos que U C 1,α (B 1,R m ) Multiplicidade de soluções. Como visto antes, na aplicação do Teorema do Passo da Montanha, as condições de crescimento (F 1 ) (F 4 ) e hipóteses (A 1 ) (A 4 ) sobre os potenciais implicam que o funcional Φ é de classe C 1, Φ(0) = 0 e Φ satisfaz a condição de Palais-Smale. Além disso, como na prova do Teorema 1.1.1, a condição (F) implica que sobre qualquer subespaço de dimensão finita W E, existe um R = R(W) > 0 tal que Φ(u) u BR (0;W) C 1 R 2 C 2 R µ +C 3 quando R +. Da mesma forma verificamos que existem ρ,α > 0 tais que Φ Bρ > α. Desde que Φ é par, podemos aplicar o Teorema do Passo da Montanha Simétrico para obtermos uma sequência ilimitada de valores críticos de Φ sob as hipóteses do Teorema Para provarmos a existência de múltiplas soluções no Teorema 1.1.2, usamos uma versão do Teorema do Passo da Montanha Simétrico onde a usual condição de compacidade de Palais- Smale é trocada pela condição de compacidade de Cerami. Para este fim, mostramos que o lema de deformação continua válido sob a condição (C) c conforme [32, Teorema 1.3].

41 CAPÍTULO 2 Sistemas elípticos com crescimento supercrítico 2.1 Introdução Neste capítulo consideramos uma classe de sistemas de equações de Schrödinger estacionárias em R n da forma u i + a i (x)u i = f i (x,u i,,u m ) + g i (x) u i p i 1 u i, x R n, (P) onde n 3, p i (n +2)/(n 2) e as funções a i,g i : R n R e f i : R n R m R são contínuas com f i (x,0,,0) = 0 para todo i = 1,,m. Estudaremos a situação variacional na qual ( f i,, f m ) = F para alguma função F : R n R m R de classe C 1, onde F denota o gradiente de F nas variáveis U = (u 1,,u m ) R m. Escreveremos o sistema acima na forma U + A(x)U = F(x,U) + G(x,U), onde = diag(,, ), V (x) = diag(a 1 (x),,a m (x)) e G(x,U) = g 1(x) p u 1 p g m(x) p m + 1 u m p m+1. Nosso principal objetivo neste capítulo é ilustrar como idéias introduzidas em [9, 10, 15, 43, 44, 49, 50, 51] podem ser aplicadas para manipular o problema de existência de "bound states" para sistemas elipticos com não-linearidade crítica ou supercrítica, isto é, soluções U = (u 1,,u m ) satisfazendo (P) e as seguintes condições: u i > 0 em R n, u i (x) 0 quando x +, para todo i = 1,.m. Utilizaremos o mesmo ambiente variacional do capítulo anterior, a saber, { } E = U H 1 (R n,r m ) : A(x)U U dx < + Rn com produto interno U,V E = V +A(x)U V ]dx. Também assumiremos as mesmas Rn[ U hipóteses sobre o potencial A(x) e sobre a não-linearidade F(x,U) no caso superquadrático. Resumidamente, (A 1 ) Existe D > 0 tal que a i (x) D para todo x R n e i = 1,,m; 21

42 22 CAPÍTULO 2 SISTEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO SUPERCRÍTICO (A 2 ) λ 1 = inf U E\{0} [ R n U 2 + A(x)U U ] dx > 0; R n U 2 dx (A 3 ) lim R + ν s(r n \B R ) = +, para 2 s < 2n/(n 2); (A 4 ) Existem uma função K(x) Lloc (Rn ), com K(x) 1, e constantes α > 1, c 0, R 0 > 0 tais que ( ) ] 1/α K(x) c 0 [1 + min 1 i m {a+ i (x)} para todo x R 0 ; (F 1 ) A função F satisfaz a condição de crescimento F(x,U) ck(x)(1 + U q ) para todo (x,u) R n R m, onde c > 0, 1 < q < p # (n + 2)/(n 2) e n 3; (F 2 ) F(x,U) /K(x) = o( U ) quando U 0 uniformemente em x R n ; (F 3 ) Existe uma constante µ > 2 tal que para todo (x,u) R n (R m \{0}). 0 < µf(x,u) U F(x,U) Com respeito às funções g i (x) supomos que são não-negativas e têm crescimentos controlados pelo potencial A(x), isto é, (F 4 ) g i (x) CK(x) para todo x R n e algum C > 0, i = 1,,m. Nosso principal resultado para o problema (P) é o seguinte: Teorema Suponhamos que (A 1 ) (A 4 ) e (F 1 ) (F 4 ) são satisfeitas, com s = q+1 em (A 3 ). Então (P) tem uma solução forte U C 1 (R n,r m ) W 1,2 (R n,r m ) que decai no infinito. Além disso, se (F 5 ) F/ u i (x,u 1,,u m ) 0 para todo u i 0 com i = 1,,m, então (P) possui pelo menos uma solução positiva U = (u 1,,u m ) com u i (x) > 0 para todo x R n e i = 1,,m. Em nosso próximo resultado, verificamos a existência de infinitas soluções para (P) sob a presença de simetria. Mais especificamente, suponhamos (F 6 ) F(x,U) é par com relação à variável U R m, Sob esta condição, somos capazes de provar: Teorema Suponhamos (A 1 ) (A 4 ) válidas. Se F satisfaz (F 1 ) (F 4 ) e (F 6 ), então o problema (P) possui uma sequência ilimitada de valores críticos.

43 2.2 REFORMULAÇÃO DO PROBLEMA E RESULTADOS PRELIMINARES Reformulação do problema e resultados preliminares Nossa escolha do ambiente variacional E assegura o mergulho contínuo em H 1 (R n,r m ) (ver Lema 1.2.1) com U 2 E ζ U 2 2. (2.1) Além disso, E L 2 K(x) (Rn,R m ) compactamente para todo 2 s p # + 1 (ver Lema 1.2.4). Desde que o crescimento da não-linearidade é crítica ou supercrítica, não podemos usar diretamente técnicas variacionais por causa da perda de compacidade do mergulho de Sobolev. Contornamos esta dificuldade construindo um truncamento adequado. Para este fim, introduzimos um problema auxiliar no espírito do argumento desenvolvido para o caso escalar por Chabrowski e Yang [15] quando o domínio é ilimitado e por Rabinowitz [43] no caso de domínio limitado. Assim, consideremos o sistema u i + a i (x)u i = f i (x,u 1,,u m ) + g i (x)h i (u i ), x R n, i = 1,,m, (T K ) onde 0, se t 0, h i (t) = t p i, se 0 t K, K pi q t q, se t K, e a constante K > 0 será determinada posteriormente. Seja H i (s) = h i (t)dt. Observemos que para 0 t K temos (t/k) p i (t/k) q e, consequentemente, e s 0 h i (t) K p i q t q,para todot R (2.2) H i (s) K p i q q + 1 sq+1,para todos R. (2.3) Agora, consideremos o funcional associado ao problema (T K ) dado por I(U) = 1 2 U 2 E R n[f(x,u) + G(x,U)]dx com G(x,U) = g 1 (x)h 1 (u 1 ) + + g m (x)h m (u m ). Lema Assumimos que (A 1 ) (A 2 ), (A 4 ), (F 1 ) (F 2 ) e (F 4 ) são satisfeitas. Então o funcional I é bem definido e de classe C 1 sobre E. Além disso, para todo ε > 0 existe C ε > 0 tal que F(x,U) + G(x,U) dx ε U 2 R n E +C ε U q+1 E. (2.4)

44 24 CAPÍTULO 2 SISTEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO SUPERCRÍTICO Demonstração. Mostramos no Capítulo 1, expressão (1.4), que Agora, segue de (2.3) e (F 4 ) que para todo (x,u) R n R m. Logo, F(x,U) K(x) ( ε U 2 +C ε U q+1). (2.5) G(x,U) CK(x) U q+1 (2.6) F(x,U) + G(x,U) K(x) ( ε U 2 +C ε U q+1) (2.7) e isso revela que o funcional I é bem definido. Uma análise semelhante à realizada para provarmos a regularidade do funcional Φ no Capítulo 1, mostra que I é de classe C 1 sobre E com I (U),W = U,W E W [ F(x,U) + G(x,U)]dx Rn para quaisquer U = (u 1,,u m ),W = (w 1,,w m ) E. Tomando W = (0,,w i,,0) obtemos a formulação fraca de (T K ): [ u i w i + a i (x)u i w i ]dx = [ f i(x,u)w i + g i (x)h i (u i )w i ]dx. R n R n Em outras palavras, pontos críticos de I são soluções fracas de (T K ). A próxima proposição mostra que I satisfaz uma condição de compacidade do tipo Palais- Smale. Proposição Suponhamos que (A 1 ) (A 4 ) e (F 1 ) (F 4 ) valem. Então, com s = q + 1 em (A 3 ), o funcional I satisfaz a condição de Palais-Smale sobre E. Demonstração. Seja (U k ) E tal que I(U k ) C e I (U k ) E 0. Então, usando (F 3 ), vemos que ( ) U k 2 E I(U k ) 1 µ µ I (U k )U k C + ε U k E. Assim, (U k ) E é limitada e, a menos de uma subsequência, converge fracamente para um limite U em E. Vimos na Proposição que R n(u k U) [ F(x,U k ) F(x,U)] dx 0 quando k +. De modo análogo, usando (2.2) e o Teorema de Convergência de Vitali verificamos que [ ] R n(u k U) G(x,U k ) G(x,U) dx 0 quando k +. Desde que 1 2 U k U 2 E = I (U k ) I (U),U k U + R n(u k U) [ F(x,U k ) F(x,U)] dx+ [ ] R n(u k U) G(x,U k ) G(x,U) dx, concluímos que (U k ) tem uma subsequência que converge fortemente para U em E. (2.8)

45 2.3 SOLUÇÕES DO PROBLEMA AUXILIAR Soluções do problema auxiliar Iniciamos por provar a existência de soluções fortes não-triviais do problema truncado (T K ) usando o Teorema do Passo da Montanha. Fazendo uso da representação em coordenadas polares encontramos que ( ) F(x,U) min F(x,W) U µ > 0 (2.9) W =1 para todo x R n e U 1 (ver equação (1.17) e sua prova). Desde que G(x,U) 0 para todo U 1, segue que I(U) 1 2 U 2 E C U µ L µ (S) para todo U E com suporte compacto S e tal que U 1. Isto mostra que existem muitos e E tais que Φ(e) < 0. Agora, usando (2.4) obtemos e assim, escolhendo r > 0 tal que segue que I(U) ( 1 2 ε) U 2 E C ε U q+1 E, ( ) 1 2 ε r C ε r q > 0, I(U) ρ > 0 para todo U E = r. Portanto, o funcional I satisfaz a geometria do passo da montanha e, em consequência, as hipóteses do Teorema do Capítulo 1 são satisfeitas. Logo, existe um ponto crítico U E do funcional I com I(U) > 0. Em outras palavras, o problema (T K ) tem uma solução forte não-nula. Seja c = I(U) o valor crítico de I em U. Assim, por (F 3 ) e (2.3) vemos que c = 1 Rn [ 2 U 2 E 1 2 U 2 E R n ] F(x,U) + G(x,U) dx [ 1 1 F(x,U) U + µ q + 1 G(x,U) U Desde que U é uma solução do sistema (T K ), temos que U 2 E = U [ F(x,U) + G(x,U)]dx RN e assim c ] dx. ( ) U 2 q + 1 E. (2.10)

46 26 CAPÍTULO 2 SISTEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO SUPERCRÍTICO Com o objetivo de mostrarmos que o procedimento do passo da montanha fornece uma solução positiva, trocamos a não-linearidade F(x,U) por F(x,u 1,,u m ), se i, u i 0, F(x,U) = F(x,u 1,,u i 1,0,u i+1,,u m ), se i, u i 0, 0, se i, u i 0, onde i = 1,,m. Assim, F(x,U) satisfaz as mesmas hipóteses que F(x,U) e pelo argumento anterior obtemos uma solução forte não-trivial do problema (T K ). Isto é, [ u F i ξ + a i (x)u i ξ ] dx = (x,u 1,,u m )ξ dx + R n R n u g i(x)h i (u i )ξ dx, i R n para todo ξ Cc (R n ). Tomando ξ = u i nesta expressão, concluímos que u i E 1 = 0. Logo, u i 0 para todo i = 1,,m. Desde que u i satisfaz u i + a + i (x)u i = f i (x,u) + g i (x)h i (u i ) + a i (x)u i 0 e f i (x,u(x)) + g i (x)h i (u i (x)) + a i (x)u i(x) L s (B R ), para todo s 1, porque u i C 1,α (B R ), segue pelo princípio do máximo forte para soluções fortes [27, Teorema 9.6] que u i não pode atingir um mínimo em B R, para todo R > 0, a menos que seja constante. Assim, u i > 0 em R n para todo i = 1,,m. 2.4 Prova do Teorema Nesta seção, usamos a técnica de iteração de Moser para obtermos uma cota apriori para soluções do problema (T K ), isto é, mostramos que U K desde que K (uma constante no truncamento h i ) seja escolhida de forma conveniente. Isto obviamente implica que U resolve o problema (P). A prova é adaptada de [15, Proposição 2]. Proposição Existe uma constante K 0 > 0 tal que, para cada K K 0 a solução do passo da montanha U do problema (T K ) satisfaz U K. Demonstração. Seja U = (u 1,,u m ) E uma solução do problema (T K ). Podemos assumir, sem perda de generalidade, que u i 0 para i {1,,m}. Caso contrário, argüimos com as partes positiva e negativa de u i separadamente. Definamos uma função Ũ L = (ũ 1L,,ũ ml ) E por { ui (x), para u ũ il (x) = i (x) L L, para u i (x) > L, onde L K. Seja Φ = (φ 1,,φ m ) E tal que φ i = u i u 2(β 1) il e β > 1 é uma constante a ser determinada. Tomando φ i como funções teste em cada i-ésima equação do problema (T K ), obtemos Rn [ ] [ U Φ + A(x)U Φ] dx = Φ F(x,U) + G(x,U) dx. Rn

47 2.4 PROVA DO TEOREMA Desde que φ i = u 2(β 1) il segue que m Rn [ u 2(β 1) il i=1 u i + 2(β 1)u i u 2β 3 u il e il R n u iu 2β 3 il u i u il dx = ] u i 2 + a i (x)u 2 i u 2(β 1) il u i L u 2(β 1) i u i 2 dx 0, Rn [ ] dx Φ F(x,U) + G(x,U) dx. Considerando K > 1 suficientemente grande e usando as desigualdades (1.3) e (2.2) obtemos que m Rn [ u 2(β 1) il i=1 ] u i 2 + a + i (x)u2 i u 2(β 1) dx CK p q R n K(x)( U 2 + U q+1) U L 2(β 1) dx + il m i=1 a R n i (x)u2 i u 2(β 1) il onde p = max{p 1,, p m }. Por (A 3 ), temos que a i (x) D para todo x Rn, e como K(x) 1 concluímos que m Rn [ u 2(β 1) il i=1 ] u i 2 + a + i (x)u2 i u 2(β 1) dx CK p q R n K(x)( U 2 + U q+1) U L 2(β 1) dx. il dx (2.11) A seguir façamos Ψ = (ϕ 1,,ϕ m ), onde ϕ i = u i u β 1 il para i = 1,,m. Notamos que Ψ E pois m A(x)Ψ Ψdx L2(β 1) a+ Rn R n i (x)u2 i dx < +. Pela desigualdade de Young temos que R n Ψ 2 dx 2 m i=1 m [ R n ϕ i 2 dx i=1 m Rn [ =2 2 2 i=1 m [ i=1 m β 2 i=1 u 2(β 1) il i=1 u i 2 + (β 1) 2 u 2(β 2) u 2 i u il 2] dx u2(β 1) R n il u i 2 dx + (β 1) 2 u2(β 1) R n il u i 2 dx + (β 1) 2 u2(β 1) R n il u i 2 dx. il u i L ] u 2(β 1) il u i 2 dx u2(β 1) R N il ] u i 2 dx (2.12)

48 28 CAPÍTULO 2 SISTEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO SUPERCRÍTICO Assim, usando a desigualdade (2.1) e substituindo (2.11) (2.12), encontramos que Ψ 2 dx 1 R n ζ Ψ 2 E 1 ( Ψ 2 + A(x)Ψ Ψ ) dx ζ R n Rn ( ) u i 2 + a + i (x)u2 i u 2(β 1) dx 2β 2 m i=1 u 2(β 1) il β 2 CK p q R n K(x)( U 2 + U q+1) U L 2(β 1) dx. il (2.13) Segue da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg [8, Teorema IX.9] que Ψ 2 2 C R n Ψ 2 dx β 2 CK p q R n K(x)( U 2 + U q+1) U L 2(β 1) dx. (2.14) Afirmamos que K(x) U s L r (R n ) para 1 r < α próximo a 1 e 2 s < p #. De fato, agindo como na prova do Lema 1.2.2, equação (1.8) fornece { } ) r dx C U rs R n(k(x) U s rs + U 2r/α E U r(αs 2)/α. r(αs 2)/(α r) Notamos que rs > 2 e rs < 2 para r > 1 próximo a 1 desde que s < p #. Por outro lado, r(αs 2)/(α r) > 2 para r (1,α) e r(αs 2)/(α r) < 2 sempre que Isto vale para r > 1 próximo a 1 porque Logo, r < α2 αs α2 αs > α2 α[2 1 4 α(n 2) ] + N 2 4 R n(k(x) U s ) r dx C u rs E para todo 2 s < p # e 1 r < α próximo a 1. Agora, aplicando a desigualdade de Hölder em (2.14) e usando (2.10) para 1 r < α próximo a 1 e 2 s < p #, concluímos que [ ( Ψ 2 2 β 2 CK p q K(x)r U 2r + U (q+1)r) ] 1/r [ ] (r 1)/r dx U L 2(β 1)r/(r 1) dx R n R n > 1. β 2 CK p q ( R n U L 2(β 1)r/(r 1) dx) (r 1)/r. (2.15)

49 2.4 PROVA DO TEOREMA Assim, tomando 2 1 r < β < ( 1 1 ) r e α > 0 tal que βα = 2r(β 1)/(r 1), podemos expressar (2.15) como ) 2 /2 2/2 u 2 i u 2(β 1) il dx β 2 CK p q U 2(β 1) R N ( m i=1 Usando o Lema de Fatou em L no primeiro termo, obtemos βα. U β2 β 1/β (CK p q ) 1/2β U (β 1)/β βα. (2.16) Seja χ = 2 /α, isto é, β χα = β2. Então, para cada m = 0,1,2, definimos χ k+1 α = χ k 2, com χ 0 = χ. Assim χ k = χ k+1. Agora, usamos a técnica de iteração de Moser [38] sobre a estimativa (2.16) para provar que cada solução do problema (T K ) é limitada. Com efeito, usando o argumento anterior para χβ e observando que pois U L ml = M, segue que U L 2r(χβ 1) r 1 M 2r r 1 (χ 1) U L 2rχ(β 1) r 1, U χβ2 (χβ) 1 ( χβ CK p q) 1 2χβ M χ 1 χβ U γ χβα (χβ) 1 ( χβ CK p q) 1 2χβ M χ 1 χβ [β 1 ( β CK p q) ] 1 γ 2β U γ βα χ 1 χβ β 1 χ +γ ( CK p q) 1 2β ( 1χ +γ onde γ = (β 1)/β. Assim, para k = n temos que onde ) M χ 1 χβ U γ2 βα, U χ n+1 βα = U χ n β2 χσ 1 β σ 2 (CK p q ) σ 3 M σ 4 U γn+1 βα, n 1 σ 1 =(1/β) (n i) γi χ n i, σ 3 =(1/2β) i=0 n i=0 γ i χ n i, σ 2 = (1/β) σ 4 = (1/β) n i=0 n 1 i=0 γ i χ n i, χ n i 1 χ n i γ i. Desde que γ < 1 e χ > 1, as séries são convergentes e γ n+1 0 quando n +. Logo, podemos tomar o limite para concluirmos que U L (R N,R m ) com U χ σ 1 β σ 2 (CK p q ) σ 3 M σ 4. Para escolhermos K 0, consideremos a desigualdade χ σ 1 β σ 2 [CK p q ] σ 3 M σ 4 K. (2.17) Desde que tomamos β > 1 próximo a 1, o valor γ = (β 1)/β pode ser feito arbitrariamente pequeno. Consequentemente, σ 3 pode ser feito suficientemente pequeno tal que σ 3 (p q) < 1. Isto implica a existência de um K 0 > 0 tal que para todo K > K 0 temos (2.17) satisfeita.

50 30 CAPÍTULO 2 SISTEMAS ELÍPTICOS COM CRESCIMENTO SUPERCRÍTICO 2.5 Prova do Teorema Com o objetivo de provarmos o resultado de multiplicidade de soluções, estendemosa a função h como uma função impar de [0,+ ) em (,0], isto é, h(u) = h( u) para u 0. Conforme visto antes na aplicação do Teorema do Passo da Montanha, as condições de crescimento (F 1 )- (F 4 ) e hipóteses (A 1 )-(A 4 ) sobre os potenciais implicam que o funcional I é de classe C 1, I(0) = 0, satisfaz a condição de Palais-Smale e seus pontos críticos são soluções fracas de (P). Além disso, o argumento no Teorema que mostrou que I satisfaz a geometria do passo da montanha permanece válido. Aplicando então o Teorema do Passo da Montanha Simétrico, obtemos uma sequência ilimitada de valores críticos de I.