uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

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1 Seminário Brasileiro de Análise - SBA Instituto de Matemática e Estatatística - USP Edição N 0 68 Novembro 2008 uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado maia,l. a. & moura, e. l. Resumo Nosso objetivo neste trabalho é apresentar um estudo para o sistema { pu + a(x) u p 1 = F u(x, u, v), x qv + b(x) v q 1 = F v(x, u, v), x ; (u, v) W 1,p ( ) W 1,q ( ) (D) sobre a existência de soluções via método do Passo da Montanha. 1 Introducão Histórico Os artigos abaixo nos motivaram trabalhar com o sistema D David G. Costa { u + a(x)u = Fu (x, u, v), x v + b(x)v = F v (x, u, v), x, u, v H 1 ( ) Estudaram também o mesmo problema com p = 2 = q, Furtado, Maia e Silva Ali Dejellit e Saadia Tas Estudaram o problema com a = 0 = b. Partially supported by UFVJM Key words: System, p-laplacian, Palais-Smale condition, Mountain Pass Theorem. UnB, Brasília, Brasil, UFVJM, MG, Brasil, elson 1

2 2Uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado 68 0 SBA 2 Resultados Abstratos O resultado imprescindível que iremos trabalhar refere-se à versão mais conhecida do teorema do Passo da Montanha onde usa-se a condição de compacidade de Palais-Smale [10], pags.04 e 81. Antes vamos definir a condição de Palais-Smale (PS). 2.1-Condição de Compacidade de Palais-Smale (PS): Seja E um espaço de Banach e Φ C 1 (E, R). Dizemos que Φ : E R satisfaz a condição (PS) se, toda seqüência (u n, v n ) em E tal que Φ(u n, v n ) C e Φ (u n, v n ) 0 contém uma subseqüência convergente na norma de E Teorema do Passo da Montanha : Seja E um espaço de Banach e Φ C 1 (E, R) satisfazendo (PS). Suponha que Φ(0) = 0 e (Φ 1 ) existem constantes ρ, α > 0 tais que Φ α na B ρ, e (Φ 2 ) existe um e E\ B ρ tal que Φ(e) 0. Então Φ possui um valor crítico c α. Além disso, c pode ser caracterizado por c = inf max Φ(u) g Γ u g([0,1]) onde Γ = {g C([0, 1], E) : g(0) = 0 e g(1) = e}. 3 Definições de Hipóteses O subespaço E p,q W 1,p ( ) W 1,q ( ), definido por E p,q = {(u, v) W 1,p ( ) W 1,q ( ); ( u p + a(x) u p + v q + b(x) v q ) dx < } 1 < p, q < N, p u = div( u p 2 u) e similarmente para q.. O funcional associado ao sistema (D) é definido por : Φ(u, v) = 1 ( u p + a(x) u p ) dx + 1 ( v q + b(x) v q ) dx p R q N F (x, u, v)dx A norma (u, v) E p,q associada ao funcional Φ é definida como a norma da soma, onde e u p E p = ( u p + a(x) u p ) dx v q E q = ( v q + b(x) v q ) dx.

3 68 0 SBA Maia,L. A., Moura, E. L 3 (A 0 ) a, b C( ); a(x) a 0 > 0, b(x) b 0 > 0, onde a 0, b 0 são constantes positivas. (A 1 ) a(x), b(x), quando x. (F 0 ) F C 1 ( R 2, R) e F (x, 0, 0) = 0 = F u (x, 0, 0) = F v (x, 0, 0). (F 1 ) F u (x, u, v) c1 u p1 1 v q1, x F v (x, u, v) c2 u q2 v p2 1, x onde max {p, q} p i + q i < min {p, q }, para i = 1, 2; p = Np N p e q = Nq N q. (F 1 ) µ U. F (x, U) µf (x, U) > 0, (x, U) R 2 onde µ > max {p, q}. 4 Resultados Obtidos Teorema 1 (Imersão Compacta): Suponha que as hipóteses (A 0 ), (A 1 ) são satisfeitas. Então a imersão é compacta. E p,q L p (, R) L q (, R) Demonstração : Sem perda de generalidade, queremos mostrar que se (u n, v n ) (0, 0) em E p,q, então (u n, v n ) (0, 0) em L p (, R) L q (, R). Como {(u n, v n )} converge fracamente então é uma seqüência limitada. Considere a constante positiva C tal que (u n, v n ) Ep,q C. Dado ɛ > 0, fixe R > 0 tal que a(x) 2Cp ɛ > 0 e b(x) 2Cq ɛ Defina, também, o operador restrição Γ; > 0, para todo x R. Γ : W 1,p (, R) W 1,q (, R) W 1,p (B R, R) W 1,q (B R, R) (u, v) Γ(u, v) = (u, v). onde B R denota uma bola de raio R e centro na origem em. Como o operador restrição Γ é contínuo, temos que (u n, v n ) (0, 0) em W 1,p (B R, R) W 1,q (B R, R) = E(B R ). Pelo fato das imersões compactas W 1,p (B R, R) W 1,q (B R, R) L p (B R, R) L q (B R, R),

4 4Uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado 68 0 SBA pois B R é um domínio limitado, segue que dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que para todo n n 0 temos e u n p dx = u n p L p (B R ) < ɛ B R 2 v n q dx = v n q L q (B R ) < ɛ B R 2. Por outro lado, pela escolha de R e da condição (A 0 ), 2 u n p dx 2 ɛ BR C ɛ 1 C p B C R B C R ɛa(x) 2C p u n p dx = 1 C p a(x) u n p dx BR C ( u n p + a(x) u n p ) dx = 1 C p u n p E p 1 e, também, 2 v n q dx 1 ɛ BR C C q v n q E q 1. Logo, então, Como u n p dx ɛ 2, v n q dx ɛ 2. BR C A u n p dx = u n p dx + B R u n p dx < ɛ R 2 + ɛ 2. N B c R u n p dx Analogamente para {v n }. Finalmente, usando a norma da soma, (u n, v n ) (0, 0) Lp ( ) L q ( ) = u n 0 Lp ( ) + v n 0 Lq ( ) < 2ɛ e o resultado da convergência forte segue. Teorema 2 (Aplicação Compacta): Suponha que as hipóteses (A 0 ), (A 1 ) e (F 1 ) são satisfeitas. Então a aplicação N : E p,q E p,q é compacta com N(u, v) := F (x, u, v)dx. Demonstração : o objetivo é mostrar que dada uma seqüência {(u n, v n )} E p,q limitada, a menos de subseqüência, N (u n, v n ) N (u, v) fortemente em E p,q.

5 68 0 SBA Maia,L. A., Moura, E. L 5 Note que, pela definição de norma, N (u n, v n ) N (u, v) = sup (ϕ,ψ) 1 sup (ϕ,ψ) 1 + sup (ϕ,ψ) 1 (N (u n, v n ) N (u, v))(ϕ, ψ) (F u (x, u n, v n ) F u (x, u, v)) ϕdx R N (F v (x, u n, v n ) F v (x, u, v)) ψdx. É suficiente mostrar que esta última soma à direita da desigualdade converge para zero, quando n. Tal fato acontece, pois decorre da utilização do teorema 1, juntamente com a hipótese (F 1 ) e o teorema da Convergência Dominada de Lesbegue, ou seja, (ϕ, ψ) E p,q, temos e F u (x, u n, v n )ϕdx F u (x, u, v)ϕdx, n F v (x, u n, v n )ψdx F v (x, u, v)ψdx, n Teorema 3 (Condição PS): Suponha que as hipóteses (A 0 ), (A 1 ), (F 1 ) e (F 1 ) µ são satisfeitas. Então o funcional associado ao problema (D) satisfaz a condição de Palais-Smale. Demonstração : Suponha que Φ(u n, v n ) C, Φ (u n, v n ) 0, isto é, dado ɛ > 0, existe um n 0 natural tal que Φ(u n, v n ) C e Φ (u n, v n ) ɛ, n n 0. Assim, n n 0, µφ(u n, v n ) Φ (u n, v n ), (u n, v n ) µc + ɛ (u n, v n ) Ep,q. Por outro lado, sem perda de generalidade, seja p < q < µ. Então, utilizando (F 0 ), (F 1 ) e (F 1 ) µ µφ(u n, v n ) Φ (u n, v n ), (u n, v n ) { 1 = µ ( u n p + a(x) u n p ) dx + 1 } ( v n q + b(x) v n q ) dx F (x, u n, v n )dx p R q N R ( ) ( ) N µ = p 1 ( u n p + a(x) u n p µ ) dx + R q 1 ( v n q + b(x) v n q ) dx N R N + (F u (x, u n, v n )u n + F v (x, u n, v n )v n µf (x, u n, v n )) dx R ( N ) µ 1 q 1 2 p (u n, v n ) p E p,q. Logo, obtemos n n 0,

6 6Uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado 68 0 SBA µc + ɛ (u n, v n ) Ep,q µφ(u n, v n ) Φ (u n, v n ), (u n, v n ) ( ) µ 1 q 1 2 p (u n, v n ) p E p,q, implicando que a seqüência {(u n, v n )} é limitada em E p,q. Considere agora a aplicação dualidade D; D : E p,q E p,q (u, v) D(u, v) onde D(u, v) = (u, v),. Ep,q = Φ (u, v) + N (u, v) E p,q. Novamente, pela monotonicidade do p-laplaciano, temos D 1 o operador inverso de D, onde D é uma isometria. Aplicando D 1 à seqüência (PS), temos (u n, v n ) = D 1 (Φ (u n, v n )) + D 1 (N (u n, v n )). Segue daí que {u n, v n } possui uma subseqüência convergente, pois por hipótese, Φ (u n, v n ) 0 e D é uma isometria. De fato, pela teorema.2, N é operador compacto e vimos acima que a seqüência {u n, v n } é limitada, assim N (u n, v n ) possui uma subseqüência convergente. Teorema 4 (Geometria do Passo da Montanha):. Se as hipóteses (A 0 ), (A 1 ), (F 0 ), (F 1 ), (F 1 ) µ são satisfeitas, então o funcional Φ associado ao problema (D) tem um ponto crítico não-trivial. Demonstração : (i) x e U 1, onde U = (u, v) R 2, temos F (x, U) F (x, U) µ U. Integrando de 1 até U, se U 1( ou caso contrário), ln F (x, U) F (x, ±1) ln U µ. Daí segue que F (x, U) F (x, ±1) U µ = min V =1 F (x, V ) U µ > 0, x, U 1. Isto mostra que, dado um conjunto B limitado, x B, como F é de classe C 1, c = c(b); F (x, U) c U µ, x B, U 1. Considere agora x, 0 < U 1. Por (F 1 ) µ, F (x, U) F (x, U) µ U.

7 68 0 SBA Maia,L. A., Moura, E. L 7 Integrando de U até 1, se 0 < U 1, ( ) ln F (x, ±1) 1 F (x, U) ln U µ. Conseqüentemente, usando a desigualdade de Young, as condições (F 1 ), (F 0 ) obtemos F (x, u, v) ɛc 4 ( u m + v m ) + c 5 ( u p1+q1 + v p1+q1 + u p2+q2 + v p2+q2 ) para todo x e U R 2. Usando agora a definição de Φ temos Φ(u, v) 1 p u p E p + 1 ( ) q v q E q ɛc 4 u m E p + v m E q ( ) c 5 u p1+q1 E p + v p1+q1 E q + u p2+q2 E p + v p2+q2 E q. Isso resulta que, para (u, v) Ep,q = ρ > 0 suficientemente pequeno, existe α = α(ρ) > 0 tal que Φ(u, v) α(ρ) > 0. Por outro lado, por (i), F (x, U) c U µ, x B, U 1. Fazendo (u, v) = (tu, tv) para t R e usando a definição do funcional Φ segue que { } { } 1 1 Φ(tu, tv) t p p u p E p + t q q v q E q t µ c U µ dx = t p A + t q B t µ C. Finalmente, fazendo t, como µ > max {p, q} obtemos que Φ(tu, tv). Ou seja, existe um e E p,q tal que Φ(e) < 0. Provado o teorema 3, isto é, Φ satisfaz a condição (PS) e Φ tem a geometria do passo da montanha, então podemos concluir a existência de uma solução fraca não-trivial para o problema (D) pelo Teorema do Passo da Montanha. Referências [1] ADAMS, R. A.; Sobolev Spaces, 1 a ed. Canada; [2] ALVES, CLAUDIONOR O.; Existência de solução positiva de equações elípticas não lineares em. Tese de Doutorado;1996- UnB. [3] BREZIS, H.; Analyse Fonctionnelle: Theórie et Apllications. Mason;1987. [4] COSTA, D.G.; On a class of elliptic systems in. EJDF 07(1994),1-14. [5] COSTA, D.G.; MAGALHÃES, C.A.; Variational elliptic problems which are non-quadratic at infinity. Nonl. Anal. TMA 23 (1994), [6] COSTA, D.G., MAGALHÃES, C.A.; A variational approach to noncooperative elliptic systems. Nonl. Anal. TMA 25 (1995),

8 8Uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado 68 0 SBA [7] DJELLI, A., TAS, SAADIA; Existence of solutions for a class of elliptic systems in involving the p-laplacian. EJDF 2003 (2003), 1-8. [8] FURTADO, M. F.; MAIA, L.A.; SILVA,E.A.B.; Solutions for a resonant elliptic system with coupling in. Comm. Partial Diff. Eq. 27 (2002), N o 7-8, [9] PERAL, I.; Multiplicity of solutions for the p-laplacian. Second School on Nonlinear Funtional Analysis and Applications to Differential Equations, 21 April-9 May, Trieste- Italy, [10] RABINOWITZ, P. H.;Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations. 1 o ed. Providence, R.I: AMS;1986. Regional Conf. Ser. in Math.(65). [11] STRUWE, M.;Variational methods, Appl. to Nonl. Part. Dif. Eq. and Hamiltonian systems. 2 o ed., vol.34.

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