Modelação e Previsão de Vendas no Setor do Retalho de Calçado. Ana Isabel da Silva Soares de Sousa

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1 ASSOCIAÇÃO DE POLITÉCNICOS DO NORTE (APNOR) INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO Modelação e Previão de Venda no Seor do Realho de Calçado Ana Iabel da Silva Soare de Soua Dieração apreenada ao Iniuo Poliécnico do Poro para obenção do Grau de Mere em Logíica Orienada por: Profeora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramo Poro, Fevereiro de 2013

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3 Ana Iabel da Silva Soare de Soua Orienada por: Profeora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramo Poro, Fevereiro de 2013

4 RESUMO A venda no comércio de ben e erviço perencem a um ipo epecial de érie emporai que normalmene conêm ambo o padrõe de endência e azonalidade, para além de ouro apeo, apreenando deafio para o deenvolvimeno eficaz de modelo de previão. O objeivo principal dee rabalho conie na comparação do deempenho de dua meodologia de previão na análie de érie de venda do eor do realho de calçado. O dado analiado coniem em cinco érie emporai relaiva à cinco principai caegoria de calçado comercializada pela emprea Foreva: a Boa, o Boim, a Sabrina, a Sandália, e o Sapao. Para ee eudo foram diponibilizado pela emprea dado diário da venda dea caegoria aé dezembro de Dede logo foi oliciada pela Foreva uma previão anual da venda de cada uma da caegoria de calçado para o ano eguine, endo a emprea como objeivo a uilização dea previõe para a epecificação do número pare de calçado de cada uma da caegoria a adquirir para comercialização. Ee rabalho preendeu dar repoa a ea preenão da emprea confronando a dua principai meodologia de previão o modelo de epaço de eado e o modelo ARIMA. O reulado moram que, de um modo geral, o modelo ARIMA êm melhor deempenho que o modelo de epaço de eado na previão de érie de venda do eor do realho de calçado. Palavra - chave: Previão, Modelo ARIMA, Modelo de epaço de eado inovaivo, Aliameno Exponencial, Venda, Comércio a Realho, Calçado I

5 ABSTRACT Reail ale of good and ervice belong o a pecial ype of ime erie ha ypically conain boh rend and eaonaliy paern, in addiion o oher apec, preening challenge for he effecive developmen of predicion model. The main objecive of hi work coni in comparing he performance of wo mehod of predicion on analyi of indury ale in he reail of foowear. The daa analyzed coni of five erie relaed o he five main caegorie of foowear markeed by he company Foreva: he Boo, he Booie, he Fla, he Sandal and he Shoe. For hi udy were made available by he company daily daa from ale of hee caegorie unil December Since hen wa requeed by Foreva a foreca annual ale for each caegory of foowear for he following year, and he company aimed o ue hee predicion o he pecificaion of he number of pair of hoe each caegory o acquire for markeing. Thi work aimed o addre hi claim of he company conraing he wo main mehod of forecaing - he ae-pace model and ARIMA model. The reul how ha, in general, ARIMA model have beer performance han he ae-pace model in ime erie forecaing indury ale of reail foowear. Keyword: Forecaing, ARIMA Model, Innovaion ae pace model, Exponenial Smoohing, Reail Sale, Shoe II

6 ABREVIATURAS E SÍMBOLOS AE AES AIC AIC c AR ARMA ARIMA BIC EM EAM EEAM EPAM EPM EQM ETS FAC FACP IP MA NID REQM SAR SARMA SARIMA SMA SQE Aliameno Exponencial Aliameno Exponencial Simple Criério de Informação de Akaike (em inglê) Criério de Informação de Akaike corrigido (em inglê) Auoregreivo Auoregreivo e de Média Móvei Auoregreivo e de Média Móvei Inegrado Criério de Informação Bayeiano (em inglê) Erro Médio Erro Aboluo Médio Erro Ecalado Aboluo Médio Erro Percenual Aboluo Médio Erro Percenual Médio Erro Quadráico Médio ExponenTial Smoohing Função de Auocorrelação Função de Auocorrelação Parcial Inervalo de Previão Média Móvei Normal e Independenemene Diribuído Raiz Quadrada do Erro Quadráico Médio Auoregreivo Eriamene Sazonal Auoregreivo e de Média Móvei Eriamene Sazonal Auoregreivo e de Média Móvei Inegrado Eriamene Sazonal Média Móvei Eriamene Sazonal Soma de Quadrado do Erro III

7 ÍNDICE RESUMO... I ABSTRACT... II ABREVIATURAS E SÍMBOLOS... III ÍNDICE DE FIGURAS... VI ÍNDICE DE TABELAS... VIII 1. INTRODUÇÃO Enquadrameno e moivação Objeivo do rabalho Eruura do documeno MÉTODOS DE PREVISÃO Inrodução Conceio báico de previão Aliameno exponencial Aliameno exponencial imple Méodo de endência linear de Hol Méodo de endência amorecida Méodo azonal de Hol-Winer Taxonomia do méodo de aliameno exponencial Modelo de epaço de eado Modelo ARIMA Eacionaridade e diferenciação Modelo auoregreivo e de média móvei Modelo ARIMA não azonai Modelo ARIMA eriamene azonai Modelo ARIMA muliplicaivo azonal Meodologia de Box-Jenkin CASO DE ESTUDO Emprea Foreva Análie exploraória do dado MODELAÇÃO E PREVISÃO Modelação e previão por aliameno exponencial Caegoria Boa IV

8 4.1.2 Caegoria Boim Caegoria Sabrina Caegoria Sandália Caegoria Sapao Modelação e previão ARIMA Caegoria Boa Caegoria Boim Caegoria Sabrina Caegoria Sandália Caegoria Sapao Comparação de reulado CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS V

9 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Série emporai imulada (Caiado, 2011) Figura 2: Gráfico da érie de venda da caegoria Boa Figura 3: Gráfico da érie de venda da caegoria Boim Figura 4: Gráfico da érie de venda da caegoria Sabrina Figura 5: Gráfico da érie de venda da caegoria Sandália Figura 6: Gráfico da érie de venda da caegoria Sapao Figura 7: Ambiene de modelação e previão Figura 8: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ETS(M,A d,a) para a Boa Figura 9: Previõe de venda do modelo ETS para o ano de 2012 da caegoria Boa Figura 10: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ETS(M,A d,m) para o Boim. 48 Figura 11: Previõe de venda do modelo ETS para o ano de 2012 da caegoria Boim Figura 12: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ETS(M,N,A) para a Sabrina. 51 Figura 13: Previõe de venda do modelo ETS para o ano de 2012 da caegoria Sabrina Figura 14: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ETS(A,A,A) para a Sandália. 54 Figura 15: Previõe de venda do modelo ETS para o ano de 2012 da caegoria Sandália Figura 16: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ETS(A,A,A) para o Sapao Figura 17: Previõe de venda do modelo ETS para o ano de 2012 da caegoria Sapao Figura 18: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ARIMA( 2,1,5 ) ( 1,0,1 ) 12 para a Boa Figura 19: Previõe de venda do modelo ARIMA para o ano de 2012 da caegoria Boa Figura 20: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ARIMA( 5,0, 2) ( 0,1,0 ) 12 para o Boim Figura 21: Previõe de venda do modelo ARIMA para o ano de 2012 da caegoria Boim Figura 22: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ARIMA( 5,0,5) ( 2,1,0 ) 12 para a Sabrina Figura 23: Previõe de venda do modelo ARIMA para o ano de 2012 da caegoria Sabrina. 68 Figura 24: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ARIMA( 3,0,1 ) ( 1,1,0 ) 12 para a Sandália Figura 25: Previõe de venda do modelo ARIMA para o ano de 2012 da caegoria Sandália VI

10 Figura 26: Cronograma, FAC e FACP do reíduo do modelo ARIMA( 0,1,3 ) ( 1,0,0 ) 12 para o Sapao Figura 27: Previõe de venda do modelo ARIMA para o ano de 2012 da caegoria Sapao.. 75 VII

11 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1: Taxonomia do méodo de aliameno exponencial (adapado de Hyndman (2012)) Tabela 2: Fórmula recuriva do méodo de aliameno exponencial (Hyndman, 2012) Tabela 3: Eraégia para ecolha do valore iniciai de algun méodo de aliameno exponencial (adapado de Hyndman, 2012) Tabela 4: Modelo de epaço de eado inovaivo com erro adiivo (Hyndman, 2012) Tabela 5: Modelo de epaço de eado com erro muliplicaivo (Hyndman, 2012) Tabela 6: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ETS denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Boa Tabela 7: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de inverno do ano de 2011 da caegoria Boa Tabela 8: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ETS denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Boim Tabela 9: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de inverno do ano de 2011 da caegoria Boim Tabela 10: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ETS denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sabrina Tabela 11: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de verão do ano de 2011 da caegoria Sabrina Tabela 12: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ETS denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sandália Tabela 13: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de verão do ano de 2011 da caegoria Sandália Tabela 14: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ETS denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sapao Tabela 15: Medida de avaliação do erro de previão do mee de 2011 da caegoria Sapao Tabela 16: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ARIMA denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Boa Tabela 17: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de inverno do ano de 2011 da caegoria Boa Tabela 18: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ARIMA denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Boim VIII

12 Tabela 19: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de inverno do ano de 2011 da caegoria Boim Tabela 20: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ARIMA denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sabrina Tabela 21: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de verão do ano de 2011 da caegoria Sabrina Tabela 22: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ARIMA denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sandália Tabela 23: Medida de avaliação do erro de previão para o mee da eação de verão do ano de 2011 da caegoria Sandália Tabela 24: Medida de avaliação do erro de previão do modelo ARIMA denro e fora da amora para a érie de venda da caegoria Sapao Tabela 25: Medida de avaliação do erro de previão para o mee do ano de 2011 da caegoria Sapao Tabela 26: Medida de avaliação do erro de previão para o conjuno de ee do modelo ETS e ARIMA elecionado para oda a érie de venda IX

13 1. INTRODUÇÃO 1.1 Enquadrameno e moivação A previão em aualmene um papel muio imporane no planeameno, omada de deciõe e conrolo em oda a organizaçõe (Caiado, 2011). A dúvida relacionada com o fenómeno emporai não fornece exaidão do eu comporameno fuuro, por io ua-e a previão para conornar ea fragilidade. O plano de negócio eão normalmene ujeio à previão de venda, levando o geore de markeing a realizar periodicamene plano previionai de venda para o produo/erviço da organização, endo empre em conideração a variaçõe da procura e da ofera (Caiado, 2002; Caiado 2008). A uilização de méodo eaíico, opiniõe qualificada e a experiência garane a minimização do deperdício de recuro. Toda a organizaçõe uilizam a previão para fazer o eu planeameno, e a ua inerpreação é fundamenal na elaboração de orçameno, cona de exploração, geão de compra, de peoal e ouro. Poi em previõe é mai difícil aingir objeivo precio e reai (Johnon, 1994; Hogarh, 1981; Gugarai, 2003; Bowerman, 2005; Hill, 2008). O reponável pela previão deve execuar previõe de venda de acordo com o ipo de produo/erviço, fornecendo-a poeriormene ao geore que elaboram o plano operacionai da área funcionai da organização, markeing e venda, conabilidade e finança, produção e compra, e logíica e diribuição (Brown, 1956; Brown, 1963). Aim, e por ea ordem, o geor de markeing e venda deve er conhecimeno do plano de markeing do auai e do novo produo a comercializar. A previão deve er em cona o preço, a aleraçõe no produo, a campanha de markeing e publicidade, a azonalidade e a variaçõe conjunurai. A previõe eabelecem objeivo a erem cumprido pela equipa de venda. O geor de markeing e venda deve ambém moivar a ua equipa de forma a ea aingir ou memo uperar o objeivo. O geor da área financeira deve er conhecimeno da previõe para proceder à correa elaboração da cona de exploração, orçameno previionai de cuo e proveio. O orçameno, apear de erem caracer anual, habiualmene conêm mea emporai aé 5 ano. O geor de compra e produção em a reponabilidade de planear e organizar a aquiição de mercadoria, maéria-prima e udo o que for neceário à produção e comercialização. Ee proceo vai er inerene à venda de cada arigo/erviço. Logo deve er em conideração a previõe de venda para eviar gao deneceário. A logíica garane o ranpore, o armazenameno e o regio de encomenda, de forma a garanir o melhor erviço ao cliene. Aim, o geor da logíica deve er conhecimeno da 1

14 previão de venda para, no eu cao, aprimorar a ecolha e quanidade de produo a dipenar, decidindo quando e quai o deinaário do produo. Na ua maioria, o geore efeuam previõe demaiado oimia, ubeimando a incereza do comporameno fuuro da organização, originando aim cuo que deveriam er eviado. A incereza da previõe é um faor imporane a er em conideração na geão de ock de produo acabado e de compra (Brown, 1959). Um apeo que aumena a incereza da previõe é um elevado número de conumidore/produo. Uma fragilidade da previão é o faco de o conumidore erem facilmene influenciávei pelo ambiene que o rodeia, endo io noório no dia que correm, com a crie inalada no noo paí. O empreário êm receio de lançar novo produo e chegam memo a vender produo auai a preço muio baixo, ornando a previão da venda incera, vio que o produo ficam ujeio à aleraçõe de faore, nomeadamene o preço, que não foram ido em cona aquando da realização da previõe. Conudo, qualquer que eja a circunância ou o horizone emporal, a previão é um imporane auxílio ao planeameno eficaz e eficiene (Winklhofer, 1996). 1.2 Objeivo do rabalho O objeivo principal dee rabalho conie na comparação do deempenho de dua meodologia de previão na análie de érie de venda do eor do realho de calçado. O dado analiado nee rabalho coniem em cinco érie emporai relaiva à cinco principai caegoria de calçado comercializada pela emprea Foreva que ão: a Boa, o Boim, a Sabrina, a Sandália, e o Sapao. Dado que ó a parir do ano de 2007 é que a Foreva eabilizou a ua rede de loja opou-e por coniderar a érie de venda dea caegoria de calçado a parir de 1 de janeiro de Para ee eudo foram diponibilizado pela emprea dado diário da venda dea caegoria aé dezembro de Dede logo foi oliciada pela Foreva uma previão anual da venda de cada uma da caegoria de calçado para o ano eguine, endo a emprea como objeivo a uilização dea previõe para a epecificação do número pare de calçado de cada uma da caegoria a adquirir para comercialização. Ee rabalho preendeu dar repoa a ea preenão da emprea confronando a dua principai meodologia de previão o modelo de epaço de eado e o modelo ARIMA. 2

15 1.3 Eruura do documeno O preene rabalho eá eruurado em cinco capíulo. O primeiro capíulo enquadra a previão no conexo da organizaçõe referindo o eu impaco na vária área funcionai, epecifica o objeivo do rabalho e refere a eruura dea dieração. O egundo capíulo inroduz de uma forma breve o doi principai méodo de previão uilizado no cao em eudo: Aliameno Exponencial e Modelo ARIMA. No erceiro capíulo é apreenado o cao de eudo deenvolvido nee rabalho. É feia uma breve apreenação da emprea FOREVA e é apreenada uma análie exploraória do dado em eudo. O quaro capíulo decreve como foram uilizada a dua meodologia no cao em eudo, apreenando o reulado de modelação e previão para cada uma da caegoria de calçado eudada. Finalmene o quino capíulo apreena a principai concluõe do rabalho e ece algun deenvolvimeno fuuro. 3

16 2- MÉTODOS DE PREVISÃO 2.1. Inrodução No preene capíulo abordam-e o doi principai méodo de previão uilizado nee rabalho: Aliameno Exponencial e Modelo ARIMA (Hamilon, 1994; Chafield, 2001). Ane de e apreenarem o divero apeo dea meodologia de previão, ão referido o principai conceio báico de previão nomeadamene: a eapa do proceo de previão, a principai eaíica decriiva uilizada, a medida de avaliação do erro de previão e o inervalo de previão Conceio báico de previão Uma érie emporal conie num conjuno de obervaçõe de uma variável feia em período uceivo de empo, durane um deerminado inervalo. São exemplo a coação diária de açõe, a venda emanal de um produo, o número menal de dormida em hoelaria numa região, o lucro anual de uma emprea, a emperaura mínima, máxima e média diária de uma cidade, ec (Ender, 1995, Menzer, 1997). A análie de érie emporai conidera o eguine padrõe de comporameno, a endência conie no andameno mai noório da érie durane um longo período de empo, o movimeno ocilaório ou cíclico eão aociado à fae de expanão e receão do iema económico (Pindyck, 1998; Peña, 2001). Em ciclo longo, a componene de endência e cíclica ão difícei de eparar, pelo que e podem omar como uma única componene (endência-cíclica). A azonalidade conie na ocilaçõe periódica que ocorrem emanalmene, menalmene, rimeralmene ou anualmene. Podem ear aociada com a eaçõe do ano (emperaura do ar, conumo de água/elericidade, urimo), medida adminiraiva (início e fim do ano ecolar), radiçõe e coume ociai ou culurai (aumeno da venda no período naalício) ou com a variaçõe do calendário (número de dia úei do mê/emana, número de ábado no mê). Eapa da previão O proceo de previão de uma érie emporal é coniuído pela eguine eapa: Definição do problema a primeira eapa no proceo de previão conie em epecificar o problema a er analiado. Queionando profiionai, quadro écnico e reponávei por recolha de dado, deenvolvimeno, manuenção e geão de bae de 4

17 dado, é fundamenal perceber como e por quem é que a previõe erão uilizada, e como é que ea e encaixam na organização. Recolha de informação o proceo de recolha de dado compreende a obenção do dado numérico hiórico e de informação adicional acerca do comporameno dee dado. Ocaionalmene, dado muio anigo poderão não er uilidade devido à modificaçõe ofrida enreano pela organização. Análie exploraória ea eapa inicia-e com uma repreenação gráfica do dado endo em via a idenificação de padrõe coniene, movimeno de endência explícia, azonalidade evidene, movimeno cíclico, pono de viragem e evenualmene obervaçõe anómala. A repreenação gráfica do dado de uma érie ao longo do empo deigna-e por cronograma. Modelação ea eapa conie na eleção e epecificação do modelo que irá raduzir o comporameno do dado hiórico em eudo. O modelo de previão a uilizar depende do dado hiórico diponívei, da magniude da relaçõe enre a variável de previão e a variávei explicaiva e a forma como irão er uilizada a previõe. Habiualmene, nee proceo compara-e o deempenho de vário modelo candidao. Previão depoi de ecolhido o modelo e eimado o eu parâmero, ee é uado para ober a previõe. O deempenho do modelo pode er avaliado logo que o dado do período de previão fiquem diponívei. A uilização de um modelo de previão nunca é definiiva, endo neceária uma conane reavaliação da ua qualidade no úlimo inane obervado. Eaíica decriiva A informação conida no dado hiórico de érie emporai é habiualmene caracerizada por um conjuno de indicadore eaíico. A medida eaíica univariada e bivariada mai uilizada em previão ão a que e apreenam de eguida (Brockwell, 1991; Hamilon, 2006, Makridaki, 1989, Makridaki, 1998; Mureira, 1994; Mureira, 2010). Seja x, = 1,2,, N o valore obervado de um conjuno de dado univariado. A média ou valor médio do conjuno de dado é dada por 1 x = x = ( x + x + + x ) / N N N i 1 2 N i= 1 (1) 5

18 Coniderando o conjuno de dado ordenado (por ordem crecene ou decrecene), a mediana é o valor que divide o conjuno em dua pare iguai. O perceni ão uei para decrever a diribuição do conjuno de dado. A variância amoral é uma medida relaiva à variabilidade (diperão) do conjuno de dado definida por 1 ( ) 2 (2) N 2 S = xi x N 1 i= 1 O devio padrão amoral é a raiz quadrada poiiva da variância amoral, ou eja S 2 = + S (3) O devio padrão em a vanagem, em relação à variância, de er expreo na unidade da obervaçõe. A covariância amoral, ou implemene covariância, é uma eaíica bivariada que mede a inenidade com que covariam pare de valore de dua variávei. Sendo y, = 1, 2,, N o valore obervado de um ouro conjuno de dado univariado, a covariância enre a variávei x e y é definida por cov N 1 = ( x x )( y y ) (4) x y i i N 1 i= 1 A unidade em que a covariância é exprea ornam habiualmene a ua inerpreação difícil. A ua magniude ambém depende da unidade envolvida. O coeficiene de correlação linear, ou implemene correlação, reolve o problema de ecala da covariância. A correlação enre dua variávei x e y é definida por r x y cov x y = = x y N N i= 1 ( x x )( y y ) i N 2 2 ( x x ) ( y y ) i i= 1 i= 1 A correlação mede o grau de relação ou aociação linear enre dua variávei. Ao conrário da covariância, a correlação é adimenional. O eu valor varia enre -1 e 1. Um valor negaivo indica uma relação negaiva - à medida que uma variável aumena a oura diminui; um valor poiivo indica uma relação poiiva - à medida que uma variável aumena a oura ambém aumena. i i (5) 6

19 A Auocorrelação é uma eaíica univariada que mede a correlação enre pare de valore de uma érie emporal defaado em 1, 2, ou mai período. A auocorrelação para o defaameno (lag) k N é definida por r k = T = k + 1 ( y y)( y y) T = 1 k ( y y) onde T é o nº de obervaçõe da érie emporal e k T 1. Ao conjuno da auocorrelaçõe r, r,, r ( p T 1) de uma érie emporal chama-e Função de AuoCorrelação (FAC). 1 2 p Ao gráfico da FAC chama-e correlograma. Série emporai que não evidenciam auocorrelação denominam-e ruído branco. Epera-e que 95% do pico da FAC de um ruído branco e enconrem enre ± 2 / T. 2 (6) É ambém conveniene medir a correlação enre y e y k, para diferene valore de k, depoi de eliminado o efeio que obre ele exercem o valore inermédio y, y,, y. Ea correlação condicional deigna-e por Função de 1 2 k+ 1 Auocorrelação Parcial (FACP). A FACP pode er eimada aravé do méodo recurivo eguine. Inicializa-e com p11 = r1 e depoi recurivamene calcula-e p r k + 1 kj k + 1 j j= 1 k + 1, k + 1 = k 1 k j= 1 p r p r kj j (7) onde pk + 1, j = pkj pk + 1, k+ 1 pk, k+ 1 j, j = 1,2,..., k (8) Avaliação do erro de previão Em análie de érie emporai, ou de uma forma mai geral em qualquer análie de dado, frequenemene vário modelo podem repreenar de forma adequada o conjuno de dado (Dalrymple, 1975). O criério de eleção pode er baeado no erro de previão (Lawerence, 1992, Menzer, 1984, Menzer, 1995; Ramo, 2012). Habiualmene, divide-e o conjuno de dado em doi conjuno: o conjuno de reino, que é uilizado para fazer o ajue do modelo de previão; 7

20 o conjuno de ee, que é uilizado para avaliar o deempenho do modelo de previão ajuado. Tipicamene, o conjuno de ee conie na 20% úlima obervaçõe do conjuno de dado, podendo ee valor er ajuado em função do número de obervaçõe diponívei e do horizone emporal da previõe. Seja y i o valor obervado no inane i e y ˆi a previão de y i. O erro de previão é definido por e = y yˆ (9) i i i A medida de avaliação do erro de previão baeada em e i eão dependene da ecala do dado, não podendo er uilizada para comparação com oura érie exprea em ecala diferene. A medida dependene da ecala mai uilizada ão o erro médio (EM), a raiz quadrada do erro quadráico médio (REQM) e o erro aboluo médio (EAM) definindo-e da forma eguine: 2 EM média( ei ) REQM média( ei ) EAM média ei ( ) = = = (10) O erro percenuai êm a vanagem de erem adimenionai e porano ão habiualmene uilizado para comparar deempenho de previão relaivo a diferene conjuno de dado. A medida mai habiuai ão o erro percenual médio (EPM) e erro percenual aboluo médio (EPAM) definida da forma eguine: ei EPM = média ( pi ) EPAM = média ( pi ) onde pi = 100 (11) y O erro ecalado aboluo médio (EEAM) pode er uado, em alernaiva ao EPAM, para comparar deempenho de previão relaivo a conjuno de dado expreo em ecala diferene. A ideia é ecalar o erro com o EAM de um méodo de previão báico do conjuno de reino. Para érie emporai não-azonai e azonai o erro ecalado definido repeivamene por e e q = q = com EEAM = média q j j j P j P i 1 1 T 1 y y 1 T m y y m = 2 = m+ 1 i ( ) onde P é o número de obervaçõe do conjuno de reino e m é o período de azonalidade. O EEAM é inferior/uperior a 1 e a previão é melhor/pior do que a previão média do méodo báico de previão para o conjuno de reino. q j é (12) 8

21 Inervalo de previão Depoi de obida a previõe da érie em eudo podem-e deerminar o inervalo de previão para cada inane de empo eimando o limie inferior e uperior enre o quai e epera que o repeivo valor deconhecido e enconre com uma deerminada probabilidade, normalmene elevada. O inervalo de previão baeiam-e no erro quadráico médio, 2 e i EQM = média ( ), fornecendo uma eimaiva da variância do erro de previão. Aumindo a hipóee de que o erro de previão êm diribuição aproximadamene Normal de média zero, o inervalo de previão aproximado para cada inane de empo é ˆ EQM, ˆ y z y + z EQM onde z é um muliplicador que limia o inervalo de previão e que correponde a uma deerminada probabilidade ou nível de confiança. O nívei de confiança mai uilizado em inervalo de previão ão 80%, 90%, 95% e 99%, a que correpondem valore de z repeivamene iguai a 1.282, 1.645, e Diagnóico do reíduo Em previão um reíduo é a diferença enre o valor obervado e o repeivo valor obido pelo modelo de previão ajuado ao conjuno de dado. Num modelo de previão é eencial que: O reíduo ejam não correlacionado. Se io não aconecer, o reíduo conêm ainda informação que deve er uilizada no cálculo da previõe. O reíduo enham média nula. Se io não aconecer, a previõe ão envieada. Qualquer méodo de previão que não aifaça ea propriedade pode er melhorado. A verificação dea propriedade é imporane para analiar e o méodo de previão eá a uilizar correamene oda a informação conida no dado, ma não para elecionar um méodo de previão de enre vário candidao. Para além daquela propriedade é vanajoo (ma não neceário) que: O reíduo enham variância conane. O reíduo enham diribuição aproximadamene normal. O cálculo de inervalo de previão fica faciliado e ea dua propriedade forem aifeia. Para além da análie viual à FAC do reíduo para deeção de auocorrelaçõe ignificaiva, podem er efeuado ee de hipóee ao conjuno de valore r k como um grupo, deignado por ee de Pormaneau. Ee ee não ão individuai ao valore r k vio que (13) 9

22 e o foem, pela eu elevado número, era provável que pelo meno um dele dee um falo poiivo, levando-no a concluir que o reíduo ainda coninham alguma auocorrelação, quando de faco não coninham. Aim, ea-e e a primeira h auocorrelaçõe ão ignificaivamene diferene da que e eperaria ober de um ruído branco. O ee de Pormaneau mai uilizado é ee de Ljung-Box (Ljung, 1978). Ee ee é baeado na eaíica ( 2) Q = T T + h 2 rk (14) T k k= 1 onde h é o lag máximo coniderado e T é o número de obervaçõe. Sugere-e h = 10 para dado não azonai e h = 2m para dado azonai ( m é o período de azonalidade). Se cada r k for aproximadamene zero enão Q erá baixo. Se algum do r k for elevado (poiivo ou negaivo) enão Q erá elevado, ugerindo que a auocorrelaçõe não provêm de um ruído branco. Ma qual deverá er o limie para Q? Se a auocorrelaçõe foem de um ruído branco enão Q eria uma diribuição Qui-quadrado com h K grau de liberdade, onde K é o número de parâmero do modelo de previão. E rejeiaríamo a hipóee nula ( : = = = = 0) H0 r1 r2 r h com um nível de ignificância α e o valor de Q excedee o (1 α) - quanil da diribuição Qui-quadrado com h valor-p 0.05, para α = 0.05 ). K grau de liberdade (io é, e o 2.3 Aliameno exponencial O méodo de aliameno exponencial (AE) urgiram na década de 50 por Brown (1956,1959,1963), Hol (1957) e Winer (1960) e ão méodo de previão que uilizam combinaçõe ponderada da obervaçõe paada para prever valore fuuro. O ermo aliameno exponencial ignifica que o peo ão exponencialmene decrecene com a aniguidade da obervaçõe, ou eja, quano mai recene é a obervação maior é o repeivo peo (Gardner, 1995; Gardner, 2006; Ramo, 2012). Por exemplo: A venda de produo não azonai num deerminado momeno, em geral, eão mai correlacionada com a venda obervada no inane imediaamene aneriore do que com a obervaçõe mai remoa; A venda de produo azonai correlacionam-e mai com a venda no período homólogo mai recene do que com a obervaçõe azonai mai aniga ou memo com a obervaçõe não azonai mai recene. 10

23 2.3.1 Aliameno exponencial imple O mai imple do méodo de aliameno exponencial é o méodo de aliameno exponencial imple (AES). Ee méodo é adequado para previão de érie emporai que não pouam nem um padrão de endência nem um padrão de azonalidade. Nee méodo, a previõe ão calculada uando média ponderada onde o peo decrecem exponencialmene com a aniguidade da obervaçõe: yˆ = α y + α(1 α) y + α(1 α) y + α(1 α) y +..., (15) 2 3 T + 1 T T T 1 T 2 T 3 onde 0 α 1 é o parâmero de aliameno, ou amorecimeno. A previão 1-pao à frene para o inane T + 1 é a média ponderada de oda a obervaçõe y1, y2,, yt da érie. A axa de crecimeno do peo é conrolada pelo parâmero α. Uma repreenação alernaiva na forma recuriva para o AES é a forma de média ponderada, onde a previão para o inane + 1 é igual à média ponderada enre a obervação mai recene y e a previão mai recene y ˆ 1, yˆ = α y + (1 α) yˆ = 1,2,, T (16) onde 0 α 1 é o parâmero de aliameno. Para e iniciar o proceo admie-e que a previão de y ˆ 1, y 1 0, é l 0. Uma oura repreenação alernaiva para o AES é a forma de componene. No méodo de AES exie apena uma componene, que é o nível da érie l. Ouro méodo podem incluir ambém uma componene de endência b e uma componene azonal. A repreenaçõe em forma de componene do méodo de AE incluem uma equação da previão e uma equação do aliameno para cada uma da componene exiene no méodo. A repreenação na forma de componene do méodo de AES é Equação de previão: y 1 ˆ + = l Equação do nível: l = α y + (1 α) l 1 (17) para = 1,2,, T, onde l é o nível (ou valor aliado) da érie na inane. A equação da previão mora que o valor previo para o inane + 1 é o nível eimado no inane. A equação de aliameno para o nível dá o nível eimado da érie em cada inane. Aplicando a equação da previão para o inane T vem 11

24 y = + Τ l (18) ˆT 1 T a previão para o inane T + 1 (previão a 1-pao á frene, fora da amora), que é a ulima eimaiva do nível. A previõe para um horizone emporal de h-pao à frene vêm yˆ = yˆ = l, h = 2,3, (19) T + h Τ T + 1 Τ T Aene-e que ea previõe ó erão adequada e a érie não pouir nem um padrão de endência nem um padrão de azonalidade. A 3ª forma de AES, deignada por forma de correção do erro, obém-e rearranjando a equação do nível l = l + α( y l ) 1 1 = l + αe 1 para = 1,2,, T, onde e = y l 1 = y yˆ 1. Repare-e que o erro de previão denro da amora conduzem ao ajuameno/correção do nível eimado. Quano mai próximo de 1 for o valor de α maiore (mai rápido) erão o ajuameno. A aplicação de qualquer méodo de AE requer a inicialização do proceo de aliameno. No cao do AES é neceário epecificar um valor inicial para l 0. Para além dio, é neceário ambém ecolher o valor do parâmero de aliameno. No cao do AES exie apena um parâmero -α. O valore iniciai e o parâmero de aliameno de qualquer méodo de AE podem er eimado minimizando a Soma do Quadrado do Erro (SQE) de previão a 1-pao à frene denro da amora, ou eja, T T 2 2 y ˆ y 1 e = 1 = 1 min SQE = ( ) = o que envolve a reolução de um problema de minimização não linear uilizando uma ferramena de oimização (opim/r ou Solver/MS-Exel). Habiualmene, no cao do AES, epecifica-e l 0 = y 1 como valor inicial do proceo de oimização. (20) (21) Méodo de endência linear de Hol Hol (1947) eendeu o AES para permiir a previão de dado com endência. O eu méodo envolve a equação de previão e dua equaçõe de aliameno (uma para o nível e oura para a endência): Equação da previão: yˆ = l + h hb + Equação do nível: l = α y + (1 α)( l 1 + b 1) 12

25 Equação da endência: b = β *( l l 1) + (1 β*) b 1 (22) para = 1,2,, T, onde l é a eimaiva do nível da érie no inane, b é a eimaiva da endência (declive) da érie n inane, 0 α 1 é o parâmero de aliameno do nível, 0 β* 1 é o parâmero de aliameno da endência, h = 1 é o pao da previão denro da amora. A equação do nível mora que l é a média ponderada enre a obervação y e a previão a 1-pao à frene denro da amora para o inane. A equação da endência mora que b é a média ponderada enre a endência eimada no inane, baeada em l l 1, e a eimaiva anerior da endência b 1. Ao conrário do AES, a equação da previão já não é plana. A previão h-pao à frene (fora da amora) obém-e adicionando a úlima eimaiva do nível com a úlima eimaiva da endência muliplicada por h: Logo a previõe ão função linear de h. yˆ = l + T hb, h = 1,2,3, (23) T + h T Uma variane do méodo de endência linear de Hol é obida permiindo que o nível e o declive ejam muliplicado (em vez de adicionado): h Equação da previão: yˆ l b + h = Equação do nível: l = α y + (1 α) l 1b 1 l Equação da endência: b = β * + (1 β*) b 1 (24) l para = 1,2,, T, onde l é a eimaiva do nível da érie no inane Méodo de endência amorecida A previõe gerada pelo méodo de endência linear de Hol apreenam indefinidamene uma endência conane (crecene ao decrecene). A previõe gerada pelo méodo de endência exponencial ão ainda mai exrema ao apreenar um crecimeno, ou decrecimeno, exponencial. A evidência empírica mora que ee méodo endem a obreprever, epecialmene para horizone de previão longo. 13

26 Gardner e McKenzie (1985) inroduziram no méodo de endência linear de Hol um parâmero que amorece a endência convergindo-a para uma linha plana, reulando o méodo de endência amorecida adiiva. Em conjugação com o parâmero de aliameno 0 α 1 e 0 β * 1 amorecimeno 0 φ 1:, ee o méodo de endência amorecida adiiva inclui o parâmero de Equação da previão: 2 h yˆ h l ( φ φ... φ ) b + = Equação do nível: l = α y + (1 α )( l 1 + φb 1) Equação da endência: b = β *( l l 1) + (1 β*) φb 1 (25) para = 1,2,, T. A previõe convergem para l + φb / (1 φ) quando h, para qualquer 0 φ 1. Conequenemene, a previõe de curo prazo ão amorecida e a previõe de longo prazo ão conane. Moivado pelo uceo do deempenho da previõe do méodo de endência amorecida adiiva, Taylor (2003) inroduziu um parâmero de amorecimeno 0 φ 1 no méodo de endência exponencial, reulando o méodo de endência amorecida muliplicaiva: T Equação da previão: 2 h yˆ l b φ φ φ ( ) + h = Equação do nível: l = α y + (1 α) l 1b φ 1) l φ Equação da endência: b = β * + (1 β*) b 1 (26) l 1 para = 1,2,, T. Ee méodo irá produzir previõe ainda mai conervaiva do que o méodo de endência amorecida adiiva, quando comparado com o méodo linear de Hol Méodo azonal de Hol-Winer Hol (1957) e Winer (1960) eenderam o méodo de endência linear de Hol para capar azonalidade. O méodo azonal de Hol-Winer compreende a equação de previão e rê equaçõe de aliameno uma para o nível l, uma para a endência b e uma para a azonalidade, com parâmero de aliameno α, β * e γ, repeivamene. O período de azonalidade, io é, o período de empo regular (número de obervaçõe) em que o fenómeno periódico e repee, é denoado por m. Por exemplo, e a azonalidade é anual, para dado menai m = 12 e para dado emerai m = 2. Ee méodo é apropriado para érie que apreenam endência linear e movimeno azonai. Exiem dua variane dee méodo que diferem na naureza da componene azonal. 14

27 O méodo adiivo é uilizado quando a variaçõe azonai ão aproximadamene conane ao longo da érie. Nee méodo, a componene azonal é exprea em ermo aboluo na unidade da érie, e a equação do nível é azonalmene ajuada ubraindo a componene azonal. Em cada período de azonalidade a oma do componene azonai é aproximadamene 0. O méodo muliplicaivo é uilizado quando a variaçõe azonai variam proporcionalmene com o nível da érie. Nee méodo, a componene azonal é exprea em ermo relaivo (percenagem), e a equação do nível é azonalmene ajuada dividindo a componene azonal. Em cada período de azonalidade a oma da componene azonai é aproximadamene m. A forma de componene para o méodo de Hol-Winer adiivo é: Equação de previão: yˆ = l + hb h m+ h m Equação do nível: l = α( y m) + (1 α)( l 1 + b 1) Equação da endência: b = β *( l l 1) + (1 β*) b 1 Equação da azonalidade: = γ ( y l 1 b 1) + (1 γ ) m (27) para = 1,2,, T, onde l é a eimaiva do nível da érie no inane, b é a eimaiva da endência (declive) da érie n inane, é a eimaiva da azonalidade da érie no inane, 0 α 1 é o parâmero de aliameno do nível, 0 β* 1 é o parâmero de aliameno da endência, 0 γ 1 é o parâmero de aliameno da azonaliade, 1 + = ( 1) mod + 1. h = é o pao da previão denro da amora, com h [ h m] A equação do aliameno para o nível mora uma média ponderada enre a obervação ajuada de azonalidade ( y m ) e a previão não azonal ( l 1 + b 1) para o inane. A equação do aliameno para a endência é idênica à equação da endência do méodo de endência linear de Hol. A equação do aliameno para a componene azonal mora uma média ponderada enre o índice azonal correne ( y l 1 b 1) e o índice azonal do inane homólogo do período de azonalidade anerior (io é, m inane ane) m. A forma de componene para o méodo de Hol-Winer muliplicaivo é: Equação de previão: yˆ = ( l + hb ) + + h m+ h m m 15

28 y Equação do nível: l = α + (1 α)( l 1 + b 1) m Equação da endência: b = β *( l l 1) + (1 β*) b 1 Equação da azonalidade: para = 1,2,, T. y = γ + (1 ) l + b γ 1 1 Um méodo que é frequenemene o melhor méodo de previão para dado azonai é o méodo de Hol-Winer com uma endência amorecida adiiva e azonalidade muliplicaiva. A forma de componene dee méodo é: m (28) Equação de previão: 2 h yˆ + h = [ l + ( ) b ] m+ h φ φ φ + m y Equação do nível: l = α + (1 α)( l 1 + φb 1) m Equação da endência: b = β *( l l 1) + (1 β*) φb 1 Equação da Sazonalidade: para = 1,2,, T. y = γ + (1 γ ) l + φb 1 1 m (29) Taxonomia do méodo de aliameno exponencial Coniderando oda a combinaçõe poívei da componene de endência e da componene azonal obêm-e 15 méodo de aliameno exponencial diferene como e pode ver na Tabela 1. Tabela 1: Taxonomia do méodo de aliameno exponencial (adapado de Hyndman (2012)). 16

29 Cada méodo é idenificado por um par de lera (T,S) que epecifica, repeivamene, o ipo da componene de endência e o ipo da componene azonal. A Tabela 2 mora a fórmula recuriva para aplicação do 15 méodo de aliameno exponencial poívei. Cada célula inclui a equação de previão, para a geração da previõe h-pao à frene, e a equaçõe de aliameno para aplicação do méodo: l é a eimaiva do nível da érie no inane, b é o declive da érie no inane, é a componene azonal da érie no inane, m é o número de obervaçõe do período de azonalidade, α, β *, γ e φ ão parâmero de aliameno com 2 h h = e φ φ φ φ h + = [( h + 1) mod m] + 1. m Tabela 2: Fórmula recuriva do méodo de aliameno exponencial (Hyndman, 2012). A Tabela 3 apreena eraégia para a ecolha do valore iniciai de algun méodo de aliameno exponencial. Não e recomenda que ea eraégia ejam uilizada direamene; ela ão uei apena para a epecificação do valore iniciai do proceo de oimização. 17

30 Tabela 3: Eraégia para ecolha do valore iniciai de algun méodo de aliameno exponencial Modelo de epaço de eado (adapado de Hyndman, 2012). Nea ecção iremo definir modelo eaíico com bae no méodo de AE apreenado que, para além de gerarem a mema previõe ponuai, geram ambém inervalo de previão e permiem a uilização de um criério objeivo de eleção de modelo candidao. Cada modelo eaíico, deignado por modelo de epaço de eado, conie em uma equação da medida (ou obervação) que decreve o dado, e uma ou mai equaçõe do eado (ou raniçõe) que decrevem como a componene ou eado (nível, endência, azonalidade) não obervado variam com o empo (Hyndman, 2012, Ramo, 2012). Para cada méodo exiem doi modelo, um com erro adiivo e um com erro muliplicaivo. A previõe ponuai produzida pelo doi modelo ão iguai, e ee uarem o memo valore para a conane de aliameno. Conudo irão gerar empre inervalo de previão diferene. Cada modelo é idenificado por um erno de lera (E, T, S) que epecifica o ipo de cada componene: Erro cuja poibilidade ão {A, M}, Tendência cuja poibilidade ão {N, A, A d, M, Sazonal cuja poibilidade ão {N, A, M}. M d }, Exiem 30 modelo de epaço de eado: 15 com erro adiivo e 15 com erro muliplicaivo. Para deignar cada modelo uiliza-e a label ETS(,, ), onde ETS ignifica ExponenTial Smoohing. Vamo deduzir de eguida a equaçõe do modelo ETS(A,N,N) que em ubjacene o méodo de AES. Tal com referido na Equação (20), a forma de correção do erro do AES é 18

31 l = l + αe (30) 1 onde e = y l 1 e yˆ 1 = l 1. Enão, e = y y ˆ 1 repreena o erro de previão a 1-pao e podemo ecrever y = l + e (31) 1 Para ornar io num modelo de epaço de eado baa epecificar a diribuição de probabilidade de e. Para um modelo com erro adiivo, aume-e que o erro de previão a 2 1-pao e ão ruído branco com diribuição normal de média 0 e variância σ : e = ε (32) 2 ~ NID(0, σ ) onde NID ignifica Normal e Independenemene Diribuído. A equaçõe do modelo podem aim er ecria da forma Equação da medida: y = l 1 + ε Equação do eado: l = l 1 + αε (33) Ea equaçõe, em conjuno com a diribuição eaíica do erro, coniuem o modelo de epaço de eado inovaivo ob AES com erro adiivo ETS(A,N,N). O ermo inovaivo vem do faco de oda a equaçõe nee ipo de epecificação uarem o memo proceo de erro aleaório ε. A equação da medida mora a relação enre a obervação e o eado não obervado. A equação da ranição mora a evolução ao longo do empo. Nee cao, a obervação y é uma função linear do nível l 1, a pare previível de y, e do erro aleaório ε, a pare não previível de y. Em ouro modelo de epaço de eado inovaivo ea relação pode er não linear. A influência do parâmero de aliameno α é a mema que para o méodo de aliameno exponencial. Nee cao α conrola o grau de variação do uceivo nívei. Quano maior for o valor de α mai rápida ão a mudança do nível; quano menor for o valor de α mai lena ão a mudança do nível. No limie inferior, com α = 0, o nível da érie não varia ao longo do empo. No exremo uperior, com α = 1, o modelo reduz-e a y y 1 = + ε. Analogamene, pode-e definir o modelo ETS(M,N,N) ecrevendo o erro de previão a 1-pao aleaório como erro relaivo: 19

32 ε = y yˆ yˆ 1 1 (34) 2 onde ε NID(0, σ ). Subiuindo yˆ 1 = l 1 em (34) obém-e y = l 1 + l 1ε. Da equação (20) em-e que e ˆ = y y 1, logo uando (34) vem e = l ε (35) 1 Subiuindo (35) na equação (20) obém-e l = l (1 ) 1 + αε. Enão, o modelo ETS(M,N,N) vem Equação da medida: y = l (1 ) 1 + ε Equação do eado: l = l (1 ) 1 + αε (36) De forma análoga podem ober-e a equaçõe do reane modelo de epaço de eado inovaivo ubjacene a cada um do méodo de AE. A Tabela 4 apreena a equaçõe do modelo de epaço de eado inovaivo com erro adiivo e a Tabela 5 apreena a equaçõe do modelo de epaço de eado inovaivo com erro muliplicaivo. Tabela 4: Modelo de epaço de eado inovaivo com erro adiivo (Hyndman, 2012). Uma alernaiva à eimação do parâmero minimizando a SQE é maximizar a veroimilhança. A veroimilhança é a probabilidade de um conjuno de dado er originário de um deerminado modelo. Logo, um bom modelo eá aociado a uma veroimilhança elevada. Para um modelo com erro adiivo, maximizar a veroimilhança conduz ao memo 20

33 reulado que minimizar SQE. No enano, para modelo com erro muliplicaivo obêm-e reulado diferene. O parâmero de aliameno α, β, γ e φ, e o eado iniciai l, b,,,..., +, do modelo ETS ão habiualmene eimado aravé de um ofware m 1 de previão maximizando a veroimilhança. Tabela 5: Modelo de epaço de eado com erro muliplicaivo (Hyndman, 2012). A grande vanagem de uar modelo ETS é a poibilidade de uilizar um criério objeivo de eleção de modelo candidao. O criério eguine podem er uilizado para deerminar qual do 30 modelo ETS é o mai apropriado para uma dada erie emporal (Akaike, 1974). O Criério de Informação de Akaike (AIC em inglê) é definido por AIC = 2 log( L) + 2k (37) O Criério de Informação de Akaike corrigido (AIC c em inglê), adequado para amora de dado pequena, é definido por AIC c 2( k + 1)( k + 2) = AIC + T k (38) O Criério de Informação Bayeiano (BIC em inglê) é definido por BIC = AIC + k[log( T ) 2] (39) onde L é a veroimilhança do modelo e k é o nº oal de parâmero e eado iniciai eimado. O melhor modelo é aquele que apreena menore valore de AIC, AIC c e BIC. 21

34 Previõe ponuai ão obida aravé do modelo ierando a equaçõe para = T + 1, T + 2,, T + h e fazendo ε = 0 para > T. Por exemplo, para o modelo ETS(M,A,N) Logo, Analogamene, ( )( 1 ) y = l + b + ε (40) T + 1 T T T + 1 yˆt + 1 T = l T + b T (41) ( )( 1 ε ) ( l b )( 1 αε ) b β ( l b ) ε ( 1 ε ) y = l + b + T + 2 T + 1 T + 1 T + 2 = T T T + 1 T T T T + 1 T + 2 Logo, yˆ T + 2 T = lt + 2bT (43) E aim uceivamene. Aene-e que ea previõe ão idênica à previõe do méodo de endência linear de Hol e ambém à do modelo ETS(A,A,N) (aumindo o memo valor da conane de aliameno). A oura grande vanagem de uar ETS é a poibilidade de ober inervalo de previão (IP). O IP irão diferir enre o modelo com erro adiivo e o modelo com erro muliplicaivo ob o memo méodo. Para algun modelo exiem fórmula algébrica para a deerminação do repeivo IP. Uma abordagem mai genérica, que pode er aplicada a odo o modelo, é imular caminho amorai fuuro, condicionado à úlima eimaiva do dado do eado, e ober IP a parir do perceni dee caminho fuuro imulado. Ea opção eá habiualmene diponível num ofware de previão. (42) 2.4 Modelo ARIMA O modelo ARIMA (AuoRegreivo e de Média Móvei Inegrado) coniem em uma oura abordagem eaíica para previão de érie emporai. Aliá, o Aliameno Exponencial e o modelo ARIMA ão a dua meodologia mai uilizada para previão de érie emporai, proporcionando abordagen complemenare do problema. Enquano que o modelo de aliameno exponencial ão baeado na decrição da endência e azonalidade do dado, o modelo ARIMA ão baeado na decrição da auocorrelaçõe do dado. Ane de inroduzirmo o modelo ARIMA é conveniene abordar o conceio de eacionaridade e a écnica de diferenciação de érie emporai. 22

35 2.4.1 Eacionaridade e diferenciação A eacionaridade de uma érie emporal implica média e variância conane, e covariância independene do empo, dependendo apena do defaameno emporal. Na práica, a eacionaridade de uma érie emporal oberva-e quando o dado: não apreenam endência crecene ou decrecene nem movimeno periódico, e fluuam em orno de uma média conane, independene do empo, e a variância da fluuaçõe não e alera ao longo do empo. Aene-e que uma érie emporal apena com comporameno cíclico (em qualquer padrão previível no longo prazo) é eacionária, vio que o ciclo ão aleaório em comprimeno fixo. Na Figura 1 pode-e obervar uma érie não eacionária em média e uma érie eacionária em média. Figura 1: Série emporai imulada (Caiado, 2011). Uma érie eacionária em média não é neceariamene eacionária em variância e covariância. Conudo, uma érie que não é eacionária em média ambém não é eacionária em variância e covariância (Wei, 2007). Na Figura 1 enconram-e ainda uma érie não eacionária em variância (ainda que eacionária em média) e uma érie com endência linear (não eacionária em média) e variância crecene com a endência (não eacionária em variância). 23

36 O correlograma ambém é úil para analiar a eacionaridade de uma érie. O correlograma de uma érie eacionária apreena um decaimeno para zero relaivamene rápido, enquano que o correlograma de uma érie não eacionária apreena um decaimeno relaivamene leno. Habiualmene, r 1 é elevado e poiivo para érie não eacionária. Para eabilizar a variância de uma érie não eacionária em variância pode uilizar-e a família de ranformaçõe de Box-Cox: λ y 1, λ 0 w = λ log( y ), λ = 0 onde λ é um parâmero real, habiualmene enre -1 e 2. Com um pequeno ajue, a ranformação logarímica de bae e e a ranformaçõe poência eão incluída na família de Box-Cox. Para eabilizar a média de uma érie não eacionária em média podem uilizar-e ranformaçõe de diferenciação. A diferenciação imple (ou de 1ª ordem) de uma érie emporal conie em ober a diferença enre obervaçõe conecuiva, io é 1 (44) y = y y (45) A érie diferenciada erá omene T 1 valore, vio que não é poível calcular a diferença y para a 1ª obervação. Por veze, a érie diferenciada ainda não é eacionária, e pode er neceário diferenciá-la novamene para ober uma érie eacionária. A diferença de 2ª ordem de uma érie correpondem à diferença da primeira diferença (diferença de 1ª ordem ou diferença imple): ( ) ( ) y = y y 1 = y y 1 y 1 y 2 = y 2y 1 + y 2 (46) Nee cao y erá T 2 valore. Quando aim aconece, modeliza-e a érie da diferença de 2ª ordem y, que correponde à variação da variaçõe do dado originai. Na práica, quae nunca é neceário ir para além da diferença de 2ª ordem. Quando uma érie apreena um comporameno periódico repeiivo pode-e aplicar uma ranformação de diferenciação azonal, definida por y = y y m (47) onde y m é a obervação homóloga de y relaiva ao período azonal anerior e m é o período de azonalidade. Nee cao y erá T m valore. 24

37 Por veze é neceário efeuar uma diferenciação imple e uma diferenciação azonal para ober dado eacionário. Uma diferenciação azonal eguida de uma diferenciação imple é definida por: ( ) ( ) y = y y 1 = y y m y 1 y m 1 = y y 1 y m + y m 1 (48) Facilmene e mora que a ordem pela qual e faz a diferenciação azonal e a diferenciação imple é indiferene (o reulado obido é o memo). No enano, e o dado apreenam um fore padrão azonal, recomenda-e que a diferenciação azonal eja feia em primeiro lugar, vio que, por veze a érie reulane já é eacionária e não é neceário aplicar a diferenciação imple. Se a diferenciação imple é aplicada em primeiro lugar, ainda haverá depoi azonalidade para remover. Um Tee de raiz uniária é um Tee de Hipóee eaíico de eacionaridade concebido para deerminar e a diferenciação de uma érie é neceária. O ee de raíze uniária mai habiuai ão: Tee de Dickey-Fuller aumenado Hipóee nula: a érie não é eacionária. Valore p elevado ugerem não eacionaridade e valore p pequeno ugerem eacionaridade. Para um nível de ignificância de 0.05 a diferenciação é neceária e o valor p > Tee de Kwiakowki-Phillip-Schmid-Shin Hipóee nula: a érie é eacionária. Valore p elevado ugerem eacionaridade e valore p pequeno ugerem não eacionaridade. Para um nível de ignificância de 0.05 a diferenciação é neceária e o valor p < Também exiem Tee de raíze uniária azonai cujo dealhe podem er conulado em Wei (2007). O operador arao B (Backhif) é uma ferramena úil para a conrução de modelo de érie emporai. É definido por By = (49) y 1 Ou eja, aplicar B a uma érie y em o efeio de araar o dado 1 inane. Aplicar B dua veze a y em o efeio de araar o dado 2 inane ( ) 2 B y B By By 1 y 2 = = = (50) 25

38 E para dado azonai, por exemplo de periodicidade menal, m = 12, a érie referene ao período homólogo do ano anerior pode ecrever-e na forma 12 B y y 12 = (51) O operador arao B é conveniene para decrever o proceo de diferenciação. Uma diferença imple pode er ecria na forma ( ) y = y y = y By = B y (52) 1 1 De forma análoga, uma diferença de 2ª ordem pode er ecria na forma 2 ( ) ( ) 2 y = y 2y + y = 1 2B + B y = 1 B y (53) 1 2 De um modo geral, uma diferença de ordem d pode er ecria na forma ( 1 ) d B y (54) Ea noação é muio úil para combinar diferença, já que o operador pode er raado aplicando regra algébrica. Por exemplo, uma diferenciação azonal eguida de uma diferenciação imple pode er ecria na forma 1 ( 1 )( 1 m ) ( 1 m m+ ) B B y = B B + B y = y y y + y (55) 1 m m 1 Aene-e à eguine conideraçõe relaivamene à operaçõe de eabilização: A ranformação de eabilização da variância, e for neceária, deve er feia ane da ranformação de eabilização da média (i.e. ane da diferenciação); A ranformação de eabilização da variância ó é aplicável a érie poiiva (conudo, é empre poível adicionar uma quanidade poiiva uficienemene grande para ornar a érie poiiva, em afear a eruura da correlaçõe) Modelo auoregreivo e de média móvei Num modelo de auoregreão prevemo a variável em eudo uando uma combinação linear de valore paado dea variável. O ermo auoregreão indica que é uma regreão da variável com ela própria. O modelo AuoRegreivo de ordem p, ou modelo AR ( p ), pode er ecrio em uma da forma eguine (Shumway, 2000) onde µ é a média de y = c + φ y + φ y + + φ y + ε p p 2 p ( 1 1B 2B B )( y ) φ φ φ µ = ε (56) y e c = µ ( 1 φ1 φp ) p, ε é um ruído branco, p é um ineiro não negaivo e φ1, φ2,, φp ão parâmero reai. Diferene parâmero φ1, φ2,, φp reulam em diferene padrõe de érie emporai. 26

39 Habiualmene reringem-e o modelo auoregreivo a érie eacionária, e nee cao ão impoa condiçõe ao parâmero: Para um modelo AR(1): 1 < φ1 < 1. Para um modelo AR(2): 1 < φ2 < 1, φ1 + φ2 < 1, φ2 φ1 < 1. Para p 3 a condiçõe ão baane mai complexa. Num modelo de média móvei prevemo a variável em eudo uando uma combinação linear do erro de previão paado. O modelo de média móvei de ordem q, ou modelo MA ( q ), pode er ecrio em uma da forma eguine y = µ + ε + θ ε + θ ε + + θ ε q q 2 q ( ) y = µ + + θ B + θ B + + θ B ε (57) q onde µ é a média de y, ε é um ruído branco, q é um ineiro não negaivo e θ1, θ2,, θq ão parâmero reai. Diferene parâmero θ1, θ2,, θq reulam em diferene padrõe de érie emporai. Pode morar-e que um proceo AR eacionário y de ordem finia é equivalene a um proceo MA de ordem infinia (Wei, 2007). A relação invera ambém e verifica e o proceo MA for inverível, io é, e aifizer a eguine condiçõe, que ão idênica à condiçõe de eacionaridade: Para um modelo MA(1): 1 < θ1 < 1. Para um modelo MA(2): 1 < θ2 < 1, θ1 + θ 2 < 1, θ2 θ1 < 1. Para q 3 a condiçõe ão baane mai complexa. Aim, um proceo MA inverível de ordem finia é equivalene a um proceo AR de ordem infinia. Conclui-e enão que o proceo eacionário e inverívei podem er repreenado quer na forma auoregreiva quer na forma de média móvei. Conudo, pode aconecer que um qualquer dee proceo enha uma repreenação com um nº exceivo de parâmero, que pode conduzir a uma perda de eficiência da ua eimação. Se aim for, pode conruir-e um modelo mai parcimonioo que inclua amba a pare auoregreiva e de média móvei. Ee modelo deigna-e por modelo auoregreivo e de média móvei de ordem p e q, ARMA ( p, q ), e repreena-e em uma da forma eguine y = c + φ y + + φ y + ε + θ ε + + θ ε 1 1 p p 1 1 q q ( 1 p 1 )( ) ( 1 q B B y = + 1B + + B ) φ φ µ θ θ ε (58) p q 27

40 onde µ é a média de Modelação e Previão de Venda no Seor do Realho de Calçado y e c = µ ( 1 φ1 φp ), ε é um ruído branco, p e q ão ineiro não negaivo, φ 1, φ ão parâmero auoregreivo e θ1, θ ão parâmero de média móvei., p O modelo ARMA erá eacionário e o parâmero auoregreivo aifizerem a condiçõe de eacionaridade, e inverível e o parâmero de média móvei aifizerem a condiçõe de inveribilidade Modelo ARIMA não azonai Combinando diferenciação com modelo ARMA obemo o modelo ARMA inegrado ou modelo ARIMA modelo AuoRegreivo e de Média Móvei Inegrado. O modelo ARIMA ( p, d, q ) não azonal em repreenação (Shumway, 2000) onde ( 1 1B B p )( 1 B p ) y = c + ( 1 + q 1B + + B ) φ φ θ θ ε (59), q p q p, d e q ão ineiro não negaivo, endo d o nº de diferenciaçõe imple neceária para eacionarizar a érie; p c = µ ( 1 φ1 φp ) e µ é a média de ( 1 ) φ1,, φp ão o parâmero auoregreivo; θ1,, θq ão o parâmero de média móvei; ε é um ruído branco. B y ; O modelo erá eacionário e/ou inverível e o parâmero AR e/ou MA aifizerem a repeiva condiçõe. Habiualmene aume-e c = 0 quando d > 1. Habiualmene, não é poível deerminar o valore de p e q apropriado excluivamene aravé do cronograma. No enano, por veze, é poível deerminar ee valore aravé da FAC e da FACP. Uma érie emporal poderá er decria por um modelo ARIMA ( p, d,0) e a FAC do dado diferenciado em um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido para zero; a FACP do dado diferenciado em um pico ignificaivamene diferene de zero no lag p e nenhum pico ignificaivamene diferene de zero a parir daí. 28

41 Uma érie emporal poderá er decria por um modelo ARIMA ( 0, d, q ) e a FAC do dado diferenciado em um pico ignificaivamene diferene de zero no lag q e nenhum pico ignificaivamene diferene de zero a parir daí; a FACP do dado diferenciado em um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido para zero. Se p e q ão ambo poiivo enão a FAC e a FACP não auxiliam na deerminação do valore de p e q apropriado. Amba a FAC e FACP êm um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido para zero Modelo ARIMA eriamene azonai Alguma érie emporai exibem, por veze, uma ignificaiva correlação enre obervaçõe defaada em m período, y, y m, y 2m,. O modelo AuoRegreivo e de Média Móvei Inegrado eriamene azonai de orden P e Q ARIMA ( P, D, Q ) ea correlação e êm a forma (Shumway, 2000) com onde, m m D m ( )( 1 ) ( ) P Q m, conemplam Φ B B y = c + Θ B ε (60) P 2 ( ) Φ B = Φ B Φ B Φ B Q m m m Pm P 2 ( ) Θ B = + Θ B + Θ B + + Θ B m m m Qm Q P, D e Q ão ineiro não negaivo, endo D o nº de diferenciaçõe azonai neceária para eacionarizar a érie; m > 1 é o período de azonalidade; m c = µ ( 1 Φ1 Φ p ) e µ é a média de ( 1 ) Φ1,, Φ P ão o parâmero auoregreivo; Θ1,, ΘQ ão o parâmero de média móvei; ε é um ruído branco. Habiualmene aume-e c = 0 quando D > 1. D B y ; Uma érie emporal poderá er decria por um modelo AuoRegreivo eriamene azonal de ordem P, io é um modelo ARIMA ( P, D,0) m, e: 29

42 a FAC em um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido obre o lag múliplo de m, anulando-e no reane lag; a FACP em uma queda bruca para zero a parir do P éimo lag múliplo de m. Uma érie emporal poderá er decria por um modelo de Média Móvei eriamene azonal de ordem Q, io é um modelo ARIMA ( 0, D, Q ) a FAC em uma queda bruca para zero a parir do Q éimo lag múliplo de m ; a FACP em um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido obre o lag múliplo de m, anulando-e no reane lag. Se P e Q ão ambo poiivo enão a FAC e a FACP não auxiliam na deerminação do valore de P e Q apropriado. Amba a FAC e FACP êm um decaimeno exponencial ou inooidal amorecido para zero obre o lag múliplo de m, anulando-e no reane lag. m, e: Modelo ARIMA muliplicaivo azonal Em muia érie emporai azonai erá de eperar que a componene azonal eeja de alguma forma relacionada com a componene não azonai. Io é, e a obervaçõe vizinha da érie, y, y 1, y 2,, eão relacionada, é muio provável que a obervaçõe vizinha epaçada de m período, ym, y m, y 2m,, ambém eejam relacionada. Sendo aim, combinando (59) e (60) obém-e o modelo muliplicaivo azonal inegrado ARIMA ( p, d, q) ( P, D, Q) com (Shumway, 2000) m m d m D m ( B ) ( B)( 1 B) ( 1 B ) y c ( B) ( B ) Φ φ = + θ Θ ε (61) P p q Q p ( ) ( ) φ B = 1 φ B φ B, θ B = 1+ θ B + + θ B p 1 p q 1 q ( ) ( ) Φ B = 1 Φ B Φ B, Θ B = 1+ Θ B + + Θ B m m Pm m Qm P 1 P Q 1 Q d m onde, c = µ ( 1 φ1 φ p )( 1 Φ1 Φ p ) e µ é a média de ( 1 ) ( 1 ) ruído branco de média zero. Habiualmene aume-e c = 0 quando d D 2 q B B y e ε é um +. D Meodologia de Box-Jenkin De eguida apreena-e a meodologia de modelação ARIMA de érie emporai, inroduzida por Box (1970, 1976) e deenvolvida mai arde por Box (1994) e Wei (1990, 2007) enre ouro, que conie na eapa eguine: 1. Idenificação, 30

43 2. Eimação, 3. Seleção de modelo, 4. Avaliação do diagnóico, e 5. Previão. 1. Idenificação A eapa de idenificação conie em idenificar um modelo ARIMA ( p, d, q) ( P, D, Q) que decreva a relação exiene enre a obervaçõe da érie emporal (Schwarz, 1978). Ea eapa conie em rê pao na enaiva de idenificação do valore de p, d, q, P, D, Q e m. a. Conrução do cronograma da érie e ua eacionarização O eudo de uma érie emporal deve iniciar-e por uma análie do eu cronograma para e verificar a exiência ou não de endência, variância não conane, azonalidade, oulier, e ouro fenómeno não eacionário. Segue-e a ua eacionarização aravé da ranformaçõe de eabilização da variância (ranformaçõe de Box-Cox e ajue de calendário), que deverão er realizada ane de qualquer ranformação, eliminação da endência (diferenciação não azonal) e eliminação de movimeno de caraer periódico (diferenciação azonal). Para a deerminação de d e D poderão evenualmene uilizar-e Tee de raíze uniária. b. Eimação da FAC e FACP da érie original O comporameno da FAC e FACP da érie original pode ugerir alguma ranformaçõe de diferenciação. Como já foi referido, um decaimeno leno para zero da FAC e uma queda bruca para zero a parir do lag 1 da FACP ugerem a aplicação de uma diferenciação imple. c. Eimação da FAC e FACP da érie eacionária e idenificação de p, q, P, e Q Nee úlimo pao deve proceder-e à ecolha de um modelo candidao a decrever o comporameno da érie em eudo, io é, à idenificação do valore de p, q, P, e Q, comparando o comporameno da FAC e FACP da érie eacionária com o comporameno da FAC e FACP do modelo eórico. m 2. Eimação Uma vez idenificado o modelo candidao a decrever a érie em eudo, egue-e a eapa de eimação do repeivo parâmero, io é φ1,, φp, Φ1,, ΦP, θ1,, θq, Θ1,, ΘQ e c. Dado que ea eimação requer a aplicação de um conjuno de méodo numérico e de cálculo com alguma complexidade, é habiualmene levada a cabo uilizando um ofware adequado O doi principai méodo de eimação do parâmero de modelo ARIMA ão o 31

44 méodo da máxima veroimilhança e o méodo do mínimo quadrado. O méodo da máxima veroimilhança conie em deerminar o valore do parâmero do modelo que ornam veroímil a ocorrência de um conjuno de obervaçõe idênica aquela de que efeivamene e dipõe. A eimaiva dee parâmero ão obida aravé de um proceo ieraivo em que e maximiza a função de veroimilhança do eimadore (ver mai dealhe em Box (1994)). O méodo do mínimo quadrado é alvez o méodo eaíico mai uilizado na eimação de modelo. Conudo, em modelo ARIMA ( p, d, q ) ee méodo não permie ober eimadore coniene com o verdadeiro parâmero. Exceo no cao do modelo AR ( p ) em que o eimadore e podem ober por minimização da oma do quadrado do reíduo. 3. Seleção de modelo Idenificado vário modelo candidao é neceário ecolher o melhor modelo. O criério de eleção pode er baeado: (1) no erro de previão do conjuno de ee al como foi decrio na ecção 2.2, ou (2) em criério de informação. O criério de informação mai habiuai ão (Akaike, 1974): O Criério de Informação de Akaike (AIC em inglê) definido por AIC = 2 log( L) + 2( p + q + P + Q + k + 1) (62) onde, L é a veroimilhança do dado e k = 1 e c 0 ou k = 0 e c = 0 (enre 2 parênei em-e o nº de parâmero do modelo, incluindo σ reíduo)., a variância do O Criério de Informação de Akaike corrigido (AIC c em inglê), adequado para amora de dado pequena, é definido por AIC c 2( p + q + P + Q + k + 1)( p + q + P + Q + k ) = AIC + T p q P Q k 4 (63) O Criério de Informação Bayeiano (BIC em inglê) é definido por BIC = AIC + log( T )( p + q + P + Q + k 1) (64) O melhor modelo é aquele que apreena menore valore de AIC, AIC c e BIC. 4. Avaliação do diagnóico Ecolhido o melhor modelo ARIMA é neceário avaliar: A qualidade eaíica da eimaiva do parâmero. 32

45 Para o efeio dever-e-á fazer um ee parcial à hipóee nula de que cada parâmero β i é eriamene nulo, baeado na diribuição - Suden: βˆ i = > ( T K ) rejeiar H0 ˆ σ : β 0 i = (65) βˆ i onde K é o número de parâmero do modelo de previão. Devem incluir-e no modelo apena o parâmero coniderado ignificaivamene diferene de zero. A qualidade do ajue do modelo à obervaçõe da érie em eudo. Para o efeio dever-e-á: 1. Deerminar a FAC do reíduo, e 2. Fazer ee de Pormaneau ao reíduo (al como foi decrio na ecção 2.2). De acordo com o preupoo aumido, o reíduo deverão er um comporameno idênico a um ruído branco. Se o modelo elecionado for adequado deve paar-e à eapa da previão. Cao conrário em de e iniciar novamene o proceo. 5. Previão A previõe ponuai de modelo ARIMA ão calculada eguindo o pao eguine: 1. Expande-e a equação do modelo de modo a que y fique iolado no 1º membro; 2. Reecreve-e a equação ubiuindo-e por T + h ; 3. No 2º membro da equação do modelo, ubiuem-e a obervaçõe fuura pela ua previõe, o erro fuuro por zero e o erro paado pelo reíduo correpondene. Começando em h = 1, ee pao ão depoi repeido para h = 2,3, aé que oda a previõe enham ido calculada. 33

46 3. CASO DE ESTUDO 3.1 Emprea Foreva Fundada por Manuel Cajada, a marca Foreva naceu em Seembro de 1984, abrindo a primeira loja na Rua Guerra Junqueira em Liboa. Caraceriza-e dede empre pela ofera de uma gama alargada de produo para oda a eaçõe do ano e eilo, no início com marca própria e marca do fornecedor e aualmene com excluividade. A Foreva é eencialmene uma marca epecializada em calçado, oferecendo no enano ambém uma vaa gama de aceório, garanindo qualidade aliada a um erviço de excelência ao melhor preço. Tem ambém à dipoição do cliene uma gama de conforo, da marca Sofino, e uma variedade de produo para cuidar do calçado da marca Colonil, uma marca epecialia em couro. Dede o princípio a Foreva maneve uma eraégia de crecimeno baeada em inveimeno eleivo que permiiram aegurar hoje a ua preença no principai Cenro Comerciai do Paí, dirigida ao ipo de cliene que dá preferência à relação qualidade/preço, iuando-e num egmeno inermédio do mercado, ocupando, aim, uma poição vanajoa para acompanhar a crecene aberura de Cenro Comerciai. Em 1998 a Foreva celebra o eu 1º conrao de Franchiing, endo aualmene já 25 loja franchiada. No erriório poruguê cona com cerca de 70 loja abera ao público. Em Maio de 2005, a Foreva foi adquirida pela emprea Forunao Frederico & Cª Lda., emprea Líder do Grupo Kyaia, abrindo um novo ramo, o realho. Em 2011 a Foreva alera a ua imagem de marca e inicia o proceo de fuão de dua marca do grupo ranformando 25 da ua loja Sapaália em Foreva. A marca efeua um eforço permanene de renovação da imagem do eu epaço de venda, renovando conanemene a ua coleçõe, criando harmonia enre o epaço e o produo. Tem agora uma políica de preço eávei, aliada a uma crecene qualidade do produo. Preocupa-e com o erviço ao cliene, fornecendo à equipa formação adequada, manendo o conaco com o cliene conane e oferecendo meio e poibilidade de conaco com a emprea, quer pelo apoio ao cliene quer pela ajuda do eu colaboradore. 3.2 Análie exploraória do dado O dado analiado nee rabalho coniem em cinco érie emporai relaiva à cinco principai caegoria de calçado comercializada pela Foreva que ão: Boa, Boim, Sabrina, 34

47 Sandália, e Sapao. O calçado da caegoria Sandália e Sabrina é comercializado eencialmene durane a eação de verão enquano que o calçado da caegoria Boa e Boim é comercializado eencialmene durane a eação de inverno. O calçado da caegoria Sapao é comercializado durane odo o ano. A eação de verão em início a 28 de fevereiro e ermina a 29 de eembro de cada ano. A eação de inverno em início a 30 de eembro de um ano e ermina a 27 de fevereiro do ano eguine. Dado que ó a parir do ano de 2007 é que a Foreva eabilizou a ua rede de loja opou-e por coniderar a érie de venda dea caegoria de calçado a parir de 1 de janeiro de Para ee eudo foram diponibilizado dado diário da venda dea caegoria aé dezembro de Dede logo foi oliciada pela Foreva uma previão anual da venda de cada uma da caegoria de calçado para o ano eguine, endo a emprea como objeivo a uilização dea previõe para a epecificação do número de pare de calçado de cada uma da caegoria a adquirir para comercialização. Aim, o dado da venda diária de cada uma da caegoria de calçado foram agregado menalmene para er deerminada uma previão menal com um horizone emporal de um ano. Cada uma da érie de venda de caegoria de calçado foi aim coniuída por dado menai enre janeiro de 2007 e dezembro de 2011, perfazendo um oal de 60 obervaçõe. Como já foi referido, o primeiro pao na análie de uma érie emporal conie na ua repreenação gráfica. A Figura 2 a 6 moram o cronograma, a caixa de bigode e um gráfico azonal da érie em eudo. Á exceção da caegoria Sabrina, oda a reane érie apreenam uma fore azonalidade anual e conequenemene não ão eacionária. A érie da caegoria Sabrina apreena uma endência variável e logo ambém não é eacionária. O gráfico da érie da caegoria Boa permiem obervar um padrão azonal anual. Fora da eação de inverno, io é enre abril e agoo de cada ano a venda ão pouco ignificaiva (apear da eação de inverno ó e iniciar a 30 de eembro a Foreva inicia a comercialização de algun produo um pouco ane do início da eação para moivar o arranque da venda; e apear da mema eação erminar a 28 de fevereiro, a venda do úlimo arigo ainda aconecem no primeiro dia do mê de março). Durane a eação de inverno, a venda apreenam uma fore endência crecene enre eembro e dezembro do ano anerior, inverendo ea endência a parir de janeiro do ano eguine, que e maném aé março. 35

48 Figura 2: Gráfico da érie de venda da caegoria Boa. 36

49 Figura 3: Gráfico da érie de venda da caegoria Boim. 37

50 Figura 4: Gráfico da érie de venda da caegoria Sabrina. 38

51 Figura 5: Gráfico da érie de venda da caegoria Sandália. 39

52 Figura 6: Gráfico da érie de venda da caegoria Sapao. 40

53 O volume de venda apreena uma endência de decida no primeiro rê ano, ubindo ligeiramene no ano de 2010 e manendo-e praicamene conane em Ao longo do cinco ano, oberva-e ambém uma endência de decida na venda enre eembro e dezembro e uma ligeira endência de ubida enre janeiro e março. O gráfico da érie da caegoria Boim ambém apreenam um fore padrão azonal anual. Tal como na érie da caegoria Boa, fora da eação de inverno, io é enre abril e agoo a venda ão pouco ignificaiva. Durane a eação de inverno, a venda apreenam uma fore endência crecene enre eembro e dezembro do ano anerior (quebrando ligeiramene em novembro), inverendo ea endência a parir de janeiro do ano eguine, endência ea que e maném aé março. O volume de venda apreena uma ligeira endência de decida em 2008 inverendo ea endência a parir de Ee crecimeno da venda a parir do ano de 2009 ambém é obervado de um modo geral enre mee homólogo. A érie da caegoria Sabrina apreena uma grande volailidade. O ano de 2007 é aquele que regia o maior volume de venda e o ano de 2010 é aquele que regia o menor volume de venda. Oberva-e em cada ano ao longo do empo uma alernância na endência e globalmene o volume de venda em vindo a diminuir. Ea érie não apreena um padrão azonal claro, ao conrário da reane. É viível uma endência de ubida no início da eação de verão, endo ea endência inverida, a groo modo, a parir de maio. Em algun ano nomeadamene em 2008, 2010 e 2011 oberva-e uma inverão da endência de decida em julho, conequência provavelmene de um período de promoçõe mai agreivo para conrariar a quebra de venda regiada durane a eação. O gráfico da érie da caegoria Sandália permiem obervar um fore padrão azonal anual. Fora da eação de verão, io é enre ouubro do ano anerior e fevereiro do ano eguine a venda ão pouco ignificaiva. Durane a eação de verão, a venda apreenam uma fore endência crecene enre março e julho inverendo ea endência apena em agoo. O volume de venda apreena uma endência de ubida no primeiro quaro ano e manendoe praicamene conane em O gráfico da érie da caegoria Sapao ambém permiem obervar um fore padrão azonal anual. Em cada ano, a érie apreena um movimeno ocilaório com doi pico máximo em abril e ouubro e doi pico mínimo em junho e novembro. O volume de venda apreena uma endência de ubida no ano de 2008 inverendo ea endência em 2009, endência ea que e em manido. À exceção da érie da caegoria Sandália, nenhuma da oura apreena oulier (ver a caixa de bigode). Uma vez que a érie não ão eacionária em variância porvenura erá neceária uma ranformação logarímica para eabilizar a mema. 41

54 4. MODELAÇÃO E PREVISÃO Todo o rabalho de modelação e previão foi deenvolvido uando o ofware livre eaíico R (hp:// Ee ofware conie num conjuno de package cada um dele orienado para o raameno e reolução de problema epecífico. Cada package conie num conjuno de funçõe que quando invocada execuam roina de programação. O ofware R pode er uilizado aravé do programa RSudio, cujo layou e mora na Figura 7, que conie num ambiene de programação mai amigável do que o ambiene de programação diponibilizado pelo R. Figura 7: Ambiene de modelação e previão. Para a análie da érie emporai em eudo foi uilizado o package Foreca que em implemenado o méodo referido no Capíulo 2 (Hyndman, 2012, Cryer, 2008). Toda a érie foram analiada uando a meodologia de aliameno exponencial e a meodologia ARIMA. O reulado dea modelação enconram-e na ecçõe que e eguem. Tal como referido, é incorreo avaliar o deempenho da previão excluivamene pelo ajue do modelo ao dado hiórico. A avaliação do deempenho deve er efeuada uando dado hiórico que não foram uilizado no ajue do modelo. Aim, para o efeio, o conjuno de dado foi dividido em um conjuno de reino e um conjuno de ee. O conjuno de reino coniiu na venda menai do ano de 2007, 2008, 2009 e 2010 (48 obervaçõe); o conjuno de ee coniiu na venda menai do ano de 2011 (12 obervaçõe). 42