Probabilidade. C = {x 1 x < 30}, assinale o que for correto. 1. (Uepg 2014) Considerando o conjunto 2

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1 Probabilidade 1. (Uepg 014) Considerando o conjunto C = {x 1 x < 0}, assinale o que for correto. 01) O conjunto C tem subconjuntos. 0) Se A = {x 1< x 5}, então A C = {,, 4}. 04) Escolhendo-se, ao acaso, dois elementos desse conjunto, a probabilidade de que ambos sejam ímpares é de 0%. 08) Escolhendo elementos desse conjunto e efetuando o produto entre eles, pode-se obter 0 produtos distintos. 16) Escolhendo-se ao acaso um elemento desse conjunto, a probabilidade de que seja par é de 40%.. (Pucrj 014) Vamos empilhar 4 caixas de alturas distintas. A caixa maior tem 1m de altura, cada caixa seguinte, em tamanho, tem um terço da altura da anterior. 04) Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas ganha um novo estilo chamado de filha única. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de uma cor diferente das demais, fazendo a mesma coisa nas duas mãos, conforme mostra o exemplo na figura. Larissa tem três cores diferentes de esmalte, então, usando essa forma de pintar as unhas, poderá fazê-lo de 6 maneiras diferentes. a) Determine a altura da nossa pilha de 4 caixas. b) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta? c) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta e a do topo ser a mais baixa?. (Ufsc 014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Zezé teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com e tem todos os algarismos distintos. Então, existem 80 números satisfazendo essas condições. 0) No prédio onde Gina mora, instalaram um sistema eletrônico de acesso no qual se deve criar uma senha com 4 algarismos, que devem ser escolhidos dentre os algarismos apresentados no teclado da figura. Para não esquecer a senha, ela resolveu escolher 4 algarismos dentre os 6 que representam a data de seu nascimento. Dessa forma, se Gina nasceu em 7/10/9, então ela pode formar 15 senhas diferentes com 4 algarismos distintos. 08) Uma fábrica de automóveis lançou um modelo de carro que pode ter até 5 tipos de equipamentos opcionais. O número de alternativas deste modelo com respeito aos equipamentos opcionais é igual a ) Jogando-se simultaneamente dois dados idênticos e não viciados, observa-se a soma dos valores das faces que ficam voltadas para cima. A soma com maior probabilidade de ocorrer é 7. ) O número de soluções inteiras não negativas de x + y + z = 6 é igual a 8. 64) Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 145, então o menor deles é. 4. (Fuvest 014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos Página 1

2 membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos. c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P < 1/ 50. Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores. 5. (Ufpr 014) Um programa de computador usa as vogais do alfabeto para gerar aleatoriamente senhas de 5 letras. Por exemplo: EEIOA e AEIOU são duas senhas possíveis. a) Calcule a quantidade total de senhas que podem ser geradas pelo programa. b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal em posições consecutivas. Por exemplo: AAEIO, EIIIO, UOUUO são senhas inseguras. Qual a probabilidade do programa gerar aleatoriamente uma senha insegura? 6. (Uea 014) A tabela mostra o resultado de um levantamento feito para avaliar qualitativamente três empresas (X, Y e Z) que fazem a ligação fluvial entre duas localidades. Nesse levantamento, as pessoas entrevistadas deveriam relacionar as três empresas em ordem de preferência decrescente: Entrevistados Ordem de preferência relacionada 7,5% X, Y, Z 5,0% X, Z, Y 1,5% Y, X, Z 4,0% Y, Z, X 5,0% Z, X, Y 16,0% Z, Y, X Escolhendo-se aleatoriamente uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de que ela prefira a empresa Y à empresa X é de a),5%. b) 16,5%. c) 0%. d) 8,5%. e) 16%. 7. (Pucrj 014) Considere um dado comum (6 faces). Jogando o dado uma vez, qual é a probabilidade de sair a face 1? b) 5 c) d) 4 5 e) (Mackenzie 014) Em uma secretaria, dois digitadores atendem departamentos. Se em cada dia útil um serviço de digitação é solicitado por departamento a um digitador escolhido ao acaso, a probabilidade de que, em um dia útil, nenhum digitador fique ocioso, é a) 1 b) 4 c) 7 8 d) e) (Unesp 014) Em um condomínio residencial, há 10 casas e 0 terrenos sem edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 0% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário de terreno sem edificação é de a) 4 50 b) 4 47 c) d) 50 e) (Ufsm 014) A tabela mostra o resultado de uma pesquisa sobre tipos sanguíneos em que foram testadas 600 pessoas. a) Página

3 Tipo de sangue Número de pessoas O + A + B + AB + O A B AB Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter sangue do tipo A + ou A? a). 5 b) c) 9. 5 d) e) (Ufg 014) Para discutir com seus alunos a ideia de sinônimo, um professor adota a seguinte estratégia de ensino: inicialmente, recita parte de um poema, transcrita a seguir. VTodo dia é ano novo no regato cristalino pequeno servo do mar nas ondas lavando as praias na clara luz do luar... Disponível em: < Acesso em:10set. 01. Posteriormente, escreve no quadro um conjunto com cinco palavras A = {cervo, cativo, veado, prisioneiro, corço}. Por fim, solicita a um aluno que escolha aleatoriamente uma palavra do conjunto A que tenha o mesmo significado da palavra em negrito apresentada no poema. Diante do exposto, a probabilidade de que o aluno escolha uma palavra que não mude o significado da palavra servo é: a) 1 5 b) 5 - E 1 : Em três lançamentos sucessivos de uma moeda, dar caras. - E : Sair uma bola verde de uma urna com 4 bolas verdes e 6 brancas. - E : Sortear um múltiplo de 5 dentre 0 cartelas numeradas de 1 a 0. 01) P > P1 0) P1 > P 04) P = P 08) P1 + P > P 1. (Pucrs 014) Dois dados são jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma igual a 10 nas faces de cima é a) 1 18 b) 1 1 c) 1 10 d) 1 6 e) (Fgv 014) a) Lançam-se ao ar dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta. b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo? 15. (Upf 014) Duas bolsas de estudo serão sorteadas entre 9 pessoas, sendo 7 mulheres e homens. Considerando-se que uma pessoa desse grupo não pode ganhar as duas bolsas, qual a probabilidade de duas mulheres serem sorteadas? a) 7 1 b) 7 9 c) 5 c) 7 d) 4 5 e) 1 1. (Uepg 014) Sendo P 1, P e P, respectivamente, as probabilidades de ocorrência dos eventos abaixo, assinale o que for correto. d) 1 1 e) (Upe 014) Dois atiradores, André e Bruno, disparam simultaneamente sobre um alvo. Página

4 - A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%. - A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%. Se os eventos André acerta no alvo e Bruno acerta no alvo, são independentes, qual é a probabilidade de o alvo não ser atingido? a) 8% b) 16% c) 18% d) 0% e) 9% 17. (Uepa 014) Com as cidades imobilizadas por congestionamentos, os governos locais tomam medidas para evitar o colapso do sistema viário. Por exemplo, em Pequim, na China, serão sorteadas mensalmente 0 mil novas licenças de emplacamento para os 900 mil interessados. Para o sorteio, os 900 mil interessados foram divididos em 0 mil grupos com o mesmo número de integrantes. Texto adaptado da revista National Geographic Brasil, edição 159-A. Se num desses grupos estão presentes membros de uma mesma família, a probabilidade de essa família adquirir uma licença para emplacamento: a) é inferior a %. b) está compreendida entre % e 4%. c) está compreendida entre 4% e 5%. d) está compreendida entre 5% e 6%. e) é superior a 6%. 18. (G1 - ifsp 014) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh. As pessoas do tipo O com Rh são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 00 funcionários de uma clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir. a) 1. 4 b) 1. c) 1. d). e) (Espm 014) A distribuição dos alunos nas turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo. A B C Homens Mulheres 8 4 Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é: a) 1 b) 1 c) 1 4 d) 5 e) 7 1. (Uem 014) O desempenho de um time de futebol em cada partida depende do seu desempenho no jogo anterior. A tabela abaixo apresenta as probabilidades de esse time ganhar, empatar ou perder um jogo, tendo em vista o resultado do jogo anterior. A B AB O Rh Rh Um desses 00 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A probabilidade de que o sorteado seja doador universal é a) 7,5%. b) 10%. c) 15%. d) 17,5%. e) 0%. RESULT ADO DO JOGO ANTERIO R GANHA R PROBABILIDADE DE EMPAT AR PERDE R GANHOU 0,5 0, 0, EMPATO U 0, 0,6 0, PERDEU 0, 0, 0,4 19. (Ufrgs 014) Considere as retas r e s, paralelas entre si. Sobre a reta r, marcam-se pontos distintos: A, B e C; sobre a reta s, marcam-se dois pontos distintos: D e E. Escolhendo ao acaso um polígono cujos vértices coincidam com alguns desses pontos, a probabilidade de que o polígono escolhido seja um quadrilátero é de Considere P a matriz formada pelas entradas da tabela de probabilidades dada acima e assinale o que for correto. 01) As entradas da diagonal da matriz P representam as probabilidades de o time conseguir, no jogo atual, o mesmo resultado (vitória, empate ou derrota) do jogo anterior. 0) A probabilidade de o time ganhar o seu terceiro jogo não depende do resultado do primeiro jogo. Página 4

5 04) A probabilidade de o time ganhar o terceiro jogo, tendo perdido o primeiro, é de 0 %. 08) Se o time tem 50 % de chance de ganhar o primeiro jogo e 40 % de chance de empatá-lo, então a probabilidade de ele perder o segundo jogo é de %. 16) As entradas da matriz P (multiplicação de P por P) representam as probabilidades de cada resultado do time no terceiro jogo (vitória, empate ou derrota), tendo em vista o resultado do primeiro jogo.. (Ucs 014) Um candidato foi aprovado no Vestibular da UCS para um dos cursos de Engenharia. Supondo que quatro cursos de Engenharia são oferecidos no Campus de Bento Gonçalves e onze na Cidade Universitária em Caxias do Sul, qual é a probabilidade de o aluno ter sido aprovado para um curso de Engenharia com oferta na Cidade Universitária em Caxias do Sul? a) 1 15 b) 1 11 c) d) 4 15 e) (Uerj 014) Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as regiões I, II e III, conforme mostra a ilustração. probabilidade de que a soma dos resultados seja 8 é a) 1. 6 b) 5. 6 c) 1. d) 1. e) (Fgv 014) Dois eventos A e B de um espaço amostral são independentes. A probabilidade do evento A é P(A) = 0,4 e a probabilidade da união de A com B é P( A B) = 0,8. Pode-se concluir que a probabilidade do evento B é: a) 5/6 b) 4/5 c) /4 d) / e) 1/ 6. (Unicamp 014) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto? b) Se a aposta em três números custa R$,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco números? 7. (Uerj 014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os quais estão apontados, e o porta-lápis B, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados. Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regiões I, II e III denominadas, respectivamente, P I, P II e P III. Para esse atirador, valem as seguintes relações: - P II = P I - P III = P II Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a região I exatamente duas vezes ao fazer dois lançamentos. 4. (G1 - ifce 014) Considere o lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis e não viciados, isto é, em cada dado, a chance de se obter qualquer um dos resultados (1,,, 4, 5, 6) é a mesma. A Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,5 d) 0,4 Página 5

6 8. (Uepb 014) Urna academia de dança de salão é formada por jovens com idade entre 14 e 6 anos, distribuídos por faixa etária conforme a tabela de distribuição de frequência que se segue. Um participante foi sorteado pela academia para receber uma passagem aérea em viagem internacional. A probabilidade de o sorteado ter idade igual ou superior a 18 anos e inferior a 4 anos é: a) 5 9 b) 7 15 c) 8 15 d) 1 45 e) Faixa de idade em anos Frequência 14 a a a a 4 a a 6 16 Total (Upe 014) Em um certo país, as capitais Santo Antônio e São Bernardo são interligadas pelas rodovias AB 1, AB 16, AB e AB 5, e as capitais São Bernardo e São Carlos são interligadas pelas rodovias BC 14, BC 8, BC 4, BC 57 e BC 77. Não existem rodovias interligando diretamente as capitais Santo Antônio e São Carlos. Se uma transportadora escolher aleatoriamente uma rota para o caminhoneiro Luís ir e voltar de Santo Antônio a São Carlos, qual a probabilidade de a rota sorteada conter, apenas, rodovias de numeração ímpar? a) 4% b) 9% c) 10% d) 15% e) 40% 0. (Uepa 014) Uma universidade realizou uma pesquisa online envolvendo jovens do ensino médio para saber quais meios de comunicação esses jovens utilizam para se informarem dos acontecimentos diários. Para incentivá-los a preencher os dados referentes à pesquisa, cujas respostas estão registradas no quadro abaixo, a universidade sorteou um tablet dentre os respondentes. Ouvem apenas rádio. 50 Assistem televisão e consultam a internet. 150 Assistem televisão e consultam internet. 75 Utilizam apenas internet. 15 TOTAL DE JOVENS ENTREVISTADOS Mulher es Homen s Sabendo-se que o respondente sorteado consulta a internet para se manter informado diariamente, a probabilidade do sorteado ser um homem: a) é inferior a 0%. b) está compreendida entre 0% e 40%. c) está compreendida entre 40% e 60%. d) está compreendida entre 60% e 80%. e) é superior a 80%. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir. Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. 1. (Insper 014) A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é a) 1. b) 1. c) 1. 4 d) 1. 5 e) (Pucrj 01) Considere um polígono regular P inscrito em um círculo. a) Assuma que P tenha 6 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo? b) Assuma que P tenha 1000 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo? Página 6

7 c) Assuma que P tenha 1001 lados. Escolhem-se três vértices de P, formando um triângulo. Qual é a probabilidade de o triângulo ter um ângulo obtuso?. (Upe 01) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é a) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) /10 e) /7 4. (Fgv 01) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal. a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos? b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10? 5. (Upe 01) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um dos seus versos, foram embaralhados e postos um sobre o outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e ímpares é de 1 a) 16 1 b) c) 154 d) 15 e) (Epcar (Afa) 01) Um dado cúbico tem três de suas faces numeradas com 0, duas com 1 e uma com. Um outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com 0, uma com 1 e uma com. Sabe-se que os dados não são viciados. Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face superior do dado cúbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual a é de a) 1,5% b) 16,6% c) 7,5% d) 67,5% 7. (Ufpe 01) Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de música sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o comprador do jornal não sabe qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele gostar do CD encartado em seu jornal? 8. (Ufpa 01) Uma comissão é formada por 4 participantes de cada um dos municípios, Abaetetuba, Igarapé-Miri, Cametá, Barcarena e Moju, totalizando 0 pessoas. Escolhendo-se aleatoriamente 5 pessoas deste grupo, a probabilidade de que exista um representante de cada município é: a) 64/969 b) 8/1455 c) 1/075 d) 5/15504 e) 1/ (Ufpr 01) Para verificar a redução de efeitos colaterais de um novo tratamento, pesquisadores ministraram a dois grupos distintos de voluntários o tratamento convencional e o novo tratamento. Os resultados obtidos estão descritos na tabela a seguir: Apresentou Efeitos Colaterais SIM NÃO Tratamento Convencional Novo Tratamento 51 4 a) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhido aleatoriamente dentre os participantes dessa pesquisa, ter apresentado efeitos colaterais? b) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido submetido ao novo tratamento, dado que ele apresentou efeitos colaterais? Página 7

8 40. (Unioeste 01) Um grupo de 8 pessoas deverá ser disposto, aleatoriamente, em duas equipes de 4 pessoas. Sabendo-se que João e José fazem parte deste grupo, a probabilidade de que eles fiquem na mesma equipe é a) inferior a 0,. b) superior a 0, e inferior a 0,4. c) igual a 0,4. d) superior a 0,4 e inferior a 0,45. e) superior a 0, (Ufrgs 01) Observe a figura abaixo. 4. (Fgv 01) Tânia e Geraldo têm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor. Tânia transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Tânia. Ao final das transferências, a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configuração inicial é a) 1 Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho. A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é a),5%. b) 40%. c) 6,5%. d) 75%. e) 8,5%. 4. (Unicamp 01) O diagrama abaixo indica a distribuição dos alunos matriculados em três cursos de uma escola. O valor da mensalidade de cada curso é de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, são de 0% para quem faz dois cursos e de 0% para os matriculados em três cursos. a) Por estratégia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e não sobre o total da mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem três cursos. b) Com base nas informações do diagrama, encontre o número de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso? b) 1 c) 1 5 d) 1 6 e) (Ufpr 01) Durante um surto de gripe, 5% dos funcionários de uma empresa contraíram essa doença. Dentre os que tiveram gripe, 80% apresentaram febre. Constatou-se também que 8% dos funcionários apresentaram febre por outros motivos naquele período. Qual a probabilidade de que um funcionário dessa empresa, selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante o surto de gripe? a) 0%. b) 6%. c) 8%. d) %. e) 5%. 45. (Ufmg 01) Uma pesquisa em um segmento populacional registrou o número de filhos por mulher. Em uma comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 100 mulheres, revelando uma distribuição conforme mostra o gráfico abaixo. Página 8

9 Observe que o gráfico informa o número de filhos por mulher e a porcentagem correspondente de mulheres com esse número de filhos, exceto na faixa correspondente a 5 filhos. Com essas informações, a) DETERMINE o número de mulheres entrevistadas com 5 filhos. b) CALCULE a média de filhos por mulher. c) CALCULE a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter filhos ou mais. Página 9

10 Resolução das Questões Resposta da questão 1: = 17. Tem-se que C = {1,,, 4, 5}. [01] Correto. Sendo n(c) = 5, segue que o conjunto C possui n(c) 5 = = subconjuntos. [0] Incorreto. Se A = {,, 4, 5}, então A C =. [04] Incorreto. A probabilidade de que os dois elementos escolhidos sejam ímpares é dada por = = 100% = 0%. 5 5! 10!! [08] Incorreto. O número de produtos distintos, tomando-se elementos do conjunto C, é igual a 5 5! = = 10.!! [16] Correto. De fato, a probabilidade de escolher ao acaso um número par do conjunto C é 100% 40%. 5 = Resposta da questão : a) As alturas das caixas, em metros, são 1. 7 Logo, a altura da pilha é igual a = m ,, 9 e b) Existem P =! configurações nas quais a caixa de baixo é a mais alta. Portanto, como existem P4 = 4! disposições possíveis, segue que a probabilidade é! = 1. 4! 4 c) Analogamente ao item (b), tem-se que a probabilidade é! = 1. 4! 1 Resposta da questão : = 5. [01] Correto. Se o número formado pelos quatro últimos dígitos é par, tem os algarismos distintos e começa com, então existem 5 possibilidades para o algarismo das unidades, 8 possibilidades para o algarismo das centenas e 7 para o das dezenas. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem = 80 números satisfazendo essas condições. [0] Incorreto. Como a data do aniversário de Gina não possui algarismos repetidos, segue-se que o número de senhas que ela pode formar, com 4 algarismos distintos, corresponde ao número de arranjos simples de 6 elementos tomados 4 a 4, ou seja, 6! A6, 4 = = = 60. (6 4)! [04] Correto. Existem escolhas para o dedo anelar e para os outros dedos da mão. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, as unhas podem ser pintadas de = 6 modos distintos. [08] Incorreto. É possível escolher 0, 1,,, 4 ou 5 opcionais. Por conseguinte, existem = = alternativas com respeito aos equipamentos opcionais. [16] Correto. Seja Ω o espaço amostral. Temos (1, 1), (1, ), (1, ), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (, 1), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), (, 1), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6), Ω = (4,1), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) Seja S i, com i =,, K,1, o conjunto formado pelos resultados cuja soma é igual a i. Por inspeção, é fácil ver que n(s ) < n(s ) < K < n(s ) < n(s ) > n(s ) > K > n(s ) Desse modo, como S 7 = {(1, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6,1)}, vem n(s 7 ) = 6 e, portanto, a soma com maior probabilidade de ocorrência é 7. Página 10

11 [] Correto. O número de soluções inteiras não negativas de x + y + z = 6 é igual a 8 8! CR, 6 = = = 8. 6! 6! [64] Incorreto. Sabendo que é o único primo par, segue-se que a soma de quatro primos distintos maiores do que é um número par. Portanto, se a, b, c e d são primos tais que a < b < c < d e a+ b + c + d = 145, só pode ser a =. Resposta da questão 4: a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul. b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as 9 9! mais populosas, há = = 6 modos de 7!! escolher duas unidades da região Nordeste e 4 4! = = 6 modos de escolher duas unidades!! da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos N = = 7. c) Como existem 7 = 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de pois 81 81! = 7 74! 7! = = maneiras. Logo, P = = <, , e são menores do que 1. Resposta da questão 5: a) Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podem ser geradas = 15 senhas. b) Temos 5 escolhas para a primeira posição, 4 escolhas apara a segunda posição, 4 escolhas para a terceira posição, e assim por diante, até a quinta posição. Daí, pelo Princípio Multiplicativo, existem = 180 senhas seguras. Portanto, a probabilidade do programa gerar uma senha insegura é = 1 = Resposta da questão 6: [A] P = 1,5% + 4,0% + 16,0% =,5%. Resposta da questão 7: [E] Tem-se um resultado favorável dentre seis possíveis. Portanto, a probabilidade é 1. 6 Resposta da questão 8: Cada departamento pode solicitar um digitador de maneiras distintas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, os três departamentos podem solicitar um digitador de = 8 modos em um dia útil. Por outro lado, um dos digitadores ficará ocioso, em um dia útil, desde que o outro digitador seja solicitado por todos os departamentos, e isso pode ocorrer de maneiras. Em consequência, a probabilidade pedida é dada por 1 =. 8 4 Resposta da questão 9: [E] P: probabilidade pedida. 0% de 10 = 4 10% de 0 = Logo, P = = Resposta da questão 10: [E] Página 11

12 P(A A ) = P(A ) + P(A ) = + = = Resposta da questão 11: A palavra servo no poema poderia ser substituída por cativo ou prisioneiro, portanto a probabilidade pedida será P =. 5 Resposta da questão 1: = Tem-se que P 1 = =, P = = e P = =. 0 5 [01] Correto. Como 5 < 8 implica em 1 > 1, vem 5 8 P > P 1. [0] Incorreto. Temos 1 = 5 e = 16. Daí, sendo <, concluímos que P1 < P [04] Correto. De fato, pois P 1 = = = P. 5 5 [08] Incorreto. Do item [04] sabemos que P = P. Logo, temos P1 + P > P P1 + P > P P1 > P. Porém, do item [01], sabemos que P > P 1. Contradição. Resposta da questão 1: Número de elementos do Espaço Amostral: n(e) = 6 6 = 6 Evento (a soma das faces ser 10): A = 4,6 ; 5,5 ; 6,4 e n(a) =. {( ) ( ) ( )} Portanto, a probabilidade pedida será: 1 P = = 6 1 Resposta da questão 14: a) Seja (a, b, c), com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6 a terna ordenada que representa um resultado do lançamento dos três dados. O número de ternas que apresentam soma igual a 9 corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a+ b + c = 9, ou seja, 6 8 8! CR = = = !! Contudo, desse resultado devemos descontar as ternas (1, 1, 7), (1, 7,1) e (7,1,1) e, portanto, existem 8 = 5 ternas favoráveis. Finalmente, sendo = 16 o número de ternas possíveis, tem-se que a probabilidade pedida é igual a b) Sabendo que P(1) = k, P() = k, P() = k, P(4) = 4k, P(5) = 5k e P(6) = 6k, com k sendo a constante de proporcionalidade, obtemos k + k + 5k 10 P(primo) = =. 1k 1 Resposta da questão 15: [A] 9 8 Total de sorteios possíveis: C 9, = = 6 Total de sorteio onde os contemplados são mulheres: 7 6 C 7, = = 1 Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 1 7 P = =. 6 1 Resposta da questão 16: [A] Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é dada por (1 0,8) (1 0,6) = 0,08 = 8%. Resposta da questão 17: [E] Cada grupo possui = 45 integrantes. Logo, 0000 supondo que será sorteada uma licença para cada grupo, tem-se que a probabilidade pedida é 100% 6,67% Página 1

13 Resposta da questão 18: [C] 0 15 = = 15% Resposta da questão 19: [A] [16] Verdadeira. Cada entrada da matriz produto é resultado do produto interno de uma linha por uma coluna. Resposta da questão : [C] A probabilidade pedida é igual a = Resposta da questão : P I + P II + P III = 1 P II = P I P III = P I = 6P I Logo: P I + P I + 6P I = 1 P I = 1/10 Número de triângulos com vértices nesses pontos: C C = 10 1= 9 5,, Número de quadriláteros com vértices nesses pontos: C C = 1=,, Probabilidade de se escolher um quadrilátero: 1 P = = = Resposta da questão 0: Queremos calcular a probabilidade condicional P(A aluna). Sabemos que a turma A possui 8 alunas e que o total de alunas do curso é igual a = 84. Portanto, a probabilidade pedida é 8 = Resposta da questão 1: = 5. [01] Verdadeira. Elementos da diagonal principal possuem indicador da linha igual o indicador da coluna. [0] Falsa. [04] Falsa, pois P = 0,4 0, + 0, 0, + 0, 0,5 = 0,. [08] Verdadeira, pois P 0,5 0, 0,4 0, 0,1 0,4 0,1 0,08 0,04 0,. = + + = + + = Portanto, a probabilidade pedida será P = 1/ 10 1/ 10 = 1/ 100 = 1%. ( ) ( ) Resposta da questão 4: Temos 6 resultados possíveis (seis vezes seis) e 5 possibilidades cuja soma dos resultados é 8. Podemos então dizer que a probabilidade será dada por: 5 P = 6 Resposta da questão 5: [D] Desde que A e B são independentes, tem-se P(A B) = P(A) P(B). Portanto, do Teorema da Soma, vem P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 0,8 = 0,4 + P(B) 0,4 P(B) 0,4 P(B) = 0,6 P(B) =. Resposta da questão 6: a) Podemos sortear três números distintos entre 1 1! doze possíveis de = = 0 maneiras.! 9! 1 Portanto, a probabilidade pedida é. 0 b) Uma aposta em cinco números corresponde a 5 5! = = 10 apostas de três números. Em!! Página 1

14 consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 10 = R$ 0,00. Resposta da questão 7: Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápis retirado de B não ter ponta: 5 15 = Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápis retirado de B não ter ponta: = Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter ponta será dada por: P = + = = 0, Resposta da questão 8: Sendo P, a probabilidade pedida, temos: P = = = Resposta da questão 9: Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de rotas para ir e voltar de Santo Antônio a São Carlos é dado por = 400. Por outro lado, o número de rotas com rodovias de numeração ímpar é igual a = 6. Em consequência, o resultado 6 pedido é 100% 9%. 400 = Resposta da questão 0: [D] Sendo B o evento consulta a internet para se manter informado e A o evento homem, queremos calcular P(A B). Logo, segue-se que o resultado é igual a P(A B) = = ,9%. Resposta da questão 1: [D] Virando a primeira carta, a probabilidade de que a prףxima forme um par י igual a 1, pois apenas uma das cinco cartas 5 restantes י igual א primeira. Resposta da questão : a) Os retângulos obtidos a partir dos vértices de P são determinados por duas diagonais de P que passam pelo centro do círculo circunscrito. Logo, como o número de diagonais de P que passam pelo centro do círculo é igual a 6 =, segue que podem ser formados retângulos com os vértices de P. 6 Por outro lado, podem ser formados 4 quadriláteros quaisquer tomando-se 4 vértices de P. Portanto, a probabilidade pedida é igual a 1 = =. 6 6! 5 4 4!! b) Como P tem 1000 = 500 diagonais passando pelo centro do círculo circunscrito, segue que podem ser 500 formados retângulos Por outro lado, podemos formar 4 quadriláteros tomando-se 4 vértices de P. Portanto, a probabilidade pedida é igual a !! 498! 1 = = ! ! 996! c) Seja α o ângulo obtuso de um dos triângulos que podemos obter unindo-se vértices de P. Como α é ângulo inscrito, é fácil ver que 1 60 α = k > 90 k 501, 1001 com k sendo o número de arcos congruentes, definidos pelos vértices de P, compreendidos entre os lados de α. Desse modo, se os vértices de P são V 1, V, K, V 1001, fixamos V 1 e escolhemos dois vértices em {V, V, K, V 501} para determinarmos o número de triângulos que possuem um ângulo Página 14

15 obtuso. Procedendo da mesma forma para os outros 1000 vértices de P, segue que o número de triângulos obtusângulos que podem ser formados é 500 dado por Finalmente, como podemos formar triângulos com os vértices de P, segue que a probabilidade pedida é igual a ! 1001! 498! = !! 998! 499 =. 666 Resposta da questão : Existem = modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer intercâmbio no 10 10! Chile, e = = 45 maneiras de escolher duas! 8! pessoas quaisquer. Logo, a probabilidade pedida é = Resposta da questão 4: a) Temos maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e maneiras de escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 5! 4! = = b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são:,, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: (média aritmética de e ), (média aritmética de e ), 4 (média aritmética de e 5), 5 (média aritmética de e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7). Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é 6 100% 60%. 10 = Resposta da questão 5: [A] Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares e quatro números pares, segue que o primeiro e o último cartão devem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem 5! modos de dispor os cartões ímpares e 4! modos de dispor os cartões pares. Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os nove cartões aleatoriamente, a probabilidade pedida é Resposta da questão 6: [A] 5! 4! 5! 4 1 = =. 9! ! 16 Resultados do dado cúbico: {0, 0, 0, 1, 1, } Dado tetraédrico: {0, 0, 1, } Somas possíveis (contanto as repetidas) = 6 4 = 4 Soma igual a : {(1,), (1,), (,1)} Portanto, a probabilidade de que a soma dos valores ocorridos em cada dado seja três, será dada por: 1 P = = = 1,5%. 4 8 Resposta da questão 7: Um comprador do jornal gostará do CD encartado em seu jornal, se o jornal contiver um CD de rock e esse comprador gostar de rock, ou se o jornal contiver um CD de música sertaneja e esse comprador gostar de música sertaneja. Assim, a probabilidade pedida é dada por 0,4 0,45 + 0,6 0,8 = 0,66 = 66%. Resposta da questão 8: [A] Existem 4 maneiras de escolher um representante de cada um dos municípios. Logo, existem = 4 modos de formar um grupo de 5 pessoas com um representante de cada município. 0 Por outro lado, existem modos de escolher 5 5 pessoas quaisquer dentre os munícipes. Portanto, a probabilidade pedida é dada por = 0 0! 5 5! 15! 5 4 = = Página 15

16 Resposta da questão 9: a) Número de voluntários: = 180. Apresentaram efeitos colaterais: = Probabilidade: P = = b) Voluntários que apresentaram efeitos colaterais: = 105. Voluntários que apresentaram efeitos colaterais com o novo tratamento: 4. Logo, P = 51/105 = 17/5. Resposta da questão 40: [D] Número de divisões possíveis dos grupos: C 8,4 = 70 Grupos em que João e José estarão juntos:.c 6, = 0 A probabilidade pedida será dada por: P = 0/70 = 0,48 Resposta da questão 41: [C] Seja r o raio do círculo. Sabendo que o lado do triângulo equilátero inscrito mede r, e o lado do hexágono regular circunscrito mede r, segue que a probabilidade do dardo ter atingido a região triangular é igual a (r ) 4 = 8. r Portanto, a probabilidade do dardo não ter atingido a região triangular é 5 1 = 100% = 6,5% , = Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de: 540 0,9 90%. 600 = = b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: = 16. Total de alunos: = 9. Alunos que se matricularam em apenas um curso: =. Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = /9. Resposta da questão 4: Sem perda de generalidade, suponhamos que a bola branca seja retirada da urna de Tânia e depositada na urna de Geraldo. Logo, a configuração inicial será restaurada se, e só se, uma das duas bolas brancas da urna de Geraldo for transferida para a urna de Tânia. Portanto, como temos casos favoráveis dentre 6 possíveis, segue-se que a probabilidade pedida é, 6 ou seja, 1. Resposta da questão 44: x é o número de habitantes da cidade. 0,5x contraíram a gripe. 0,80 0,5x = 0,0x contraíram gripe e tiveram febre: 0,0x. Funcionários que apresentaram febre por outros motivos 0,08 0,75x Funcionários com febre: 0,0x + 0,08 0,75x = 0,6x Portanto, a probabilidade dos funcionários que apresentaram febre durante o surto de gripe foi de: Resposta da questão 4: a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de: , = Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 40 0,4 40%. 600 = = Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de: 0,6x P = = 6%. x Obs.: Para atender ao gabarito oficial, a solução leva em consideração 8% dos funcionários que não apresentaram a gripe. Resposta da questão 45: ( ) a) = 8 1 = b) =, Página 16

17 c) 0% + 15% + 8 % = 4%. Página 17