PCNA - Matemática AULA 1

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1 PCNA - Matemática AULA 1

2 PCNA - Matemática Aritmética: Operações básicas com frações Potenciação Radiciação Módulo

3 Necessário para o Cálculo 1: Polinômios Operações com expressões algébricas Intervalos, inequações e módulo Funções Geometria Trigonometria

4 1. Aritmética e Expressões Algébricas

5 1.1 Ordem e precedência dos cálculos Exemplos: 1) ) )

6 1.2 Operações com Números Fracionários Soma e Subtração 1º Caso: a c ± b c 2º Caso: a c ± b d

7 Exemplos Ex 1: Ex 2: Ex 3:

8 Ex 4: Ex 5:

9 1.2.2 Multiplicação de Números Fracionários a c b c a c b d

10 Exemplos Ex 1: Ex 2: Ex 3:

11 1.2.3 Divisão de Números Fracionários Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda a c b d

12 Exemplos Ex 1: Ex 2: Ex 3:

13 Resolva 1) Encontre o valor de A A =

14 1.3 Expressões Algébricas Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas. Exemplos: 1) 2 x 3 7 x 2) 2 x:y x 4 x y

15 Exemplos: Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) x + 2 y 3 x + y 2) x + 2 y 3 x + y 3) x 2 y 3 x + y 4) x + 2 y 3 x + y

16 A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto, respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas. Exemplos: 1) 6 a b 12 b 2) 9 x 3 x y 3) a x + b x + a y + b y

17 1.3.1 Simplificação de Frações Algébricas Exemplos: 1) 2x;4y 2x 2) a x + b x a + b

18 Resolva 2) Calcule a expressão 2a x 3 + a x 2ax x 2 3x. x 2a 3) Resolva a expressão ( x + 1 x 2 + x 3 x + 2 ) 2x 2 2x + 8 x 2

19 1.4 Potenciação Potenciação Exemplos: 1) 2 4 2) 2 2 3) 3 3 4) Forma: a m

20 PROPRIEDADES Considere a e b números reais não nulos, n e m inteiros: 1) Potência de expoente nulo e igual a 1: a 0 = 1 e a 1 = a 2) Potência de base igual a 1: 1 n = 1 3) Potencia de expoente negativo: a ;n = 1 a n 4) Multiplicação de potências de mesma base: a n. a m = a n:m

21 5) Divisão de potências de mesma base: a n = an;m am 6)Multiplicação de potências de expoentes iguais: a n. b n = (a. b) n 7) Divisão de potências de expoentes iguais: a n b n = a n b 8) Potência de uma potência: (a n ) m = a n.m

22 Exemplos Ex 1: Ex 2: Ex 3: Ex 4: 2 7 ;3 Ex 5:

23 Exemplos Ex. 6: ;3 Ex. 7: 3 ;2 ;3 7 ;3 Ex. 8: x 3 y x y ;2

24 Nos exemplos abaixo, determine o valor de x. Ex. 9: 3 x = 9 Ex. 10: 2 x + 2 x:1 = 24 Ex. 11: 6 x; x;1 = 6 x 5

25 Resolva 4) A expressão é igual a: 2 x 2 y. 3(x 2 y 3 ) x²y² 5) Simplifique, sendo a. b 0 a) (a 4..b 2 )³ (a.b 2 )² b) a 4.. b 3 3. (a 2. b)²

26 Resolva 6)Calcule o valor das expressões: a) 2 1 ; ;2 2 :(;2) b) 32 ; :3 2 c)

27 Resolva * Encontre o valor de x que satisfaz a equação: 2 2x: x:2 = 32

28 1.5 Radiciação A radiciação é uma operação matemática inversa da potenciação, ou seja, n se a = b então b n = a índice n a = b radicando raiz

29 1.5 Radiciação Propriedades: Sejam n 0 e m 0 1) Raiz de radicando nulo: n 0 = 0 2) Raiz de índice unitário nulo: 1 a = a 3) Produto de radicais de mesmo índice: n n n n a. b. c = a. b. c 4) Divisão de radicais com mesmo índice: n a n = b n a b 3 Ex: ( 4 ) 5 3 = 4 3 5

30 5) Potência de uma raiz: n ( a) m n = a m Ex: 4 = 4 3 6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice: n ( a) n = a 7) Raiz de uma raiz: m n a n.m = a 8) Multiplicação de raiz por uma constante a n b n = a n b 2 Ex: = 4.3^2 2 = 36 = 6

31 A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potência como: n a m = a m n

32 Exemplos Ex 1: 5 Ex 2: 16 Ex 3: 20 3 Ex 4: 8 3 Ex 5: 72

33 Exemplos Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: Ex. 6: Ex. 7: Simplifique as expressões abaixo, considerando a > 0 EX.. 8: a. a Ex. 9: 3 a 3. a

34 1.6. Racionalização de denominadores 1 Caso: Exemplos: a b

35 2 Caso: a c ± b Exemplo: 23 4 : 7

36 3 Caso m a b n Exemplo:

37 Resolva 1) Reduza à expressão mais simples (a b. 4 3 b)/ a. b 2) Encontre o Valor de y y = 3;2 + 2 ; ;3

38 AULA 2

39 PCNA - Matemática Aritmética: Logaritmos Módulo

40 1.7. Logaritmos log b a = c b c = a onde a > 0, b > 0 e b 1

41 Exemplos: 1) log 100 = x 2) log 0,1 = x 3) log 2 4 = x 4) log = c 5) log 3 1 = x

42 6) log1 4 (2 2) = x 7) ln 1 e = c 8) ln e = c

43 Propriedades dos logaritmos 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. log b 1 = log b b 0 = 0 2) Logaritmo da base é 1. log b b = log b b 1 = 1 3) Logaritmo de um produto log b a. c = log b a + log b c 4) Logaritmo de um quociente log b a c = log b a log b c

44 5) Logaritmo de uma potência log b a n = n log b a 6) Mudança da base b para a base c log b a = log c a log c b 7) Igualdade de logaritmos de mesma base se log b x = log b y então x = y 8) Potência de base b e expoente log b a é igual a a. b log b a = a

45 Exemplos 1) log 0,1 10 2) log ) 2 log 2 4 4) 4 log 2 4 ;3 ln x 5) e 6) 3 ln a + ln b ln(e)

46 Exemplos: 7) log 2 x = 3 8) 3 ln x = 2 9) 2 log 2 x = log )3 e 4x:8 = 1

47 Tipos particulares de logaritmos log a e ln a

48 Exemplos Ex 1: log 100 Ex 2: log 1000 Ex 3: log 1 10 Ex 4: log

49 Exemplos Ex 1: ln e Ex 2: ln e 3 Ex 3: ln 1 e 4

50 Resolva 1) Encontre o valor de: l = log log log ln e;3 + log 1000 log 4 1/16 ln e 2 + log 10 + log 100 2) Obtenha o valor da expressão: log 3 1 : log 0,01 log log 4 8

51 Resolva Questões da Apostila 12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R1 R2 = log 10 M1 M2 Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R1=8 e outro correspondente a R2=6. Calcule a razão M1 M2

52 Resolva Questões da apostila: 13) Calcule o valor de S: S = log 4 (log 3 9) + log 2 ( log 81 3) + log 0,8 ( log 16 32)

53 Resolva Questões da Apostila 14) Determine o valor de x na equação y = 2 log 3(x:4) para que y seja igual a 8.

54 AULA 3

55 PCNA - Matemática Módulo

56 1.8. Módulo ou Valor Absoluto A todo número real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por x definido por : x, se x 0 x = x, se x < 0 Interpretação Geométrica

57 Propriedades 1) x 0 2) x = x 3) x. y = x. y 4) x/y = x / y com y 0 5) x = y se e somente se x = ± y n 6) x n = x se n for par x se n for impar ; x R Observação: x ± y x ± y

58 Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule: a) b) c) 2. 3 d) e) 3 3 f) 2 x + 1 x quando x = 3

59 Exemplos: 2) Considerando a = 10, b = 2 e c = 5, calcule as expressões: a) a 2. b b) a c 2 c) c 2 3 d) c 3 e) a b

60 Exemplos: 3) Resolva as equações abaixo: a) x + 2 = 8 b) 2x + 1 = 3 c) 4x + 1 = 5 2x d) x 2 = 8

61 Resolva Questões da apostila 22) Resolva as equações: a) 5x 3 = 12 c) 3x + 1 = x 3 f) x 2 + x 6 = 0

62 Resolva 23) Elimine o módulo: a) x x b) x + 2 x + 1

63 1.9. Polinômios Define-se um polinômio p(x) de grau n da seguinte forma: p x = a n x n + a n;1 x n;1 + a n;2 x n;2 + +a 1 x + a 0 x 0 Exemplos: a x = 4x 4 2x b x c x = x2 + x = x 3 x

64 Adição e Subtração de Polinômios Dado dois polinômios: p x = a n x n + a n;1 x n;1 + + a 1 x + a 0 x 0 q x = b n x n + b n;1 x n;1 + + b 1 x + b 0 x 0 Soma: p x + q x = (a n +b n )x n + +(a 0 +b 0 )x 0 Subtração: p x q x = (a n b n )x n + + (a 0 b 0 )x 0

65 Exemplo Calcule p(x) + q(x) e p(x) q(x), sendo: p x = 3x x + 2x 3 q x = 4x 2 + x 4 6x 2 Calcule r x = 2 p x 3 q(x), onde: p x = 2x 2 + 5x 2 q x = 3x 3 + 2x 1

66 Multiplicação de Polinômios a + b c + d + f Ex: Determine os produtos g x k(x) e x m(x), sendo: g x = 2x 1 k x = x 2 + 3x x = x + x 3 m x = x 5 x 3

67 Produtos Notáveis Produto da soma pela diferença de dois termos: x + a. x a = x 2 a 2 Quadrado da soma de dois termos: x + a 2 = x + a. x + a = x 2 + 2ax + a 2 Quadrado da diferença de dois termos: x a 2 = x a. x a = x 2 2ax + a 2 Cubo da soma de dois termos: x + a 3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 Cubo da diferença de dois termos: x a 3 = x 3 3x 2 a + 3xa 2 a 3

68 Exemplos: 1) k 5 2 2) 2 t ) 3 2x 3 + 2x 4) 9y 2 + x 2 6yx

69 Divisão de Polinômios r x a x b x = q x + b x

70 Exemplo 1) Calcule f(x)/(g(x), sendo: f x = x 3 2x e g x = x + 1

71 Resolva Determine o quociente e o resto da seguinte divisão: 2x 3 9x x 2 x 2 3x + 1

72 AULA 4

73 PCNA - Matemática Polinômios

74 Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio p(x) são os valores de x que tornam p(x) = 0. Polinômio de 1ª Grau p x = ax + b Possui uma raiz x 1 que pode ser calculada como: ax 1 + b = 0 x 1 = b a

75 Polinômio de 2º Grau p x = ax 2 + bx + c Possui duas raízes x 1 e x 2 que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara. x = b ± 2 a onde = b 2 4 a c Se > 0 então x 1 e x 2 são raízes reais e distintas Se = 0 então x 1 e x 2 são raízes reais e iguais Se < 0 então x 1 e x 2 são raízes complexas

76 Caso 1 Raízes Reais Distintas

77 Caso 2 Raízes Reais Iguais

78 Caso 3 Raízes Complexas

79 Exemplos 1) Verifique se x = 3 é raiz dos polinômios abaixo: p x = 3 x + 9 r x = x x + 9

80 Exemplos 2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo: a) p x = 3x 6 b) g x = 4x x + 16 c) p x = x 3 + x 2 6x

81 Fatoração de Polinômios Considere o polinômio p(x) de grau n p x = a n x n + a n;1 x n;1 + +a 1 x + a 0 Se x 1, x 2,, x n são raízes de p(x) então, p(x) pode ser fatorado como: p x = a n x x 1 x x 2 x x n;1 x x n

82 Exemplos 1) Fatore os polinômios abaixo: a) g x = x 2 3x + 2 b) k x = 8x + 2x 2 + 6

83 AULA 5

84 PCNA - Matemática Intervalos; Inequações

85 2.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica. Intervalos Limitados Ilimitados

86 Intervalos Limitados Intervalo aberto de a até b Intervalo fechado de a até b Intervalo fechado em a e aberto em b Intervalo fechado em b e aberto em a

87 Intervalos Não Limitados Intervalo aberto de a até + Intervalo fechado de a até + Intervalo aberto de até a Intervalo fechado de até a

88 Exemplos 1) Dado o intervalo represente-o na reta numérica a) ] 2, 5] b) [ 1, 2]

89 Exemplos 1) Descreva o intervalo dado na reta numérica a) I = 2, + = x R x 2} b) I = x R x 1 OU 3 x < 6}

90 2.2. Inequações Propriedades da desigualdade Sejam a, b, c, e d números reais 1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os lados da inequação não altera o sinal da mesma. i) Se a < b então: a + c < b + c ii) Se a < b e c < d então: a + c < b + d

91 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número POSITIVO não altera o sinal da mesma. i) Se a < b e c > 0 então: a. c < b. c e a c < b c ii) Se a > b e c > 0 então: a. c > b. c e a c > b c

92 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do inequação por um número NEGATIVO inverte o sinal da desigualdade. i) Se a < b e c < 0 então: a. c > b. c e a c > b c ii) Se a > b e c < 0 então: a. c < b. c e a c < b c

93 4) Desigualdade Triangular: x + y x + y. Obs.: x + y = x + y somente se x e y forem simultaneamente positivos ou negativos. 5) x a a x a 6) x a x a ou x a n 7) x n = x se n for par x se n for impar

94 Exemplos 1) x + 3 < 5x 1 2) 13 2x 3 5

95 Resolva! d) x < 2x 2 3 5x d) x

96 AULA 6

97 PCNA - Matemática Função: Definição; Domínio, Contradomínio e Imagem; Tipo de função; Gráfico de Funções.

98 3.1 Definição Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por f:a B, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B.

99 3.1 Definição Funções definidas por fórmula y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma fórmula (ou regra, ou lei). Lei de Correspondência Lei que associa cada número real x ao número y, Ex.: sendo y o dobro de x, temos: y = 2x ou f(x) = 2x

100 3.2 Domínio e Contradomínio Domínio D(f) = { 3, 0, 3 } Contradomínio CD(f)={ 0, 9, 18 } Imagem Im(f)= { 0, 9 }

101 3.2 Domínio e Contradomínio Exemplo Dada a função f(x)=4x² 2, determine: [f(0) f(2)]/f(1). Resolva Considere a função f (x) = x² + 2x + 1. Calcule o valor da constante b = {[f(1)]2 2.f(1)}/4f(0) e um número real a de modo que f (x) = 0.

102 3.2 Domínio e Contradomínio Exemplo 2 Calcule o domínio da função f(x) = 2x 4 Resolva Calcule o domínio da função: f(x) = 5 x + 1 f x = x 2 3 x.

103 3.3 Tipos de Função Função Injetora Função Sobrejetora CD(f) = Im(f) Função Bijetora

104 3.3 Tipos de Função Função Constante Toda função f: R R na forma f(x) = k, com k R é denominada função constante. D(f) = R e Im(f) = k

105 3.3 Tipos de Função Função Constante Exemplo Plote o gráfico da função f(x) = 2

106 3.3 Tipos de Função Função Par Uma função f é dita ser uma função par se: f x = f(x) Gráfico? Função ímpar Uma função f é dita ser uma função impar se: f x = f(x) Gráfico?

107 3.3 Tipos de Função Exemplo Dada a função f, determine se ela é uma função par ou uma função impar. a) f x = x 2 1; b) f x = 2 x

108 3.3 Tipos de Função Resolva Verificar se a função é par ou ímpar. a) cosx b) senx

109 3.4 Gráfico de Funções O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) no plano xy tal que x pertence ao D(f) e y pertence a I(f). Pares ordenados (x,f(x)), pois y=f(x). Exemplo Esboce o gráfico da função f(x)= 9 x

110 3.4 Gráfico de Funções Análise de Gráficos Escolha da atividade a ser feita no simulador

111 Exercícios

112 Referências Bibliográficas Material Didático do PCNA FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro Relatório de Missão e investigação e incidência. Exercícios sobre função logarítmica Brasil Escola Site oficial Disponível em : < > Acesso: Jun Função Exponencial Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun Função do segundo grau e lançamento oblíquo Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun. 2015

113 AULA 7

114 PCNA - Matemática Função Polinomial de 1 grau; Função Polinomial de 2 grau.

115 3.5 Função polinomial do 1 grau Definição A função f é dada por um polinômio de 1º Grau: f(x)=a.x+b, com a e b reais e a 0. D(f)= R e Im(f)=R. Função Afim Linear Exemplos: f(x) = 5x 3, em que a = 5 e b = -3 f(x) = - 2x 7, a = -2 e b = -7 f(x) = 11x, a = 11 e b = 0

116 3.5 Função polinomial do 1 grau Coeficientes da função Afim y = ax + b a = coeficiente angular b = coeficiente linear Zero da função Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Assim, a raiz de f(x) é x = ;b a.

117 3.5 Função polinomial do 1 grau Gráfico de uma função Afim Reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

118 3.5 Função polinomial do 1 grau Exemplo Plote o gráfico da função dada pela equação y= 2x+4

119 3.5 Função polinomial do 1 grau Resolva Plote o gráfico das funções dadas pelas equações. a) y = 2 x 2 b) y = 3x 9 c) y = x 2 d) y = 3x

120 3.5 Função polinomial do 1 grau Resolva (definir questões)

121 3.6 Função do 2 Grau Definição Uma função f é denominada de função de 2º grau quando ela for dada por uma lei da forma: f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a 0. Exemplos f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = -x² + 2x, sendo a = -1, b = 2 e c = 0

122 3.6 Função do 2 Grau Zero da função Chamam-se zeros ou raízes da função do 2 grau f(x) = ax² +bx + c, a 0, os números reais x tal que f(x) = 0. As raízes são solução da equação do 2 grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara: x 1 e x 2 = b ± b² + 4ac 2a A quantidade de raízes depende do valor de = b² 4ac

123 3.6 Função do 2 Grau Zero da função Soma e produto das raízes Função genérica do 2 grau com raízes r 1 e r 2. f(x) = a(x r 1 )(x r 2 ) f x = a x 2 r 2 x r 1 x + r 1 r 2 f x = a x 2 x(r 2 + r 1 ) + r 1 r 2 f x = ax² ax(r 2 + r 1 ) + ar 1 r 2 Logo: b = ax(r 2 + r 1 ) Soma das raízes. a c = ar 1 r 2 Produto das raízes. a

124 3.6 Função do 2 Grau Exemplo Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6 Caminho 1 Fórmula de Bháskara Caminho 2 Soma e Produto de raízes x 2 Sx + P = 0 Resolva Obter os zeros da função f(x) = x² + 9x + 14

125 Gráfico 3.6 Função do 2 Grau O gráfico de uma função polinomial do 2 grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Coordenadas do vértice do gráfico V = b 2a, 4a

126 3.6 Função do 2 Grau Gráfico Concavidade da parábola e vértice Domínio e imagem da função de 2º grau Se a>0, D(f)= R e Im(f)=[yv,+ ) Se a<0 D(f)= R e Im(f)=(,yv ]

127 3.6 Função do 2 Grau Construção da Parábola 1 O valor do coeficiente a define a concavidade 2 Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x 3 O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou de máximo (se a<0) 4 A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola 5 Para x = 0, temos y = a. 0² + b. 0 + c; então, (0,c) é o ponto em que a parábola toca o eixo y

128 3.6 Função do 2 Grau Exemplo Esboçar o gráfico f(x)=3x² 9x+6. Resolva Esboçar o gráficof x = 2x² 5x + 2

129 3.6 Função do 2 Grau Resolva Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = x 2 + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?

130 Exercícios

131 Referências Bibliográficas Material Didático do PCNA FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro Relatório de Missão e investigação e incidência. Exercícios sobre função logarítmica Brasil Escola Site oficial Disponível em : < > Acesso: Jun Função Exponencial Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun Função do segundo grau e lançamento oblíquo Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun. 2015

132 AULA 8

133 PCNA - Matemática Função Exponencial Função Logarítmica Função Inversa

134 3.7 Função Exponencial Definição Toda função f: R R na forma f(x) = a x, em que a é um número real dado, sendo a > 0 e a 1, é denominada de função exponencial. Ex.: f(x) = 0.5 x f x = 0.8 x Para 0 < a < 1 Para a > 1 f(x) = 10 x f(x) = 4 x

135 3.7 Função Exponencial Gráfico Intercepta o eixo Y no ponto (0,1) Nunca intercepta o eixo X D(f) = R e Im(f) = R+ = (0, + )

136 3.7 Função Exponencial Exemplo Plote o gráfico f x = 2 x Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. X Y f x = 2 x

137 3.7 Função Exponencial Resolva Plote o gráfico f x = 1 2 com o gráfico de f(x) = 2 x. x e depois compare *Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. f x = 1 2 x

138 3.7 Função Exponencial Função f x = a x com base sendo a Constante de Euler e e 2, 718 f x = e x e f x = e ;x

139 3.7 Função Exponencial Função f x = a x com base sendo a Constante de Euler e e 2, 718 f x = e ;x e f x = e ;x

140 3.7 Função Exponencial Exemplo Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v 0 * 2 0,2t, em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. Resolva Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1,80.

141 3.8 Função Logarítmica Definição Dado um número real a (com 0 < a 1), chama-se função logarítmica de base a a função de R : em R dada pela lei f(x) = log a x. Exemplos y = log 2 x y = log 10 x y = log e x D(f)= R : =(0,+ ) e Im(f)=R

142 3.8 Função Logarítmica Exemplo Plote o gráfico f x = log1x 2 Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. X Y = log 1/2 x f x = log1x 2

143 3.8 Função Logarítmica Resolva Plote o gráfico de f x com o gráfico de f x = 2 x. = log 2 x e compare Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. X Y = log 2 x f(x) = log 2 x

144 3.8 Função Logarítmica Gráfico da função logarítmica Intercepta o eixo X no ponto (1,0) Nunca intercepta o eixo Y

145 3.8 Função Logarítmica Gráfico Estudo comparativo entre a função exponencial e a função logarítmica

146 3.9 Função Inversa Se f:a B for uma função bijetora então, ela admite uma função inversa f 1:B A. Exemplo Dada a função f calcule sua inversa f ;1 f x = 3 x + 6 f x = 2 x

147 3.9 Função Inversa Resolva (a definir) Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1 (inversa de f ) é:

148 Referências Bibliográficas Material Didático do PCNA FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro Relatório de Missão e investigação e incidência. Exercícios sobre função logarítmica Brasil Escola Site oficial Disponível em : < > Acesso: Jun Função Exponencial Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun Função do segundo grau e lançamento oblíquo Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun Função Exponencial Alunos Online Site oficial Disponível em: < Acesso: Jul. 2015

149 AULA 9

150 PCNA - Matemática Função Composta; *Função Modular. * Tópico em anexo ao material didático do PCNA

151 3.10 Função Composta Sejam três conjuntos distintos A, B e C que entre eles existam as seguintes funções: f:a B e g:b C Assim, irá existir outra função A C tal que (x)=g(f(x )) que é chamada de função composta de g e f denotada por (g f)(x).

152 3.10 Função Composta Exemplo/Resolva (a definir) Considere as funções Determine g o f f o g f o f g o g g x = 2x 2 f x = x + 1

153 * Função Modular Função definida por mais de uma sentença Sendo f uma função definida pelas sentenças: Se x < 0, então f(x) = 1 Se x 0, então f(x) = x +1 Calcular f(-3), f(- 2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f. Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim, usa-se uma sentença ou outra, dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra.

154 * Função Modular Chama-se função modular a função f de IR em IR dada pela lei f(x) = I x I. Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser caracterizada: F(x) = x, se x 0 x, se x < 0

155 Gráfico * Função Modular D = IR Im = IR +

156 Exemplo 1. * Função Modular Se f(x) = x 1 e g(x) = x, construa o gráfico da função h(x), que é a composta de g com f. De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = f(x) : 1 quando f(x) 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico de f(x). 2 quando f(x) < 0, o gráfico de h(x) é o gráfico de -f(x).

157 Exemplo 2. * Função Modular Se f(x) = x² - 4 e g(x) = x, então a composta de g com f é dada pela lei: h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) = x² - 4 Construa o gráfico da função h(x) = x² - 4.

158 Exemplo 2. * Função Modular

159 Resolva * Função Modular Construa o gráfico das seguintes funções definidas em IR: a) h(x) = x -1 b) f(x) = 3x c) r(x) = x² + 4x d) g(x) = 2x + 3-2

160 Referências Bibliográficas Material Didático do PCNA FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro Relatório de Missão e investigação e incidência. Exercícios sobre função logarítmica Brasil Escola Site oficial Disponível em : < > Acesso: Jun Função Exponencial Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun Função do segundo grau e lançamento oblíquo Brasil Escola Site oficial Disponível em: < Acesso: Jun. 2015

161 AULA 10

162 PCNA - Matemática Geometria Plana e Espacial.

163 4.1. Ponto 4.2. Reta

164 4.2.1 Postulados da Reta a) b) c)

165 4.3. Plano Postulados do Plano a) c) b) d)

166 Posições Relativas de duas Retas no Plano

167 4.4. Espaço Posições Relativas de duas Retas no Espaço Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares quando existe um plano que as contêm. Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas quando não existe um plano que as contêm.

168 Exemplo 1) De acordo com a figura abaixo, dê a classificação em relação à posição relativa dos pares de retas indicadas:

169 4.5. Segmento de Retas

170 Razão entre Segmentos de Reta A razão os entre os segmentos (AB ) e (CD ), respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é determinada por: AB/CD=6/3=3

171 Segmentos Proporcionais Exemplos: 1) Verifique se os segmentos AB, CD, MN e PQ, nesta ordem, são proporcionais, sabendo que AB = 6 cm, CD = 18 cm, MN = 4 cm e PQ = 12 cm. 2) Considere os segmentos AB, CD, MN e PQ, proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos segmentos AB e CD sabendo que AB = x + 3 cm, CD = (x 2) cm, MN = 40 cm e PQ = 30 cm

172 Teorema de Talles Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos que são proporcionais. AB se r//s//t então BC = MN NP

173 Exemplos: 1) Determine o valor de x na figura abaixo.

174 Exemplos: 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais horizontais são paralelas. Determine as medidas x e y.

175 4.6. Circunferência e Círculo

176 Elementos da Circunferência e do Círculo Corda e Segmento Circular Arco e Setor Circular

177 Diâmetro, Semicircunferência e Semicírculo

178 4.7. Ângulo

179 Grau Radiano

180 Exemplos: 1) Determine o valor de α = 45 em radianos. 2) Determine o valor de α = 2π 3 rad em graus.

181 Classificação dos Ângulos ângulos agudo Obtuso Reto Raso de uma volta e côncavo.

182 Exemplos: 1) Determine o valor do ângulo a, na figura abaixo, sabendo que = 40.

183 Exemplos: 2) Na figura, determinar os valores dos ângulos x, y e z.

184 Semelhança de Polígonos Ângulos correspondentes iguais: A = A ; B = B ; C = C ; Lados correspondentes proporcionais AB A B = BC B C = CD C D = = k onde k é a razão de semelhança

185 Exemplos: 1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos da figura, sabendo que eles são semelhantes.

186 Semelhança de Triângulos a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um ângulo b) Quanto aos ângulos

187 Exemplos: 1) Determine o valor de x na figura.

188 AULA 11

189 PCNA - Matemática Geometria.

190 4.9. Perímetro e Área Perímetro: é a medida do contorno de um objeto bidimensional. Área: é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície.

191 Exemplo Considere uma sala cuja planta baixa está indicada: a) Quantos metros de rodapé serão necessários para contornar a sala? b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas quadradas de 1 m 2.Quantas lajotas serão necessárias?

192 Resolva 5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é igual a 83 cm 2. Determine a área o quadrado maior.

193 4.9.1 Círculo S = π. r 2

194 Paralelogramo

195 Triângulo

196 4.9.4 Losango S = D. d 2

197 Trapézio

198 POLÍGONO REGULAR

199 Exemplo: 1) Calcule a área da superfície composta pelas áreas hachuradas e pontilhadas da figura.

200 Exemplo: 2) Calcule a área da coroa circular de raio R = 20 cm e largura t = 5 cm, indicada na figura 4.53, isto é, calcule a área da superfície colorida na figura.

201 4.10. Volume Definição: é o espaço ocupado por um corpo e também a capacidade do corpo de comportar alguma substância. Unidades:

202 Cubo V = L 3

203 Paralelepípedo V = L l

204 Prisma V=Área da base x h

205 Cilindro V = A base

206 Pirâmide V = A base 3

207 Cone V = A base 3

208 Esfera V = 4 π r3 3

209 Resolva 6) Na figura 4.68, ABC é um quadrante de um círculo de raio igual a 3 cm e ADEF é um quadrado de lado igual a 1 cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360 da região hachurada da figura em torno da reta AB. Determine o volume deste sólido de revolução.

210 AULA 12

211 PCNA - Matemática Geometria Analítica.

212 5.1. Sistema de Coordenadas Unidimensional

213 5.2. Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares ou Plano Cartesiano Onde: Px = projeção ortogonal do ponto P no eixo x Py = projeção ortogonal do ponto P no eixo y O = origem (interseção entre os eixos)

214 5.3. Distância Entre Dois Pontos No Plano Cartesiano y B y2 B(x2, y2) y1 A(x1, y1) x. y x A y x1 x2 x

215 Exemplos Determine a distância entre A e B nas duas figuras: y 3 A(1, 3) B(5, 3) 6 y B(3, 6) 1 5 x A(6, 2) x 3 6

216 Resolva Para estimar a distância entre os pontos P1 e P2, um engenheiro caminhou, sempre em linha reta, de P1 até A, de A até B e de B até P2, medindo adequadamente essas distâncias. Os valores medidos estão indicados na figura: Após efetuar os cálculos necessários a partir das distâncias medidas, o engenheiro estimou que a distância entre P1 e P2 é de, aproximadamente:

217 5.4. Coeficiente Angular e Equação da Reta Coeficiente angular de uma reta m = tan α y y2 r B(x2, y2) y1 A(x1, y1) x. y x x1 x2

218 Casos: 1º) Se α = 0 ou α = 180 : y r 0 x

219 2º) Se 0 < α < 90, temos tan α > 0 m > 0 y r 0 α x

220 3º)Se 90 < α < 180 temos tan α < 0 m < 0 r y 0 α x

221 4º) Se α = 90, a tan α não é definida. Então dizemos que quando α = 90, ou seja, quando uma reta é vertical, ela não tem declividade. y r 0. α x

222 Equação da reta quando conhecidos um ponto P(x 0, y 0 ) e o coeficiente angular da reta y y P. r y0. P0 α. C α x x0 x

223 EXEMPLOS: Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(-1, 4 ) e tem coeficiente angular 2.

224 RESOLVA: Determine a equação da reta que passa pelo ponto A 1, 2 e que tem coeficiente angular igual a 1.

225 5.4.3 Equação da reta quando conhecidos dois pontos Det = 0

226 EXEMPLO: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, -2) e B (5, 2)

227 RESOLVA As retas r e s são perpendiculares e se interceptam no ponto 2,4. A reta s contém o ponto 0,5. Determine a equação da reta r.

228 RESOLVA Um ponto móvel P 2 + t, 4t + 2 desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t(com t 0). Qual a distância percorrida pelo ponto entre os tempos t = 0 e t = 6? 3

229 FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DA RETA

230 Retas paralelas e retas perpendiculares

231 Retas paralelas e retas perpendiculares

232 EXEMPLOS Se as retas de equações (a+3)x + 4y 5 = 0 e x + ay + 1 = 0 são paralelas. Calcule o valor de a.

233 RESOLVA 1) Trace o gráfico das retas r e s e determine a interseção entre elas. Sabendo que: A reta r é a reta de equação y = 0,5x + 8. A reta s é perpendicular à reta r e um de seus pontos é o ponto P 2,2.

234 AULA 13

235 PCNA - Matemática Trigonometria - 1

236 6.1. Conceitos Iniciais

237 Arcos e Ângulos Ângulo entre retas Ângulo formando um setor circular

238 Unidades de Ângulos Grau Radiano

239 Tipos de Ângulos Ângulo Reto Ângulo raso

240 Ângulo agudo Ângulo obtuso Ângulo de uma volta

241 Exemplo: Ex 1: Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco AB se L=22 cm?

242 Triângulo Retângulo 1. Possui um ângulo reto. 2. O maior lado, chamado de hipotenusa, é oposto ao ângulo reto, 3. Os outros lados são chamados catetos.

243 Teorema de Pitágoras Para todo triângulo retângulo tem-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos a 2 = b 2 + c 2

244 Relações Trigonométricas cos θ = b a sec θ = a b sen θ = c a cossec θ = a c tg θ = c b cotg θ = b c

245 Exemplo: Ex 2: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

246 Simulador: Triângulo Retângulo

247 Lei dos Cossenos Para um triângulo qualquer: a 2 = b 2 + c 2 2. b. c. cos ( ) Onde é o ângulo oposto ao lado a.

248 Exemplo 3) Um triângulo tem lados a = 10m, b = 13m e c= 15m. Calcule o ângulo o menor, Â, do triângulo.

249 Lei dos Senos Para um triângulo qualquer: a sen(â) = b sen(b) = c sen(c) Sendo o lado a oposto ao ângulo Â.

250 Exemplo 4) Calcule o valor do segmento AB do Triângulo representado pelo desenho a seguir:

251 6.2. Círculo Trigonométrico Definição Divisões em Quadrantes Sentido positivo = sentido anti-horário Sentido negativo = sentido horário.

252 Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Seno 1. Análise de Sinal 2. Redução ao primeiro quadrante

253 Cosseno 1. Análise de Sinal 2. Redução ao primeiro quadrante

254 Ângulos correspondentes No II Quadrante: 180º α; No III Quadrante: 180º + α; No IV Quadrante: 360º α.

255 Exemplos: 5) Determine o valor de : a) sin ;π 3 : b) co s ;π 3 :

256 Tangente 1. Análise de Sinal 2. Redução ao primeiro quadrante

257 Exemplos: 6) Determine o valor de: tg( 7π 6 ): tg 3π 4 :

258 Simulador: Círculo Trigonométrico

259 Resolva: Calcule o valor da expressão: y = sen 105 cos 75 Calcule o valor numérico da expressão: y = sen 13π 12. cos( 11π 12 )

260 Ângulos notáveis

261 AULA 14

262 PCNA - Matemática Trigonometria - 2

263 6.3 Relações Trigonométricas Inversas sec = 1 cos ( ) cossec = 1 sin ( ) cotg = cos ( ) sin ( )

264 Simulador: Geogebra

265 Exemplos: Ex 1: Se sen de sec. = 1, com 0 < < π. Determine o valor 2 2 Ex 2: Se sen = ;2, com 3π 3 2 valor de cotg( ). < < 2π. Determine o

266 6.4 - Identidades Trigonométricas Obtida por simples aplicação de Pitágoras no círculo trigonométrico. sen 2 x + cos 2 x = 1 (relação fundamental) 1 + tg 2 x = sec 2 x 1 + cotg 2 x = cossec 2 (x)

267 sin a + b = sin a cos b + sin b cos a sin a b = sin a cos b sin b cos a cos a + b = cos a cos b sin a sin b cos a b = cos a cos b + sin a sin (b) sen 2x = 2. sen x. cos(x) cos 2x = cos² x sen²(x) sen x 2 = 1 cos (x) 2 cos x = 1+cos x 2 2

268 Exemplos: Ex 3: Determine o valor de: a) sen(105 ) b) cos(15 )

269 Resolva Dado que sin x cos x = m, calcule o valor de y = sin 4 x + cos 4 (x) e z = sin 6 x + cos 6 (x)

270 Transformação de SOMA em PRODUTO sin p + sin q = 2 sin p:q 2 sin p sin q = 2 sin p;q 2 cos p + cos q = 2 cos p:q 2 cos ( p;q 2 ) cos ( p:q 2 ) cos cos p cos q = 2 sin p:q 2 p;q 2 sin p;q 2

271 Exemplos: Ex 4: Transforme em produto: a) cos 30º + cos 10º b) sen 70º - sen 30º

272 Resolva Transforme em produto: a) y = 1 + sin 2x : b) y = cos 3x + cos (x)

273 AULA 15

274 PCNA - Matemática Trigonometria - 3

275 6.5. Funções Trigonométricas

276 6.5.1 Função Seno: f(x) = sen (x) Domínio: R Imagem: 1 y 1 Período: 2π Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu caráter oscilatório.

277 Simulador: Geogebra

278 Modificações no gráfico da função Para uma função do tipo f x = A + B. sen cx + d, as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos: A = deslocamentos verticais; B = alongamento vertical ou horizontal; C = encurtamento horizontal; D = deslocamentos horizontais.

279 Se f x = sen ax, a > 1, há o encurtamento horizontal. Ex 1: f x = sen(2x)

280 Se f x = B. sen(x): B>1, ocorre um alongamento vertical; B<1, ocorre um alongamento horizontal. Ex 2: f x = 0,5. sen(x):

281 Ex 3: Estude a função f x = 0,5 + 0,5. sen(2x + π)

282 6.5.2 Função Cosseno: f(x) = cos (x) Domínio: R Imagem: 1 y 1 Período: 2π Obs.: Quando tem-se uma volta completa no círculo trigonométrico, a repetição dos valores de y confirma o seu caráter oscilatório.

283 Simulador: Geogebra

284 Modificações no gráfico da função Processo semelhante ao da função seno. Para uma função do tipo f x = A + B. cos cx + d, as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos: A = deslocamentos verticais; B = alongamento vertical ou horizontal; C = encurtamento horizontal; D = deslocamentos horizontais.

285 f x = 0.5cos (x) f x = cos (2x)

286 Exemplo: Ex 5: Estude a função f x = cos(x + π)

287 6.5.4 Função Tangente: f(x) = tg (x) Domínio: R (arcos congruos à π 2 ou 3π 2 ) Imagem: y Período: π Obs.: quando x = π, 3π, ou seus correspondentes depois de N 2 2 voltas, a função não existe.

288 Modificações no gráfico da função Processo semelhante aos das funções seno e cosseno. Para uma função do tipo f x = A + B. tg cx + d, as constantes A, B, c e d serão responsáveis pelos: A = deslocamentos verticais; B = alongamento vertical ou horizontal; C = encurtamento horizontal; D = deslocamentos horizontais.

289 f x = 5tg (x) f x = tg(2x)

290 Exemplo: Ex 6: Estude a função f x = tg(x π)

291 Função Arco-Seno O arco-seno (arcsen (x)) é um ângulo definido pela variável dependente de um valor x tal que arcsen(x) = isto é, sen = x. = arcsin (x)

292 Exemplo: Ex 7: Para um triângulo retângulo de hipotenusa 2 cm e cujo ângulo α é oposto a um cateto de 1cm, determine o valor de α.

293 6.5.5 Função Arco- Cosseno O arco-cosseno (arccos(x)) é um ângulo cujo valor de seu cosseno vale x, isto é, depende de x tal que arccos (x) =, cos = x. = arccos (x)

294 Exemplo: 8) Sabe-se que um triângulo retângulo possui um ângulo tal que o cateto adjacente a este ângulo vale 2 cm e a hipotenusa do respectivo triângulo possui valor de 4 cm. Determine o ângulo.

295 6.5.6 Função Arco- Tangente O arco-tangente (arctan(x)) de um valor x, de modo que seu resultado que é o ângulo θ é o ângulo cuja a tangente é igual ao valor x. Ou seja, se tan θ = x, tem-se que θ = arctg(x). θ = arctg(x)

296 Exemplo: 9) Um triângulo retângulo possui um ângulo o qual tem como cateto oposto b = 2. 2,e o cateto adjacente valendo c =2. 2. Determine o ângulo.

297 6.6. Sistema de Coordenadas Polares Cartesiana: x, y Polar: r, θ x, y (rcos θ, rsen θ ) r = x 2 + y 2 θ = arctg( y x )

298 Coordenadas polares no AutoCAD É definido o ângulo e o tamanho do segmento.

299 Exemplos: Ex 1: Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: a) r, θ = 2, 3π 2 b) r, θ = 4, π 3

300 Ex 2: Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. a) x, y = 4, 4 b) x, y = 1, 3