Introdução às Equações Diferenciais

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1 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais Descrição do capítulo 1.1 Definições e terminologia 1.2 Problemas de valor inicial 1.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos Eercícios de revisão O objetivo deste curto capítulo é duplo: introduzir a terminologia básica das equações diferenciais e investigar superficialmente como as equações diferenciais surgem como uma tentativa de descrever ou modelar fenômenos físicos em termos matemáticos.

2 18 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais 1.1 Definições e terminologia Introdução As palavras diferencial e equação certamente sugerem a solução de algum tipo de equação que contenha derivadas. Porém, antes que comecemos a resolver qualquer coisa, precisamos aprender algumas das definições e terminologias básicas deste assunto. Uma definição A derivada d/d de uma função f() é por si própria uma outra função f () determinada por uma regra apropriada. Por eemplo, a função e 0,12 é diferenciável no intervalo ( q, q), sendo sua derivada dada por d/d 0,2e 0,12. Se substituirmos e 0,12 pelo símbolo, obtemos Imagine agora que um amigo seu simplesmente tenha entregue a você a equação diferencial indicada em (1), e que você não tenha idéia de como ela foi construída. Seu amigo pergunta: qual é a função representada pelo símbolo? Você está agora em frente a um dos problemas básicos de um curso de equações diferenciais: como resolver tal equação para a função incógnita f()? O problema é de certo modo equivalente ao problema inverso do cálculo diferencial: dada uma derivada, determine uma anti-derivada. Antes de prosseguirmos mais além, vamos apresentar uma definição mais precisa do conceito de uma equação diferencial. (1) DEFINIÇÃO 1.1 Equação diferencial Uma equação que contenha as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é dita ser uma equação diferencial (ED). A fim de estudarmos essas equações, elas serão classificadas por tipo, ordem e linearidade. Classificação por tipo Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO). Por eemplo, são equações diferenciais ordinárias. Uma equação envolvendo derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é denominada uma equação diferencial parcial (EDP). Por eemplo, (2) (3) são equações diferenciais parciais. Notação Ao longo deste teto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de Leibniz d/d, d 2 /d 2, d 3 /d 3,..., ou a notação prima,,,... Utilizando-se a última notação, as duas primeiras equações diferenciais em (2) podem ser escritas de forma um pouco mais compacta como e e 6 0. Na verdade, a notação prima é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a quarta derivada é escrita (4) em vez de apple. Em geral, a derivada de ordem n é d n /d n ou (n). Apesar de ser menos conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz é mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por eemplo,

3 1.1 Definições e Terminologia 19 na equação diferencial d 2 /dt , percebe-se imediatamente que o símbolo agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton (destacada de modo pejorativo por alguns como a notação ecremento de mosca ) é algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a equação diferencial d 2 s/dt 2 9,81 se escreve 9,81. Derivadas parciais são freqüentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis independentes. Por eemplo, a primeira e a segunda equações em (3) podem ser escritas, respectivamente, como u u 0 e u u tt 2u t. Classificação por ordem A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) corresponde à ordem da mais alta derivada na equação. Por eemplo, é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial M(, )d N(, ) d 0. Por eemplo, se considerarmos que representa a variável dependente em ( )d 4d 0, então d/d, e dividindo-se pelo elemento diferencial d obtemos a forma alternativa 4. Veja as Observações ao final desta seção. Em símbolos, podemos epressar uma equação diferencial ordinária de ordem n com uma variável dependente pela forma geral (4) onde F é uma função de valores reais com n 2 variáveis:,,,..., (n). Por razões práticas e teóricas, também adotaremos daqui por diante a hipótese de que é possível resolver uma equação diferencial ordinária da forma (4) unicamente para a derivada mais elevada (n) em termos das n 1 variáveis restantes. A equação diferencial onde f é uma função contínua de valor real, é referida como a forma padrão de (4). Portanto, quando for conveniente para os nossos propósitos, utilizaremos as formas normais () para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira e segunda ordem. Por eemplo, a forma padrão da equação de primeira ordem 4 é ( )/4. Veja as Observações. Classificação por linearidade Uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é linear se F for linear em,,..., (n). Isto significa que uma EDO de ordem n é linear quando (4) for a n () (n) a n 1 () (n 1)... a 1 () a 0 () g() 0 ou Dois casos especiais e importantes de (6) se referem às EDs de primeira ordem linear (n 1) e de segunda ordem linear (n 2): Com a combinação aditiva no lado esquerdo de (6), temos que as duas propriedades características de uma EDO linear são: (6) (7)

4 20 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais Lembre-se destas duas características de uma EDO linear. A variável dependente e todas as suas derivadas,,..., (n) são de primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo é 1. Os coeficientes a 0, a 1,..., a n de,,..., (n) dependem no máimo da variável independente. As equações são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Acabamos de demonstrar que a primeira equação é linear na variável escrevendo-a na forma alternativa 4. Uma equação diferencial ordinária não-linear é simplesmente uma equação que não seja linear. Funções não-lineares da variável dependente ou suas derivadas, como sen ou e, não podem eistir em uma equação linear. Portanto, são eemplos de equações diferenciais ordinárias não-lineares de primeira, segunda e quarta ordem, respectivamente. Solução Conforme declarado anteriormente, um dos nossos objetivos nesse curso é resolver ou determinar soluções de equações diferenciais. A seguir, definimos o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária. DEFINIÇÃO 1.2 Solução de uma EDO Qualquer função f, definida em um intervalo I e possuindo ao menos n derivadas contínuas em I, que quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduz a equação a uma identidade, é dita ser uma solução da equação no intervalo. Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é uma função f que tem ao menos n derivadas e Dizemos que f satisfaz a equação diferencial em I. Para os nossos propósitos, consideraremos também que uma solução f é uma função com valores reais. Em nossa discussão inicial, já tínhamos visto que e 0,12 é uma solução de d/d 0,2 no intervalo ( q,q). Ocasionalmente, será conveniente indicar uma solução pelo símbolo alternativo (). Intervalo de definição Não se pode considerar uma solução de uma equação diferencial ordinária sem pensar simultaneamente em um intervalo. O intervalo I na Definição 1.2 é denominado de diversas maneiras, como o intervalo de definição, o intervalo de eistência, o intervalo de validade, ou o domínio da solução, podendo ser um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (a, q), e assim por diante. Eemplo 1 Verificação de uma solução Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo ( q,q). (a) d/d 1/2 ; 4 /16 (b) 2 0; e

5 1.1 Definições e Terminologia 21 Solução Uma forma de verificar que a função dada é uma solução é notar, após a substituição, se cada lado da equação é o mesmo para todo no intervalo. (a) A partir do vemos que cada membro da equação é igual para todo número real. Observe que 1/2 2 /4 é, por definição, a raiz quadrada não-negativa de 4 /16. (b) A partir das derivadas e e e e 2e temos, para todo número real, Observe também que, no Eemplo 1, cada equação diferencial possui a solução constante 0, q q. Uma solução de uma equação diferencial que seja identicamente zero em um intervalo I é dita ser uma solução trivial. Curva solução O gráfico de uma solução f de uma EDO é denominado curva solução. Como f é uma função diferenciável, ela é contínua no seu intervalo de definição I. Assim, pode eistir uma diferença entre o gráfico de uma função f e o gráfico de uma solução f. Escrito de outra forma, o domínio da função f não precisa ser igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução f. O Eemplo 2 ilustra a diferença. Eemplo 2 Função versus solução Considerado simplesmente como uma função, o domínio de 1/ é o conjunto de todos os números reais eceto 0. Quando geramos o gráfico 1/, traçamos pontos no plano que correspondem a uma amostragem ponderada de números tomados a partir desse domínio. A função racional 1/ é descontínua em 0, e seu gráfico, na região próima da origem, é apresentado na Figura 1.1(a). A função 1/ não é diferenciável em 0, pois o eio (cuja equação é 0) é uma assíntota vertical do gráfico. Agora, 1/ também é uma solução da equação diferencial de primeira ordem linear 0 (verifique). Porém, quando dizemos que 1/ é uma solução desta ED, significa que ela é uma função definida em um intervalo I no qual ela é diferenciável e satisfaz a equação. Em outras palavras, 1/ é uma solução da ED em qualquer intervalo que não contenha 0, tal como ( 3, 1), (, 10), ( q, 0) ou (0, q). Como as curvas solução definidas por 1/ nos intervalos 3 1 e 10 são simplesmente segmentos ou partes das curvas solução definidas por 1/ em q 0 e 0 q, respectivamente, faz sentido adotar o intervalo I tão etenso quanto possível. Assim, tomaríamos I como sendo ( q, 0) ou (0, q). A curva solução em (0, q) é mostrada na Figura 1.1(b). Soluções eplícitas e implícitas Você já deve estar familiarizado com os termos funções eplícitas e implícitas do curso de cálculo. Uma solução na qual a variável dependente é epressa somente em termos da variável independente e constantes é dita ser uma solução eplícita. Para os nossos propósitos, vamos imaginar a solução eplícita como uma fórmula eplícita f() que podemos manipular, calcular e diferenciar aplicando as regras padrões. Vimos nos últimos dois eemplos que 4 /16, e e 1/ são, respectivamente, soluções eplícitas de d/d 1/2, 2 0 e 0. Além disso, a solução trivial 0 é uma solução eplícita de todas as três equações. Veremos que quando formos de fato resolver algumas equações diferenciais ordinárias tais métodos de solução nem sempre resultarão em uma solução eplícita f(). Isto é particularmente válido quando se tenta resolver equações diferenciais de primeira ordem não-lineares. Muitas vezes temos que nos contentar com uma relação ou epressão G(, ) 0 que define uma solução f implicitamente. 1 1 (a) Função 1/, (b) Solução 1/, (0, q) Figura 1.1 A função 1/ não é igual à solução 1/.

6 22 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais DEFINIÇÃO 1.3 Solução implícita de uma EDO Uma relação G(, ) 0 é dita ser uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária (4) em um intervalo I desde que eista pelo menos uma função f que satisfaça tanto a relação como a equação diferencial em I. Está além do escopo deste teto investigar as condições sob as quais uma relação G(, ) 0 define uma função diferenciável f. Assim, consideraremos que se a implementação formal de um método de solução resulta em uma relação G(, ) 0, eiste ao menos uma função f que satisfaz tanto a relação (isto é, G(, f()) 0) como a equação diferencial em um intervalo I. Se a solução implícita G(, ) 0 for razoavelmente simples, podemos ser capazes de resolver em termos de e obter uma ou mais soluções eplícitas. Veja as Observações. (a) Solução implícita Eemplo 3 Verificação de uma solução implícita A relação é uma solução implícita da equação diferencial (8) (b) Solução eplícita 1 = 2 2, (c) Solução eplícita 2 = 2 2, Figura 1.2 Uma solução implícita e duas soluções eplícitas de (8). no intervalo. Por diferenciação implícita, obtemos Resolvendo a última equação para o símbolo d/d, obtemos (8). Além disso, resolver para em termos de resulta em. As duas funções e satisfazem a relação (isto é, 2 f e 2 f 2 2 2) e são soluções eplícitas definidas no intervalo. As curvas solução indicadas na Figura 1.2(b) e 1.2(c) são partes do gráfico da solução implícita na Figura 1.2(a). Qualquer relação da forma 2 2 c 0 satisfaz formalmente (8) para qualquer constante c. Entretanto, sabe-se que a relação deve sempre fazer sentido para os sistema de números reais; assim, por eemplo, não podemos dizer que é uma solução implícita da equação. Por que não? Como a distinção entre uma solução eplícita e uma solução implícita deve estar intuitivamente clara, nós não insistiremos nessa questão dizendo sempre Aqui está uma solução eplícita (implícita). Família de soluções O estudo das equações diferenciais é similar àquele do cálculo integral. Em alguns tetos, uma solução f é algumas vezes referida como uma integral da equação, e seu gráfico é denominado uma curva integral. Quando se calcula uma antiderivada ou uma integral indefinida no cálculo, utilizamos uma única constante c de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(,, ) 0, usualmente obtemos uma solução contendo uma constante arbitrária ou um parâmetro c. Uma solução contendo uma constante arbitrária representa um conjunto G(,, c) 0 de soluções denominadas família de soluções de um parâmetro. Quando resolvemos uma equação diferencial de ordem n F(,,,..., (n) ) 0, buscamos uma família de soluções de n parâmetros G(,, c 1, c 2,..., c n ) 0. Isto significa que uma única equação diferencial pode possuir um número infinito de soluções correspondentes ao número ilimitado de escolhas para o(s) parâmetro(s). Uma solução de uma equação diferencial que seja livre de parâmetros arbitrários é designada como solução particular. Por eemplo, a família de um parâmetro c cos é uma solução eplícita da equação de primeira ordem linear 2 sen no intervalo ( q,q) (verifique). A Figura 1.3, obtida por meio de um programa gráfico, mostra os gráficos de algumas das soluções dessa

7 1.1 Definições e Terminologia 23 família. A solução cos, a curva colorida na figura, é uma solução particular que corresponde a c 0. De modo similar, no intervalo ( q, q), c 1 e c 2 e é uma família de soluções de dois parâmetros (verifique) da equação de segunda ordem linear 2 0 no Eemplo 1. Algumas soluções particulares da equação são a solução trivial 0 (c 1 c 2 0), e (c 1 0, c 2 1), e 2e (c 1, c 2 2), e assim por diante. Em todos os eemplos anteriores, utilizamos e para denotar as variáveis independente e dependente, respectivamente. Porém, devemos nos acostumar a ver e trabalhar com outros símbolos para epressar estas variáveis. Por eemplo, poderíamos escrever a variável independente como t e a variável dependente como. Eemplo 4 Utilizando símbolos diferentes As funções c 1 cos 4t e c 2 sen 4t, onde c 1 e c 2 são constantes ou parâmetros arbitrários, são ambas soluções da equação diferencial linear Sistemas de equações diferenciais Até este ponto, viemos discutindo equações diferenciais únicas contendo uma função incógnita. Entretanto, muitas vezes na teoria, assim como em muitas aplicações, teremos que trabalhar com sistemas de equa c 0 c 0 c 0 Figura 1.3 Algumas soluções de 2 sen Para c 1 cos 4t, as primeiras duas derivadas em relação a t são 4c 1 sen 4t e 16c 1 cos 4t. Substituindo e, temos 16 16c 1 cos 4t 16(c 1 cos 4t) 0. De modo similar, para c 2 sen 4t, temos 16c 2 sen 4t, e portanto 16 16c 2 sen 4t 16(c 2 sen 4t) 0. Finalmente, é simples verificar que a combinação linear das soluções para a família de dois parâmetros c 1 cos 4t c 2 sen 4t é também uma solução da equação diferencial. O próimo eemplo mostra que uma solução de uma equação diferencial pode ser uma função definida por partes. Eemplo Solução definida por partes Verifique que a família de um parâmetro c 4 consiste em uma família de um parâmetro de soluções da equação diferencial 4 0 no intervalo ( q,q). Veja a Figura 1.4(a). A função diferenciável definida por partes c 1 c 1 é uma solução particular da equação. Porém, ela não pode ser obtida a partir da família c 4 por uma única escolha de c; a solução é construída a partir da família adotando-se c 1 para 0 e c 1 para 0. Veja a Figura 1.4(b). Solução singular Em alguns casos, a equação diferencial possui uma solução que não é um membro da família de soluções da equação, ou seja, a solução não pode ser obtida especificando-se qualquer dos parâmetros na família de soluções. Tal solução etra é denominada uma solução singular. Por eemplo, vimos que e 0 são soluções da equação diferencial d/d 1/2 em ( q,q). Na Seção 2.2, demonstraremos, resolvendo-a de fato, que a equação diferencial d/d 1/2 possui a família de um parâmetro de soluções. Quando c 0, a solução particular resultante é. Observe, porém, que a solução trivial 0 é uma solução singular, pois ela não é um membro da família ; não há como determinar um valor para a constante c de modo que se obtenha 0. c 1, 0 (a) (b) c 1, 0 Figura 1.4 Algumas soluções de 4 0.

8 24 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais ções diferenciais. Um sistema de equações diferenciais ordinárias é constituído por duas ou mais equações que envolvem as derivadas de duas ou mais funções incógnitas de uma única variável independente. Por eemplo, se e denotam variáveis dependentes e t é a variável independente, então um sistema com duas equações diferenciais de primeira ordem é dado por (9) Uma solução de um sistema definido como (9) é um par de funções diferenciáveis f 1 (t), f 2 (t) definido em um intervalo comum I que satisfaz cada equação do sistema neste intervalo. Veja os Problemas 33 e 34 nos Eercícios 1.1. Observações (i) Algumas poucas palavras adicionais a respeito de soluções implícitas de equações diferenciais são apresentadas. No Eemplo 3, fomos capazes de resolver a relação para em termos de, obtendo duas soluções eplícitas, e, da equação diferencial (8). Porém, não se atenha muito a esse eemplo. A não ser que seja fácil, óbvio ou importante, ou que você seja instruído a fazê-lo, usualmente não há necessidade de se tentar resolver uma solução implícita G(, ) 0 para eplicitamente em termos de. Também, não interprete de modo incorreto a segunda sentença que se segue à Definição 1.3. Uma solução implícita G(, ) 0 pode definir uma função f satisfatoriamente diferenciável que seja uma solução de uma ED, porém podemos não ser capazes de resolver G(, ) 0 utilizando métodos analíticos como a álgebra. A curva solução de f pode ser uma parte do gráfico de G(, ) 0. Veja os Problemas 41 e 42 nos Eercícios 1.1. Além disso, leia a discussão que se segue ao Eemplo 4 na Seção 2.2. (ii) Apesar do conceito de solução ter sido enfatizado nesta seção, deve-se ter consciência que uma ED não necessariamente tem que possuir uma solução. Veja o Problema 3 nos Eercícios 1.1. A questão a respeito da eistência da solução será discutida na próima seção. (iii) Pode não ser claro se uma EDO de primeira ordem escrita na forma diferencial M(, )d N(,) d 0 é linear ou não-linear, pois não eiste nada nesta forma que nos indique qual símbolo se refere à variável dependente. Veja os Problemas 9 e 10 nos Eercícios 1.1. (iv) Pode não parecer grande problema assumir que F(,,,..., (n) ) 0 pode ser resolvida para (n), porém deve-se ter um pouco de cuidado nesse ponto. Eistem eceções e certamente eistem alguns problemas associados a esta consideração. Veja os Problemas 48 e 49 nos Eercícios 1.1. (v) Se toda solução de uma EDO de ordem n F(,,,..., (n) ) 0 em um intervalo I pode ser obtida a partir de uma família de n parâmetros G(,, c 1, c 2,..., c n ) 0 por escolhas apropriadas dos parâmetros c i, i 1, 2,..., n, dizemos então que a família é a solução geral da ED. Na resolução das EDO lineares, imporemos restrições relativamente simples aos coeficientes da equação; com essas restrições, pode-se assegurar que não apenas uma solução eiste no intervalo, como também que a família de soluções permite todas as soluções possíveis. Equações não-lineares, com a eceção de algumas EDs de primeira ordem, são usualmente difíceis ou mesmo impossíveis de serem resolvidas em termos de funções elementares familiares: combinações finitas de potências inteiras de, raízes, eponenciais e funções logarítmicas, funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Além disso, se obtivermos uma família de soluções para uma equação não-linear, não será claro se esta família conterá todas as soluções. Em um nível prático, então, a designação solução geral é aplicada apenas para ED lineares. Não se preocupe a respeito deste conceito agora, mas guarde as palavras solução geral em sua mente retornaremos a esta notação na Seção 2.3 e novamente no Capítulo 3.

9 Introdução às Equações Diferenciais 2 EXERCÍCIOS 1.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319. Nos Problemas 1-8, indique a ordem da equação diferencial ordinária dada. Determine se a equação é linear ou não-linear comparando-a com (6). 1. (1 ) 4 cos t (4) t (sen u) (cos u) d ( 2 ) d 0; Nos Problemas 21-24, verifique que a família de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada. Assuma um intervalo de definição I apropriado para solução Nos Problemas 9 e 10, determine se a equação diferencial de primeira ordem apresentada é linear na variável dependente indicada comparando-a com a primeira equação diferencial dada em (7). 9. ( 2 1) d d 0; em ; em 10. udv (v uv ue u ) du 0; em v; em u Nos Problemas 11-14, verifique que a função indicada é uma solução eplícita da equação diferencial dada. Assuma um intervalo aproimado I de definição para cada solução ; e / ; e 3 cos tg ; (cos ) ln(sec tg ) Nos Problemas 1-18, verifique que a função indicada f() é uma solução eplícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Procedendo como no Eemplo 2, considerando f simplesmente como uma função, dê o seu domínio. Então, considerando f como uma solução da equação diferencial, defina ao menos um intervalo I de definição ; tg ; 1/(4 2 ) cos ; (1 sen ) 1/2 Nos Problemas 19 e 20, verifique que a epressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Determine pelo menos uma solução eplícita f() em cada caso. Utilize um programa gráfico para obter o gráfico de uma solução eplícita. Defina um intervalo I de definição para cada solução f. 2. Verifique que a função definida por partes é uma solução da equação diferencial 2 0 em ( q,q). 26. No Eemplo 3, vimos que f 1 () e f 2 () são soluções de d/d / no intervalo (,). Eplique por que a função definida por partes não é uma solução da equação diferencial no intervalo (,). 27. Determine valores de m para os quais a função e m é uma solução da equação diferencial dada. Eplique seu raciocínio. (a) 2 0 (b) Determine valores de m para os quais a função m é uma solução da equação diferencial dada. Eplique seu raciocínio. (a) 2 0 (b) Nos Problemas 29-32, utilize o conceito que c, q q, é uma função constante se e somente se 0 para determinar se a equação diferencial dada possui soluções constantes ( 1)

10 26 Matemática Avançada para Engenharia Nos Problemas 33 e 34, verifique que o par indicado de funções é uma solução do sistema dado de equações diferenciais no intervalo ( q,q) Figura 1. Gráfico para o Problema Problemas para discussão 3. Crie uma equação diferencial que não tenha nenhuma solução real. 36. Crie uma equação diferencial que tenha somente a solução trivial 0. Eplique o seu raciocínio. 37. Qual é função do cálculo cuja primeira derivada é ela própria? E cuja primeira derivada é um múltiplo constante k dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de primeira ordem com uma solução. 38. Qual função (ou funções) você conhece do cálculo cuja segunda derivada é ela própria? E cuja segunda derivada é o negativo dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de segunda ordem com uma solução. 39. Dado que sen é uma solução eplícita da equação diferencial de primeira ordem, determine um intervalo I de definição. [Dica: I não é o intervalo q q]. 40. Discuta por que é intuitivo considerar que a equação diferencial linear 2 4 sen t tenha uma solução da forma A sen t Bcos t, onde A e B são constantes. A seguir, especifique constantes A e B de modo que Asen t Bcos t seja uma solução particular da ED. Nos Problemas 41 e 42, a figura indicada representa o gráfico de uma solução implícita G(, ) 0 de uma equação diferencial d/d f(, ). Em cada caso, a relação G(, ) 0 define implicitamente diversas soluções da ED. Reproduza cuidadosamente cada figura em um pedaço de papel. Use cores diferentes para marcar segmentos ou partes de cada gráfico que correspondam a gráficos de soluções. Tenha em mente que uma solução f precisa ser uma função diferenciável. Utilize a curva solução para estimar o intervalo I de definição de cada solução f. Figura 1.6 Gráfico para o Problema Os gráficos dos membros da família de um parâmetro 3 3 3c são denominados círculo de Descartes. Verifique que esta família é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem 44. O gráfico da Figura 1.6 é membro da família do círculo do Problema 43 que corresponde a c 1. Discuta: como a ED no Problema 43 pode auiliar na determinação de pontos no gráfico onde a reta tangente é vertical? Como o conhecimento do local no qual a reta tangente é vertical pode auiliar na determinação de um intervalo I de definição de uma solução f da ED? Apresente suas idéias e compare com as suas estimativas dos intervalos no Problema No Eemplo 3, o maior intervalo I sobre o qual as soluções f 1 () e f 2 () são definidas corresponde ao intervalo aberto (, ). Por que o intervalo de definição I não pode ser o intervalo fechado [, ]? 46. No Problema 21, uma família de soluções de um parâmetro da ED P P(1 P) é apresentada. Alguma curva solução passa pelo ponto (0,3)? E pelo ponto (0,1)? 47. Discuta e ilustre com eemplos como resolver equações diferenciais da forma d/d f() e d 2 /d 2 f(). 48. A equação diferencial ( ) tem a forma indicada em (4). Determine se a equação pode ser colocada na forma normal d/d f(, ).

11 1.2 Problemas de Valor Inicial A forma normal () de uma equação diferencial de ordem n é equivalente a (4) não importando se ambas as formas têm eatamente a mesma solução. Crie uma equação diferencial de primeira ordem para a qual F(,, ) 0 não é equivalente à forma normal d/d f(,). 0. Determine uma equação diferencial de segunda ordem linear F(,,, ) 0 na qual c 1 c 2 2 é uma família de soluções de dois parâmetros. Tenha certeza que a sua equação seja livre dos parâmetros arbitrários c 1 e c 2. Informações qualitativas a respeito de uma solução f() de uma equação diferencial podem muitas vezes ser obtidas a partir da própria equação. Antes de trabalhar com os Problemas 1-4, recorde o significado geométrico das derivadas d/d e d 2 /d Considere a equação diferencial d/d e 2. (a) Eplique por que uma solução da ED tem que ser uma função crescente em qualquer intervalo do eio. (b) O que são e? O que isso sugere a respeito de uma curva solução quando q? (c) Determine um intervalo sobre o qual uma curva solução é côncava para baio e um intervalo sobre o qual a curva é côncava para cima. (d) Esboce o gráfico de uma solução f() da equação diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c). 2. Considere a equação diferencial d/d. (a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas 29-32, calcule uma solução constante da ED. (b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine intervalos no eio nos quais uma solução não-constante f() é crescente. Determine intervalos no eio nos quais f() é decrescente. 3. Considere a equação diferencial d/d (a b), onde a e b são constantes positivas. (a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas 29-32, determine uma solução constante da ED. (b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine intervalos no eio nos quais uma solução não-constante f() é crescente. O mesmo considerando que f() seja decrescente. (c) Utilizando apenas a equação diferencial, eplique por que a/2b é a coordenada de um ponto de infleão do gráfico de uma solução não-constante f(). (d) Nos mesmos eios coordenados, esboce os gráficos das duas soluções constantes calculadas no item (a). Estas soluções constantes dividem o plano em três regiões. Em cada região, esboce o gráfico de uma solução nãoconstante f() cujo formato é sugerido pelos resultados dos itens (b) e (c). 4. Considere a equação diferencial 2 4. (a) Eplique por que não eistem soluções constantes da ED. (b) Descreva o gráfico de uma solução f(). Por eemplo, uma curva solução pode ter algum etremo relativo? (c) Eplique porque 0 é a coordenada de um ponto de infleão de uma curva solução. (d) Esboce o gráfico de uma solução f() da equação diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c). Tarefas computacionais Nos Problemas e 6, utilize um SAC (sistema de álgebra computacional) para calcular todas as derivadas e realizar as simplificações necessárias de modo a verificar que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada.. (4) ; e cos Problemas de valor inicial Introdução Freqüentemente estamos interessados em problemas nos quais buscamos uma solução () de uma equação diferencial de modo que () satisfaça condições pré-definidas isto é, condições que são impostas sobre a incógnita () ou sobre suas derivadas. Nesta seção, eaminaremos um problema assim denominado problema de valor inicial. Problema de valor inicial Em um determinado intervalo I contendo 0, o problema (1)

12 28 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais onde 0, 1,..., n 1 são constantes reais especificadas arbitrariamente, é denominado um problema de valor inicial (PVI). Os valores de () e de suas primeiras n 1 derivadas em um ponto 0 : ( 0 ) 0, ( 0 ) 1,..., (n 1) ( 0 ) n 1, são designados condições iniciais. PVI de primeira e segunda ordem O problema indicado em (1) é também denominado um problema de valor inicial de ordem n. Por eemplo, solução da ED (2) ( 0, 0 ) e I (3) Figura 1.7 PVI de primeira ordem. soluções da ED m 1 ( 0, 0 ) I Figura 1.8 PVI de segunda ordem. são problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem, respectivamente. Estes dois problemas são fáceis de ser interpretados em termos geométricos. Em (2) estamos buscando uma solução da equação diferencial em um intervalo I contendo 0, de modo que uma curva solução passe pelo ponto prescrito ( 0, 0 ). Veja a Figura 1.7. Em (3), queremos determinar uma solução da equação diferencial cujo gráfico não apenas passe por ( 0, 0 ), mas que também neste ponto a curva tenha um coeficiente angular (ou inclinação) igual a 1. Veja a Figura 1.8. O termo condição inicial vem de sistemas físicos onde a variável independente é o tempo e onde (t 0 ) 0 e (t 0 ) 1 representam, respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto em algum tempo inicial t 0. Resolver um problema de valor inicial de ordem n muitas vezes eige o uso de uma família de soluções de n parâmetros da equação diferencial dada para determinar n constantes especificadas de modo que a solução particular resultante da equação também se ajuste, isto é, satisfaça, as n condições iniciais. (0, 3) (1, 2) Figura 1.9 Soluções de PVI. Eemplo 1 PVI de primeira ordem Verifica-se facilmente que ce é uma família de soluções de um parâmetro da equação de primeira ordem no intervalo ( q,q). Se especificarmos uma condição inicial, por eemplo, (0) 3, então substituir 0, 3 na família determina a constante 3 ce 0 c. Assim, a função 3e é uma solução do problema de valor inicial, (0) 3. Mas, se eigirmos que uma solução da equação diferencial passe pelo ponto (1, 2) ao invés de (0, 3), teremos (1) 2 resultando em 2 ce ou c 2e 1. A função 2e 1 é uma solução do problema de valor inicial, (1) 2. Os gráficos dessas duas funções estão indicados em colorido na Figura 1.9. O próimo eemplo ilustra outro problema de valor inicial de primeira ordem. Neste eemplo, observe como o intervalo I de definição da solução () depende da condição inicial ( 0 ) 0. Eemplo 2 Intervalo I de definição de uma solução No Problema 6 dos Eercícios 2.2, você terá que mostrar que a família de soluções de um parâmetro da equação diferencial de primeira ordem é 1/( 2 c). Se impusermos a condição inicial (0) 1, e então substituirmos 0 e 1 na família de soluções, teremos como resultado 1 1/c ou c 1. Assim, 1/( 2 1). Enfatizaremos agora as três seguintes distinções.

13 1.2 Problemas de Valor Inicial 29 Considerado como uma função, o domínio de 1/( 2 1) é o conjunto de números reais no qual () é definido; este é o conjunto de todos os números reais eceto 1 e 1. Veja a Figura 1.10(a). Considerado como uma solução da equação diferencial 2 2 0, o intervalo I de definição de 1/( 2 1) poderia ser definido como sendo qualquer intervalo sobre o qual () é definido e diferenciável. Como pode ser visto na Figura 1.10(a), os maiores intervalos nos quais 1/( 2 1) é uma solução são q 1, 1 1, e 1 q. Considerado como uma solução do problema de valor inicial 2 2 0, (0) 1, o intervalo I de definição de 1/( 2 1) poderia ser definido como sendo qualquer intervalo sobre o qual () é definido, diferenciável e contenha o ponto inicial 0; o maior intervalo para o qual isto é válido é 1 1. Veja a Figura 1.10(b). Veja os Problemas 3-6 nos Eercícios 1.2 para uma continuação do Eemplo (a) função definida para todo eceto 1 Eemplo 3 PVI de segunda ordem No Eemplo 4 da Seção 1.1, vimos que c 1 cos 4t c 2 sen 4t é uma família de soluções de dois parâmetros de Determine uma solução do problema de valor inicial. 1 1 (0, 1) Solução Aplicamos primeiro ( /2) 2 à família de soluções indicada: c 1 cos2 c 2 sen 2 2. Como cos2 1 e sen2 0, obtemos c 1 2. A seguir, aplicamos ( /2) 1 à família de um parâmetro (t) 2 cos 4t c 2 sen 4t. Diferenciando e definindo t /2 e 1, temos 8 sen 2 4c 2 cos 2 1, de onde resulta c 2. Logo, (4) (b) solução definida no intervalo contendo 0 Figura 1.10 Gráficos de função e solução de PVI no Eemplo 2. é uma solução de (4). Eistência e unicidade Duas questões fundamentais surgem quando se considera um problema de valor inicial: Eiste solução para o problema? Se eiste uma solução, ela é única? Para um problema de valor inicial como (2), perguntamos: Eistência Unicidade A equação diferencial d/d f(, ) tem soluções? Qualquer curva solução passa pelo ponto ( 0, 0 )? Podemos ter certeza de que eiste precisamente uma curva solução passando pelo ponto ( 0, 0 )? Note que nos Eemplos 1 e 3 a frase uma solução é utilizada ao invés de a solução do problema. O artigo indefinido uma é aplicado deliberadamente para sugerir a possibilidade de que outras soluções possam eistir. Até este ponto, não foi demonstrado que eista uma única solução de cada problema. O próimo eemplo ilustra um problema de valor inicial com duas soluções. Eemplo 4 Um PVI pode ter diversas soluções Cada uma das funções 0 e 4 /16 satisfaz a equação diferencial d/d 1/2 e a condição inicial (0) 0. Assim, o problema de valor inicial d/d 1/2, (0) 0, tem pelo menos duas soluções. Conforme ilustrado na Figura 1.11, os gráficos de ambas funções passam pelo mesmo ponto (0,0). Dentro das fronteiras seguras de um curso formal em equações diferenciais, pode-se estar bastante certo que a maioria das equações diferenciais terá soluções /16 (0, 0) Figura 1.11 Duas soluções do mesmo PVI.

14 30 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais e que as soluções dos problemas de valor inicial provavelmente serão únicas. A vida real, entretanto, não é tão simples. Deseja-se saber, antes de se tentar resolver um problema de valor inicial, se ele possui solução e, caso eista, se ela é a única solução do problema. Como iremos considerar equações diferenciais de primeira ordem nos próimos dois capítulos, determinaremos aqui, sem prova, um teorema claro que fornece condições que são suficientes para garantir a eistência e a unicidade de uma solução de um problema de valor inicial de primeira ordem na forma dada em (2). Esperaremos até o Capítulo 3 para abordar a questão de eistência e unicidade de um problema de valor inicial de segunda ordem. d R ( 0, 0 ) TEOREMA 1.1 Eistência de uma única solução Seja R uma região retangular no plano definida por a b, c d, que contenha o ponto ( 0, 0 ) no seu interior. Se f(, ) e f/ são contínuas em R, então eiste algum intervalo I 0 : 0 h 0 h, h 0, contido em a b, e uma função única () definida em I 0 que é uma solução do problema de valor inicial (2). c a I 0 b Figura 1.12 Região retangular R. O resultado anterior é um dos teoremas mais populares de eistência e unicidade para as equações diferenciais de primeira ordem, pois os critérios de continuidade de f(,) e f/ são relativamente fáceis de serem checados. A geometria do Teorema 1.1 é ilustrada na Figura Eemplo Eemplo 3 revisitado Vimos no Eemplo 3 que a equação diferencial d/d 1/2 tem ao menos duas soluções cujos gráficos passam por (0,0). A inspeção dessas funções mostra que elas são contínuas no plano metade superior definido por 0. Assim, o Teorema 1.1 nos permite concluir que através de qualquer ponto ( 0, 0 ), 0 0, no plano metade superior, eiste algum intervalo centrado em 0 no qual a equação diferencial dada tem uma solução única. Dessa forma, por eemplo, mesmo sem resolvêlo, sabemos que eiste algum intervalo centrado em 2 no qual o problema de valor inicial d/d 1/2, (2) 1, possui uma única solução. No Eemplo 1, o Teorema 1.1 garante que não eistem outras soluções dos problemas de valor inicial, (0) 3 e, (1) 2, que não sejam 3e e 2e 1, respectivamente. Isto é em decorrência do fato de que f(, ) e f/ 1 são contínuas por todo o plano. Pode-se mostrar que o intervalo I, no qual cada solução é definida, é ( q,q). Intervalo de eistência/unicidade Suponha que () represente uma solução do problema de valor inicial (2). Os seguintes três conjuntos no eio real não podem ser iguais: o domínio da função (), o intervalo I sobre o qual a solução () é definida ou eiste, e o intervalo I 0 de eistência e unicidade. No Eemplo 2 da Seção 1.1, apresentamos a diferença entre o domínio de uma função e o intervalo I de definição. Considere agora que ( 0, 0 ) seja um ponto no interior da região retangular R do Teorema 1.1. Sabe-se que a continuidade da função f(,) em R por si mesma é suficiente para garantir a eistência de ao menos uma solução de d/d f(,), ( 0 ) 0, definida em algum intervalo I. O intervalo I de definição para este problema de valor inicial é usualmente tomado como sendo o maior intervalo que contém 0 sobre o qual a solução () é definida e diferenciável. O intervalo I depende de f(, ) e da condição inicial ( 0 ) 0. Veja os Problemas nos Eercícios 1.2. A condição etra da continuidade da primeira derivada parcial f/ em R nos permite dizer que não apenas uma solução eiste em algum intervalo I 0 contendo 0, porém também é a única solução satisfazendo

15 1.2 Problemas de Valor Inicial 31 ( 0 ) 0. Entretanto, o Teorema 1.1 não dá nenhuma indicação dos tamanhos dos intervalos I e I 0 ; o intervalo I de definição não necessita ser tão amplo como a região R, e o intervalo I 0 de eistência e unicidade pode não ser tão grande quanto I. O número h 0 que define o intervalo I 0, 0 h 0 h, pode ser muito pequeno. Assim, é melhor imaginar que a solução () é única em um sentido local, isto é, uma solução definida próima do ponto ( 0, 0 ). Veja o Problema 44 nos Eercícios 1.2. Observações (i) As condições no Teorema 1.1 são suficientes, mas não necessárias. Quando f(, ) e f/ forem contínuas em uma região retangular R, sempre eistirá uma solução de (2) e ela será única sempre que ( 0, 0 ) for um ponto interior a R. Entretanto, se as condições definidas na hipótese do Teorema 1.1 não se aplicarem, então qualquer coisa poderá acontecer: o Problema (2) pode ainda ter uma solução e esta solução pode ser única, ou (2) pode ter diversas soluções, ou pode não ter solução alguma. Uma releitura do Eemplo 4 revela que a hipótese do Teorema 1.1 não se aplica à reta 0 para a equação diferencial d/d 1/2. Portanto, não é surpresa, como vimos no Eemplo 3 desta seção, que eistam duas soluções definidas em um intervalo comum h h satisfazendo (0) 0. Por outro lado, a hipótese do Teorema 1.1 não se aplica à reta 1 para a equação diferencial d/d 1. No entanto, pode-se provar que a solução do problema de valor inicial d/d 1, (0) 1, é única. Você pode advinhar essa solução? (ii) Você é encorajado a ler, pensar a respeito, trabalhar e então manter em mente o Problema 43 dos Eercícios 1.2. EXERCÍCIOS 1.2 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319. Nos Problemas 1 e 2, 1/(1 c 1 e ) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem 2. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas ( 1) 2 Nos Problemas 3-6, 1/( 2 c) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida (0) 1 6. Nos Problemas 7-10, c 1 cos t c 2 sen t é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem 0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. 7. (0) 1, (0) 8 8. (p/2) 0, (p/2) Nos Problemas 11-14, c 1 e c 2 e é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem 0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. 11. (0) 1, (0) (1) 0, (1) e 13. ( 1), ( 1) 14. (0) 0, (0) 0 Nos Problemas 1 e 16, determine por inspeção ao menos duas soluções do PVI de primeira ordem dado /3, (0) , (0) 0 Nos Problemas 17-24, determine uma região do plano na qual a equação diferencial indicada teria uma solução única cujo gráfico passa por um ponto ( 0, 0 ) na região

16 32 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais (4 2 ) (1 3 ) ( 2 2 ) ( ) Nos Problemas 2-28, determine se o Teorema 1.1 garante que a equação diferencial tenha uma solução única através do ponto indicado. 2. (1,4) 26. (,3) 27. (2, 3) 28. ( 1,1) 29. (a) Por inspeção, determine uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial. Verifique que cada membro da família é uma solução do problema de valor inicial, (0) 0. (b) Eplique o item (a) determinando uma região R no plano na qual a equação diferencial teria uma solução única através de um ponto ( 0, 0 ) em R. (c) Verifique que a função definida por partes satisfaz a condição (0) 0. Determine se esta função é também uma solução do problema de valor inicial do item (a). 30. (a) Verifique que tg( c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial 1 2. (b) Como f(,) 1 2 e f/ 2 são contínuas em toda parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano inteiro. Utilize a família de soluções do item (a) para calcular uma solução eplícita do problema de valor inicial de primeira ordem 1 2, (0) 0. Apesar de 0 0 estar no intervalo 2 2, eplique por que a solução não é definida nesse intervalo. (c) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial no item (b). 31. (a) Verifique que 1/( c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial 2. (b) Como f(,) 2 e f/ 2 são contínuas em toda parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano inteiro. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça (0) 1. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça (0) 1. Determine o maior intervalo I de definição para a solução de cada problema de valor inicial. 32. (a) Determine uma solução a partir da família do item (a) do Problema 31 que satisfaça 2, (0) 0, onde 0 0. Eplique por que o maior intervalo I de definição para esta solução é q 1/ 0 ou 1/ 0 q. (b) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial de primeira ordem 2, (0) (a) Verifique que c é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial d/d 3. (b) À mão, esboce o gráfico da solução implícita Calcule todas as soluções eplícitas f() da ED no item (a) definidas por esta relação. Dê o intervalo I de definição de cada solução eplícita. (c) O ponto ( 2,3) está no gráfico de , porém qual das soluções eplícitas do item (b) satisfaz ( 2) 3? 34. (a) Utilize a família de soluções do item (a) do Problema 33 para determinar uma solução implícita do problema de valor inicial d/d 3, (2) 4. A seguir, à mão, esboce o gráfico da solução eplícita deste problema e dê o seu intervalo I de definição. (b) Eistem soluções eplícitas de d/d 3 que passam pela origem? Nos Problemas 3-38, o gráfico de um membro da família de soluções da equação diferencial de segunda ordem d 2 /d 2 f(,, ) é indicado. Case a curva solução com pelo menos um par das seguintes condições iniciais. (a) (1) 1, (1) 2 (b) ( 1) 0, ( 1) 4 (c) (1) 1, (1) 2 (d) (0) 1, (0) 2 (e) (0) 1, (0) 0 (f) (0) 4, (0) Figura 1.13 Gráfico para o Problema 3. Figura 1.14 Gráfico para o Problema 36.

17 1.2 Problemas de Valor Inicial Suponha que a equação diferencial de primeira ordem d/ d f(, ) possua uma família de soluções de um parâmetro e que f(, ) satisfaça as hipóteses do Teorema 1.1 em alguma região retangular R do plano. Eplique por que duas curvas solução diferentes não podem interceptar ou ser tangentes uma em relação a outra em um ponto ( 0, 0 ) em R. 44. As funções Figura 1.1 Gráfico para o Problema têm o mesmo domínio mas são claramente diferentes. Veja as Figuras 1.18(a) e 1.18(b), respectivamente. Mostre que ambas as funções são soluções do problema de valor inicial d/d 1/2, (2) 1 no intervalo ( q,q). Solucione a aparente contradição entre este fato e a última sentença do Eemplo. 1 (2, 1) 1 (2, 1) Figura 1.16 Gráfico para o Problema 38. Problemas para discussão Nos Problemas 39 e 40, utilize o Problema 47 dos Eercícios 1.1 e (2) e (3) desta seção. 39. Determine uma função f() cujo gráfico em cada ponto (,) tem o coeficiente angular dado por 8e 2 6 e tem o ponto de interceptação do eio (0,9). 40. Determine uma função f() cuja derivada segunda é 12 2 em cada ponto (, ) em seu gráfico e em que é tangente ao gráfico no ponto correspondente a Considere o problema de valor inicial 2, (0). Determine qual das duas curvas mostradas na Figura 1.17 é a única curva solução plausível. Eplique o seu raciocínio. 1 (a) (b) Figura 1.18 Duas soluções do PVI no Problema 44. Modelo matemático 4. Crescimento populacional No início da próima seção, veremos que as equações diferenciais podem ser utilizadas para descrever ou modelar muitos sistemas físicos diferentes. Neste problema, considere que um modelo de crescimento populacional de uma pequena comunidade seja dado pelo problema de valor inicial onde P é o número de indivíduos na comunidade e o tempo t é medido em anos. Quão rápido, isto é, qual é a taa de crescimento populacional em t 0? Quão rápido é o crescimento populacional quando a população é de 00? (0, ) Figura 1.17 Gráfico para o Problema Determine um valor plausível de 0 para o qual o gráfico da solução do problema de valor inicial 2 3 6, ( 0 ) 0 é tangente ao eio em ( 0, 0). Eplique o seu raciocínio.

18 34 CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais 1.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos Introdução Nesta seção, introduziremos a noção de um modelo matemático. Grosso modo, um modelo matemático é uma descrição matemática de alguma coisa. Esta descrição pode ser tão simples como uma função. Por eemplo, estudando a queda de gotas de água e as marcas que eles faziam em um papel absorvente, Leonardo da Vinci compreendeu que a velocidade de um corpo em queda é dada por v gt. Apesar de eistirem muitos tipos de modelos matemáticos, nesta seção nos concentraremos apenas nas equações diferenciais e discutiremos alguns modelos de equações diferenciais específicos para a biologia, física e química. Uma vez estudado alguns métodos para solucionar EDs, retornaremos a esse assunto nos Capítulos 2 e 3 e resolveremos alguns desses modelos. Modelos matemáticos Muitas vezes, deseja-se descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real, seja físico, sociológico ou mesmo econômico, em termos matemáticos. A descrição matemática de um sistema ou um fenômeno é denominada como modelo matemático, sendo construída com certos objetivos em mente. Por eemplo, podemos desejar compreender os mecanismos de um certo ecossistema estudando o crescimento das populações de animais naquele sistema, ou podemos querer datar fósseis pela análise do decaimento de uma substância radioativa no fóssil ou no estrato no qual ele foi descoberto. A construção de um modelo matemático de um sistema se inicia com a identificação das variáveis que são responsáveis por alterar o sistema. Podemos decidir, de início, não incorporar todas essas variáveis no modelo. Neste primeiro passo, estamos especificando o nível de resolução do modelo. A seguir, adotamos um conjunto de considerações razoáveis ou hipóteses a respeito do sistema que estamos tentando descrever. Estas considerações também incluirão alguma lei empírica que possa ser aplicada ao sistema. Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável se contentar com modelos de pequena resolução. Por eemplo, você pode já estar consciente de que na modelagem da queda de corpos próimos da superfície do solo, a força de retardo do atrito do ar é algumas vezes ignorada em cursos iniciais de física; porém, se você é um cientista cujo trabalho é prever eatamente o caminho de vôo de um projétil de longo alcance, a resistência do ar e outros fatores como a curvatura do terreno têm que ser levados em consideração. Como as hipóteses feitas a respeito de um sistema envolvem freqüentemente uma taa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas suposições pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Uma vez que tenhamos formulado um modelo matemático que é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos frente a frente com o problema nada insignificante de tentar resolvê-lo. Se formos capazes de resolvê-lo, então consideraremos o modelo como sendo razoável caso sua solução seja consistente com dados eperimentais ou fatos conhecidos a respeito do comportamento do sistema. Porém, se as predições produzidas pela solução forem pobres, podemos aumentar o nível de resolução do modelo ou adotar considerações alternativas a respeito dos mecanismos para modificação do sistema. Os passos do processo de modelagem são então repetidos como indicado no diagrama a seguir. Considerações Epressar as considerações em termos de equações diferenciais Formulação matemática Se necessário, alterar as considerações ou aumentar a resolução do modelo Resolução das Eds Conferir as predições do modelo com fatos conhecidos Apresentar as predições do modelo, por eemplo, graficamente Obtenção das soluções