O Ajuste e Teste da Significância de Tendências Lineares em Dados com Distribuição Gumbel

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1 RBRH - Revsta Braslera de Recursos Hídrcos Volume 8 n.1 Jan/Mar 003, O Ajuste e Teste da Sgnfcânca de Tendêncas Lneares em Dados com Dstrbução Gumbel Robn T. Clarke IPH/UFRGS. Endereço para correspondênca: Av. Venânco Ares, 1001/ Porto Alegre, RS - clarke@ph.ufrgs.br Recebdo: 04/0/0 - revsão: 03/04/0 - aceto: 09/07/0 RESUMO Os procedmentos hdrológcos extensvamente utlzados no cálculo de eventos com período de retorno de T anos em dados com dstrbução Gumbel, supõem que a seqüênca dos dados usados para ajustar a dstrbução permanece estaconára pelo tempo. Quando se suspeta nãoestaconardade, seja como conseqüênca de mudanças no uso do solo ou no clma, a abordagem comum é testar a sgnfcânca da tendênca por um de dos métodos: regressão lnear, que supõe que os dados no regstro seguem dstrbução Normal cuja méda possvelmente vara com tempo; ou um teste não-paramétrco como o de Mann-Kendall, que nada supõe sobre a dstrbução populaconal. Isto é, a hpótese de dstrbução Gumbel para os dados é abandonada temporaramente enquanto se faz o teste de tendênca, mas é adotada novamente nos casos em que se constata a tendênca não ser sgnfcatva. Na seqüênca, os eventos de período de retorno T anos são calculados. Isto não parece lógco. O presente trabalho descreve um modelo alternatvo no qual a méda da dstrbução Gumbel possvelmente vara em tempo; supõe-se que a tendênca temporal, se exstr, pode ser descrta adequadamente por um únco parâmetro β, o qual é estmado a partr de Máxma Verossmlhança (MV). A varânca assntótca da estmatva MV, ˆβ MV, é comparada com a varânca da tendênca ˆβ RL calculada a partr de regressão lnear (RL); constatou-se que a varânca da estmatva RL é 64% maor. Amostras smuladas por uma dstrbução Gumbel padronzada e seleconadas aleatoramente, foram modfcadas pela superposção de tendêncas lneares e conhecdas de dferentes gradentes, e em seguda foram comparadas às potêncas de três testes da sgnfcânca da tendênca (Máxma Verossmlhança, Regressão Lnear, e o teste não-paramétrco de Mann-Kendall). O teste MV revelou-se sempre mas potente do que os outros dos testes, para qualquer valor da tendênca (postva) β. A potênca do teste Mann-Kendall fo sempre menor. Palavras-chave: tendênca; dstrbução Gumbel; teste de sgnfcânca. INTRODUÇÃO A análse de eventos extremos de varáves hdrometeorológcas é prátca muto freqüente do cotdano de hdrólogos e meteorologstas. Quatro exemplos das varáves utlzadas em tas análses são: a) vazão máxma anual em ros; b) a mínma anual da méda de 7 vazões dáras consecutvas; c) as ntensdades máxmas anuas das ntensdades de precptação com duração 5 mnutos, 10 mnutos,...; d) a velocdade máxma anual do vento. Análses destas varáves servem de base para mportantes decsões em projetos de barragens, no planejamento urbana, e no cálculo de rscos de seguros, sendo o objetvo das análses o cálculo da freqüênca com que esses eventos são gualados ou ultrapassados. O ponto de partda para mutas destas análses é o ajuste de uma dstrbução Valor Extremo (EV), de tpo aproprado, aos valores de uma seqüênca observada de máxmas (ou mínmas) anuas; após ajuste, a dstrbução utlza-se no cálculo do período de retorno de eventos extremos especfcados e/ou no cálculo dos eventos de período de retorno especfcado (Stednger et al., 1993). Qualquer análse deste tpo supõe que a seqüênca observada de valores máxmos (ou mínmas) anuas é estaconára, com cada valor da seqüênca de uma dstrbução hpotétca de tpo EV cujas característcas estatístcas permanecem constantes no decorrer do tempo. Entretanto, se mudanças no clma (Vnnkov et al., 1990; Guttman et al., 199; Grosman & Easterlng, 1994; Changnon & Kunkel, 1995; Olsen et al., 1999; Douglas et al., 000), ou no uso do solo (Brujnzeel, 1990 e 1996; Sahn e Hall, 1996), causem modfcações graduas na seqüênca observada, a suposção básca da dstrbução EV constante torna-se nválda e a prevsão da freqüênca de ocorrênca de futuros eventos extremos é um problema muto mas complexo. Além dsto, o relatóro Clmate Change 001: Impacts, Adaptaton and Vulnerablty do Intergovernmental Panel for Clmate Change (IPCC, 001) alerta sobre as mudanças clmátcas no século atual, enfatzando as mudanças na varabldade do clma e na freqüênca e ntensdade de alguns fenômenos clmátcos. Estas prevsões, que são apresentadas com uma confança cada vez maor, mplcam afrmar que a estaconardade estatístca, necessára para mutas análses hdrológcas, não pode ser suposta a pror devendo-se esperar que a dsponbldade espacal e temporal de recursos hídrcos possa alterar em consonânca com as mudanças do clma regonal. Isto tem uma mportânca enorme para um país como o 71

2 O Ajuste e Teste da Sgnfcânca de Tendêncas Lneares em Dados com Dstrbução Gumbel Brasl, com mas de 90% da sua energa gerada por hdrelétrcas e com demandas crescentes nas áreas de rrgação, abastecmento urbano e navegação. A ênfase deste trabalho é sobre aspectos da detecção e estmação das mudanças na freqüênca e ntensdade de alguns fenômenos clmátcos acma ctado segundo relatóro do IPCC. Dos procedmentos típcos para detectar a exstênca de uma tendênca numa seqüênca de valores extremos anuas são: (1) a análse de regressão (por exemplo, Salas, 1993); e () métodos não-paramétrcos, freqüentemente por meo do teste Mann-Kendall (Hrsch et al.,1993). Nenhum dos dos leva em conta os fatos de que (a) na ausênca de qualquer tendênca, os valores em uma seqüênca hdrológca ou meteorológca de valores extremos anuas, pode-se esperar terem uma dstrbução de tpo EV; (b) na presença de uma tendênca, ela será superposta em dados com dstrbução tpcamente do tpo EV. No caso do procedmento (1), supõe-se que os dados da seqüênca têm dstrbução Normal N(µ,σ ) com µ constante quando nexste tendênca, e com µ da forma µ = µ t = β 0 + β 1 t+... quando exste tendênca, sendo t =1,... N o tempo em anos. No caso do procedmento (), usando-se o teste Mann-Kendall, ncalmente não se supõe nenhuma forma explícta para a dstrbução dos dados; entretanto, se o teste não confrmar a exstênca de uma tendênca, uma dstrbução do tpo EV é então ajustada aos dados, para que se estmem os períodos de retorno de eventos extremos. Portanto, do ponto de vsta lógco, nem a análse de regressão nem testes Mann-Kendall são satsfatóros quando uma tendênca, se exstr, é superposta em dados cuja dstrbução é fundamentalmente EV. Dos trabalhos recentes (Clarke, 00a e b) tratam da detecção e estmação de tendêncas em seqüêncas de máxmos anuas de varáves hdrológcos, as quas podem ser supostas possuírem dstrbução Gumbel (Clarke, 00a) ou Webull (Clarke, 00b) na ausênca de tendêncas temporas. O prmero trabalho formula o problema da estmação de tendêncas em dados com dstrbução de Gumbel através do ajuste de um Modelo Lnear Generalzado (GLM) e apresenta um procedmento teratvo para a estmação dos parâmetros da tendênca; o segundo trabalho (Clarke, 00b) modfca este procedmento teratvo para permtr estmação de tendêncas e testes de sgnfcânca dos parâmetros de uma tendênca, em seqüêncas cuja dstrbução fundamental é Webull ou uma dstrbução EV Generalzada (sto é, com dstrbução GEV). O objetvo do presente trabalho é apresentar resultados analítcos, e de smulações, os quas complementam e estendem os resultados anterormente apresentados para a dstrbução Gumbel; um segundo trabalho apresentará os resultados correspondentes para a dstrbução Webull. Mesmo que a ênfase do trabalho é a detecção e estmação de tendêncas temporas em dados com dstrbução Gumbel, os resultados têm uma mportante aplcação adconal, na análse de seqüêncas extraídas de uma dstrbução Gumbel para as quas nenhuma tendênca exste: ou em outras palavras, em casos nos quas procura-se elucdar as relações entre uma varável Gumbel e varáves concomtantes explcatvas. Um exemplo é o segunte: para uma seqüênca de ntensdades máxmas anuas de precptação (sem tendênca temporal), com duração uma hora, sera nteressante relaconar as ntensdades observadas às condções meteorológcas e.g., a velocdade e dreção do vento quando da ocorrênca da ntensdade máxma. A abordagem apresentada aqu tem relevânca neste contexto também, sendo substtuída a varável t, que denota tempo, pela velocdade V do vento (por exemplo). O trabalho anterormente referencado (Clarke, 00a) estende esta análse a um número qualquer de varáves concomtantes. A varânca da estmatva, obtda por regressão lnear, do parâmetro de uma tendênca lnear: dados com dstrbução Gumbel Consdera-se o caso no qual, na ausênca de uma tendênca temporal, os dados têm dstrbução Gumbel com função densdade de probabldade dada por: f Y (y; u, α) = α exp[-α(y - u) - exp{-α(y - u)}] - < y < (1) com méda u +γ/α, e varânca π /6α. Após superposção de uma tendênca lnear, esta dstrbução modfca-se para a forma: f Y (y; u, α, β) = α exp[-α(y - u - β t) - exp{-α(y - u - β t)}] - < y < (1a) sendo t a varável tempo. Assm, a méda da varável aleatóra Gumbel Y t é (u +γ/α)+βt. O constante de Euler γ tem valor aproxmado γ Dadas N observações y 1, y,... y N da varável Y aos tempos t =t 1, t,... t N, deseja-se estmar o parâmetro β em (1a) e determnar se sua magntude justfque rejeção da hpótese nula H 0 : β =0 em favor da hpótese alternatva H 1 : β 0. Ao estmar β por regressão lnear, obtém-se: β RL = y (t t )/ (t t ) () e pode-se verfcar que, para as observações y 1, y,... y N com dstrbução dada por (1a), o estmador () é não-tendencoso: sto é, E[ ˆβ ]=β, e a varânca do estmador é: RL var[ β ] = π /(6α S tt ) (3) RL sendo S tt o denomnador em (). Se as observações y t representam uma seqüênca contínua de anos, ndexada por {1, 7

3 RBRH - Revsta Braslera de Recursos Hídrcos Volume 8 n.1 Jan/Mar 003, Tabela 1. Médas de conjuntos de 600 amostras geradas aleatoramente a partr de uma dstrbução Gumbel padronzada (u =0, a =1) com tendênca lnear b superposta do tamanho ndcado. N = 30 Médas das estmatvas do parâmetro de tendênca β (gual a aumentos em E[Y] de 0, ½ σ, σ e σ através o período de regstro artfcal gual a N = 30) β = 0: β = 0,0137: β = 0,0475: β = 0,0855: RL: - 0, , , ,08353 (± 0,0 113) (± 0,0 108) (± 0,0 115) (± 0,0 105) MV: - 0, , , ,08368 (± 0,0 3 99) (± 0, ) (± 0, ) (± 0, ) N = 50 Médas das estmatvas do parâmetro de tendênca β (gual a aumentos em E[Y] de 0, ½ σ, σ e σ através o período de regstro artfcal gual a N = 50) β = 0: β = 0,018: β = 0,0564: β = 0,0513: RL: + 0, , , ,05131 (± 0, ) (± 0, ) (± 0, ) (± 0,0 3 58) MV: + 0, , , ,0515 (± 0, ) (± 0, ) (± 0, ) (± 0, )... N}, então S tt =N(N -1)/1. Ao estmar os três parâmetros em (1a) pelo método do Máxmo da Verossmlhança (MV) e, supondo que as observações y t sejam ndependentes entre s, a matrz de covarânca assntótca dos três parâmetros θ =[θ 1, θ, θ 3 ]=[α, u, β], denotada por E[- lnl/ θ θ j ] -1, é dada pelo nverso de: N(1 + I )/ α NI1 I1 t Nα α NI t 1 I t α α 1 t t sendo I 1 =1-γ, I = π /6-γ+γ. Com a ndexação anual {1,... N} e denotando o estmador MV por ˆβ MV, a nversão desta matrz resulta na segunte expressão: (4) var[ β ] = 1/[α N(N - 1)] (5) MV Assm, pode-se notar que: var[ β RL ]/var[ β ] = π /6 1,64 MV Esse resultado aproxmado mostra que, quando a seqüênca de observações é sufcentemente extensa, a varânca do estmador regressão lnear do parâmetro de tendênca lnear β é 64% maor do que a do estmador MV. A expressão assntótca de var[ ˆβ MV ] utlzada na obtenção deste resultado é aproprada para o caso em que N tende para o nfnto. Uma questão que surge medatamente dz respeto ao comportamento das estmatvas MV de β quando a seqüênca de valores anuas é do tamanho geralmente encontrado na prátca; nesse contexto, é possível que um resultado assntótco não seja aproprado para amostras de pequeno tamanho. Alem dsto, teorcamente, os estmadores MV tem dstrbução assntotcamente gaussana, a qual é usada para calcular ntervalos de confança para os parâmetros estmados por MV; portanto, é necessáro estabelecer se a suposção de Normaldade é também acetável no caso de amostras fntas de pequeno tamanho. As seções a segur descrevem os métodos de smulação utlzados para responder a estas perguntas. Metodologa empregada na comparação das varâncas do coefcente de tendênca lnear b estmado por: a) regressão lnear; b) máxma verossmlhança; amostras de N =30 e N =50 Amostras de tamanho N=30 e N=50 foram geradas a partr de uma dstrbução Gumbel padronzada com u=0, α =1 na Equação(1); estas amostras foram consderadas como representatvas dos períodos de regstro hdrológco, para os quas são plausíves tendêncas temporas. Na ausênca de tendênca, a varânca da dstrbução Gumbel padronzada é σ = π /6 e, portanto, o desvo padrão é portanto aproxmadamente σ =1,85. As tendêncas lneares superpostas em dados smulados foram correspondentes aos aumentos de ½ σ, σ e σ, dstrbuídos ao longo do comprmento N do regstro artfcal. Assm com N=50 e σ =1,85, uma tendênca com coefcente de tendênca lnear gual a β = fo superposta aos 50 valores da dstrbução Gumbel padronzada 73

4 O Ajuste e Teste da Sgnfcânca de Tendêncas Lneares em Dados com Dstrbução Gumbel Tabela. Varâncas dos conjuntos de 600 amostras aleatóras geradas a partr de uma dstrbução Gumbel padronzada (u=0, a =1) com tendênca lnear superposta b do tamanho ndcado. N = 30 Varâncas das estmatvas do parâmetro β de tendênca lnear (gual a aumentos em E[Y] de 0, ½ σ, σ e σ através o período de regstro artfcal de tamanho N = 30) β = 0: β = 0,0137: β = 0,0475: β = 0,0855: RL: 0, , , , MV: 0, , , , RL/MV: Razão 1,47 1,48 1,39 1,46 N = 50 Varâncas das estmatvas do parâmetro β de tendênca lnear (gual a aumentos em E[Y] de 0, ½ σ, σ e σ através o período de regstro artfcal de tamanho N = 50) β = 0: β = 0,018: β = 0,0564: β = 0,0513: RL: 0, , , , MV: 0, , , , RL/MV: Razão 1,5 1,58 1,54 1,68 (50 x0,0565 =1,85). Portanto, as três tendêncas β =0,018, β =0,0565 e β =0,0513, correspondentes a ½ σ, σ e σ, foram em ordem crescente de magntude, muto embora, tenham sdo dstntas nos casos N=30 e N=50 porque estes dos regstros têm comprmentos dferentes. Após geração das amostras com estas característcas, os coefcentes de tendênca lnear β foram estmados por: a) regressão lnear (RL); e b) Máxma Verossmlhança (MV); as estmatvas assm obtdas são doravante denotadas por RL1, MV1. Com um únco parâmetro β a ser estmado, tera sdo possível utlzar qualquer dos város procedmentos conhecdos (por exemplo Newton-Raphson, ou smplex) para soluconar a equação MV para este parâmetro; entretanto, é computaconalmente vantajoso colocar o procedmento MV de estmação na forma de um Modelo Lnear Generalzado (MLG), cujos parâmetros são estmados pelo algortmo Mínmos Quadrados com Pesos Calculados Iteratvamente (em nglês: Iteratvely-Weghted Least Squares, IWLS) apresentado por McCullagh e Nelder (1983) e Green (1984). Uma dscussão sobre este procedmento, no contexto da estmação de parâmetros de tendêncas, bem como sobre as vantagens computaconas advndas do seu uso, fo apresentada em um trabalho recente (Clarke, 00a). Aqu, é sufcente notar que, quando é necessáro estmar mas de um parâmetro de tendênca, a convergênca é mas rápda com IWLS e que os softwares dsponíves comercalmente permtem o uso de IWLS junto com testes de hpóteses sobre os parâmetros da tendênca. As Tabelas 1 e apresentam as médas e varâncas dos conjuntos de 600 amostras geradas com os dos tamanhos de amostra (N =30, N=50) e os dferentes valores do parâmetro de tendênca β, únco no presente caso. Os Erros de Tpo II dos testes, e portanto as potêncas dos testes, podem ser calculados dferentemente do método acma apresentado. No caso do procedmento que utlza a regressão lnear, a estatístca geralmente utlzada é t= ˆβ RL / (var( ˆβ RL )), senda esta comparada com o valor tabelado da estatístca t de Student com N- graus de lberdade. Quando são geradas amostras smuladas com parâmetro de tendênca β postvo, a estatístca t pode ser calculada e a proporção das amostras nas quas a hpótese nula H 0 : β =0 não é rejetada, é uma estmatva do Erro Tpo II do teste. Semelhantemente para o procedmento MV: a estatístca u= ˆβ MV (var ˆβ MV ) pode ser comparada, usando a teora Normal, com os valores tabulados u =1,645 and u=1,96 aproprados para testes unlateral e blateral respectvamente, sendo var [ ˆβ MV ]=1/[ ˆα N(N -1)], sen- do αˆ, a estmatva MV do parâmetro de escala. Para valores não-nulos de β, usados na smulação das amostras, a proporção das amostras para as quas a hpótese nula H 0 : β =0 não é rejetada estma o Erro Tpo II do teste. Estes métodos alternatvos para calcular os Erros Tpo II, e portanto as potêncas dos testes RL e MV, são denotados por RL e ML, para dstngu-los dos procedmentos RL1, ML1 anterormente descrtos. As característcas destes testes são apresentadas na Tabela 3, a qual mostra as dferenças entre os Erros Tpo II dos procedmentos RL1 e RL e entre MV1 e MV. Para estabelecer se é razoável consderar como Normalmente dstrbuídas as estmatvas MV do parâmetro de tendênca lnear β, em amostras de tamanho N=30 e N=50, os quants das 600 estmatvas foram calculadas e plotados contra os quants da dstrbução Normal padronzada. Um gráfco lnear confrmara conformdade com a 74

5 RBRH - Revsta Braslera de Recursos Hídrcos Volume 8 n.1 Jan/Mar 003, hpótese de que as estmatvas têm dstrbução Normal. Estes gráfcos são apresentados nas Fguras 1 e. Esta seção descreveu como foram obtdas as característcas das estmatvas RL e MV do parâmetro de tendênca lnear β. O teste não-paramétrco Mann-Kendall (MK) de tendênca, anterormente menconado, é um teste para a sgnfcânca estatístca de tendênca (não necessaramente lnear) sem fornecer uma estmatva da magntude da tendênca. A seção a segur descreve os procedmentos usados na comparação das potêncas de testes de sgnfcânca da hpótese nula H 0 : β =0, contra a hpótese alternatva unlateral H 1 : β >0, e a hpótese alternatva blateral H 1 : β 0, sob as abordagens RL, MV e MK. Metodologa empregada na comparação das potêncas dos testes (a) MV, (b) RL, (c) MK da hpótese nula tendênca ausente (b =0) contra as hpóteses alternatvas b >0 e b 0 As potêncas dos três testes foram comparadas por smulação. No caso dos testes MV1 e RL1, a regão crítca correspondente ao erro de 5% fo calculada pela smulação de 600 amostras, todas com a dstrbução (1) na qual β =0. Assm, o tamanho do teste fo 0,05 em todos os casos. Para cada amostra gerada, as estmatvas ˆβ MV e ˆβ RL do coefcente de tendênca foram calculadas, juntamente com o quantl de 95% (no caso da hpótese alternatva unlateral, H 1 : β >0) ou com os quants de,5% e de 97,5% (no caso da hpótese alternatva blateral, H 1 : β 0). Para os procedmentos RL1 e MV1, estes quants defnram as regões das quas o Erro Tpo I sto é, o erro que ocorre quando uma hpótese nula verdadera H 0 : β =0 é rejetada fo conhecdo e gual a 5% (sto é, em 5% de um número muto grande de amostras com a dstrbução (1), a estmatva βˆ do coefcente de tendênca lnear cara na regão crítca, resultando na conclusão que exste uma tendênca, mesmo que de fato ela não exsta. Após defnção das regões crítcas, grupos de 600 amostras foram geradas novamente com valores conhecdos de β, desta feta dferentes de zero, e com os valores apresentados na Tabela 1. As estmatvas ˆβ MV e ˆβ RL foram calculadas para cada uma das amostras geradas, assm como as proporções das 600 amostras, cujas estatístcas de testes localzaram-se na regão de acetação da hpótese nula. Estas proporções são estmatvas dos Erros Tpo II sto é, as probabldades de que amostras seleconadas aleatoramente da dstrbução (1a), com parâmetro de tendênca β não nulo, resultem em estmatvas ˆβ e ML ˆβ LR que recaam dentro da regão de acetação da hpótese nula H 0 : β =0, mesma que esta hpótese seja de fato falsa. Assm, o tamanho da regão crítca fo fxado em 5%. Entretanto o Erro Tpo II podera ser, e o fo, constatado como dferente para os procedmentos dstntos de Tabela 3. Potêncas dos procedmentos de teste LR1, LR, MK, ML1 e ML. Todos os testes são de tamanho 0,05. Potêncas são para alternatvas unlateras e blateras, e com dos tamanhos de amostra N =30 e N=50. Hpótese alternatva blateral, H1: β 0 N = 30 β = 0,0137 β = 0,0475: β = 0,0855: RL1: 0,167 0,3633 0,8550 (± 0,0136) (± 0,0196) (± 0,0144) RL: 0,1017 0,3790 0,8650 (± 0,013) (± 0,0198) (± 0,0140) MK: 0,0683 0,1517 0,7150 (± 0,010) (± 0,0146) (± 0,0184) MV1: 0,1383 0,4483 0,9700 (± 0,0141) (± 0,003) (± 0,0070) MV: 0,1717 0,5000 0,9700 (± 0,0154) (± 0,004) (± 0,0070) N = 50 β = 0,018: β = 0,0564: β = 0,0513: RL1: 0,317 0,6433 0,9867 (± 0,017) (± 0,0196) (± 0,0047) RL: 0,1750 0,5133 0,9733 (± 0,0155) (± 0,004) (± 0,0066) MK: 0,0500 0,17 0,9093 (± 0,0089) (± 0,0170) (± 0,0117) MV1: 0,533 0,7333 0,9967 (± 0,0178) (± 0,0180) (± 0,003) MV: 0,567 0,7383 0,9967 (± 0,0178) (± 0,0179) (± 0,003) Hpótese alternatva unlateral, H1: β > 0 N = 30 β = 0,0137: β = 0,0475: β = 0,0855: RL1: 0,1800 0,4817 0,9100 (± 0,0157) (± 0,003) (± 0,0117) RL: 0,1733 0,4783 0,9333 (± 0,0154) (± 0,004) (± 0,010) MK: 0,0767 0,17 0,8050 (± 0,0109) (± 0,0170) (± 0,016) MV1: 0,350 0,5883 0,9850 (± 0,0173) (± 0,001) (± 0,0050) MV: 0,567 0,6167 0,9850 (± 0,0178) (± 0,0198) (± 0,0050) N = 50 β = 0,018: β = 0,0564: β = 0,0513: RL1: 0,317 0,7367 0,9917 (± 0,0191) (± 0,0180) (± 0,0037) RL: 0,767 0,6667 0,9917 (± 0,0183) (± 0,019) (± 0,0037) MK: 0,1100 0,3313 0,9583 (± 0,018) (± 0,019) (± 0,008) MV1: 0,3317 0,8067 0,9983 (± 0,019) (± 0,0161) (± 0,0017) MV: 0,3583 0,867 0,9983 (± 0,0196) (± 0,0154) (± 0,0017) 75

6 O Ajuste e Teste da Sgnfcânca de Tendêncas Lneares em Dados com Dstrbução Gumbel Fgura 1. Gráfcos em papel de probabldade normal para as estmatvas Máxma Verossmlhança do parâmetro b de tendênca lnear, calculadas a partr de conjuntos de 600 amostras de tamanho N =30 e geradas aleatoramente da dstrbução Gumbel padronzada (u =0, a =1) com tendênca lnear superposta: parâmetro de tendênca b =0, b =0,0137, b =0,0475, b =0,0855. teste e os Erros Tpo II são relaconados à potênca de um teste pela relação potênca =1 Erro Tpo II. Assm, quanto maor o Erro Tpo II, tanto menor será a potênca do teste. Testes potentes têm pequenos Erros Tpo II, embora a magntude do Erro do Tpo II dependa no valor verdadero, porem desconhecdo, de β na hpótese alternatva H 1. No caso dos procedmentos RL and MV, os valores crítcos dos testes não foram determnados por smulação, mas sm pelos valores tabelados usuas da estatístca t de Student no caso de RL, e dos valores usuas da dstrbução Normal N(0,1) no caso do procedmento MV, como apresentado na seção anteror. Entretanto, os Erros de Tpo II, e portanto a potênca de cada teste, foram determnados pela smulação de conjuntos de 600 amostras e pela quantfcação das proporções de amostras cujas estmatvas caíram fora da regão crtca assm determnada. Para o teste Mann-Kendall, o procedmento fo semelhante a o usado para RL e MV, mesmo que o teste MK não forneça uma estmatva do coefcente de tendênca. No teste MK, a estatístca Z é calculada de tal modo que, na ausênca de tendênca e com amostras do tamanho N =30 e N =50, usadas neste trabalho, sua dstrbução de probabldades pode ser bem aproxmada pela dstrbução Normal padronzada N(0, 1). Assm, em cada das 600 amostras geradas com β =0 segundo a dstrbução (1), a estatístca Z fo calculada e os quants foram obtdos de forma a defnr as regões crítcas de tamanho 5%. Ao comparar a estatístca de teste com os desvos aproprados da dstrbução Normal padronzada, as regões crítcas 5% deveram ser 76

7 RBRH - Revsta Braslera de Recursos Hídrcos Volume 8 n.1 Jan/Mar 003, Fgura. Normal plots para as estmatvas Máxma Verossmlhança do parâmetro b de tendênca lnear, calculadas a partr de conjuntos de 600 amostras de tamanho N =50 e geradas aleatoramente da dstrbução Gumbel padronzada (u =0, a =1) com tendênca lnear superposta: parâmetro de tendênca b =0, b =0,018, b =0,0565, b =0, Z >1.96 no caso do teste blateral (H 1 : β 0) e Z >1.645 para o teste unlateral (H 1 : β >0). Neste estudo as 600 amostras seleconadas da dstrbução (1) resultaram, no caso de testes blateras, em regões crítcas de <Z<1.94 e <Z<1.974 para as amostras com N =30 e N =50 respectvamente e, no caso de testes unlateras, as regões crítcas foram Z>1.647 e Z>1.601 com N=30 e N=50. Igualmente ao caso dos procedmentos MV e RL, os conjuntos de 600 amostras com os valores de β apresentados na Tabela 1 foram utlzados para estabelecer as proporções, das 600 amostras geradas, nas quas a estatístca Z do teste MK fcou fora da regão crítca, sendo esta proporção uma estmatva do Erro de Tpo II. A Tabela 3 apresenta a potênca para amostras dos tamanhos N =30 e N =50, com hpóteses alternatvas H 1 unlateras e blateras, obtdos para os cnco testes RL1, MV1, MK, RL e MV. DISCUSSÃO As Tabelas 1 e apresentam as médas e varâncas dos valores estmados do únco parâmetro de tendênca lnear β, estmado por RL e por MV, e com os tamanhos de amostra N =30 e N =50, obtdas pela geração de conjuntos de 600 amostras artfcas. Para os dos tamanhos de amostra, a Tabela 1 mostra que as estmatvas MV são efetvamente não-tendencosas (mesmo que com N = 30 e β = 0, a méda das estmatvas MV de β é bem maor que o dobro das estmatvas RL, anterormente demonstradas a ser nãotendencosas). Entretanto com N = 30 e valores postvos de β, as médas RL e MV são quase guas. Por outro lado, a Tabela mostra que exstem dferenças marcantes entre as varâncas que resultam das dos procedmentos de estmação; para ambos os tamanhos de amostra N =30 e N =50, 77

8 O Ajuste e Teste da Sgnfcânca de Tendêncas Lneares em Dados com Dstrbução Gumbel e com todos os valores do parâmetro de tendênca β, as varâncas pelo procedmento MV são bem menores do que as varâncas das estmatvas RL; observe que para cada tamanho de amostra, a razão var[ ˆβ RL ]/var[ ˆβ MV ] é menor do que seu valor assntótco 1,64, sendo aproxmadamente 1,45 com N=30, e maor, 1,58 aproxmadamente, com N=50. Isto sugere que, quando o tamanho do regstro N é menor do que os mas aproprados para a estmação do valor assntótco, anda exste um ganho consderável na precsão das estmatvas MV relatvamente à precsão obtda com RL, mesmo que a redução na varânca seja menor do que no caso assntótco. Um ponto nteressante refere-se às varâncas de ˆβ LR e de ˆβ ML quando a tendênca verdadera é zero, ou seja β =0. Demonstrou-se que var[ ˆβ RL ] = π /[N(N -1)] = 0, e 0, quando N =30 e N =50 respectvamente, sendo os valores de tempo t separados por ntervalos guas; as varâncas de ˆβ RL obtdas com os dos conjuntos de 600 amostras smuladas são próxmas a estes valores, 0, e 0, respectvamente. Da mesma forma, var[ ˆβ MV ]= /[α N(N -1)]; com N=30, N=50 e α =1, esta varânca tem valores 0, e 0, As varâncas de ˆβ MV obtdas nas smulações foram 0, e 0, respectvamente. Sobre a Normaldade das estmatvas MV de β, as Fguras 1 e não evdencam ser naproprada a suposção de Normaldade da dstrbução das estmatvas ˆβ MV, mesmo com amostras tão pequenas quanto N =30. A Tabela 3, que apresenta as potêncas dos procedmentos RL1, RL, MK, ML1 e ML, mostra que os Erros Tpo II são maores no caso do teste Mann-Kendall, sendo a dferença entre este e RL, MV especalmente grande para valores maores do coefcente de tendênca lnear β. Como era de se esperar, a potênca é maor quando N =50 do que quando N =30, porque mas dados permtem maor dscrmnação; com todos os cnco testes, a potênca aumenta com os valores maores de β, como também era de se esperar. Para todos os valores de β e para os dos tamanhos de amostra, os testes MV são mas potentes do que ambos os procedmentos MK or RL; as dferenças entre MV e RL não são muto grandes quando β é pequeno, mas são maores quando β também é maor. CONCLUSÃO MV ˆβ RL Dscute-se neste trabalho o caso no qual as seqüêncas de dados hdrológcos podem ser supostas ndependentes e com dstrbução de Gumbel, possvelmente com méda que vara com tempo. Fo suposto que a tendênca temporal na méda desta dstrbução Gumbel pode ser adequadamente representada por um únco parâmetro β, a ser estmado pelo método do Máxmo da Verossmlhança (MV). A varânca assntótca do estmador MV, denotado por ˆβ, fo comparada com a varânca do estmador no qual a tendênca é estmada por regressão lnear (RL); assntotcamente (sto é, quando o tamanho da amostra de dados é sufcentemente grande) a varânca de ˆβ LR é 64% maor do que a varânca de ˆβ ML. Tendêncas lneares de dferentes valores foram superpostas às amostras aleatóras com dstrbução Gumbel padronzada, e as potêncas de três procedmentos para testar a sgnfcânca de tendênca (Máxma Verossmlhança, Regressão Lnear e o teste não-paramétrco Mann-Kendall) foram comparadas. O procedmento MV sempre fo mas potente, tendo procedmento MK sdo o menos potente por uma margem substancal. AGRADECIMENTOS O autor oferece seus snceros agradecmentos aos dos revsores anônmos, pelas mutas correções ao texto em português. REFERÊNCIAS BRUIJNZEEL, L. A. (1990). Hydrology of most tropcal forests and effects of converson: a state of knowledge revew. IHP/IAHS/ UNESCO: Pars p.4. BRUIJNZEEL, L. A. (1996). Predctng the hydrologcal mpacts of land cover transformaton n the humd tropcs: the need for ntegrated research. In: Amazonan Deforestaton and Clmate, p.15-55, Eds. J. H. C. Gash; Cª Nobre, J. M. Roberts and R. L. Vctora. John Wley & Sons Lmted, Chchester. CHANGNON, S. A. & KUNKEL, K. E. (1995). Clmate-related fluctuatons n mdwestern floods durng J. Water Resour. Plann. Mgmt, 11(4), CLARKE, R. T. (00a). Estmatng tme trends n Gumbeldstrbuted data by means of generalzed lnear models. Water Resour. Res. (a ser publcado) CLARKE, R. T. (00b). Estmatng trends n data from the webull and a GEV dstrbuton. Water Resour. Res. (a ser publcado) DOUGLAS, E. M.; VOGEL, R. M. & KROLL, C. N. (000). Trends n floods and low flows n the Unted States: mpact of spatal correlaton. J. Hydrology 40, 1-, GREEN, P. J. (1984). Iteratvely reweghted least squares for maxmum lkelhood estmaton, and some robust and resstant alternatves (wth dscusson). J. R. Statst. Soc B 46, GROISMAN, P. Y. & EASTERLING, D. R. (1994). Varablty and trends n total precptaton and snowfall over the Unted States and Canada. J. Clm., 7, GUTTMAN, N. B.; WALLIS, J. R. & HOSKING, J. R. M. (199). Regonal temporal trends of precptaton quantles n the US. Research report RC (80774) IBM Research Dvson, Yorktown Heghts, NY. HIRSCH, R. M.; HELSEL, D. R.; COHN, T. A. & GILROY, E. J. (1993). Statstcal analyss of hydrologc data, Chapter 17 of 78

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