T ronsformo~ões. Trigonométricos Umo Experiêncio de Instru~õo. Progrom odo

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1 T ronsformo~ões Trigonométricos Umo Experiêncio de Instru~õo EDMAR DIAS TEIXEIRA * Progrom odo 1. PRELIMINARES: o trabalho que ora apresentamos vem sendo desenvolvido há quatro anos em nossas turmas do segundo colegial. Para melhor compreendê-lo é necessário uma explicação preliminar. A partir de 1962, com o advento da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, a Seção Didática de Matemática do CNF pôde organizar seus programas para as classes orgânicas (o colégio já possuía classes experimentais), e uma medida que se impunha era o início do estudo da trigonometria no primeiro colegial, a fim de permitir melhor coordenação horizontal com a Seção de Física. Assim, a primeira unidade de matemática no primeiro colegial passou a ser Estudo das Linhas Trigonométricas, que se inicia com as relações trigonométricas dos ângulos agudos, continuando com o estudo dos vetores (até a determinação da resultante de um sistema de vetores), o círculo trigonométrico, relações entre as linhas trigonométricas, redução ao primeiro quadrante e cálculo das linhas tngonometncas.,. d os arcos expressos pe I a re I açao---==--- - p:n: n No segundo colegial, após uma unidade sôbre conjuntos, que tem como última subunidade o estudo de correspondência e terminando por definir função, retomamos o estudo da trigonometria, na unidade Funções Trigonométricas - Representação Gráfica. Aproveitamos essa unidade para fazer uma revisão intensa da matéria estudada na primeira série. A terceira unidade do segundo colegial corres- * Chefe da Seção de Matemática do Colégio Nova Friburgo. Curriculum, Rio de Janeiro, 8 (3): p. 23/40, jul.l set. 1969

2 24 Curriculum 3/69 ponde às transformações trigonométricas e foi o objeto do nosso trabalho. Se consultássemos os planos de curso de diversos professôres, dificilmente deixaríamos de encontrar entre os objetivos a atingir o desenvolvimento da iniciativa dos alunos e a formação do hábito de estudo e pesquisa. Em vista disto procuramos, em nossas turmas do segundo colegial, organizar um estudo programado sôbre as transformações trigonométricas, sendo que no desenvolvimento do estudo, o aluno é levado a aplicar freqüentemente os conhecimentos de trigonometria, adquiridos anteriormente. É óbvio que, pela forma de trabalho empregada, a apresentação e a assimilação vão sendo feitas simultâneamente. Incluímos quatro testes com respostas dadas no final do estudo para que os alunos pudessem efetuar um autocontrôle do trabalho desenvolvido. Terminado o estudo programado, foram realizadas sessões de estudo dirigido (em média quatro aulas), visando a um refôrço de assimilação e, em seguida, fizemos a verificação da unidade, sendo que os resultados foram altamente positivos. Em continuação vamos mostrar como organizamos o estudo programado. 11. TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS o B A 1) Consideremos os arcos AM = a e MN = b, em um círculo trigonométrico de centro O. Pela figo vemos que: AN=AM+MN.. AN = Ainda pela figo vemos que: PN = sen (a + b); QN = sen b OP=_;OQ=_ ON = OQ + QN

3 Transformações Trigonométricas 25 Pelo teorema de CARNOT, temos que: proj ON = proj OQ + proj QN OP = cos(a+b) OQ = cos b 2) Projetando sôbre o eixo x'x: proj ON = OP = cos(a+b) ; proj OQ = OQ.cos a = o ângulo formado por QN com x'x é 7r /2 + C; como. c = por terem os lados perpendiculares, temos então: proj QN -+ = QN cos ( - 7r -+ 2 donde: proj QN = Finalmente: +-) cos(a+b -+ proj OQ = cosb.cosa ; c = a ; a cosacosb - senasenb -sena.senb 3) Se a projeção fôsse feita sôbre y'y teríamos: -+ -* ( ) proj ON = OP 1 = sen(a + b) ; proj OQ = OQ cos ~-- -+ logo: proj OQ -+ proj QN = QN.cos -- = Portanto: sen(a + b) =. -+ proj OQ = OQ cos(jt/2 - a) = cosbsena. -+ proj QN = QNcosa = senbcosa ; sen(a+b) = senacosb+senbcosa 4) tg (a + b) = sen(a + b), donde tg (a + b) cos(a + b) sena. cosb+cosa. senb cosa. cosb-sena. senb 5) Dividindo ambos os têrmos da fração por cosa.cosb, obtemos: tg(a + b) =

4 26 Curriculum 3/69 tga+tgb l-tgatgb 6) Conhecendo-se sen (a + b ), cos (a + 1: ' cosec(a+b), sec(a+b) e cotg(a+ 1 cosec(a + b) ; sec (a + b) = tg(a+b) o cálculo de ~ imediato, visto que: 1 ; cotg (t+b) = sen(a+b) cos(a+b) 1 tg(a+b) 7) Sendo: sen(a+b) cos(a+b) tg(a+b) , podemos escrever sen 75 = sen e portanto: donde: sen 75 sen 75 ~enacosb+senhcosa cosacosb-senasenb tga + tgb 1 - tgatgb V6 + V2 8) Continuando temos: cos 75 tg 75 = logo: donde: tg 75 = cos 75 = 4 tga + tgb 3 + y3 3 - y tga. tgb

5 Transformações Trigonométricas 27 9) Achar os valôres do seno, co-seno e tangente de 225. sen 225 cos 225 tg 225 y2 2 y ) Sendo sen a = 3/5 ecos b = 5/13 (a e b no 1 Q), cos a = sen b = sen(a + b) = tg(a + b) cos(a + b) = 4/5 12/13-16/65 63/65-63/16 11) Sendo sen a = 8/17, tg b = 5/12 (a e b no 1.0 Q), cos a = ;senb= ;,cos b = sen(a+b) --cos(a+b) --tg(a+b) 15/17 12/13 140/221 5/13 171/ /140 12) Dados cos a = - 12/13, cotg b e b no 3. Q), podemos obter: 24/7 (a no 2. Q sen a = ----" tg a = --- sen b = " cos b =---- 5/l3-5/12-7/25-24/25 13) Sabendo que: sen(x+y) cos(x+y) tg(x+y) e levando em conta os dados anteriores, temos: sen(a + b) = cos(a + b) = tg(a + b)

6 28 Curriculum 3/69 senxcosy +cosxseny cosxcosy -senxseny - 36/ /325-36/323 tgx + tgy 1 - tgxtgy 14) Sendo senx = 1/3, seny = 2/5 (x no 1.0 Q e y no 2. Q), podemos escrever: sen(x+y) cos(x+y) tg(x+y) 4 y!2- y!21 2+2y!42 4 y y!42 TESTE DE CONTRÓLE - 1 1) Sendo a e b arcos do 1.0 quadrante e sabendo-se que sena = 1/2 e senb = 1/3, calcule sen(a+b). 2) Calcule o valor de cos 75. 3) Sendo a e b dois arcos do 4. e 3. quadrantes, respectivamente, e sendo cos a = 3/5 e sen b = - 3/5, calcule tg(a+b). 4) Calcule tg(x+y) sabendo-se que tgx = y!3/3 e tgy = V1S/15. 5) Sendo sen (a+b) = 1/2 e cos a = 1/2, calcule sen b. 6) Elimine x e y no sistema: f x+y=a tgx+tgy=b 1 cotgx. cotgy = c 15) Vimos que sen(a+b) = e como sen(a - b) = sen[a + (-b)], podemos escrever: sen (a - b) = sena. cos ( - b) + cosa. sen ( - b ) logo: sen(a - b) = senacosb+cosasenb senacosb-cosasenb 16) cos(a+b) = ~ cos(a - b) = cos[a + (-b)] cos(a - b) = cosacosb-senasenb cosacosb+senasenb

7 Transformações Trigonométricas 29 17) tg(a + b) = tg(a - tga + tgb 1 - tgatgb b) = ~~~~~~~~~~~~~~_ 18) sen(45 + x) sen(45 - x) \l2senx 19) sen(300 + x) + cos(600 + x) cos x tga - tgb 1 + tgatgb 20) Sendo sena = 3/5 e senb = 5/13 (a e b no 1. Q), determinar: sen(a-b) = -- cos(a-b) 16/65 63/65 tg(a-b) 16/63 21) sen(a + b) + sen(a - b) = -~~- 2senacosb 22) cos(a + b) - cos(a - b) = -~~~~ -2senasenb 23) tg(a + b) - tga 1 + tg(a + b)tga tg b 24) (senacosb-cosasenb)2 + (cosacosb+senasenb)2 = ~~_ 1 25) Sendo: sen(x-y) cos(x-y) tg(x-y) determinar: sen 15 cos 15 tg 15

8 30 Curriculum 3/69 senxcosy -cosxseny Vi (y3-1)- 4 26) sen(a1-b) cosxcosy1-senxseny y2 (y/31-1) 2-y3 4 sen(a-b) = 2cosasenb tgx-tgy 11-tgxtgy 27) cos(a1-b) 1- cos(a-b) =~~~----~-~-- 2cosacosb 28) tg(45 - () 1-tg() 11-t g() 29) Sendo: tg(a1-b ) tg(a-b) podemos escrever: tga1-tgb 1-tgatgb tg(a+h) cotg(a-b) tga-tgb 11-tgatgb 30) Sendo: sen(x1-y) cos(x-y) temos: cos(x-y) sen(x1-y) senxcosy1-cosxseny cosxcosy1-senxseny tgx1-tgy 11-tgxtgy 31) Se tg(x 1- y) = 33 e tg x = 3, tg Y = ,3

9 Transformações Trigonométricas 31 TESTE DE CONTRÔLE - 2 1) Sabendo: cosa = 40/41, Jt < a < 3 Jt/2 senb = - 5/13, 3 Jt/2 < b < 2 Jt calcular sen(a-b), cos(a-~) e tg(a-b). 2) Sendo tga = 1/3, a-b = 45, calcular tg b 3) Sabendo que a - b = 60, calcular o valor numérico de (cosa + COSb)2 + (sena + senb)2. 4) Eliminar x e y entre as três equações: senx + seny = a cosx + cosy b cos(x - y) = c 32) Sabemos que (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2 Supondo y = x, podemos escreve; (2X)2 = x~ + 2X2 + x~... (2X)2 = 4x2 Já vimos também que: sen(a+b) cos(a+b) tg(a+b) Se b = a, podemos escrever: sen 2a cos 2a tg 2a senacosb+cosasen b cosacosb-senasenb tga+tgb l-tgatgb

10 32 Curriculum 3/69 2sena.cosa 2tga 1-tg 2 a 33) Se em cos 2a = ~~~~~~~~~ por 1 - sen 2 a, obtemos: substituímos cos 2 a cos 2a = 34) Se a substituição fôsse sen 2 a = 1-cos 2 a, obteríamos: cos 2a = 2cos 2 a ) Sendo sen 30 = --, cos 30 = e tg 30 = determine utilizando as fórmulas anteriores: sen 60 cos 60 tg 60 1/2 1/2 y 3/2 y3 36) Sabendo que sen () = 3/5 e () no 1. Q podemos escrever: --~sen 2() cos 2(). tg 2() cos ()= tg() 4/5 24/ /4 7/25 37) Sendo sen x = 3/5 e x no 2. o Q, temos: sen2x=~~~- cos 2x = ~~~~- tg 2x = ~ - 24/25 7/ ) Sendo sen () = 1/2 e () no 4. Q, temos: sen 2() = ~~~-cos 2() = ---- tg 2() = ~~~~- - y3/2 1/2 -y'3

11 Transformações Trigonométricas 33 39) Sendo tg (j 1/5 e (j no 2. 0 Q, temos: sen 20 cos 2(j = tg 20 = -~~-~ 5/13 12/13-5/12 40) Sendo tg x u e x no 1. 0 Q, temos: sen 2x = cos 2x = tg 2x = 2u 1 u 2 2u 1 + u u u 2 41) Vimos que: sen 2a cos 2a = ---- ou cos2a = ~---ou ainda cos2a = 2senacosa 42) Vamos agora exprimir sen 3a em função de sena. Podemos escrever: sen 3a = sen(2a + a) logo: Anteriormente vimos que sen(x+y) sen(2a + a) = ~ Substituindo sen 2a ecos 2a (em função de sen a) obtemos: sen 3a =~~~~~~~~~~~~~~~~~~- Substituindo,cos~a por 1 - sen~a, obtemos finalmente: sen 3a = ~~~~~~~~-~~~~~~~~~senxcosy+cosxseny sen2a. cosa + cos a. sena 2sena. cos 2 a+ (1- sen~a) sena 3sena - 4sen 3 a 43) Sendo cos 4a = cos 2(2a), podemos escrever que em função do cos a: cos 4a

12 34 Curricu\um 3/69 44) cos 4 x - sen 4 x é igual a cos 2x? Sugestão: m l _n 4 = (m 2 + n 2 ) (m 2 - n 2 ) Sim 45) sen 2x = ~ cos 2x = ~ ou cos 2x = ou ainda cos 2x tg 2x = ---~ ~ 2senxcosx 2tgx 1-tg~x 46) Fazendo x = a/2, 2x 1-sen 2 x, obtemos: a e substituindo em cos 2x = donde sen (-+-) = cos a = 1-2 sen~ (-~ ) 47) Fazendo x a/2 em cos 2x = 2cos 2 x - 1, obtemos: cos a = 2cos 2 (-+-) - 1 donde cos(-1-) = sen (-+-) cos (-+-)

13 Transformações Trigonométricas 35 + ~!l-cosa ~ l+cosa 49) Multiplicando e dividindo o radicando de tg(a/2) por 1 + cosx, obtemos: tg(a/2) = + v :. tg(a/2) sena l+cosa 50) Multiplicando e dividindo o radicando dp. tg(a/2) por l-cosa, obtemos: (1-cosa)2 tg(a/2) = + V :. tg(a/2) l-cosa sen a Observação: Como tg(a/2) e sen a têm o mesmo sinal, (1+cosa) e (l-cosa) são sempre positivos, nas fórmulas finais dos números 49 e 50 podemos desprezar os sinais ±. 51) Resumindo: sen(a/2) = tg(a/2) = cos(a/2) = -----ou tg(a/2) sena l+cosa sena l-cosa 52) Empregando as fórmulas anteriores, sen jcos 30 = ---- tg 30 = /2 \/3/3 53) Sendo sen a = 5/13 e a no 2. Q, sen(a/2) --- cos(a/2) tg(a/2)

14 36 Curricu\um 3/69 TESTE DE CONTRÔLE ) Considerando os valôres dados e os obtidos no exercício anterior, podemos escrever: cosec(a/2) y'26 ~5- = -~- sec(a/2) = --cotg(a/a) 1/5 1) Sendo a e b arcos do 1.0 Q e sena sen(a - 2b). 1/2 e cosb = O, calcule 2) 45 Sendo 22 30' = --, calcule tg 22 30'. 2 3) Calcule o valor de sen2 a:, tg a: - 4/3 (a: no 1.0 Q). cos2 a:, e tg2 a:, sendo 4) Calcule o valor de sen(x/2), cos x = 1/2 (x no 4. Q). cos(x/2) e tg(x/2) sendo 5) Calcule o valor de sen 11,25. 55) Já vimos que: sen(a+b) cos(a+b) sen(a-b) cos(a-b) senacosb+cosasenb cosacosb-senasenb senacosb-cosasenb cosacosb+senasenb 56) Adicionando e subtraindo membro a membro, respe.ctivamente, as duas primeiras e as duas últimas igualdades, obtemos: sen(a+b) + sen(a-b) sen(a+b) - sen(a-b) cos(a+b) + cos(a-b) cos(a+b) cos(a-b) 2senacosb 2cosacosb 2cosasenb - 2senasenb

15 Transformações Trigonométricas 37 57) Sabemos do curso ginasial que dados dois números, x e y, sendo x > y, se x+y S e x-y = D, então: S + D S-D x e y Fazendo a + b = p e a - b =q (a > b), devemos ter: p + q p- q a e b Substituindo nas igualdades do item anterior, temos: senp + senq senp senq cosp + cosq cosp cosq ( p+q 2sen 2 ).cos ( 2sen p-q) ( cos 2 2 (p+q cos 2 ).cos ( p-q 2 Observação: Se tivermos senp ±.cosq ou cosp±senq, substituímos o seno ou o co-seno pelo co-seno ou seno, respectivamente, do arco ~omplementar e recaímos num dos casos anteriores. 58) sen 60 + sen 30 = 2 sen --- cos sen 45. cos15 sena senb senacosb ± senbcosa 59) tga ±tgb =-- ±-- tga+tgb cosa cosb cosacosb ou: tga ± tgb sen(a ± b) cosacosb

16 38 Curriculum 3/69 60) senx + seny = sen (X: Y ) cos (X 2 Y) 61) sen 50 + sen 40 = 62) cos A + cos B = cos ( A~B ) cos ( A~B ) 63) cos 45 + cos 25 = ) senx - seny =,, x-y ) ( x+y ) 2sen ( 2 cos 2 65) sen 50 - sen 30 = ) cos p - cos q = p+q ) ( p-q ) -2sen ( 2 sen 2 67) cos 35 - cos 75 = 68) cos4a + cos2a sen4a + sen2a tg 3A

17 Transformações Trigonométricas 39 senx seny senx + seny tg (~) 70) sen 4x + sen 2x 71) sen 7a - sen 3a tg ( x: y ) 2sen3x.cosx 2cos5a. sen2a 72) cos 6x + cos 2x 2cos4x. cos2x 73) cos ( 3 2 X ) _ cos (9; ) 2sen3x.sen (_3 2 X) 74) sen 45 + cos 60 = sen ~~~~~~~~~~sen 30 75) cos 50 - sen 25 = cos ~~~~~~~~~~_ cos 65 TESTE DE CONTRÔLE ~ 4 1) sen500 + sen300 = -~~--~~~~~~~~~_ 2) cosloo + cos45 = 3) cos75 - cos15 = 4) sen200 - cos600 = 5) Tornando tga - tgb calculável por logaritmos, tem-se ~~~- 6) Tornando a expressão senx + cosx calculável por logaritmos obtém-se ---~ ~~-_.-

18 40 Curriculum 3/69 RESPOSTAS DOS TESTES DE CONTRÔLE TESTE 1 2y'2 + y3 y'6 y2 I) -----; 2)----,; 3) 6 4 bc 5) 1 ; 6) tga = - c-i 7 5(3 + VIS -;{\ y5 TESTE 2 1) - 308/533, - 435/5333, 308/435; 2) - 1/2; 3) 3;4) a~ + +b 2 =2(I+c) TESTE 3 1) -1/2; 2) y'2-1; 3) 24/25, -7/25, -2417; ~ 2 - '/2+ V2 4) 1/2, - y3/2, - y'3/3; 5) ,:-2--- TESTE 4 1) 2sen400ccslOo;2 )2cos( 55 /2 )cos(35 /2 );3) -2sen45 sen300 4) -2sen5 cos25 ;5) sen(a-b)/cosacosb;6)y2ccs(x -45 )