PLANO DE AULA. 2 Tema: Trigonometria 2.1 Subtemas: Ciclo e identidades (operações com arcos)

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1 PLANO DE AULA 1 Dados de identificação E. E. M. Macário Borba Município: Sombrio/SC Disciplina: Matemática Série: ano Nível: Ensino Médio Turma: 1 Professora: Natália Lummertz Tempo previsto: 3hs aulas Tema: Trigonometria.1 Subtemas: Ciclo e identidades (operações com arcos) 3 Justificativa Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de envolver pontos próximos. Porém, há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não são diretamente acessíveis. Devido a esta dificuldade é preciso conhecer alguns outros conceitos da Matemática, tais como a Trigonometria. Hoje em dia a Trigonometria não é utilizada apenas para estudar triângulos e circunferências, sua aplicação se estende para outra áreas de conhecimento, como eletricidade, mecânica, música, engenharia, entre outros, servindo assim de ferramenta para a resolução de questões lógicas. Diante disso, há a necessidade de uma melhor compreensão do assunto Trigonometria através do seu ensino. 4 Objetivos Construir o ciclo trigonométrico; Identificar as unidades de medida de ângulo e arcos no ciclo trigonométrico; Trabalhar com a medida de um arco em radiano e em grau. Construir um ciclo trigonométrico em material manipulável. Utilizar o ciclo trigonométrico para compreender as relações trigonométricas; Estender a relação fundamental da Trigonometria para o ciclo trigonométrico. Demonstrar relações da trigonometria no ciclo trigonométrico; Operar com arcos. 5 Conteúdos envolvidos

2 Lei dos Senos e Cossenos Trigonometria no triângulo retângulo 6 Estratégias 6.1 Recursos: Quadro, pincel, software Geogebra e materiais manipulativos. 6. Técnicas: Aula expositiva e dialogada com a utilização do software GeoGebra e materiais manipulativos. 7 Procedimentos 7.1 Historicização De acordo com registros, a primeira civilização a utilizar a Trigonometria foi a dos egípcios, seguidos dos babilônicos e chineses. Dois conceitos marcam o início da Trigonometria. São eles: razão entre dois números e triângulos semelhantes. São conceitos em que os matemáticos da Antiguidade se fundamentavam para calcular a altura de pirâmides, a largura de rios, a altura das montanhas, bem como os problemas gerados pela Astronomia, agrimensura e navegação. No Egito, pode-se confirmar a presença da Trigonometria com o papiro de Ahmes. Nele, relata-se a importância na construção de pirâmides de manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt de um ângulo. O seqt de um ângulo representava a razão entre o afastamento horizontal e a elevação vertical da pirâmide. Além disso, os egípcios também tiveram a ideia de associar sombras projetadas por uma vara vertical às sequências numéricas, relacionando, assim, o comprimento da vara com as horas do dia, formando um relógio de sol, que poderia ser chamado de gnômon. Podemos dizer, então, que tais ideias estavam anunciando a chegada, séculos depois, dos conceitos de função tangente e cotangente de um ângulo. Na Babilônia, a Trigonometria foi utilizada associada à religiosidade e à ciência. Para isto, eram elaborados calendários de plantio e de astrologia, estudadas as fases da lua, os pontos cardeais e até as estações do ano. Na China antiga também se constatou o uso da Trigonometria por volta de 1110 a.c. Os triângulos retângulos eram frequentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Evidências indicam, também, que a medida de ângulo e suas relações trigonométricas já estavam presentes entre os chineses durante o reinado de Chóupei Suan-King. Na literatura chinesa encontramos uma frase que podemos traduzir por: o conhecimento vem da sombra e a sombra vem do gnômon.

3 O conhecimento trigonométrico, utilizado pelos egípcios, babilônicos e chineses, foi repassado aos gregos, que vieram a superar os seus mestres. Na Grécia, a Trigonometria teve um grande desenvolvimento e a civilização grega passou a servir de preceptora a todas as nações. A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em triângulos (trígon). 7. Operacionalização da aula: A partir deste subitem apresenta-se as etapas previstas para o desenvolvimento da aula referente ao tema Trigonometria. Inicialmente a professora irá fazer um relato sobre a história da matemática sobre o referido tema. Circunferência Com o auxilio do GeoGebra faremos a definição de circunferência. Dados um ponto A de um plano e uma distância r, chamamos de circunferência de centro A e raio r o conjuntos dos pontos do plano que distam r e A. Arcos e ângulos Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana: arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, inclusive. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.

4 arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que subtende. Comprimento da circunferência de raio r: C=πr Comprimento e medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que subtende, independentemente do raio da circunferência que contém o arco. Usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano para medir arcos. O comprimento do arco é a medida linear do arco, sendo usadas unidades como metro, centímetro, etc.

5 Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano. Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruente, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1º). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário: O grau tem submúltiplos: *1' (1 minuto ) = 1 60 do grau *1'' (1 segundo) = 1 60 do minuto Na Grécia Antiga já se sabia que, em qualquer circunferência, a razão entra o comprimento C e o diâmetro d (d = r) é uma constante. Mais tarde, essa constante foi representada pela letra grega π. Então, C d = C r = π ou C= π r unidades de comprimento. Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do ângulo central) e comprimento de 1 raio. Se temos um ângulo central de medida radianos, então ele subtende um arco de medida radianos e comprimento de raios.

6 Se temos um ângulo central de α radianos, então ele subtende um arco de medida α radianos e comprimento de α raios. Assim, l = αr se a medida α do arco for dada em radianos. Relações entre grau e radiano Sabemos que o comprimento C da circunferência de raio r é igual a C= π r. Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que o arco corresponde à circunferência mede π r= π 1 rad= π rad. Assim, podemos dizer que 360 º= π rad ou 180 º=π rad. Como vimos, uma circunferência mede 360º ou πrad. Assim, um ângulo raso, que determina uma semicircunferência, corresponde a um arco que mede 180º ou π rad. A tabela abaixo fornece a relação entre as medidas em grau e em radiano de alguns ângulos. Observe também a figura: Grau Radiano 0 π 4 π 3 π 4 π 3 π π Exemplo 1: Para verificar quanto mede, em grau, um arco de π 6 grau radiano 180 π π x 6 rad, fazemos os seguintes cálculos: π x=180 π 6 x= 180 π 6 π x = 30

7 Assim, um arco de π 6 rad mede 30º. Circunferência orientada no plano cartesiano Podemos percorrer uma circunferência em dois sentidos; no sentido horário e na sentido anti-horário. Na circunferência abaixo, adotando o sentido anti-horário para as medidas positivas, fica determinado que o sentido oposto (horário) fornece medidas negativas. Assim: sentido anti-horário: med(ab) = 60 sentido horário: med(ab) = A circunferência trigonométrica, ou ciclo trigonométrico, tem centro na origem O(0,0) de um plano cartesiano e raio de 1 unidade. No ciclo trigonométrico, o ponto A(1,0) é a origem de todos os arcos, isto é, o ponto a partir do qual percorremos a circunferência até um ponto P para determinar o arco AP (P é a extremidade do arco). Adotando o sentido anti-horário como positivo, associaremos, a cada ponto P da circunferência, a medida de AP tal que 0 rad med( AP) π rad, ou 0 med ( AP) 360.

8 O eixo das abscissas (eixo A'A) e o eixo das ordenadas (eixo B'B) do plano dividem o ciclo em quatro quadrantes (QI, QII, QIII, QIV), como mostra a figura. Assim, dado um arco AP, temos: Quadrante Medida em Grau Medida em Radiano P QI 0 med ( AP) 90 0 rad med( AP) π P QII 90 med ( AP) 180 π rad med (AP) π rad P QIII 180 med (AP) 70 π rad med( AP) 3 π P QIV 70 med ( AP) 360 π rad med (AP) π rad Arcos côngruos

9 Girando 30, no sentido anti-horário, a partir do ponto A da circunferência trigonométrica abaixo, paramos no ponto M; logo, 30 é uma medida associada ao ponto M. Há,porém, infinitas outras medidas associadas ao ponto M. Por exemplo: Girando uma volta completa mais 30, no sentido anti-horário, a partir do ponto A, também paramos no ponto M. Logo, , isto é, 390 também é uma medida associada ao ponto M. Girando 330, no sentido horário, a partir do ponto A, paramos no ponto M. Logo, -330 também é uma medida associada ao ponto M.

10 Arcos trigonométricos que têm a mesma extremidade são chamados de arcos côngruos. Se α e β são medidas de arcos côngruos, indicamos: α β (lê-se: α é côngruo a β). Assim, no exemplo anterior, temos: Simetria no ciclo trigonométricos É de grande utilidade saber relacionar medidas de arcos trigonométricos com extremidades simétricas em relação a um dos eixos coordenados ou à origem do sistema cartesiano, pois isso ajudará, mais adiante, a calcular senos, cossenos, tangentes, etc, desses arcos. Consideremos, por exemplo, o ponto M, da circunferência trigonométrica abaixo, associado à medida 30. Pelo ponto M, tracemos três retas: a perpendicular ao eixo das ordenadas, a que passa pela origem do sistema e a perpendicular ao eixo das abscissas. Essas retas interceptam a circunferência nos pontos N, P e Q, respectivamente. Os pontos N, P e Q são chamados de simétricos (ou correspondentes) do ponto M. Determinemos as medidas x (com 0 x<360 ) associadas a esses pontos:

11 Os ângulos NÔE e MÔF têm a mesma medida, pois os triângulos NOE e MOF são congruentes. Logo, o arco trigonométrico AN mede , ou seja, 150. Os ângulos PÔE e MÔF têm a mesma medida, pois são opostos pelo vértice. Logo, o arco trigonométrico AP mede , ou seja, 10. Os ângulos QÔF e MÔF têm a mesma medida, pois os triângulos QOF e MOF são congruentes. Logo, o arco trigonométrico AQ mede , ou seja, 330. Generalizando esses resultados: Sendo α uma medida em grau Sendo α uma medida em radiano

12 Seno e cosseno de um arco Com base na ideia de seno e cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, vamos estender o conceito de seno e cosseno para um arco trigonométrico. Para estender a transição do triângulo retângulo para a circunferência trigonométrica, considere um arco trigonométrico AM de medida α, com 0 < α < 90. Como o raio da circunferência trigonométrica mede 1 e a medida do ângulo central MÔA é igual à medida do arco AM, em grau, temos no triângulo retângulo OMP: cosα= OP 1 =OP sen α= PM 1 =PM Portanto, cos α e sen α são, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M. Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chamam-se cosseno e seno de α a abscissa e a ordenada do ponto M, respectivamente.

13 Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo das abscissas como eixo dos cossenos e ao eixo das ordenadas como eixo dos senos. Observe que, como a circunferência trigonométrica tem raio unitário, temos para qualquer arco de medida x: -1 cos x 1-1 sen x 1 Variação do seno Vimos que o seno de um arco trigonométrico é a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1 e os do quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os do 3 e os do 4 quadrante, temos as seguintes variações para o seno: Variação de sinal do cosseno Vimos que o cosseno de um arco trigonométrico é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas positivas são os do 1 e os do 4 quadrante e os pontos de abscissas negativas são os do e os do 3 quadrante, temos as seguintes variações para o cosseno:

14 Redução ao 1 quadrante do seno e cosseno No estudo da Trigonometria no triângulo retângulo, deduzimos a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis. Devido à igualdade entre a medida do arco e a do ângulo central que determina esse arco na circunferência trigonométrica, se considerarmos 30, 45 e 60 como medidas de arcos trigonométricos, os valores dessa tabela permanecem os mesmos. Grau ou radianos 30 ou Seno 1 Cosseno 3 π 6 45 ou π 4 60 ou 3 1 π 3 O objetivo do estudo deste tópico é relacionar o seno e o cosseno de um arco de, do 3 ou do 4 quadrante com o seno e o cosseno do arco correspondente no 1 quadrante. Para exemplificar, utilizaremos a tabela dos arcos notáveis. Observe que ela apresenta senos e cossenos de alguns arcos do 1 quadrante. Vejamos como usar essa tabela nos demais quadrantes acompanhando o exemplo a seguir: Exemplo: Usando a tabela dos arcos notáveis, calcular sem 150 e cos 150. Resolução A extremidade M do arco de 150 pertence ao quadrante. Traçando por M a perpendicular ao eixo dos senos, obtemos o ponto P, correspondente de M no 1 quadrante, conforme a figura abaixo. Os pontos M e P têm ordenadas iguais e abscissas opostas. Logo: Sen 150 = Sen 30 e cos 150 = - cos 30 = - 3

15 Relação fundamental da Trigonometria Dado um arco trigonométrico de medida α, temos: sen α+cos α=1 Vamos demonstrar apenas o caso em que a extremidade do arco de medida α é um ponto do 1 quadrante; porém, é importante ressaltar que a relação continua verdadeira mesmo que essa extremidade não esteja no 1 quadrante. Demonstração: Seja α a medida de um arco com extremidade no 1 quadrante, conforme mostra a figura abaixo. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OMP, temos: (PM) + (OP) = (OM) Mas sabemos que: PM= Sen α, OP = cos α e OM = 1 (raio) Logo, temos: sen α+cos α=1. Tangente de um arco Assim como fizemos anteriormente, vamos estender o conceito de tangente para um arco trigonométrico tomando por base a ideia d tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Para compreender essa extensão, considere o arco trigonométrico AM de medida α, com 0 < α < 90, e o eixo real t de origem A, com a mesma direção e a mesma orientação do eixo Oy, conforme mostra a figura abaixo. Para determinar a tangente do arco AM, traçamos a reta OM até sua intersecção T com o eixo t.

16 A tangente de α é a medida do segmento de reta AT contido no eixo real t, que será chamado, de agora em diante, de eixo das tangentes. Ampliando essa ideia, vamos definir a tangente para qualquer arco trigonométrico. Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida α, com M não pertencente ao eixo das ordenadas, chama-se tangente de α a ordenada do ponto T, que é a intersecção da reta OM com o eixo das tangentes.

17 Observe que o ponto M não pode coincidir com B nem com B', pois os prolongamentos dos raios OB e OB' não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B'; ou seja, na 1 volta da circunferência trigonométrica, não existe tg 90 nem tg 70. Variação da tangente Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no ou no 4 quadrante, o prolongamento do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto S de ordenada negativa. Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no 1 ou no 3 quadrante, o prolongamento do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto T de ordenada positiva.

18 Ou seja, a tangente é positiva para os arcos do 1 e do 3 quadrante e negativa para os arcos do e do 4 quadrante. Em resumo, essa variação de sinal pode ser assim representada: A tangente como razão do seno pelo cosseno No estudo do triângulo retângulo, vimos que a tangente de um ângulo agudo pode ser obtida pela razão do seno pelo cosseno desse ângulo. É possível generalizar esse fato para a tangente de qualquer arco trigonométrico de medida α, com cos α 0. Se um arco trigonométrico tem medida α, com cos α 0, então: tg α = Demonstração: Seja α a medida de um arco trigonométrico AM com extremidade em M no 1 quadrante, ou seja, 0 < α < 90 ; traçando a reta OM, obtemos:

19 Redução ao 1 quadrante da tangente O fato de a medida de um arco trigonométrico ter a mesma medida do ângulo central correspondente garante que a tangente de um arco trigonométrico seja igual à tangente do ângulo central correspondente. Como consequência, a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis continua válida para arcos trigonométricos. Assim, acrescentando os valores da tangente à tabela trigonométrica dos arcos notáveis, temos: Grau ou radianos 30 ou π 6 45 ou π 4 60 ou π 3 Seno 1 3 Cosseno 3 1 Tangente Conhecida a tangente de um arco trigonométrico do 1 quadrante, podemos calcular a tangente do correspondente desse arco em qualquer quadrante, conforme exemplo a seguir: Exemplo: Consultando a tabela trigonométrica dos arcos notáveis, determinar o valor de tg 10. Resolução O correspondente, no 1 quadrante, da extremidade M do arco de 10 é o ponto P, extremidade do arco de 60. Como os triângulos OTA e OT'A da figura são congruentes, os pontos T e T' têm ordenadas opostas. Assim, concluímos: tg 10 = - tg 60 = - 3

20 Relações fundamentais Além de seno, cosseno e tangente, existem outras três funções trigonométricas, são elas: secante, cossecante e cotangente. Secante Definimos secante de um ângulo de medida α, e denotamos por sec α, a razão : sec α= 1 cosα, para todo cos α 0 No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a sec α. Pelo ponto P, extremidade do arco AP, que corresponde ao ângulo de medida α, traçamos a reta tangente à circunferência e que intercepta o eixo das abscissas no ponto E. Podemos observar que OE = y = sec α. De acordo com o que já vimos, OC = cos α, CP = sen α e OP = 1(raio). Olhando para o ângulo β, percebemos que OP é cateto oposto a β e OE é a hipotenusa, com essas duas informações temos que: senβ= 1 OE = 1 y, então y= 1 senβ Porém nos interessa saber uma relação com α e não com β, mas sabemos que sen e cos são complementares e portanto sen β = cos α. Logo, temos: y= 1 cosα como y = sec α, temos sec α= 1 cosα

21 Variação da secante No ângulo de 90 ou Cossecante π e no 70 ou 3 π a secante α não existe. Definimos cossecante de um ângulo de medida α, e denotamos por cossec α, a razão : cossec α= 1 sen α, para todo sen α 0 No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a cossec α.

22 Pelo ponto P, extremidade do arco AP, que corresponde ao ângulo de medida α, traçamos a reta tangente à circunferência e que intercepta o eixo das ordenadas no ponto F. Podemos observar que OF = y = cossec α. De acordo com o que já vimos, DP = cos α, OD = sen α e OP = 1(raio). Olhando para o ângulo α, percebemos que OP é cateto oposto a α e OF é a hipotenusa, com essas duas informações temos que: Logo, temos: Variação da cossecante sen α= 1 OF = 1 y, então y= 1 sen α cossec α= 1 sen α No ângulo de 0 e no 180 ou Cotangente π a cossecante α não existe. Definimos cotangente de um ângulo de medida α, e denotamos por cotg α, a razão : cotg α= cosα senα, para todo sen α 0 No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a cotg α.

23 Seja t' a reta que passa pelo ponto B e é paralela ao eixo das abscissas. Se P é a extremidade do arco AP, a reta OP intercepta t' no ponto T. Por semelhança dos triângulos OBT e ODP, é possível demonstrar que seja, que BT = cotg α. BT OB = DP OD onde OD é sen e DP é cos, assim temos: BT OB = cosα sen α, ou

24 Adição de arcos Cosseno da soma Conhecidos os valores do seno, do cosseno e da tangente dos arcos notáveis (30, 45 e 60 ), podemos encontrar diversos outros valores das funções circulares realizando operações de adição e subtração com esse arcos. Este tópico traz a demonstração da fórmula do cosseno da soma de dois arcos. As demais fórmulas apresentadas são consequências diretas dessa primeira. As fórmulas da adição de arcos permitem calcular, por exemplo, sen 75, cos 105, tg 15 etc. (note que 75 = ou 75 = ), sem o uso de tabelas trigonométricas. Vamos determinar o cosseno do arco AN, somando os arcos AM e MN, sendo conhecidos a, b, sen a, sen b, cos a e cos b. No ciclo trigonométrico acima, os arcos AM e MN têm medidas a e b, respectivamente. De acordo com a figura, OP = OQ PQ; como PQ = SR, podemos escrever: OP = OQ SR O triângulo OPN é retângulo. Logo: OP = cos (a + b) (I ) Para determinar OQ, consideramos os triângulos retângulos OQR e ORN: Δ OQR OQ = OR cos a Δ ORN OR = ON cos b. Como ON = 1, OR = cos b. Então: OQ = cos a cos b (II) Para determinar SR, tomamos os triângulos retângulos RSN e ORN: Δ RSN SR = NR sen a Δ ORN OR = ON sen b. Como ON = 1, NR = sen b.

25 Então: SR = sen a sen b (III) Substituindo as expressões (I), (II) e (III) em OP = OQ SR, resulta em: cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b Cosseno da diferença Vamos agora substituir, na fórmula acima, o arco (+b) pelo arco (-b). Sabemos que cos (-b) = cos b e sen (-b) = - sen b. Substituindo na fórmula anterior, temos: cos[a + ( -b)] = cos a cos (-b) - sen a sen (-b) cos (a b) = cos a cos b - sen a (- sen b) cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b Logo: cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b Seno da soma Lembrando que sen x = cos( π x) e usando a fórmula anterior, escrevemos: Portanto que é falso! Essa igualdade é falsa, pois sen(a+b)=cos[ π (a+b)]=cos[( π a) b]=cos( π a) cosb+sen( π a) senb Como cos( π a)=sena esen( π a)=cosa, resulta em : Seno da diferença sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a Novamente, vamos considerar o arco (-b) na fórmula acima. Sabemos que: cos (-b) = cos b e sen (-b) = - sen b. Substituindo na fórmula anterior, temos: Logo: Tangente da soma sen [a + (-b)] = sen a cos (-b) + sen (-b) cos a sen (a - b) = sen a cos b + (-sen b) cos a sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a Uma das relações mais importantes da Trigonometria é a que determina a tangente de um arco a partir dos valores do seno e do cosseno desse arco. Então, se tg x = sen x cos x, para cos x 0, vamos tomar x = a +b e determinar a tg (a + b) a partir dos valores de tg a e de tg b: tg (a + b) sen( a+b) cos( a+b)

26 Aplicando as fórmulas do seno da soma e do cosseno da soma, temos: tg(a+b)= Logo: tg(a+b)= k Z Tangente da diferença sena cosb+senb cosa cosa cosb cos a cosb sena senb cosa cosb = sena cosb sen b cos a + cosa cosb cosa cosb cos a cos b cos a cos b sena sen b cosa cosb = tg a+tg b 1 tga tg b tg a+tg b 1 tga tg b, em que a π +k π, b π +k π e (a + b) π +k π,k Como nos casos anteriores, vamos considerar o arco (-b). Pela simetria em relação ao eixo x, temos tg (-b) = -tg b. Logo: tg(a - b)= Assim: tg [a + (-b)] = tg a+tg( b) 1 tg a tg( b) = tg a tg b 1+tg a tgb tg a tg b 1+tg a tgb, em que a π +k π, b π +k π e (a + b) π +k π,k k Z Seno do arco duplo Logo: Fórmulas para arcos duplos Aplicando a fórmula do seno da soma, temos: Cosseno do arco duplo Logo: sen a = sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a sen a = sen a cos a Aplicando a fórmula do cosseno da soma, temos: Na fórmula do cosseno do arco duplo: cos a = cos (a + a) = cos a cos a - sen a sen a cos a = cos a - sen a substituindo cos a por 1 - sen a, vem : cos a = 1 sen a substituindo sen a por 1 - cos a, vem : cos a = cos a 1 Tangente do arco duplo Vamos aplicar o mesmo raciocínio usado acima para determinar a fórmula que nos fornece tg a: tg a = tg (a + a) = tg a+tg a 1 tg a tg a

27 Logo: tg a = tg a 1 tg² a,a π 4 + k π e a π +k π, k Z 8 Avaliação: 8.1 Instrumentos de avaliação Como avaliação será aplicado um prova com 5 questões, com peso: 10. A prova aplicada é esta abaixo: INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO Prof. Orientadora: Marleide Coan Cardoso/ Margarete Farias de Medeiros Professora: Natália Lummertz Aluno: Data: AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1) Assinale a resposta certa com V para verdadeira e F para falsa. Justificando as falsas. ( ) Dados um ponto A de um plano e uma distância r, chamamos de circunferência de centro A e raio r o conjuntos dos pontos do plano que distam r e A. ( ) Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao diâmetro da circunferência. ( ) Arcos trigonométricos que têm a mesma extremidade são chamados de arcos côngruos. ( ) Cos α e sen α são, respectivamente, a ordenada e a abscissa do ponto M. ) Some a(s) alternativa (s) que você considera correta (s). 01. A tangente é positiva no 1 e 3 quadrante e negativa no e 4 quadrante. 0. Sen(a+b) = sen a + sen b 04. De acordo com registros, a primeira civilização a utilizar a Trigonometria foi a dos egípcios, seguidos dos babilônicos e chineses. 08. A secante é crescente e positiva no 1, decrescente e negativa no quadrante, crescente e

28 positiva no 3 quadrante e no 4 quadrante ela é decrescente e negativa. Soma 3) Sendo sen 75 a soma dos arcos notáveis de 45 e 30, verifique qual das alternativas abaixo é a correta. a) 3 b) 6+ 4 c) ) Usando as operações com arcos, calcule: a) Sen 105 b) cos 15 5) Uma pessoa caminha sobre um arco de uma circunferência e para no ponto P, cujo ângulo é α. Identifique no ciclo trigonométrico o cos, sen, tag, sec, cossec e cotg do ângulo ilustrado abaixo. Ninguém conhece as suas próprias capacidades enquanto não as colocar à prova Públio Síro

29 9. Referências bibliográficas: BARROSO, Juliane Matsubara; Conexões com a Matemática, vol..1. ed. São Paulo: Moderna, 010. DANTE, Luiz Roberto; Matemática, volume único.1. ed. São Paulo: Ática, 005. PAIVA, Manoel; Matemática Paiva: vol..1. ed. São Paulo: Moderna, 009.