5 Demonstrações das fórmulas da adição de arcos no contexto da trigonometria no círculo trigonométrico

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1 49 5 Demonstrações das fórmulas da adição de arcos no contexto da trigonometria no círculo trigonométrico Os conceitos inicialmente construídos, tendo o triângulo retângulo como referência serão estendidos agora. Passaremos a tratar de seno e cosseno de números reais e será possível generalizar as fórmulas de trigonometria. Para melhor compreensão do leitor, faremos uso de arcos no primeiro quadrante em algumas demonstrações. A generalização das fórmulas se dá através das reduções ao primeiro quadrante. Vale ressaltar que, as medidas dos ângulos assinalados nas figuras a seguir são determinadas apenas a menos de um múltiplo inteiro de, pois P E(t) implica P E( t k ) para todo k. Por exemplo, o ângulo de 7 radianos é também o ângulo de. 3 radianos. O que corresponde a um arco que dá três voltas completas no círculo trigonométrico e tem sua extremidade no ponto que coincide com o arco de radianos, portanto, os ângulos de 7 e são côngruos e consequentemente possuem os mesmos senos e cossenos. Em particular, teremos sen t k sen t e cos t k cost, k. 5.1 Proposta 6: : Uma demonstração do cosseno da soma de arcos e do seno da soma de arcos. Sejam os arcos AP com determinação a e PQ com determinação b. O arco AQ tem determinação ( a b ). Figura 41: Uma demonstração do cosseno e do seno da soma de arcos

2 50 Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico de raio unitário acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então podemos construir algumas relações: OM cos a OM OP. cos a, mas como OP 1 OP OM cos a (1) OS cos b OS OQ. cos b, mas como OQ 1 OQ OS cos b () MP sen a MP OP. sen a, mas como OP 1 OP MP sen a (3) SQ sen b SQ OQ. sen b, mas como OQ 1 OQ SQ sen b (4) ON cos a b ON OQ. cosa b OQ, mas como OQ 1 ON cos( a b) (5) NQ sen a b NQ OQ. sen a b OQ, mas como OQ 1 NQ sen ( a b) (6) Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações: I) cos( a b) cos a.cos b sena. No triângulo OVS OV cos a OV cos a. OS,substituindo OS () nessa relação OV cos a. cos b (7) No triângulo QTS TS sen a TS sen a. SQ,substituindo (4) SQ nessa relação TS sen a. sen b (8)

3 51 Observando o círculo trigonométrico da figura 41, notamos que: ON OV NV e também NV TS. Logo, ON OV TS Substituindo as relações (5), (7) e (8) na igualdade acima, obteremos: cos( a b) cos a.cos b sen a.sen b II) sena b sena.cos b. cos a No triângulo OVS VS sena VS sena. OS,substituindo () OS nessa relação VS sena. cos b (9) No Triângulo QTS TQ cos a TQ SQ. cos a,substituindo (4) SQ nessa relação TQ. cos a (10) Observando o círculo trigonométrico da figura 41, notamos que: NQ NT TQ e também NT VS. Logo, NQ VS TQ Substituindo as relações (6), (9) e (10) na igualdade acima, obteremos: sen a b sen a.cos b sen b. cos a

4 5 5. Proposta 7: Uma demonstração do cosseno da diferença de arcos e do seno da diferença de arcos Sejam os arcos AQ com determinação a, PQ com determinação b. O arco AP possui determinação a b. Figura 4: Uma demonstração do cosseno e do seno da diferença de arcos Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico de raio unitário acima, podemos construir algumas relações: OS cos b OS OP. cos b, mas como OP 1 OP OS cos b (1) SP SP OP., mas como OP 1 OP SP () MP sen a b MP OP. sen a b OP, mas como OP 1 MP sen ( a b) (3) OM cos a b OM OP. cosa b OP, mas como OP 1 OM cos( a b) (4)

5 53 Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações: I) cos( a b) cos a.cos b sena. No triângulo ONS ON cos a ON cos a. OS,substituindo OS (1) nessa relação ON cos a. cos b (5) No Triângulo TPS TP sena TP sena. SP,substituindo () SP nessa relação TP sena. (6) Observando o círculo trigonométrico da figura 4, notamos que: ON OM NM e também NM TP. Logo, ON OM TP Substituindo as relações (4), (5) e (6) na igualdade acima, obteremos: cos( a b) cos a.cos b sena. II) sen a b sena.cos b. cos a No triângulo ONS NS sena NS sena. OS,substituindo (1) OS nessa relação NS sena. cos b (7) No Triângulo TPS TS cos a TS SP. cos a,substituindo () SP nessa relação TS. cos a (8)

6 54 Observando o círculo trigonométrico da figura 4, notamos que: NT NS TS e também NT MP. Logo, MP NS TS Substituindo as relações (3), (7) e (8) na igualdade acima, obteremos: sen a b sena.cos b. cos a 5.3 Proposta 8: Outra demonstração do cosseno da diferença de arcos Conhecida a fórmula da distância entre dois pontos, vamos deduzir a fórmula de cos a b : Marcamos no círculo trigonométrico os arcos: AP de determinação a AQ de determinação b AR de determinação a b Figura 43: Outra demonstração do cosseno da diferença de arcos Percebe-se que as coordenadas de A são ( 1,0), as de P são (cos a,sen a) Q são (cos b,) e as de R são [cos( a b),sen( a b)]., as de

7 55 Percebe-se ainda que AR tem medida a b e que QP tem essa mesma medida a b. Por isso a distância entre A e R é igual à distância entre P e Q. Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos AR cos( a b) 1 sen( a b) 0 AR cos ( a b) cos( a b) 1 sen ( a b) Pela relação trigonométrica fundamental sabemos que: sen ( a b) cos ( a b) 1 Então: AR cos( a b). A distância entre os pontos P e Q é: PQ (cos b cos a) ( sena) PQ cos b cos a cos b cos a sen b sena sen a Como cos a sen a 1 e cos b sen b 1 PQ cos a cos b sena. Vemos que as distâncias AR e PQ são iguais. Logo: cos( a b) cos a cos b sen a sen b

8 56 Elevando ao quadrado: cos( a b) cos a cos b sena cos( a b) cos a cos b sena cos( a b) cos a cos b sena Então a fórmula da diferença de arcos é: cos( a b) cos a cos b sena 5.4 Proposta 9: Mais outra demonstração do cosseno da diferença de arcos Conhecida a fórmula da distância entre dois pontos e a Lei dos Cossenos, vamos deduzir uma fórmula para cos a b: Marcamos no círculo trigonométrico os arcos AP > AQ. AP de determinação a AQ de determinação b PQ de determinação a b Figura 44: Mais outra demonstração do cosseno da diferença de arcos

9 57 Assim, na figura acima, poderemos escrever, pela Lei dos Cossenos, para o triângulo OPQ : PQ OP OQ. OPOQ..cos( a b) (1) Ora, OQ OP 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário). () PQ = distância entre os pontos P(cos a,sena) e Q (cos b,). Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos PQ (cos a cos b) (sen a sen b) (3) Assim, substituindo os elementos conhecidos () e (3) na fórmula acima (1), vem: (cos a cos b) (sen a sen b) cos( a b) Desenvolvendo cos a.cos a.cos b cos b sen a.sen a.sen b sen b.cos( a b) Lembrando que cos a sen a cos b sen b 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo: 1 1.cos a.cos b.sen a.sen b.cos( a b) Simplificando, fica: (cos a.cos b sena.sen b).cos( a b) Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b: cos( a b) cos a cos b sena

10 Proposta 10: Outra demonstração do cosseno da soma de arcos: Esta demonstração será dividida em duas partes. Na primeira, demonstraremos o cosseno da soma de arcos para números positivos e na segunda, para números negativos. Assim, a demonstração será válida para quaisquer números reais. 1ª parte: Sejam P,Q e R os pontos do círculo associados aos ângulos a, a b e b, respectivamente. Em relação ao sistema cartesiano xoy as coordenadas desses pontos são: P cos a, sena Q cos R a b, sena b cos b, Figura 45: Outra demonstração do cosseno da soma de arcos Os arcos AQ e RP tem a mesma medida a b, portanto, os segmentos AQ e RP têm o mesmo comprimento. Aplicando então a fórmula de distância entre dois pontos da Geometria Analítica d AQ x x y y Q A Q cos a b1 sen a b cos A 0 a b.cosa b1 sen a b. cos a b

11 59 d RP x x y y P R P cos a cos b sen a sen b cos a.cos a.cos b cos R b sen.cos a.cos b.sen a. a.sen a.sen b sen b d AQ d RP.cos a b.cos a.cos b.sen a. E, então vem a fórmula: cos( a b) cos a.cos b sena. ª parte: Sejam P, Q e R os pontos do círculo associados aos ângulos a, a b e b, respectivamente. Em relação ao sistema cartesiano xoy as coordenadas desses pontos são: P Q Q cos( a),sen( a) P cos a, sena cos a b,sen a b Q cos ( a b),sen ( a b) cos( a b), sen( a b) R cos b, Figura 46: Outra demonstração do cosseno da soma de arcos

12 60 Os arcos AQ e RP tem a mesma medida a b, portanto, os segmentos AQ e RP têm o mesmo comprimento. Aplicando então a fórmula de distância entre dois pontos da Geometria Analítica d AQ x x y y Q A Q cos a b1 sena b 0 A cos a b.cosa b1 sen a b. cos a b d RP x x y y P R P R cos a cos b sena cos a.cos a.cos b cos.cos a.cos b.sen a. b sen a.sen a.sen b sen b d AQ d RP.cos e então vem a fórmula: cos( a b) cos a.cos b sena. a b.cos a.cos b.sen a. Agora temos uma demonstração do cosseno da soma de arcos válida para quaisquer números reais. Essa demonstração pode ainda ser melhor verificada caso sejam construídas as figuras no Geogebra, que é um software gratuito de matemática dinâmica (encontrado no site para download). Poderemos, assim, movimentar os pontos P, Q e R sobre o círculo, situando-os em qualquer quadrante e fazendo variar os ângulos conforme queira. Verificaremos que os segmentos AQ e RP permanecerão com o mesmo comprimento. Logo, utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos onde quer que estejam os pontos P, Q e R no círculo e para qualquer ângulo observado. Concluiremos então que a demonstração é válida para quaisquer números reais.