ANÁLISE COMBINATÓRIA. C p m. P m. A p m BANCO DO BRASIL E CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. Combinações

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA Princípio Fundamental da Contagem Se uma ação pode ocorrer de n OU m maneiras distintas e independentes entre si, para a ocorrência dessa ação existem: Desde já associe: OU + m + n possibilidades Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos E, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de realizar a ação é: m x n possibilidades Associe também: E x Fatorial (!) Fatorial de um número natural é a multiplicação deste número por todos os seus precedentes inteiros até o 1. Ex: 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = 24 5! = = 120 1! = 1 0! = 1 Exercício: Simplifique as frações: 12! a) 10! b) c) 28! 29! 30! ( n 3)! ( n 2)! Arranjos É utilizando quando o problema ou a situação exige que se forme um grupo, e nesse grupo a ordem dos elementos é importante. A p m m! ( m p)! Ex. Montagem de uma senha. Combinações É utilizando quando o problema ou a situação exige que se forme um grupo, e nesse grupo a ordem dos elementos NÃO é importante. C p m m! ( m p)! p! Ex. Montagem de uma dupla de vôlei. Permutações Quando, no problema, o grupo já está formado. Exige-se apenas que se faça a troca da posição, ou permu-tação, dos elementos. P m m! Ex. Calcular a quantidade de anagramas da palavra TRIGO. P P 5 5! Quando existem elementos repetidos no conjunto da-do, devemos desconsiderar as permutações entre es-ses elementos, dividindo pelo número de permutações desses elementos entre si.,,..., m! P m!,!,...,! Ex. Calcular a quantidade de anagramas da palavra ARARA TESTES: 5! P 10 3!.2! 01. (UPF-RS) Cinco jovens voltam de uma festa em um automóvel de cinco lugares. Um deles não tem habilitação para dirigir e o outro encontra-se alcoolizado. De quantas maneiras diferentes podem os jovens ser distribuídos nos cinco lugares do automóvel, de sorte que nem o não habilitado e nem o alcoolizado fiquem no volante? a) 72 b) 120 c) 40 d) 60 e) Com os algarismos de 1 a 7, quantos números de três algarismos distintos podemos formar, de modo que os números obtidos sejam todos ímpares? a)42 b)20 c)120 d)168 e)60 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 03. Numa reunião de uma empresa, cinco pessoas dispostas lado a lado, desejam registrar fotografias comemorativas do final de cada ano. Considerando-se apenas o posicionamento das pessoas em cada foto, quantas fotos podem ser registradas de forma que Artur e Beto não estejam juntos na foto? a) 120 b) 72 c) 48 d) 4! e) n.d.a. 04. De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca? a)12 b)30 c)42 d)240 e) O número de anagramas da palavra ERNESTO que começam e terminam por consoante é: a)480 b)720 c)1440 d)1920 e) Quantas comissões de 4 pessoas podemos formar com 6 rapazes e 3 moças, de modo que tenhamos pelo menos 2 moças em cada comissão? a) 45 b) 60 c) 51 d) 126 e) n.d.a. 07. Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase, foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? a) 10 b) 11 c) 12 d) Em um grupo de 8 pessoas,4 serão sorteadas para receber, cada uma, um mesmo prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação? 09. Em um grupo de 8 pessoas, 4 serão sorteadas para receber, cada uma, um prêmio distinto.de quantas maneiras pode ocorrer a premiação? a) 24 b) 1680 c) 70 d) Uma prova de atletismo é disputada por 8 corredores.no pódio, os três primeiros recebem, cada um, uma medalha diferente.de quantas maneiras pode ocorrer a premiação? a) 56 b) 336 c) 1680 d) (ESAF/AFTN) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: a) 1650 b) 165 c) 5830 d) 5400 e) Ao final de uma competição, 10 participantes se despediram com um aperto de mão.podemos dizer que foram trocados: a)10 apertos de mão b) 20 apertos de mão c) 90 apertos de mão d) 100 apertos de mão e) 45 apertos de mão 13. (UTP-PR) Seis torcedores do Atlético e certo número de torcedores do Coritiba assistem a um Atletiba.Com o empate final, todos os coxas cumprimentam-se entre si uma única vez e todos os atleticanos cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo um total de 43 cumprimentos.o número de coxas é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) n.d.a a) 24 b) 1680 c) 70 d) 3360 e) n.d.a. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 2

3 14. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura. As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? (A) 336 (B) 392 (C) 448 (D) 556 (E) (UEL-PM-2010) Sejam quatro cidades designadas por A, B, C E D. Considere que há três rodovias que ligam a cidade A com a cidade B, duas rodovias que ligam a cidade B com a cidade C e quatro rodovias que ligam a cidade C com a cidade D. Se desejarmos ir de A até D, passando pelas cidades B e C, de quantas formas poderemos realizar tal percurso? a) 12 b) 16 c) 24 d) 30 e) (MACKENZIE-SP) Um trem de passageiros é constituido de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir a frente e que o vagão do restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de se montar a composição é: a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) (UEL) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos triângulos distintos existem com vértices em 3 desses pontos? a) 220 b) 230 c) 274 d) 286 e) (PUC) Dos anagramas da palavra CASTELO, quantos têm as vogais em ordem alfabética e juntas? a) 180 b) 144 c) 120 d) 720 e) (UDESC) O número de anagramas de quatro letras, começando com a letra G, que pode ser formado com a palavra PORTUGAL é: a) 70 b) c) 210 d) e) (UFAM) O número de anagramas da palavra GREVE é: a) 120 b) 60 c) 20 d) 40 e) (Unesp SP) Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovias e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) (Unificado) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo : 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria ; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 b) c) 9562 d) e) (UECE) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: a) 3003 b) 792 c) 455 d) 286 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 24. (Unifor) Quantas são os anagramas da palavra VOLUME que começam por vogal e terminam por vogal? a) 216 b) 192 c) 144 d) 72 e) (PUC Campinas) O número de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é: a) 360 b) 720 c) 1440 d) 2160 e) (CESGRANRIO-EPE-2007) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição? (A) 120 (B) 184 (C) 216 (D) 240 (E) (CESGRANRIO-CEF-2008) Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) (CESGRANRIO-C-2007) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser escaladas? (A) (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) (CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? (A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27 GABARITO: a c b c b c d c B 1 b d e d b c e a c c 2 b d d d c e c e d c PROBABILIDADE n( A) P( A) n( E) Importante: e, utilizar multiplicação ou, utilizar soma PROBABILIDADE DE UNIÃO P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Objetos muito utilizados no estudo das probabilidades 1) Dado: cubo (6 faces), numeradas de 1 a 6. 2) Moeda: Dois lados, cara(c) e coroa(k). 3) Baralho: 52 cartas, sendo 13 de cada naipe. Cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. Naipes: (ouros) (paus) (copas) (espadas) Exemplos: 01. No lançamento de um dado qual a probabilidade de ocorrer: a) um número par. P % b) Um número maior que P 67% No lançamento de um dado e uma moeda qual a probabilidade de ocorrer um número par e cara? 3 1 P % Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 4

5 TESTES: 01. No lançamento de 3 moedas, calcule a probabilidade de ocorrer exatamente três coroas. a) 3/8 b) 1/8 c) 3/5 d) 1/6 e) 4/7 02. No lançamento de 3 moedas, calcule a probabilidade de ocorrer exatamente duas coroas. a) 3/8 b) 1/8 c) 3/5 d) 1/6 e) 4/7 03. No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer a soma dos números igual a 7. a) 3/4 b) 6/7 c) 1/6 d) 2/7 e) 1/8 04. De um baralho de 52 cartas, retira-se simultaneamente 2 cartas, calcule a probabilidade de ocorrer dois reis. a) 1/221 b) 1/230 c) 1/2652 d) n.d.a. 05. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer o número 4 ou um número impar? a) 30% b) 40% c) 55% d) 67% e) 0% 06. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ocorrer o número 4 ou um número par? a) 50% b) 40% c) 55% d) 66% e) 0% 07. Um piloto de formula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa determinada prova são de 60% se chover no dia da prova e de 20% se não chover. O serviço de meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%.Nessas condições, calcula a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. 08. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento a retirada de uma bola. Considere os eventos: A = {A bola retirada possui um numero múltiplo de 2} B = {A bola retirada possui um número múltiplo de 5} Calcule a probabilidade do evento A B: a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 11/ Um juiz possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro vermelho de um lado e amarelo de outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha, e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: a) 1/2 b) 2/5 c) 1/5 d) 2/3 e) 1/6 10. Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100 é: a) 49/4950 b) 50/4950 c) 1% d) 49/5000 e) 41/ (EMF-PR) Uma urna contém 8 bolas, sendo apenas 3 verdes. Retirando-se duas bolas, sem reposição, a probabilidade de se obterem duas bolas que não são verdes é: a) 3/28 b) 1/7 c) 5/8 d) 1/3 e) 5/ (UEL) Em um viveiro há 12 canários machos e 15 fêmeas. A probabilidade de se retirarem dois canários desse viveiro e ambos serem do mesmo sexo é: a) 19/39 b) 20/39 c) 7/13 d) 8/13 e) 10/13 a) 50% b) 43% c) 40% d) 65% e) 70% Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 13. (UFPR 2006) Um casal planeja ter 3 filhos. Sabendo que a probabilidade de cada um dos filhos nascer do sexo masculino ou feminino é a mesma, considere as seguintes afirmativas: I. A probabilidade de que sejam todos do sexo masculino é de 12,5%. II. A probabilidade de o casal ter pelo menos dois filhos do sexo feminino é de 25%. III. A probabilidade de que os dois primeiros filhos sejam de sexos diferentes é de 50%. IV. A probabilidade de o segundo filho ser do sexo masculino é de 25%. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. 14. Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma do tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertas pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso, uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto pela chave escolhida? a) 5/12 b) 7/12 c) 2/3 d) 5/6 e) n.d.a. GABARITO: b a c a d a a d e 1 a e a a a TESTES CESGRANRIO - PROBABILIDADES 01. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Ao tentar responder a uma questão de múltipla escolha com 5 opções distintas, das quais apenas uma era correta, João eliminou as duas primeiras opções, pois tinha certeza de que estavam erradas. Depois, João escolheu aleatoriamente ( chutou ) uma das opções restantes. Considerando que as opções eliminadas por João estavam mesmo erradas, a probabilidade de que ele tenha assinalado a resposta correta é de A) 1/5 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/4 E) 3/5 02. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? A) 1/9 B) 1/4 C) 5/9 D) 5/8 E) 7/ (CESGRANRIO-ANP-2008) A quantidade de americanos que acham que a Internet só traz benefícios para as crianças caiu (...) desde Em conseqüência disso, eles passaram a exercer maior controle sobre a vida digital dos seus filhos. Atualmente, 68% proíbem que os filhos visitem sites impróprios para a idade (...) e 55% controlam a quantidade de horas que os filhos navegam na Internet. Revista Veja, 26 dez Se 4/5 dos pais que controlam a quantidade de horas que os filhos navegam na Internet também os proíbem de visitar sites impróprios para a idade, qual a probabilidade de que um pai, escolhido ao acaso, proíba seus filhos de visitar sites impróprios para a idade, mas não controle a quantidade de horas que eles navegam na Internet? (A) 13% (B) 24% (C) 30% (D) 35% (E) 44% 04. (CESGRANRIO-EPE-2007) Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas amarelas distinguíveis apenas pela cor. Aleatoriamente, duas bolas serão escolhidas, sucessivamente e sem reposição, e colocadas em uma segunda urna, na qual há apenas uma bola preta também distinta das demais apenas pela cor. Após a transferência das duas bolas para a segunda urna, escolher-se-á, aleatoriamente, uma única bola dessa urna. Qual a probabilidade de que, nesse último sorteio, a bola escolhida seja amarela? (A) 0,12 (B) 0,30 (C) 0,40 (D) 0,65 (E) 0, (CESGRANRIO- DECEA -2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é: (A) 5/12 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/6 (E) 1/12 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 6

7 06. ( CESGRANRIO-DNPM) Segundo uma reportagem sobre o uso do celular, publicada na Revista Veja de 26 de abril de 2006, uma pesquisa realizada com os americanos mostrou que 70% dos entrevistados afirmam que não saberiam viver sem ele, 52% o deixam ligado 24h por dia e 40% ocupam o tempo ocioso fazendo ligações pelo aparelho. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de que esta pessoa tenha afirmado não saber viver sem o celular e, também, que o deixa ligado 24h por dia será de, no mínimo: (A) 10% (B) 12% (C) 18% (D) 22% (E) 30% 07. (CESGRANRIO-EPE) Um dado cúbico com cada uma de suas faces numeradas de 1 a 6 é dito um dado comum. Um dado em que todos os resultados têm a mesma probabilidade de serem obtidos é chamado um dado honesto. Lança-se um dado comum e honesto repetidas vezes. Qual a probabilidade de que o 6 seja obtido pela primeira vez no terceiro lançamento? A) B) C) D) E) (CESGRANRIO/2008) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não-viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a) 150/216 b) 91/216 c) 75/216 d) 55/216 e) 25/216 GABARITO: B D B C A D C B RACIOCÍNIO LÓGICO Sentenças: Na linguagem natural utilizamos vários tipos de sentenças em nossa comunicação: - Afirmativas Curitiba é a capital do Paraná. O dia está ensolarado. - Interrogativas Qual time você torce? Que horas são? - Exclamativas Que dia lindo! Que fome! - Imperativas Façam silêncio! Prestem atenção Sentenças Abertas São as sentenças nas quais não podemos determinar seu sujeito. É fácil observar que uma sentença é aberta quando não podemos identificá-la nem como V (verdadeira) nem como F (falsa). Ex: Ele é um bom vendedor. Elas gostam de tomate. { x є IR / x > 4 } x - 7 = 20 Sentenças fechadas São as sentenças nas quais podemos determinar seu sujeito. Ex: Marcelo é advogado. 7 2 = 4 Sidney gosta de batatas. O objetivo do cálculo proposicional é estudar as sentenças declarativas, que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. Essas sentenças são chamadas de proposições. É fato que as sentenças abertas não são proposições pois não podem ser classificadas nem como Verdadeiras nem como Falsas. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7

8 Condições de existência: Uma sentença ou proposição é uma frase podendo conter apenas símbolos matemáticos que cumpre as condições: 1 Apresenta-se de forma estruturada como uma oração, com sujeito, verbo e predicado. 2 É afirmativa declarativa (não é interrogativa, nem exclamativa) 3 Satisfaz os seguintes princípios: a) Princípio do terceiro excluído: uma sentença é falsa ou verdadeira, não havendo uma terceira alternativa. b) Princípio da não contradição: uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Segundo a definição, toda proposição é, ou verdadeira ou falsa, já que não há uma terceira opção, e já que não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Por isso, a lógica que iremos utilizar chama-se Lógica Bivalente. Lembre se que ORDENS e PERGUNTAS não são proposições. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES Chama-se valor lógico de uma proposição a classificação desta proposição em Verdadeira ou Falsa. Exemplos: I O cachorro é um mamífero II A terra gira em torno do sol. III = 7 IV Curitiba é a capital do Paraná. O valor lógico das proposições I,II e IV é a verdade (V), enquanto que o valor lógico da proposição III é a falsidade(f). Também diremos que uma senteça é válida quando seu valor lógico for verdade, e não-válida quando for falso. Em virtude desses princípios chamamos a lógica matemática de lógica bivalente. - Por que existem juízes substitutos? Não é proposição pois é uma pergunta. - Ele é um advogado talentoso. Não é uma proposição, é uma sentença aberta pois não podemos determinar seu sujeito. RESP. (E) MODIFICADOR: Uma proposição pode ser formada a partir de outra, pelo uso do modificador não. Ao acrescentar o modificador não a uma proposição obtemos sua negação. Indicando uma proposição por p, sua negação será representada por ~p ou p, que se lê: não p. Exemplos: a) p: Isabel tem olhos azuis. ~p: Isabel NÃO tem olhos azuis. b) q: Dois é um número par. ~q: Dois NÃO é um número par. Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Da mesma forma, se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Temos, então, a seguinte tabela verdade: Exemplo: p ~p V F a) p: O gato é um animal. (V) ~p: O gato NÃO é um animal. (F) b) q: Três é um número par. (F) ~q: Três NÃO é um número par. (V) É fácil observar que, em qualquer caso: ~(~p) = p F V Exercício Resolvido: (CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos? - Ele é um advogado talentoso. Resolução: - A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. É proposição pois só pode ser classificado como V ou F CONECTIVOS Conectivos são palavras usadas para formar uma proposição a partir de outra. Os principais conectivos são: e, ou, se...então, se e somente se. Exemplos de proposições formadas a partir de conectivos: a) Dez é um número par e futebol é um esporte. b) Se hoje é domingo então amanhã é quarta feira. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 8

9 Denomina-se proposição simples ou atômica a toda proposição que não contenha nenhuma outra proposição, isto é, que não tenha nenhum conectivo. Ex: Hoje é feriado. Denomina-se proposição composta ou molecular à proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições, isto é, que contenha ao menos um conectivo. Ex: Laranja é uma fruta ou os leões são mansos. CONECTIVO DE CONJUNÇÃO E (^) Sejam: p: a água do mar é salgada. q: todo pássaro tem quatro pernas. Unindo as duas proposições pelo conectivo e temos: p^q: A água do mar é salgada e todo pássaro tem quatro pernas. À proposição p^q dá se o nome de conjunção. A conjunção p^q somente será verdadeira quando p e q forem verdadeiras. Tem-se, então, a seguinte tabela verdade: p q p^q V V V V F F F V F F F F CONECTIVO DE DISJUNÇÃO OU (v) Sejam: p: Raquel gosta de praia. q: José é pintor. Unindo as duas proposições pelo conectivo ou temos: pvq: Raquel gosta de praia ou José é pintor. À proposição pvq dá se o nome de disjunção. CONECTIVO CONDICIONAL Se...então ( ) Sejam: p: Sábado choverá. q: Ficarei em casa estudando. Unindo as duas proposições pelo conectivo se...então temos: p q: Se sábado chover então ficarei em casa estudando. À proposição p q dá se o nome de condicional ou subcondicional. Tem-se, então, a seguinte tabela verdade p q p q V V V V F F F V V F F V É fácil observar que a proposição p q somente será falsa quando apenas q for falsa. CONECTIVO BICONDICIONAL Se e somente se ( ) Sejam: p: a lua é um satélite. q: a Terra é um planeta. Unindo as duas proposições pelo conectivo se e somente se temos: p q: A lua é um satélite se e somente se a Terra é um planeta. A proposição p q recebe o nome de bicondicional ou bijunção. Tem-se, então, a seguinte tabela verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V A disjunção pvq só será falsa quando ambas as proposições forem falsas. A tabela verdade da disjunção é: p q pvq V V V V F V F V V F F F Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9

10 FIXAÇÃO: 01.(CESGRANRIO-TERMORIO) Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos. TAUTOLOGIA Denomina-se tautologia à proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Exemplo: José diz: Hoje é Domigo ou hoje não é Domingo Observe que José está dizendo a verdade, não importa que dia seja hoje. Em nosso exemplo temos a seguinte tautologia: pv(~p), cuja tabela verdade é: Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p e q são proposições verdadeiras, então é verdadeira a proposição composta (A) p ^ ~q (B) ~p ^ q (C) ~p ^ ~q (D) ~p v q (E) ~p v ~q 02. (CESGRANRIO -2007) Considere verdadeira a proposição: Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposição passe a ser falsa: (A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. (D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 03. (CESGRANRIO-FAFEN) Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p é uma proposição verdadeira e q, uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta (A) p ^ q (B) ~p ^ q (C) ~p V q (D) ~p V ~q (E) ~p ~q 04. (FCC/2008-TRT-2ª) Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas: (1) p ^ q ; (2) ~p q ; (3) ~(p ^ ~q)) ; (4) ~(p q) Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? (A) Nenhuma. (B) Apenas uma. (C) Apenas duas. (D) Apenas três. (E) Quatro. p q p v (~p) V F V F V V CONTRADIÇÃO Denomina-se contradição à proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Exemplo: José diz: Hoje é Domigo e hoje não é Domingo Observe que José está dizendo uma mentira, não importa que dia seja hoje. Em nosso exemplo temos a seguinte contradição: p^(~p), cuja tabela verdade é: p q p ^ (~p) V F F F V F NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2 n linhas. FIXAÇÃO: 01. (Engenheiro do Trabalho-1998) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 10

11 02. (CESGRANRIO/ FUNASA Agente Administrativo) Denomina-se contradição a proposição composta que é SEMPRE FALSA, independendo do valor lógico de cada uma das proposições simples que compõem a tal proposição composta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) p ^ q (B) q v ~q (C) p v ~q (D) ~p ^ q (E) ~p ^ p 03. (CESGRANRIO-CAPES-2008) Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p q (B) p ~q (C) (p q) (~p q) (D) (p q) (p q) (E) (p q) (p q) Negação de quantificadores Ex: Vamos verificar um exemplo, vejamos a proposição: Todo concursando é esforçado. Sua negação pode ser escrita da seguinte maneira: Algum concursando não é esforçado. Outra maneira de escrever a negação seria: Existe pelo menos um concursando que não é esforçado. QUANTIFICADORES Utilizaremos os quantificadores para transformar sentenças abertas em proposições. Quantificador Universal ( ) Lê-se, para todo ou qualquer que seja. Quantificador Existêncial ( ) Lê-se, Existe ou Existe pelo menos um Exemplos: Seja a sentença aberta: x + 3 = 5 Sabemos que não é uma proposição pois não podemos determinar o sujeito. Utilizando os quantificadores podemos transformar a sentença aberta acima em proposição. ( x) (x + 3 = 5) Proposição Falsa Lê-se: Para todo x, x mais três é igual a 5. ( x) (x + 3 = 5) Proposição Verdadeira Lê-se: Existe x, tal que x mais três é igual a 5. Vamos verificar um exemplo novamente: Alguns cachorros são verdes. Sua negação é dada por Nenhum cachorro é verde. Uma outra maneira de escrever a negação seria Não existe cachorro verde. Outros exemplos de negações de quantificadores: 1) Todas as vacas são brancas Negação: Algumas vacas não são brancas 2) Nenhuma menina é bonita Negação: Alguma menina é bonita. 3) Alguns brasileiros são ricos. Negação: Nenhum brasileiro é rico. 4) Algumas pessoas não são felizes. Negação: Todas as pessoas são felizes. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11

12 FIXAÇÃO: 1. (TRT) A correta negação da proposição Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciários. b) Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário. 2. (Anpad) A negação da proposição Todos os homens são bons motoristas é: a) Todas as mulheres são boas motoristas. b) Algumas mulheres são boas motoristas. c) Nenhum homem é bom motorista. d) Todos os homens são maus motoristas. e) Ao menos um homem é mau motorista. 03.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) A negação de Nenhum rondoniense é casado é (A) há pelo menos um rondoniense casado. (B) alguns casados são rondonienses. (C) todos os rondonienses são casados. (D) todos os casados são rondonienses. (E) todos os rondonienses são solteiros. 4. (ABC) A negação de Todos os gatos são pardos é: a) Nenhum gato é pardo. b) Existe gato pardo. c) Existe gato não pardo. d) Existe um e só um gato pardo. e) Nenhum gato é não pardo. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Equivalências condicional (p q) (~p v q) (p q) ~q ~p (contrapositiva) Ex: ~q ~p: Se João não foi aprovado no concurso então ele não estudou. Equivalência bi-condicional (p q) (p q) ^ (q p) Outras equivalências (p v q) v r p v (q v r) (associativa) (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) (associativa) p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) (distributiva) p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) (distributiva) FIXAÇÃO 01. (FCC-ICMS-SP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. b) Rodrigo é culpado. c) Se Rodrigo não mentiu, então ele é culpado. d) Rodrigo mentiu. e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 02. (FISCAL TRABALHO) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 03. (ESAF-SERPRO) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. p: João estudou para o concurso. q: João foi aprovado no concurso. (p q): Se João estudou então ele foi aprovado no concurso. Usando as equivalências lógicas temos: (p q) (~p v q) (~p v q): João não estudou ou foi aprovado no concurso. (p q) ~q ~p Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 12

13 NEGAÇÃO DE CONECTIVOS Leis de Morgan ~(p ^ q) ~p v ~q ~(p v q) ~p ^ ~q Ex: p: Rafael comprou um carro. q: Marcela comprou uma moto. (p ^ q): Rafael comprou um carro e Marcela comprou uma moto. ~(p ^ q) ~p v ~q 03. (ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. TESTES: 01. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. ~p v ~q: Rafael não comprou um carro ou Marcela não comprou uma moto. Negação do condicional ~(p q) p ^ ~q Ex: (p q): Se João gosta de futebol então Maria gosta de vôlei. ~(p q) p ^ ~q p ^ ~q: João gosta de futebol e Maria não gosta de vôlei. Negação do bi-condicional ~(p q) (p ^ ~q) v (q ^ ~p) FIXAÇÃO: 01. (UFPR-TCE) A negação da sentença se você estudou lógica, então você acertará esta questão é: a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. 02. (ESAF-AFC) Dizer que não é verdade que, Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) q p b) q p c) (p q) d) p q e) (p q) 02. (CESGRANRIO-TERMORIO) Considere a proposição composta Se o mês tem 31 dias, então não é setembro. A proposição composta equivalente é a) O mês tem 31 dias e não é setembro. b) O mês tem 30 dias e é setembro. c) Se é setembro, então o mês não tem 31 dias. d) Se o mês não tem 31 dias, então é setembro. e) Se o mês não tem 31 dias, então não é setembro. 03.(MPOG-2001) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente eqüivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 04. (Engenheiro do Trabalho-1998) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13

14 05. (CESGRANRIO/ FUNASA Agente Administrativo) Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É possível sempre garantir que (A) se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora. (B) se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a hora. (C) se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo. (D) se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo. (E) se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo. 06. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 07. (MED-ABC) A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia. d) O gato e o rato não chiam nem miam. e) O gato chia e o rato mia. 08. (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 09.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) A negação de Nenhum rondoniense é casado é (A) há pelo menos um rondoniense casado. (B) alguns casados são rondonienses. (C) todos os rondonienses são casados. (D) todos os casados são rondonienses. (E) todos os rondonienses são solteiros. 10. A negação da sentença Ana não voltou e foi ao cinema é: a) Ana voltou ou não foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema. d) Ana não voltou e não foi ao cinema. e) Ana não voltou e foi ao cinema. 11. (UnB-CESPE) Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I -Todo brasileiro é artista. II - Joaquim é um artista. Nessa situação, se a conclusão for Joaquim é brasileiro, então a argumentação é correta. 12. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde a uma argumentação correta. a) Toda pessoa elegante se veste bem. Como João se veste bem, então ele é elegante. b) Todo cidadão honesto paga seus impostos. Como João não é honesto, então ele não paga seus impostos. c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele não é um cliente satisfeito. d) Todo bom empresário tem uma secretária eficiente. Como João não é um bom empresário, então a secretária dele não é eficiente. e) Todo político responsável promove projetos sociais. Como João não é um político responsável, então ele não promove projetos sociais. 13. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir: A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. 14. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir: A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 15. (CESGRANRIO-IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se: a) João é religioso, João é poliglota. b) Pedro é poliglota, Pedro é professor. c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor. d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso. e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota. GABARITO: C C D A D E C B A 1 A E C E E E Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 14

15 TESTES CESGRANRIO 01.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por e. A negação da proposição composta ~p q é (A) p ~q (B) p ~q (C) ~p ~q (D) ~p ~q (E) ~p q 02.(CESGRANRIO-CAPES-2008) Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p q (B) p ~q (C) (p q) (~p q) (D) (p q) (p q) (E) (p q) (p q) 03.(CESGRANRIO-CAPES-2008) Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, as suas negações. A negação da proposição composta p ~q é (A) ~p ~q (B) ~p q (C) p q (D) p ~q (E) p q 04.(CESGRANRIO ) Considere verdadeira a afirmação Se uma figura plana for um quadrado, então será um retângulo. Com base nessa afirmação, é correto afirmar que, se uma figura plana: (A) não for um quadrado, então não será um retângulo. (B) não for um quadrado, então será um retângulo. (C) não for um retângulo, então não será um quadrado. (D) não for um retângulo, então será um quadrado. (E) for um retângulo, então será um quadrado. 05. (CESGRANRIO-FAFEN) A negação da proposição Se o candidato estuda, então passa no concurso é (A) o candidato não estuda e passa no concurso. (B) o candidato estuda e não passa no concurso. (C) se o candidato estuda, então não passa no concurso. (D) se o candidato não estuda, então passa no concurso. (E) se o candidato não estuda, então não passa no concurso. O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões. Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos. 06. (CESGRANRIO-FAFEN) Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p é uma proposição verdadeira e q, uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta (A) p q (B) ~p q (C) ~p q (D) ~p ~q (E) ~p ~q 07.(CESGRANRIO-FAFEN) Duas proposições compostas são equivalentes se têm a mesma tabela de valores lógicos. É correto afirmar que a proposição composta p q é equivalente à proposição (A) p q (B) p q (C) p ~q (D) ~p ~q (E) ~q ~p 08.(CESGRANRIO-TERMORIO) Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos. Sejam p e q proposições e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Se p e q são proposições verdadeiras, então é verdadeira a proposição composta (A) p e ~q (B) ~p e q (C) ~p e ~q (D) ~p ou q (E) ~p ou ~q Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 15

16 09.(CESGRANRIO-TERMORIO) Considere a proposição composta Se o mês tem 31 dias, então não é setembro. A proposição composta equivalente é (A) O mês tem 31 dias e não é setembro. (B) O mês tem 30 dias e é setembro. (C) Se é setembro, então o mês não tem 31 dias. (D) Se o mês não tem 31 dias, então é setembro. (E) Se o mês não tem 31 dias, então não é setembro. 10.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) Considere verdadeira a declaração: Se x é par, então y é ímpar. Com base na declaração, é correto concluir que, se (A) x é ímpar, então y é par. (B) x é ímpar, então y é ímpar. (C) y é ímpar, então x é par. (D) y é par, então x é par. (E) y é par, então x é ímpar. 11.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é conseqüência necessária das premissas. São dados 3 conjuntos formados por 2 premissas verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente verdadeira. (I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol. Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol. Conclusão: Júlio é brasileiro. (II) Premissa 1: Paulo é brasileiro. Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de voleibol. Conclusão: Paulo gosta de voleibol. (III) Premissa 1: Marcos é brasileiro. Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo. Conclusão: Marcos gosta de atletismo. São silogismos: (A) I, somente. (B) II, somente. (C) III, somente. (D) I e III, somente. (E) II e III, somente. 12.(CESGRANRIO-CAPES-2008) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é conseqüência necessária das premissas. Assinale a alternativa que corresponde a um silogismo. (A) Premissa 1: Marcelo é matemático. Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. Conclusão: Marcelo gosta de física. (B) Premissa 1: Marcelo é matemático. Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. Conclusão: Marcelo não gosta de física. (C) Premissa 1: Mário gosta de física. Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. Conclusão: Mário é matemático. (D) Premissa 1: Mário gosta de física. Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física. Conclusão: Mário é matemático. (E) Premissa 1: Mário gosta de física. Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física. Conclusão: Mário não é matemático. 13.(CESGRANRIO-INEP-2007) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é conseqüência necessária das premissas. Corresponde a um silogismo: (A) Premissa 1: Todo brasileiro gosta de futebol. Premissa 2: José gosta de futebol. Conclusão: José é brasileiro. (B) Premissa 1: Todo brasileiro gosta de futebol. Premissa 2: Todo brasileiro é desportista. Conclusão: Todo desportista gosta de futebol. (C) Premissa 1: João é mortal. Premissa 2: Nenhum homem é imortal. Conclusão: João é homem. (D) Premissa 1: Todo peixe nada. Premissa 2: Alguns mamíferos nadam. Conclusão: Alguns mamíferos são peixes. (E) Premissa 1: Nenhum mamífero é peixe. Premissa 2: Alguns mamíferos nadam. Conclusão: Algum animal que nada não é peixe. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 16

17 14.(CESGRANRIO-INEP-2007) Admita verdadeira a declaração: se A é C, então B não é C. Conclui-se corretamente que (A) se B é C, então A não é C. (B) se B é C, então A é C. (C) se B não é C, então A não é C. (D) se B não é C, então A é C. (E) se A não é C, então B é C. 15.(CESGRANRIO-TJ-RO-2008) A negação de Nenhum rondoniense é casado é (A) há pelo menos um rondoniense casado. (B) alguns casados são rondonienses. (C) todos os rondonienses são casados. (D) todos os casados são rondonienses. (E) todos os rondonienses são solteiros. 16.(CESGRANRIO-INEP-2007) A negação de Todos os caminhos levam a Roma é (A) Todos os caminhos não levam a Roma. (B) Nenhum caminho leva a Roma. (C) Pelo menos um caminho leva a Roma. (D) Pelo menos um caminho não leva a Roma. (E) Não há caminhos para Roma. 17.(CESGRANRIO -2007) Considere verdadeira a proposição: Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposição passe a ser falsa: (A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. (D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 18.(CESGRANRIO -2007) A negação de João sempre vai de carro para o trabalho é: (A) João sempre vai a pé para o trabalho. (B) João nunca vai de carro para o trabalho. (C) João, às vezes, não vai de carro para o trabalho. (D) João, às vezes, vai a pé para o trabalho. (E) João nunca vai a pé para o trabalho. GABARITO: A E D C E D C D C 1 E C E E A A D D C PROVA BB 2010 CESGRANRIO 01. Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidos ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual a (A) 4 (B) 10 (C) 12 (D) 16 (E) Qual a negação da proposição Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos? (A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. (C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. (D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos 03. João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes? (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 90 (E) A proposição funcional Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n será verdadeira, se n for um número real (A) menor que 8. (B) menor que 4. (C) menor que 2. (D) maior que 2. (E) maior que 3. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 17

18 05. Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo. Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes: as contas pequenas são todas da mesma cor; contas grandes devem ter cores diferentes; se as contas pequenas forem da cor x, nenhuma conta grande pode ser da cor x. Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar? (A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 40 (E) 42 GABARITO: 01.E 02.D 03.B 04.C 05.C Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 18