Estudo da condução de calor transiente através do método das diferenças finitas explícito

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1 Estudo da codução de calor trasiete através do método das difereças fiitas exlícito Letícia Jeisch Rodrigues Volei Borges Resumo Este trabalho objetiva aresetar uma metodologia simles que evolve coceitos básicos das discilias de métodos uméricos e trasferêcia de calor, odedo ser utilizado como material de aoio o esio da graduação. O método das difereças fiitas exlícito é utilizado a resolução de um roblema sujeito às codições de cotoro de seguda e de terceira esécies em regime trasiete. Por se tratar de um método umérico simles, evolve a articiação do estudate durate todas as etaas de elaboração da solução. Como exemlo de alicação, gera-se o camo de temeraturas ara diferetes materiais, a situação de equilíbrio. Além disso, utiliza-se uma exressão resosável elo icremeto o asso temoral, miimizado o úmero de iterações ecessárias ara a covergêcia. Os resultados obtidos ecotram-se em boa cocordâcia com os resultados gerados or um software comutacioal amlamete utilizado o esio de trasferêcia de calor. Palavras-chave: Equação de difusão do calor. Método das difereças fiitas exlícito. Iformática o esio de trasferêcia de calor. Abstract his aer aims to reset a simle methodology that ivolves basic cocets of the umerical methods ad heat trasfer subjects, which ca be used as sulemetary school material o udergraduate teachig educatio. he exlicit fiite differece method is used to solve a roblem subject to boudary coditios of secod ad third secies i the trasiet regime. Because it is a simle umerical method, it ivolves the studet s articiatio durig all stages of the solutio develomet. As a alicatio examle case, it geerates the temerature field for differet materials, i equilibrium. I additio, it is used a exressio resosible for the icrease i the time ste to miimize the required umber of iteratios for covergece. he obtaied results are i good agreemet with the results geerated by comuter software widely used i the teachig of heat trasfer. Key-words: Heat diffusio equatio. Exlicit fiite differeces method. Comutig i teachig heat trasfer. Doutora em Egeharia Mecâica ela Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil e esquisadora de Pós-Doutorado (bolsa CAPES/PNPD) o Gruo de Estudos érmicos e Eergéticos (GESE) do Deartameto de Egeharia Mecâica da UFRGS. leticia.jeisch@gmail.com Doutor em Egeharia Mecâica ela Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil e rofessor do Deartameto de Egeharia Mecâica da UFRGS. borges@ufrgs.br Artigo recebido em 8/0/0 e aceito em 3/04/0.

2 Autor Itrodução O feômeo da codução trasiete ocorre em umerosas alicações de egeharia, odedo ser aalisado, utilizado-se diferetes métodos. A atureza do rocedimeto está itimamete relacioada às hióteses feitas ara o rocesso. Se, or exemlo, gradietes de temeratura o iterior do sólido odem ser desrezados, o método da caacitâcia global ode ser usado ara determiar a variação da temeratura com o temo. Problemas trasietes, evolvedo geometrias e codições de cotoro simles, costumam ter solução aalítica cohecida disoível a forma de gráficos ou de equações, ricialmete os casos uidimesioais. Algumas dessas soluções aida são ossíveis ara determiadas geometrias bidimesioais e tridimesioais simles. Casos clássicos são facilmete ecotrados a literatura esecializada, or exemlo, em Icroera et al., (008). Cotudo, em grade arte dos casos, a geometria e/ou as codições de cotoro iviabilizam a ossibilidade de alicação de técicas aalíticas de resolução. ora-se ecessário, etão, a utilização de métodos uméricos ara rever a deedêcia com o temo de temeraturas o iterior de sólidos, assim como das taxas de trasferêcia de calor em seus cotoros. O resete trabalho tem como objetivo obter o camo de temeraturas a situação de equilíbrio ara um cilidro sujeito às codições de cotoro covectiva (em arte da suerfície extera e cavidade itera) e de fluxo costate (em arte da suerfície extera). A solução umérica da equação de difusão do calor, em regime trasiete, em duas dimesões, em coordeadas cilídricas, é resolvida utilizado-se o método das difereças fiitas exlícito. Essa metodologia é imlemetada em um rograma desevolvido em liguagem Fortra. Resolve-se, etão, um roblema tíico de egeharia, utilizado um método umérico simles amlamete cohecido através de uma liguagem de rogramação acessível. Ao ivés da utilização de um software comercial, busca-se costruir a solução do roblema desde sua formulação matemática, costrução da malha, alicação das codições iicial e de cotoro até a solução das equações algébricas associadas. Fializado, utiliza-se uma relação que atualiza o asso temoral, dimiuido o úmero de iterações ecessárias ara a covergêcia, cosequetemete, dimiuido o temo comutacioal. Codução rasiete Sob codições trasietes, com roriedades costates e a ausêcia de fote itera, a equação do calor bidimesioal em coordeadas cilídricas ode ser escrita como: = + + α t r r r r φ a qual é a temeratura, t é a variável temoral, r é a variável esacial, φ é a variável agular, e α é a difusividade térmica, que é defiida or k α ρc () a qual ρ é a massa esecífica, c é o calor esecífico à ressão costate, e k é a codutividade térmica (INCROPERA et al., 008). Para se obter a forma de difereças fiitas da equação (), usam- -se as aroximações or difereça cetral ara as derivadas radial e agular, lado direito da igualdade, e a aroximação or difereça adiatada ara a derivada em relação ao temo, lado esquerdo da igualdade.. Método das difereças fiitas exlícito: discretização da equação do calor As aroximações de difereças fiitas odem ser obtidas de várias formas, sedo as mais comus a exasão em série de aylor e a iterolação oliomial (FORUNA, 000). Neste trabalho, utiliza-se a rimeira oção. A equação de difereças fiitas adequada ara os ós iteriores de um sistema bidimesioal em coordeadas cilídricas, figura, ode ser deduzida diretamete da equação (). Assi o valor do rimeiro termo, etre arêteses, à direita da igualdade ode ser aroximado or: m +, m, (3) r ( ) A derivada seguda, o caso da variável radial, ode ser aroximada or m +, r ( ) + m, () (4) Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0

3 ítulo Além de ser discretizado o esaço, o roblema também é discretizado o temo. A aroximação em difereça fiita ara a derivada em relação ao temo é dada or t + + t (6) Figura Esquema de umeração dos ós Fote: Os autores, (0). e o caso da variável azimutal, ode ser aroximada or + m, + φ ( φ ) (5) a qual o ídice sobrescrito é usado ara idicar a deedêcia temoral da temeratura, associada aos istates de temo ovo (+) e aterior (). Assi os cálculos são efetuados em istates de temo sucessivos, searados or um itervalo de temo, ou asso, Δt. Reescrevedo-se a equação () usado as equações (3), (4), (5), determiadas em, e (6) tem-se a forma exlícita da equação de difereças fiitas ara o ó itero ( ), dada or + = + α t rm m+, m, + m+, A equação (7) é dita exlicita orque as temeraturas odais descohecidas ara o ovo istate de temo são determiadas exclusivamete or temeraturas odais cohecidas o istate de temo aterior. Poré em algus casos, é desejável desevolver as equações de difereças fiitas através do método alterativo, deomiado de método do balaço de eergia. Nesse método, a equação ara um oto odal é obtida a artir da alicação da coservação de eergia o volume de cotrole referete à região desse ó. Uma vez que a direção real do fluxo térmico é frequetemete descohecida, é coveiete formular o balaço de eergia suodo que todos os fluxos térmicos estão dirigidos ara detro do oto odal. Embora tal codição seja imossível, se as equações de taxa são reresetadas de forma cosistete com essa suosição, obtém-se a equação de difereças fiitas correta (INCROPERA et al., 008). Levado-se em cosideração mudaças a eergia térmica acumulada, uma forma geral da equação do balaço de eergia ode ser reresetada or E + E = E et + m, ( ) ( ) ( ) rm φ (8) a qual E et é a taxa de trasferêcia de eergia ara detro do volume de cotrole, E é a taxa g acu g (7) de geração de eergia, e E acu é a taxa de aumeto da eergia armazeada o iterior do volume de cotrole. As equações em difereças fiitas associadas às codições de cotoro, são obtidas a artir do método descrito acima, efetuado-se o balaço de eergia os volumes de cotrole das froteiras. Para determiar com maior recisão as codições térmicas róximas à suerfície, atribui-se uma esessura equivalete à metade da esessura das seções seguites, coforme idicado a figura. No caso da trasferêcia de calor or covecção de um fluido adjacete, figura (a), e geração ula, exlicitado-se a temeratura a suerfície itera do tubo, ós (, ), em t + Δt, tem-se, da equação (8), t h + óleo α, = ( óleo, ) + (,, ) +, ρc (8) a qual h óleo é o coeficiete de trasferêcia de calor or covecção do óleo e óleo é a temeratura do óleo. A mesma codição de cotoro é imosta ara dois terços da suerfície extera, ós (m ), figura (b). Assi a temeratura em t + Δt é dada or t h + if α m, = ( if m, ) + ( m, m, ) + m, ρc (9) Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0 3

4 Autor a qual h if é o coeficiete de trasferêcia de calor or covecção do ar e if é a temeratura do ar. Figura Nós das suerfícies itera e extera do cilidro (a, b) sujeitos à covecção e à codução trasiete e (c) sujeitos a um fluxo cohecido e à codução trasiete Fote: Jeisch Rodrigues, (0). Por outro lado, um terço da suerfície extera está sujeito a um fluxo de calor rescrito, q, coforme mostrado a figura (c). Nesse caso, rocededo-se de maeira aáloga, exlicitado- -se a temeratura, os ós exteros sujeitos a essa codição (m ), em t + Δt, chega-se a t q'' + α m, = + ( m, m, ) + m, ρc () a qual q é o fluxo de calor cohecido. Como codição iicial, assume-se que a temeratura a suerfície itera do cilidro ossui mesmo valor que a temeratura do óleo. Para a suerfície extera, rocede-se da mesma forma, de maeira que a temeratura da suerfície extera do cilidro ossui mesmo valor que a temeratura do ar. Os otos iteros assumem a média dessas temeraturas. Nesse mometo, fica evidete uma das características do método das difereças fiitas: suas equações algébricas são desrovidas da física do roblema. Assi ara a correta solução do roblema é ecessário o cohecimeto dos feômeos físicos resetes as froteiras do sistema e seu devido equacioameto em termos das equações de difereças fiitas. Isso ão ocorre com o método dos volumes fiitos, que exressa a física do roblema or meio de relações etre os fluxos que cruzam as froteiras dos volumes de cotrole (MALISKA, 004). Além disso, o método exlícito tem uma característica idesejável: ão é icodicioalmete estável (INCROPERA et al., 008). Cosequetemete, a solução ode ser acomahada de oscilações iduzidas umericamete, que odem se torar istáveis, fazedo a solução divergir das codições reais do regime estacioário. Visado evitar esses resultados errôeos, o valor eseci- ficado ara Δt deve ser matido abaixo de certo limite que deede de arâmetros do sistema. Via de regra, esse limite aumeta sigificativamete o temo comutacioal e o úmero de iterações. Sabe-se, também que, à medida que se avaça o temo, a difereça relativa etre o valor aterior e o valor atual de uma variável tede a dimiuir. Essa difereça é cada vez meor com o aumeto do temo. Desta forma, reseitado-se o critério de estabilidade, é ossível acelerar o rocesso de cálculo, aumetado-se o Δt a cada iteração. Com o objetivo de garatir o úmero de dígitos sigificativos exatos a obteção de estimativas ara o valor das temeraturas, escolhe-se um valor de referêcia que é dado or () a qual C é o valor do critério de covergêcia. O aumeto a variável Δt só é imlemetado, a artir do mometo em que a difereça relativa etre o valor da temeratura aterior e o valor da temeratura atual, ara um determiado oto, é meor que o valor de referêcia. Quado essa codição é satisfeita, utiliza-se a seguite exressão ara realizar o icremeto temoral (JENISCH RODRIGUES, 0) (3) a qual Δt 0 é o asso de temo iicial, e t é a variável temoral. 3 Metodologia V R = O tubo está submetido às codições de cotoro exlicitadas a figura 3(a), com os resectivos valores das roriedades evolvidas. Submete-se um terço da suerfície extera do cilidro ao fluxo de calor costate, e o restate submete-se à trasferêcia de calor or covecção atural. Pela cavidade iterior do tubo flui óleo quete (com as roriedades defiidas, també a figura 3(a)). As dimesões são esecificadas a figura 3(b). C t = t0 ex(0 Ct) Figura 3 (a) Codições de cotoro e (b) dimesões do modelo físico Fote: Jeisch Rodrigues, (0). 4 Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0

5 ítulo São aalisados 0 otos o setido radial e 4 otos o setido azimutal. Em destaque, figura 4, ecotra-se o ó, osição, ode a evolução da solução é avaliada até atigir a codição de regime estacioário. O valor obtido ara a temeratura dessa osição, jutamete com o valor da osição, a codição de equilíbrio, são utilizados ara a comaração etre os resultados a seção seguite. Além disso, assume-se, or simlicidade e ara fis de comaração etre resultados, que o cilidro é comosto or um úico material e desrezam-se os efeitos da radiação. As roriedades termofísicas dos materiais selecioados ara a aálise assumem os valores disostos o quadro. Quadro Proriedades termo físicas dos materiais Material ρ [kg m -3 ] k [W m - K - ] c [J kg - K - ] Vidro 45 0,8 000 Aço AISI ,9 434 Fote: Icroera et al., (008). Figura 4 Posições utilizadas a comaração dos resultados Fote: Os autores, (0). 4 Resultados O algoritmo elaborado é comilado através do software Fortra, versão Comaq Visual Fortra 6.6, utilizado-se um comutador essoal com rocessador AMD Pheo 9550 Quad-Core (, GHz) com 3,5 GB de memória RAM e sistema oeracioal Microsoft Widows XP, SP3. Os camos de temeratura, gerados através desse algoritmo, foram obtidos, usado-se o software ecplot, e os camos de temeratura ara comaração foram obtidos através do software rascal (MALISKA, 0). O camo de temeraturas obtido ara o vidro é aresetado a figura 5. Embora o úmero de isotermas, usado a simulação com o software rascal seja maior, 0, do que o úmero utilizado o eclot,, ode-se observar que o camo obtido, a artir dos dados gerados elo algoritmo deste trabalho, figura 5(b), ecotra-se em boa cocordâcia com o camo obtido, utilizado-se o software rascal, figura 5(a). Figura 5 Camos de temeraturas obtidos ara o vidro através do software (a) rascal e do (b) algoritmo desevolvido em Fortra Fote: Os autores, (0). O mesmo comortameto do algoritmo roosto é observado, quado se utiliza material com alta codutividade, como o aço. Na figura 6, observa-se que o gradiete de temeraturas ão é tão exressivo como o gradiete do caso aterior (vidro). Essa difereça os gradietes já era eserada, uma vez que os materiais em questão ossuem codutividades térmicas distitas. Cabe salietar que a codutividade térmica é classificada como uma roriedade de trasorte, forecedo uma idicação da taxa a qual a eergia é trasferida elo rocesso de difusão (INCROPERA et al., 008). Essa roriedade, associada à codução em uma determiada direção, é defiida a artir da lei de Fourier. Etretato, ara um material isotróico, como os casos em questão, a codutividade térmica é ideedete da direção. Assi ara um dado gradiete de temeratura, o fluxo térmico or codução aumeta com o aumeto da codutividade térmica. Figura 6 Camos de temeraturas obtidos ara o aço através do software (a) rascal e do (b) algoritmo desevolvido em Fortra Fote: Os autores, (0). Portato, utilizado os resultados aresetados as figuras 5 e 6, a questão física evolvida a modelagem da equação do calor ode ser facilmete exlicada e comreedida elo estudate, uma vez que a comaração etre as mesmas evidecia a difereça etre os camos Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0 5

6 Autor de temeraturas e, cosequetemete, sua deedêcia com a codutividade dos materiais. É imortate ressaltar que a metodologia roosta ermite testar outras situações, ou ceários, ara a mesma cofiguração. Para tato, basta variar os arâmetros físicos característicos do roblema de maeira a visualizar a ifluêcia dos mesmos a resosta. Além disso, com a iserção de oucas lihas de comado é ossível aalisar a evolução do erfil de temeraturas ara um ou mais otos, além da variação da taxa de trasferêcia de calor ao logo do temo. No quadro, tem-se a comaração etre os valores obtidos ara as temeraturas as osições e, ara o vidro e ara o aço. Coforme ode se observar, a difereça relativa máxima etre os valores foi de,58%, o caso do vidro, ara a osição. Já a difereça relativa míima foi de 0,6%, o caso do aço, ara a osição. Essas equeas difereças relativas obtidas a comaração etre os métodos evideciam a eficiêcia da metodologia roosta este trabalho. Quadro - Valores das temeraturas as osições e Fortra rascal VIDRO [ o C] AÇO [ o C] VIDRO [ o C] AÇO [ o C] Posição 47,36 75,57 5,6 78,59 Posição 694,83 309,30 684,4 307,4 Fote: Os autores, (0). Com relação ao asso temoral, em ambos os casos, arte-se de um valor iicial, Δt = 0,00 segudos. Devido ao método escolhido, o máximo valor que o asso iicial ode assumir, Δt 0, é 0,50 segudos o caso do vidro e 0,005 segudos o caso do aço. Caso cotrário, observam-se as flutuações os resultados e, cosequetemete, o overflow. De acordo com os valores aresetados o quadro 3, ercebe-se que ara um critério de covergêcia igual a 0-8, tem-se uma dimiuição o úmero de iterações roorcioal a,9%, o que acarreta em meos 3.70 iterações. À medida que o critério de covergêcia é mais restritivo, a difereça etre as iterações, com e sem correção, dimiui. Quadro 3 Número de iterações ecessárias ara a covergêcia, o caso do vidro Critério de Covergêcia Número de Iterações com Δt com Δt 0 corrigido Δ iterações Fote: Os autores, (0). No caso do aço, essa difereça é bem mais sigificativa (quadro 4), chegado a 40,5%. O mesmo feômeo ocorre aqui, isto é, à medida que o critério de covergêcia é mais restritivo, a difereça etre as iterações, com e sem correção, dimiui. Quadro 4 Número de iterações ecessárias ara a covergêcia, o caso do aço Número de Iterações Critério de Covergêcia com Δt corrigido Δ iterações com Δt Fote: Os autores, (0). 5 Coclusões e ersectivas A artir da aálise dos resultados é ossível costatar que o objetivo do resete trabalho foi alcaçado. Os camos de temeraturas obtidos mostram satisfatória cocordâcia, quado comarados aos resultados gerados elo software rascal. Além disso, foi ossível a redução do úmero de iterações e, cosequetemete, a dimiuição do temo comutacioal ecessário ara a covergêcia. odavia, devido ao método umérico escolhido, existe um limite máximo ara o asso temoral que deve ser reseitado, o que limitou uma dimiuição aida maior o úmero de iterações. O código comutacioal roosto, escrito em Fortra, ermite iserir outras lihas de comado, visado à amliação da alicação do algoritmo. Desta forma, essa metodologia ode ser alicada a qualquer material, bastado aeas modificar os dados de etrada do roblema. Permite, també a aálise de feômeos físicos de iteresse do esio de trasferêcia de calor, a artir da utilização de um método umérico relativamete simles e de baixo custo comutacioal. Portato, esta roosta ode ser utilizada como ferrameta didática auxiliar, tato em discilias de trasferêcia de calor como em discilias de métodos uméricos. Fialmete, como sugestão ara trabalhos futuros, roõe-se a aálise do efeito da codutividade térmica variável com a temeratura e a aálise da taxa de trasferêcia de calor ao logo do temo. Referêcias FORUNA, A. O. écicas comutacioais ara diâmica dos fluidos: coceitos básicos e alicações. São Paulo: Editora da Uiversidade de São Paulo, Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0

7 ítulo INCROPERA, F. P. et al. Fudametos de trasferêcia de calor e de massa. 6. ed. Rio de Jaeiro: LC, JENISCH RODRIGUES, L. Aálise trasiete da trasferêcia de calor em um tubo através do método das difereças fiitas. 0. rabalho de Coclusão de Curso de Egeharia Mecâica - Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Escola de Egeharia, Porto Alegre, 0. MALISKA, C. R. rasferêcia de calor e mecâica dos fluidos comutacioal.. ed. Rio de Jaeiro: LC, MALISKA, C. R.; DIHLMANN A. Heat rasfer / rascal Disoível em: <htt://www. simec.ufsc.br/simec/software/trascal.html>. Acesso em: 5 mai. 0. Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0 7

8 Autor 8 Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0

9 ítulo Revista Liberato, Novo Hamburgo, v. 3,. 9,. 0-XX, ja./ju. 0 9