MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

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1 MINISÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL DEPARAMENO DE ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE RANSIENE DA RANSFERÊNCIA DE CALOR EM UM UBO ARAVÉS DO MÉODO DAS DIFERENÇAS FINIAS or Letícia Jeisch Rodrigues Moografia aresetada ao Deartameto de Egeharia Mecâica da Escola de Egeharia da Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, como arte dos requisitos ara obteção do diloma de Egeheiro Mecâico. Porto Alegre, julho de 011

2 Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul Escola de Egeharia Deartameto de Egeharia Mecâica ANÁLISE RANSIENE DA RANSFERÊNCIA DE CALOR EM UM UBO ARAVÉS DO MÉODO DAS DIFERENÇAS FINIAS or Letícia Jeisch Rodrigues ESA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA COMO PARE DOS REQUISIOS PARA A OBENÇÃO DO ÍULO DE ENGENHEIRO MECÂNICO APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELA BANCA EXAMINADORA DO DEPARAMENO DE ENGENHARIA MECÂNICA Prof. Dr. Araldo Rube Gozalez Coordeador do Curso de Egeharia Mecâica Área de Cocetração: Ciêcias érmicas Orietador: Prof. Dr. Volei Borges Comissão de Avaliação: Prof. Dr. Ferado Marcelo Pereira Prof. Dr. Sérgio Luiz Frey Profa. Dra. hamy Cristia Hayashi Porto Alegre, 01 de julho de 011.

3 Dedico este trabalho ao meu marido, Marcelo, e às mihas filhas, Brua e Maria Eduarda, fotes iesgotáveis de isiração e alegria.

4 JENISCH RODRIGUES, L. Aálise rasiete da rasferêcia de Calor em um ubo através do Método das Difereças Fiitas ágias. Moografia (rabalho de Coclusão do Curso em Egeharia Mecâica) Deartameto de Egeharia Mecâica, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre, 011. RESUMO O resete trabalho areseta a solução umérica da equação de difusão do calor em regime trasiete em duas dimesões em coordeadas cilídricas. Para tato, utiliza-se o método das difereças fiitas, o qual é imlemetado em um rograma desevolvido em liguagem Fortra. Essa metodologia é alicada ao caso rático de um coletor solar arabólico. As roriedades termofísicas evolvidas são cosideradas costates, as codições de cotoro utilizadas são de seguda e de terceira esécies, e a codição iicial é dada elo cohecimeto do camo de temeraturas o istate iicial. Aalisa-se, etão, a trasferêcia de calor ao logo do temo esse coletor, gerado-se o camo de temeraturas a situação de equilíbrio. Além disso, utiliza-se uma equação resosável elo icremeto o asso temoral, miimizado o úmero de iterações ecessárias ara a covergêcia. Os resultados obtidos se ecotram em boa cocordâcia com os resultados disoíveis a literatura esecializada cosultada. PALAVRAS-CHAVE: equação de difusão do calor, método das difereças fiitas exlícito, coletor solar arabólico. JENISCH RODRIGUES, L. Aalysis of rasiet Heat rasfer i a Pie by Fiite Differece Method ágias. Moografia (rabalho de Coclusão do Curso em Egeharia Mecâica) Deartameto de Egeharia Mecâica, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre, 011. ABSRAC his work resets the umerical solutio of the two dimesios diffusio equatio, i the trasiet regime, i cylidrical coordiates. For this urose, the fiite differece method is used, which is imlemeted i a rogram develoed i Fortra laguage. his methodology is alied to the ractical case of a arabolic solar collector. he thermohysical roerties ivolved are costats, the boudary coditios used are of the secod ad third tyes, ad the iitial coditio is give by the kow of the temerature field at the iitial time. he heat trasfer over time is aalyzed, geeratig the temerature field i equilibrium. I additio, a equatio resosible for the icrease i time ste by miimizig the umber of iteratios required for covergece is used. he results are i good agreemet with the results available i the literature cosulted. KEYWORDS: diffusio equatio of heat, exlicit fiite differece method, arabolic solar collector. iv

5 ÍNDICE Pág. 1 INRODUÇÃO... 1 OBJEIVOS REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 4 CONDUÇÃO RANSIENE Equação do Calor Bidimesioal em Coordeadas Cilídricas Método das Difereças Fiitas Exlícito: Discretização da Equação do Calor MEODOLOGIA UILIZADA RESULADOS E DISCUSSÃO CONCLUSÕES E PERSPECIVAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aêdice I Algoritmo CSP v

6 1 1. INRODUÇÃO O estudo dos feômeos de trasferêcia de calor comreede uma das áreas fudametais da egeharia. Isso se deve à imortâcia dos iúmeros rocessos e alicações que utilizam eergia em trâsito. A codução de calor trasiete figura etre esses rocessos, os quais estão, em grade arte, relacioados ao uso de objetos em formato cilídrico, um exemlo é o coletor solar arabólico. Diferetemete dos aiéis fotovoltaicos covecioais, esses coletores utilizam eselhos cocetradores de eergia solar. De maeira simlificada, ode-se dizer que a suerfície arabólica eselhada reflete a radiação solar ara a sua liha focal ode se ecotra um tubo de seção circular que cotém fluido em seu iterior, geralmete óleo. Esse fluido trocará calor com outro fluido, água, circulado em um sistema secudário, visado à geração de vaor sueraquecido. As usias termosolares utilizam essa metodologia. Por icororarem uma turbia, odem ser equiadas com caldeiras movidas a gás atural, assado a oerar como termelétricas covecioais quado ecessário [Emreiteiro, 011]. Dessa forma, odem garatir geração de eergia uiforme mesmo em dias ublados e/ou chuvosos, quado a radiação solar icidete é cosideravelmete meor. A Solar Oe, em Nevada, os EUA, é a terceira maior usia do mudo a utilizar esta tecologia, ossuido 400 hectares de cocetradores que roduzem 64MWe, que abastecem mais de 14 mil residêcias or ao [Accioa, 011]. Lembra-se que, atualmete, vários esforços estão sedo desedidos as esquisas coceretes à geração de eergia lima, e a eergia roduzida a artir da radiação solar é assim cosiderada. Este tio de emreedimeto demada alta icidêcia de radiação solar, devedo ser costruído em aíses com essa característica. O Brasil já ossui elo meos um rojeto ara o semi-árido ordestio. A usia geradora será localizada o muicíio de Coremas, a Paraíba, ocuado uma área de 140 hectares. Esta usia, de ciclo Solar- Biomassa, utilizará como combustível a radiação solar (ara seu módulo de cocetradores e fluido térmico) e biomassa reflorestada da caatiga, bagaço de caa-de-açúcar e coco (ara seu módulo de geração através da biomassa) [Eerbrax, 011]. Assi etede-se que o domíio das técicas, dos materiais, e de seu comortameto, evolvidos essa tecologia são de suma imortâcia ara a geração de eergia sustetável em osso aís. Por outro lado, é imortate recordar que o avaço comutacioal crescete ao qual se tem acesso ermite e imulsioa o uso de métodos uméricos, bem como o desevolvimeto de softwares comerciais, ara a resolução e aálise de roblemas de egeharia. Grade arte desses roblemas é goverada or equações difereciais que muitas vezes ão ossuem solução aalítica cohecida ou ão são de fácil obteção. Detre os métodos uméricos que têm sido emregados ara resolver roblemas de codução trasiete cita-se, or exemlo, os métodos de elemetos de froteira, de volumes fiitos e de elemetos fiitos. Neste trabalho, em articular, alica-se o método das difereças fiitas exlícito, o qual também é muito utilizado a aálise de roblemas de egeharia evolvedo rocessos de trasferêcia de calor.. OBJEIVOS O objetivo do resete trabalho é obter o camo de temeraturas a situação de equilíbrio ara um tubo sujeito a codições de cotoro de seguda e terceira esécies. A solução umérica da equação de difusão do calor, em regime trasiete em duas dimesões em coordeadas cilídricas, é resolvida utilizado-se o método das difereças fiitas. Essa metodologia é imlemetada em um rograma desevolvido em liguagem Fortra. Assi resolve-se um roblema tíico de egeharia utilizado um método umérico amlamete cohecido através de uma liguagem de rogramação acessível. Ao ivés da utilização de um software comercial, busca-se costruir a solução do roblema desde sua formulação matemática, costrução da malha, alicação das codições iicial e de cotoro até a solução das equações algébricas associadas. Fializado, testa-se uma equação caaz de atualizar o asso temoral, dimiuido o úmero de iterações ecessárias ara a covergêcia, cosequetemete, dimiuido o temo comutacioal.

7 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O feômeo da codução se refere ao trasorte de eergia em um meio devido à existêcia de um gradiete de temeratura. O mecaismo físico que roorcioa esse feômeo é a atividade atômica, ou molecular, aleatória. A trasferêcia de calor é goverada ela Lei de Fourier, que determia o fluxo térmico o meio. Para tato, é ecessário o cohecimeto da forma a qual a temeratura varia o meio. Ela ode ser alicada desde os casos mais simles até a codução trasiete e multidimesioal em geometrias comlexas, as quais a atureza da distribuição de temeraturas ão é evidete. A Lei de Fourier é feomeológica, isto é, ela foi desevolvida a artir de feômeos observados ao ivés de ter sido derivada a artir de ricíios fudametais [Icroera et al., 008], ou seja, trata-se de uma geeralização baseada em evidêcias exerimetais. Além disso, é uma equação que defie uma imortate roriedade dos materiais, a codutividade térmica. Por ser uma equação vetorial, idica que o fluxo térmico é ormal a uma isoterma e o setido da dimiuição das temeraturas. Fialmete, alica-se a toda a matéria ideedete do seu estado físico, isto é, sólido, líquido ou gás. Duas roriedades muito utilizadas a aálise termodiâmica são a desidade e o calor esecífico a ressão costate. O roduto dessas duas gradezas é cohecido como a caacidade calorífica volumétrica, que mede a caacidade do material armazear eergia térmica. Nas aálises de trasferêcia de calor, a razão etre a codutividade térmica e a caacidade calorífica volumétrica defie uma imortate roriedade chamada difusividade térmica, α. Essa roriedade mede a caacidade do material de coduzir eergia térmica em relação a sua caacidade de armazeá-la. Isto é, k α, (3.1) ρ c a qual ρ é a desidade, c é o calor esecífico a ressão costate, k é a codutividade térmica e α é a difusividade térmica. Materiais com α elevado resodem raidamete a mudaças as codições térmicas a eles imostas. Salieta-se que, com freqüêcia, é ossível trabalhar com versões simlificadas da Equação do Calor, assumido-se que as roriedades evolvidas são costates. Nesse caso, ara coordeadas cilídricas, Figura 3.1, tem-se 1 α t 1 = r r r r + 1 r + φ z q& +, (3.) k a qual é a temeratura, t é a variável temoral, r, Φ, z são as variáveis esaciais, k é a codutividade térmica, q& é a taxa de geração de eergia or uidade de volume do meio e α é a difusividade térmica, defiida ela Equação 3.1. A Equação 3. ostula que em qualquer oto do meio, a taxa líquida de trasferêcia de eergia or codução ara o iterior de um volume uitário somada à taxa volumétrica de geração de eergia térmica deve ser igual à taxa de variação da eergia térmica acumulada o iterior deste volume [Icroera et al., 008]. A solução da Equação 3. deede das codições físicas existetes as froteiras (cotoro) do meio e da codição que ele areseta em algum istate iicial. Por se tratar de uma equação de seguda ordem em relação às coordeadas esaciais, duas codições de cotoro devem ser forecidas ara cada coordeada esacial. Por ser de rimeira ordem em relação à variável temoral, aeas uma codição iicial deve ser esecificada. Existem três tios de codição de cotoro. A rimeira codição corresode à situação a qual a suerfície é matida a uma temeratura fixa, sedo comumete chamada de codição de Dirichlet, ou de rimeira esécie. A seguda corresode à existêcia de um fluxo térmico costate a suerfície, o qual está relacioado ao gradiete de temeratura a suerfície ela Lei de Fourier. Essa codição é cohecida como codição de Neuma, ou de seguda esécie. A codição de cotoro de terceira esécie corresode à existêcia de um

8 3 aquecimeto, ou resfriameto, a suerfície or covecção, sedo obtida a artir de um balaço de eergia essa suerfície. Figura 3.1 Volume de cotrole diferecial ara a aálise da codução em coordeadas cilídricas (r, Φ, z) [Icroera et al., 008]. Devido a sua vasta abragêcia e alicação, o estudo da codução do calor está resete em iúmeros trabalhos cietíficos a área das egeharias. Com relação ao coletor solar arabólico, tem-se vários artigos. Em Satos, 004, or exemlo, é aresetada uma aálise térmica de coletores solares cocetradores cilídricos arabólicos ara o aquecimeto de água de uso doméstico. Neste caso, são utilizados tubos de calor como absorvedores da eergia coletada. Os resultados obtidos a artir de uma bacada exerimetal são comarados com a revisão do modelo teórico e com os coletores solares covecioais equivaletes. No ao de 005, iicia-se um rojeto a UNESP [UNESP, 011] que cosiste em uma arábola eselhada com 3m de comrimeto or 90cm de largura que absorve a radiação solar cocetrado-a uma seretia de cobre localizada ao logo da liha focal. Esse rotótio cota com um sistema caaz de ecotrar a máxima icidêcia de lumiosidade solar, levado em cota a elevação azimute, e o âgulo de icidêcia solar. Devido às suas dimesões, o rotótio é versátil, odedo ser utilizado tato a zoa urbaa, ara aquecimeto de água, como a zoa rural, ara secagem de grãos. Em Ho e Ito, 007, um cocetrador solar, em forma de calha arabólica, é rojetado e costruído com o objetivo ricial de determiar o redimeto do mesmo utilizado materiais icomus. Aqui, o objetivo também é o aquecimeto de água. Segudo os autores [Ho e Ito, 007], a escolha desse tio de cocetrador aresetou-se como a cofiguração mais ecoômica e fácil de costruir. Fialmete, em Zaette, 010, é feita a determiação, em regime estacioário, do camo de temeraturas de um coletor solar arabólico, de uma usia termosolar, utilizado o método dos volumes fiitos. Para tato, é assumido que o tubo cilídrico or ode assa o fluido, óleo, é comosto basicamete de vidro, or simlicidade. As roriedades termofísicas são cosideradas costates e as codições de cotoro são de seguda e de terceira esécie. Assi o resete trabalho vem dar cotiuidade ao trabalho realizado or Zaette, 010, amliado a metodologia utilizada ara resolver a resosta trasiete do coletor a artir da utilização do método das difereças fiitas exlícito. Historicamete, esse método semre foi emregado a área de mecâica dos fluidos [Maliska, 004]. Devido às ão-liearidades, eculiares dessa área, o roblema do tratameto de geometrias comlexas foi deixado em segudo lao, e o método teve todo o seu desevolvimeto baseado em sistemas de coordeadas ortogoais (cartesiao, cilídrico e esférico). Etretato, lembra-se que o método das difereças fiitas ode ser alicado a qualquer tio de malha, mesmo ão estruturada. Aeas os rocedimetos de cálculo das derivadas uméricas ao logo dos eixos coordeados, quado os otos de malha ão estão sobre esses eixos, são mais comlicados.

9 4 4. CONDUÇÃO RANSIENE O feômeo da codução trasiete ocorre em umerosas alicações de egeharia, odedo ser aalisado utilizado-se diferetes métodos. Nesta seção, tem-se or objetivo aresetar brevemete algumas das técicas utilizadas a solução de roblemas evolvedo esse feômeo. A atureza do rocedimeto está itimamete relacioada às hióteses feitas ara o rocesso. Se, or exemlo, gradietes de temeratura o iterior do sólido odem ser desrezados, o método da caacitâcia global ode ser usado ara determiar a variação da temeratura com o temo. Ou seja, assume-se que durate o rocesso trasiete a temeratura do sistema é uiforme, orém ão é costate. Pela Lei de Fourier, a codução térmica a ausêcia de um gradiete de temeratura imlica a existêcia de uma codutividade térmica ifiita, o que é imossível. Cotudo, essa codição é aroximada se a resistêcia à codução o iterior do sólido é equea em comaração à resistêcia à trasferêcia de calor etre o sólido e a sua vizihaça. Etão, ara se determiar sob quais codições o método da caacitâcia global ode ser emregado com recisão satisfatória ecessita-se cohecer o seguite arâmetro: a gradeza adimesioal deomiada úmero de Biot, Bi, que é defiida or hlc Bi, (4.1) k a qual h é coeficiete de trasferêcia de calor or covecção, L c é o comrimeto característico (razão etre o volume do sólido e sua área suerficial) e k é a codutividade térmica do sólido. Essa gradeza desemeha um ael fudametal os roblemas de codução que evolvem efeitos covectivos as suerfícies. A artir da Equação 4.1, ode-se iterretar o úmero de Biot como uma razão etre resistêcias térmicas. Na situação em que Bi << 1, a resistêcia à codução o iterior do sólido é muito meor do que a resistêcia à covecção através da camada limite do fluido. Logo, a hiótese de distribuição de temeraturas uiforme é razoável e ode-se utilizar o método da caacitâcia global ara se obter resultados recisos com um míimo de exigêcias comutacioais. Por outro lado, se o úmero de Biot ossuir valor róximo de 1, os efeitos esaciais têm que ser cosiderados e outro método deve ser emregado. Outro arâmetro adimesioal característico do rocesso de codução trasiete é o úmero de Fourier, defiido como αt Fo, (4.) L c a qual t é a variável temoral, α é a difusividade térmica e L c é o comrimeto característico. Embora esse arâmetro ossa ser ecarado como um temo adimesioal, ele ossui uma iterretação física imortate os casos ode a trasferêcia de calor or codução através dos sólidos é cocorrete com o armazeameto de eergia térmica elo sólido. Nessa situação, ele forece uma medida da efetividade relativa com a qual um sólido coduz e armazea eergia térmica. Problemas trasietes evolvedo geometrias e codições de cotoro simles costumam ter solução aalítica cohecida disoível a forma de gráficos ou de equações, ricialmete os casos uidimesioais. Algumas dessas soluções aida são ossíveis ara determiadas geometrias bidimesioais e tridimesioais simles. Casos clássicos, como a arede laa, o cilidro ifiito, a esfera e o sólido semi-ifiito, são facilmete ecotrados a literatura esecializada. Etretato, em grade arte dos casos, a geometria e/ou as codições de cotoro iviabilizam a ossibilidade de alicação de técicas aalíticas de resolução. ora-se ecessário, etão, a utilização de métodos uméricos ara rever a deedêcia com o temo de temeraturas o iterior de sólidos, assim como das taxas de trasferêcia de calor em seus cotoros. Neste trabalho, detre os métodos uméricos

10 5 disoíveis, utiliza-se o método das difereças fiitas exlícito. Essa escolha tem como justificativa sua facilidade de alicação e sua vasta utilização em roblemas evolvedo trasferêcia de calor Equação do Calor Bidimesioal em Coordeadas Cilídricas Sob codições trasietes com roriedades costates e a ausêcia de fote itera, a forma aroriada da equação do calor bidimesioal em coordeadas cilídricas é obtida a artir da Equação 3., desrezado-se o termo de geração de calor e o termo referete à variável z, assim tem-se 1 α t 1 = r r r r + 1, (4.3) r φ a qual é a temeratura, t é a variável temoral, r é a variável esacial, Φ é a variável agular e α é a difusividade térmica, defiida ateriormete a Equação 3.1. Resolvedo-se a derivada esacial em r, rimeiro termo à direita da igualdade da Equação 4.3, chega-se a 1 t 1 = r r (4.4) r r α φ Para se obter a forma de difereças fiitas dessa equação, usa-se as aroximações or difereça cetral ara as derivadas esacial e agular, lado direito da igualdade, e aroximação or difereça adiatada ara a derivada em relação ao temo, lado esquerdo da igualdade. Esse rocedimeto é aresetado a seção seguite. 4.. Método das Difereças Fiitas Exlícito: Discretização da Equação do Calor Soluções aalíticas ermitem a determiação da temeratura em qualquer oto do domíio, ou seja, são cotíuas. Por outro lado, quado se utiliza técicas uméricas de solução, ão é ossível tratar o domíio como cotíuo. Essas técicas ermitem a determiação da temeratura aeas em determiados otos do mesmo. Logo, a rimeira etaa de uma aálise umérica é discretização desse domíio [Kicaid e Cheey, 1996], como segue t = t r = m r. (4.5) φ = φ As variáveis t, r e Φ ossuem assos de tamahos distitos, deotados or t, r e Φ, e são idetificadas elos ídices, m e, resectivamete. Na Figura 4.1 abaixo, é ossível ver algus dos otos utilizados ara se obter a solução umérica. Observa-se que eles se localizam a iterseção das lihas, searados etre si elas distâcias r e Φ, que ão são ecessariamete iguais. O oto é frequetemete chamado de oto odal, ou ó, e o cojuto deles defie a malha, Figura 4.1(a). Sua idetificação se dá a artir de um esquema de umeração que, ara um sistema bidimesioal em coordeadas cilídricas, assume a forma mostrada a Figura 4.1(b). Para que seja ossível tratar umericamete a equação do calor, deve-se exressá-la em termos de oerações aritméticas. O resultado fial dessa trasformação é uma equação algébrica deomiada equação de difereças fiitas. Essa equação é escrita ara cada oto da região discretizada em que se deseja calcular a solução do roblema. Resolvedo-se o cojuto dessas equações, ecotra-se a solução aroximada do roblema. Essa solução ão é exata devido a três erros: o erro ierete ao rocesso de discretização das

11 6 equações, o erro de arredodameto os cálculos feitos o comutador e o erro a aroximação umérica das codições auxiliares. Figura 4.1 Discretização do domíio em coordeadas cilídricas. (a) Rede Nodal. (b) Esquema de umeração dos ós. As aroximações de difereças fiitas odem ser obtidas de várias formas, sedo as mais comus a exasão em série de aylor e a iterolação oliomial. Neste trabalho, utiliza-se a rimeira oção. A equação de difereças fiitas adequada ara os ós iteriores de um sistema bidimesioal em coordeadas cilídricas ode ser deduzida diretamete da Equação 4.4. Lembra-se que o método das difereças fiitas cosiste a substituição do oerador diferecial elo seu corresodete umérico. Assi o valor do rimeiro termo, etre arêteses, à direita da igualdade ode ser aroximado a artir do cohecimeto das equações algébricas associadas às derivadas, rimeira e seguda, em r. A derivada rimeira é aroximada or r m+ 1, ( r) m 1,. (4.6) A derivada seguda ode ser aroximada or r r r m+ 1, m 1, r, (4.7) a qual, os gradietes de temeratura odem ser exressos como uma fução das temeraturas odais. Isto é, r m + 1, m+ 1, + r, (4.8) e r m 1, + r m 1,, (4.9) Substituido as Equações 4.8 e 4.9 a Equação 4.7, obtém-se m + 1, r ( r) + m 1,. (4.10)

12 7 Procededo de forma aáloga com o segudo termo à direita da igualdade, tem-se que m, + 1 m, + m, 1 φ ( φ ). (4.11) Etretato, além de ser discretizado o esaço, o roblema também é discretizado o temo. Etão, da Equação 4.5 tem-se que a variável temoral ode ser escrita como t = t, (4.1) e a aroximação de difereça fiita ara a derivada em relação ao temo a Equação 4.4 é dada or t t, (4.13) a qual o ídice sobrescrito é usado ara idicar a deedêcia temoral da temeratura, e a derivada em relação ao temo é exressa em termos da difereça etre as temeraturas associadas aos istates de temo ovo (+1) e aterior (). Portato, os cálculos são efetuados em istates de temo sucessivos, searados or um itervalo de temo, ou asso, t. Substituido-se a Equação 4.13 a Equação 4.4, a atureza da solução or difereças fiitas deede do istate de temo esecífico o qual as temeraturas estão sedo determiadas as aroximações ara as derivadas esaciais. Na solução em que se utiliza o método exlícito, essas temeraturas são avaliadas o istate de temo aterior,. Logo, a Equação 4.13 é cosiderada uma aroximação or difereça adiatada ara a derivada em relação ao temo. Reescrevedo-se a Equação 4.4 usado as Equações 4.10, 4.11, determiadas em, e 4.13 tem-se a forma exlícita da equação de difereças fiitas ara o ó iterior ( ), dada or + 1 = 1 + α t rm m+ 1, m 1, + m+ 1, + m 1, + 1 m + 1 ( ) ( ) r r r ( φ) + 1. (4.14) A Equação 4.14 é dita exlicita orque as temeraturas odais descohecidas ara o ovo istate de temo são determiadas exclusivamete or temeraturas odais cohecidas o istate de temo aterior. Cosequetemete, o cálculo das temeraturas descohecidas é direto. Uma vez que a temeratura em cada um dos ós iteriores é cohecida em t = 0, devido às codições iiciais, os cálculos começam em t = t, ode a Equação 4.14 é utilizada em cada ó iterior ara determiar a sua temeratura. Dessa forma, a distribuição de temeraturas trasiete é obtida avaçado-se o temo em itervalos de t. Em algus casos, é desejável desevolver as equações de difereças fiitas através do método alterativo, deomiado de método do balaço de eergia. Nesse método, a equação ara um oto odal é obtida a artir da alicação da coservação de eergia o volume de cotrole referete à região desse ó. Uma vez que a direção real do fluxo térmico (etrado ou saido do ó) é frequetemete descohecida, é coveiete formular o balaço de eergia suodo que todos os fluxos térmicos estão dirigidos ara detro do oto odal. Embora tal codição seja imossível, se as equações de taxa são reresetadas de forma cosistete com essa suosição, obtém-se a equação de difereças fiitas correta [Icroera et al., 008]. Levado-se em cosideração mudaças a eergia térmica acumulada, uma forma geral da equação do balaço de eergia ode ser reresetada or

13 8 E & + E& = E&, (4.15) et g acu a qual E & et é a taxa de trasferêcia de eergia ara detro do volume de cotrole, E & g é a taxa de geração de eergia e E & acu é a taxa de aumeto da eergia armazeada o iterior do volume de cotrole. As equações em difereças fiitas associadas às codições de cotoro são obtidas a artir do método descrito acima, efetuado-se o balaço de eergia os volumes de cotrole das froteiras. Para determiar com maior recisão as codições térmicas róximas à suerfície, atribui-se uma esessura equivalete à metade da esessura das seções seguites. No caso da trasferêcia de calor or covecção de um fluido adjacete, Figura 4. (a), e geração ula, tem-se da Equação 4.15 h óleo + 1 k r 1, 1, ( óleo 1, ) + (, 1, ) = ρ c, (4.16) r t a qual h óleo é o coeficiete de trasferêcia de calor or covecção do óleo, óleo é a temeratura do óleo, k é codutividade térmica, ρ é a desidade e c é o calor esecífico a ressão costate do material. Exlicitado-se a temeratura a suerfície itera do tubo, ós (1, ), em t + t, tem-se t h + 1 óleo α 1, = ( óleo 1, ) + (, 1, ) + 1, r ρc r, (4.17) a qual α é a difusividade térmica. A mesma codição de cotoro é imosta ara dois terços da suerfície extera, ós (m ), Figura 4. (b). Assi a temeratura em t + t é dada or t h + 1 if α m = ( if m ) + ( mm 1, m ) + m r ρc r, (4.18) a qual a qual h if é o coeficiete de trasferêcia de calor or covecção do ar e if é a temeratura do ar. Por outro lado, um terço da suerfície extera está sujeito a um fluxo de calor rescrito, q, Figura 4. (c). Nesse caso, rocededo-se de maeira aáloga, tem-se que + 1 k r m m q' ' + ( mm 1, m ) = ρ c, (4.19) r t a qual q é o fluxo de calor cohecido. Exlicitado-se a temeratura, os ós exteros sujeitos a essa codição (m ), em t + t, chega-se a t q'' + 1 α m = + ( mm 1, m ) + m r ρc r. (4.0) Quado se resolve um roblema trasiete, busca-se a evolução temoral efetiva da gradeza física. Para que essa evolução seja reresetativa do roblema estudado, é ecessário ter-se uma codição iicial fisicamete correta. Para se estudar a evolução temoral da temeratura o coletor é ecessário que o valor iicial da temeratura seja esecificado. De osse dessa iformação e das codições de cotoro, obtém-se a distribuição de temeraturas ara diferetes istates de temo. Em algus casos, as codições de cotoro são combiadas com a codição iicial, sedo chamadas etão, de codições auxiliares.

14 9 Figura 4. Nós das suerfícies itera e extera do cilidro (a,b) sujeitos à covecção e à codução trasiete e (c) sujeitos a um fluxo cohecido e à codução trasiete. No resete trabalho, como codição iicial, assume-se que a temeratura a suerfície itera do cilidro ossui mesmo valor que a temeratura do óleo, ou seja, = 1 1, óleo, (4.1) lei zero da termodiâmica (equilíbrio térmico). Para a suerfície extera, rocede-se da mesma forma, de maeira que a temeratura da suerfície extera do cilidro ossui mesmo valor que a temeratura do ar, isto é, 1 mm, =. if (4.) Os otos iteros assumem uma média dessas temeraturas, assim 1 óleo + if =, (4.3) a qual o subídice m varia etre e mm-1 e o subídice varia etre 1 e. Etretato, destaca-se que ao ivés de se utilizar a média das temeraturas cohecidas, ode-se utilizar uma distribuição (r) em casca cilídrica em regime estacioário. Além disso, devido à geometria do objeto de estudo, tem-se a seguite relação etre as temeraturas de coordeada r geérica e coordeada Φ igual a 0 e π, ara qualquer istate de temo, m 1 m,, =, (4.4) a qual o subídice 1 idica o oto Φ = 0 e o subídice idica o oto Φ = π. Ao térmio desta seção, fica evidete uma das características do método das difereças fiitas. Suas equações algébricas são desrovidas da física do roblema. Isso ocorre orque se trata de um método que aeas aroxima as derivadas or exasões em série de aylor. Assi ara a correta solução do roblema é ecessário o cohecimeto dos feômeos físicos resetes as froteiras do sistema e seu devido equacioameto em termos das equações de difereças fiitas. Isso ão ocorre com o método dos volumes fiitos, cujos asectos físicos ecotram-se embutidos as equações do mesmo.

15 10 5. MEODOLOGIA UILIZADA Neste trabalho, o modelo físico escolhido ara simular o coletor solar foi extraído de [Zaette, 010] estado submetido às codições de cotoro exlicitadas a Figura 5.1(a), com os resectivos valores das roriedades evolvidas. O absorvedor, tubo cilídrico, ossui as dimesões esecificadas a Figura 5.1(b). Visado à elaboração de um modelo comutacioal bem róximo do artefato real, submete-se um terço da suerfície extera do absorvedor ao fluxo de calor oriudo do cocetrador arabólico e o restate submete-se à trasferêcia de calor or covecção atural. Pela cavidade iterior do tubo cilídrico flui óleo quete. Assi a suerfície itera do absorvedor está sujeita à trasferêcia de calor or covecção. Figura 5.1 Caracterização do roblema: (a) codições de cotoro e (b) dimesões do modelo físico. Além disso, assume-se, or simlicidade e ara fis de comaração etre resultados, que o absorvedor é comosto basicamete de vidro. Etretato, o algoritmo desevolvido ermite a aálise de qualquer material. As roriedades termofísicas utilizadas assumem os valores disostos a abela 5.1. abela 5.1 Proriedades termofísicas do vidro [Icroera et al., 008]. Proriedade Valor desidade (ρ) 145 kg/m 3 codutividade térmica (k) 0,8 W/mK calor esecífico a ressão costate (c ) 1000 J/kgK A alicação das equações em difereças fiitas, determiadas o caítulo aterior, Figura 5.3 (b), é ossível devido à discretização do domíio. Esse rocedimeto gera uma malha estruturada, Figura 5.3 (a). Para essa a simulação são aalisados 10 otos o setido radial e 41 otos o setido agular. Lembra-se que um terço da suerfície extera está sujeito à alicação da Equação 4.0 e o restate está sujeito à alicação da Equação Em destaque, Figura 5.3 (b), ecotra-se o ó, osição, ode a evolução da solução é avaliada até atigir a codição de regime estacioário, equilíbrio térmico. O valor obtido ara a temeratura dessa osição, jutamete com o valor da osição 1, a codição de equilíbrio, são utilizados ara a comaração etre os resultados a seção seguite. O método exlícito tem uma característica idesejável: ão é icodicioalmete estável [Icroera et al., 008]. Em um roblema trasiete, a solução ara as temeraturas odais deve se aroximar cotiuamete de valores fiais (ou seja, do regime estacioário) com o avaço do temo. Etretato, quado se utiliza o método exlícito, essa solução ode ser acomahada de oscilações iduzidas umericamete, as quais são desrovidas de sigificado físico. Essas oscilações odem se torar istáveis, fazedo a solução divergir das

16 11 codições reais do regime estacioário. Visado evitar esses resultados errôeos, o valor esecificado ara t deve ser matido abaixo de certo limite, que deede de arâmetros do sistema. Essa deedêcia é chamada de critério de estabilidade. Via de regra, esse limite aumeta sigificativamete o temo comutacioal e o úmero de iterações, em comaração à solução usado o método imlícito, que é icodicioalmete estável. Figura 5.3 (a) Malha estruturada e (b) equações utilizadas o domíio discretizado. Em destaque, (a) as osições utilizadas a comaração dos resultados quado se atige a codição de equilíbrio. Por outro lado, sabe-se que à medida que se avaça o temo, a difereça relativa etre o valor aterior e o valor atual de uma variável tede a dimiuir. Essa difereça é cada vez meor com o aumeto do temo. Assi reseitado-se o critério de estabilidade, é ossível acelerar o rocesso de cálculo aumetado-se o t. Com o objetivo de garatir o úmero de dígitos sigificativos exatos a obteção de estimativas ara o valor das temeraturas, escolhe-se um valor de referêcia iicial que é dado or V R = C, (4.5) a qual C é o valor do critério de covergêcia. O aumeto a variável t só é imlemetado a artir do mometo em que a difereça relativa etre o valor da temeratura aterior e o valor da temeratura atual, ara um determiado oto, for meor que o valor de referêcia. Neste trabalho, utiliza-se um critério de covergêcia igual a Utilizado-se dados uméricos obtidos ao logo de simulações, as quais se varia o valor do asso temoral iicial, t 0, e o valor do critério de covergêcia, testa-se a seguite equação ara realizar o icremeto temoral t = t 0 ex( bt), (4.6) a qual t 0 é o asso de temo iicial, t é a variável temoral e o argumeto b é uma costate dada or b = 0 C. (4.7) A artir dos dados uméricos oriudos das simulações, ajusta-se o valor da costate b em fução do valor do critério de covergêcia, C, relacioado-se o icremeto temoral utilizado com um arâmetro que deede essecialmete de um dado de etrada do rograma. A escolha de uma fução exoecial reside o fato de que este tio de fução ossui um crescimeto leto se o argumeto b, que multilica a variável ideedete t, está comreedido o itervalo 0 < b < 1. Este é o caso do valor de referêcia utilizado o argumeto da equação escolhida ara determiar o icremeto o asso temoral.

17 1 6. RESULADOS E DISCUSSÃO O algoritmo utilizado, Aêdice I, é escrito e comilado através do software Fortra, utilizado-se a versão Comaq Visual Fortra 6.6. A comilação do rograma é feita em um comutador essoal com rocessador AMD Pheo 9550 Quad-Core (,1 GHz) com 3,5 GB de memória RAM e sistema oeracioal Microsoft Widows XP, SP3. Para facilitar a elaboração do algoritmo utilizado este trabalho, subdivide-se a solução do roblema em etaas, cada uma corresodedo a uma sub-rotia. A rimeira delas é resosável ela geração da malha. A seguda imlemeta a codição iicial, temeratura cohecida. A seguir, são realizados os cálculos com as equações em difereças fiitas e o icremeto do asso de temo t. Fialmete, são calculados os fluxos os cotoros e são imressos os valores das temeraturas, e resectivas coordeadas, ara a costrução do camo de temeraturas usado o software eclot. A validação umérica se dá a artir da comaração do camo de temeraturas obtido elo algoritmo roosto com o camo de temeraturas obtido elo software RANSCAL [SINMEC, 011]. Esse software, com fis educacioais, é um istrumeto auxiliar de esio ara discilias relacioadas à trasferêcia de calor e à mecâica dos fluidos. A versão iicial simula roblemas de codução em geometrias bidimesioais com diversas codições de cotoro, utilizado malhas cartesiaas, sedo desevolvido em C++, utilizado as bibliotecas do Widows [SINMEC, 011]. Resolve roblemas de codução de calor bidimesioais trasietes, ou em regime ermaete, com ou sem geração de calor, em domíios arbitrários através do método dos volumes fiitos. Esse camo de temeraturas é mostrado a Figura 6.1(b) abaixo. Embora o úmero de isotermas usado a simulação com o RANSCAL seja maior, 0, do que o úmero utilizado o eclot, 11, ode se observar que o camo obtido a artir dos dados gerados elo algoritmo CSP, Figura 6.1(b), ecotra-se em boa cocordâcia com o camo obtido utilizado-se o software RANSCAL, Figura 6.1(a). Figura 6.1 Camos de temeraturas obtidos através dos softwares (a) RANSCAL e do (b) algoritmo CSP utilizado 10 otos a direção radial e 41 otos a direção agular. Devido ao fato do software RANSCAL disoibilizar um relatório com os resultados da simulação, também é ossível comarar os valores das temeraturas em cada oto. Escolhe-se, etão, as osições 1 e, rever Figura 5.3, ara realizar essa comaração. Através da abela 6.1 é ossível costatar que os valores determiados or ambos os softwares ossuem valores muito róximos. A maior difereça relativa foi de,57% ara a osição 1, a extremidade sujeita à codição de covecção atural. A meor difereça relativa foi de 1,56% a osição, a extremidade sujeita à codição de fluxo rescrito costate.

18 13 abela 6.1 Valores das temeraturas os extremos aós atigir a codição de equilíbrio. RANSCAL [ºC] FORRAN [ºC] Dif. Relativa [%] Posição 1 151, ,3665,57 Posição 684, ,8709 1,56 Coforme cometado a seção aterior, à medida que se avaça o temo, a difereça relativa etre o valor aterior e o valor atual da temeratura de um oto tede a dimiuir de maeira a covergir ara um determiado valor fial, Figura 6.. A escolha da osição ara se alicar o critério de covergêcia se justifica a artir da aálise da Figura 6.. Coforme ode se observar, o oto a variação etre o valor iicial e o valor fial da temeratura é cosideravelmete maior que a mesma variação o oto 1. emeratura as Extremidades 700 temeratura (ºC) Posição 1 Posição temo (s) Figura 6. Comortameto da temeratura, as extremidades do cilidro, em fução do temo. O icremeto temoral é modificado ao logo das iterações utilizado-se a Equação 4.6. oda vez que a difereça etre a temeratura atual e a temeratura aterior alcaça o valor de referêcia, este é atualizado multilicado-se or 10-1 até se chegar ao valor do critério de covergêcia. Por exemlo, ara o caso de um critério de covergêcia igual a 10-8, tem-se que o icremeto temoral só será modificado se a difereça relativa etre a temeratura o istate aterior e a temeratura o istate atual for meor que Neste caso, a iteração seguite, o valor de referêcia assume o valor de Este rocedimeto é executado sucessivamete até que o valor de referêcia seja igual ao critério de covergêcia, ou seja, Parte-se, etão, de um valor iicial, t = 0,100 segudos, chegado-se ao valor fial, t = 0,179 segudos. Devido às dimesões do roblema e ao método escolhido (exlícito), o máximo valor que o asso iicial, t 0, ode assumir é 0,150 segudos, ara que ão haja overflow. De acordo com a abela 6., ercebe-se que ara um critério de covergêcia igual a 10-8 tem-se uma dimiuição o úmero de iterações roorcioal a 0%, o que acarreta em meos 587 iterações. abela 6. Número de iterações ecessárias ara a covergêcia. Critério de Covergêcia Iterações com t 0 Iterações com t corrigido Iterações

19 14 A título de comaração, ara um mesmo critério de covergêcia (igual a 10-8 ), foram ecessárias 847 iterações com o software RANSCAL. Assi tem-se que a equação testada, Equação 4.6, roduziu dimiuições sigificativas o úmero de iterações ara o modelo em estudo. Salieta-se que os valores de t 0 testados comreedem o itervalo 0,100 t 0 0,150. (4.8) Fialmete, aós a situação de equilíbrio ser atigida, o algoritmo calcula a taxa de trasferêcia de calor, Q, a froteira itera. A difereça relativa etre o valor obtido elo software RANSCAL e o valor obtido elo algoritmo CSP, abela 6.3, foi de,93%. Essa dimiuta difereça etre os dois métodos evidecia, ovamete, a aquisição de resultados satisfatórios. abela 6.3 axa de trasferêcia de calor a froteira itera. Software Q [W] RANSCAL - 164,07 FORRAN - 159,6 7. CONCLUSÕES E PERSPECIVAS O resete trabalho tem como objetivo aalisar a trasferêcia de calor ao logo do temo em um tubo, desrezado-se os efeitos da radiação, obtedo-se o camo de temeraturas a situação de equilíbrio. A artir da aálise dos resultados é ossível costatar que esse objetivo foi alcaçado. O camo de temeraturas obtido mostra satisfatória cocordâcia quado comarado aos resultados gerados elo software RANSCAL, evideciado a eficácia da metodologia. Assi o algoritmo CSP foi validado, uma vez que se tratam de metodologias diferetes. Além disso, foi ossível a redução do úmero de iterações e, cosequetemete, a dimiuição do temo comutacioal ecessário ara a covergêcia. Os resultados gerados a artir do algoritmo CSP foram obtidos com meos iterações que os resultados gerados elo software RANSCAL, ara um mesmo critério de covergêcia. odavia, devido às dimesões do roblema e ao método umérico escolhido, método das difereças fiitas exlícito, existe um limite máximo ara o asso temoral, o que limitou uma dimiuição aida maior o úmero de iterações. Devido à característica do algoritmo, de ossibilitar a etrada de todos os dados do roblema, iclusive as roriedades termofísicas, essa metodologia ode ser alicada a qualquer material. Dessa forma, acredita-se que a mesma ode ser utilizada como ferrameta didática auxiliar, tato em discilias de trasorte de calor como em discilias de métodos uméricos. Isso orque, a simlicidade do método, que ão evolve rocessos de algoritmos diretos (Elimiação de Gauss, SOR, etc), imlica o cohecimeto da física do roblema. Fialmete, como sugestão ara trabalhos futuros, roõe-se a aálise do efeito da codutividade térmica variável com a temeratura.

20 15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Accioa Accioa North América. Nevada Solar Oe. Disoível em htt:// Acesso em abril de 011. Emreiteiro Revista O Emreiteiro. A vez das usias termossolares. Disoível em htt:// Acesso em abril de 011. Eerbrax. ermo Solar Coremas. Disoível em htt://eerbraxeg.com.br/idex.h/emreedimetos.html. Acesso em abril de 011. Ho, D.A., e Ito, E.A., Projeto e Costrução de Aquecedor Solar com Cocetrador. Disoível em htt:// Acesso em abril de 011. Icroera, F.P., DeWitt, D.P., Bergma,.L., Lavie, A.S., Fudametos de rasferêcia de Calor e de Massa, LC, 6ª Edição, 008. Kicaid, D. e Cheey, W., Numerical Aalysis: Mathematics of Scietific Comutig, Brooks/Cole Publishig Comay, d Editio, Maliska, C.R., rasferecia de Calor e Mecâica dos Fluidos Comutacioal, LC, ª Edição, 004. Satos, S.A.F., Aálise de Coletor Cocetrador Solar Parabólico Utilizado ubos de Calor como Absorvedores. rabalho aresetado o 5º AGRENER-GD Cogresso Iteracioal sobre Geração Distribuída e Eergia o Meio Rural, 004. Disoível em htt:// Acesso em abril de 011. SINMEC Laboratório de Simualção Numérica em Mecâica dos Fluidos e rasferêcia de Calor. Disoível em htt:// Acesso em juho de 011. UNESP Uiversidade Estadual Paulista, Ues/Guará desevolve aquecedor solar arabólico. Disoível em htt:// Acesso em abril de 011. Zaette, W., Determiação do Camo de emeraturas em Regime Permaete em um Coletor Solar Parabólico através do Método de Volumes Fiitos, trabalho aresetado a discilia ENG03008 rasferêcia de Calor e Mecâica dos Fluido Comutacioal, Escola de Egeharia, UFRGS, 010.

21 16 APÊNDICE I Algoritmo CSP PROGRAM CSP C DECLARACAO DE VARIAVEIS DOUBLE PRECISION 1,,KMA,ri,re,dr,dhi,dt,M,time,dto DOUBLE PRECISION h1,h,alha,c,rho,q,i,b,dti DOUBLE PRECISION (1000,1000),INI(1000,1000),FU(1000,1000) DOUBLE PRECISION R(1000),PHI(1000),X(1000),Y(1000) DOUBLE PRECISION DIFREL,DIFCOM,CRICONV DOUBLE PRECISION CALORE,CALORI,AREA1,AREA INEGER M,N,MM,NN,A,P1,P11,P,P,P3,P33,z C ENRADA DE DADOS WRIE(*,*) '=====================================================' WRIE(*,*) ' ' WRIE(*,*) ' aaalise rasiete da rasferecia de Calor em um ubo ' WRIE(*,*) ' or Jeisch Rodrigues, L. ' WRIE(*,*) ' Julho/011 ' WRIE(*,*) ' ' WRIE(*,*) '=====================================================' WRIE(*,*) '' WRIE(*,*) 'Numero de PONOS em "r": ' READ(*,*) MM WRIE(*,*) 'Numero de PONOS em "hi": ' READ(*,*) NN WRIE(*,*) 'emeratura do ar [oc]: ' READ(*,*) 1 WRIE(*,*) 'Coef. trasf. calor or coveccao - ar [W/m^K]: ' READ(*,*) h1 WRIE(*,*) 'emeratura do oleo [oc]: ' READ(*,*) WRIE(*,*) 'Coef. trasf. calor or coveccao - oleo [W/m^K]: ' READ(*,*) h WRIE(*,*) 'Codutividade termica do material [W/mK]: ' READ(*,*) KMA WRIE(*,*) 'Desidade do material [kg/m^3]: ' READ(*,*) rho WRIE(*,*) 'Calor esecífico a ressao costate [J/kgK]: ' READ(*,*) c WRIE(*,*) 'Raio itero do tubo cilidrico [m]: ' READ(*,*) ri WRIE(*,*) 'Raio extero do tubo cilidrico [m]: ' READ(*,*) re WRIE(*,*) 'Passo o temo - iicial [s]: ' READ(*,*) dto WRIE(*,*) 'Fluxo de Calor Prescrito [W/m^]: ' READ(*,*) q WRIE(*,*) 'Criterio de Covergecia [.d-ex]: ' READ(*,*) CRICONV WRIE(*,*) 'Modulo do exoete (ex) do Crit Cov [ex > ou = 8]:' READ(*,*) z C DECLARACAO E DEERMINACAO DAS CONSANES i= alha=kma/(rho*c) M=MM-1 N=NN-1 dr=(re-ri)/m dhi=(*i)/n C CHAMADA DE SUB-ROINAS CALL MALHA(M,N,MM,NN,ri,re,dr,dhi,R,PHI,i) CALL IN(M,N,MM,NN,1,,INI) CALL EMPER(M,N,MM,NN,1,,,INI,dr,dhi,R,dto,h,h1,

22 17 C *alha,c,rho,q,criconv,z) CALL FLUXOS(KMA,dr,dhi,M,N,MM,NN,,ri,re,i) CALL IMPRIME(M,N,MM,NN,,R,PHI) END PROGRAM SUBROUINE MALHA(M,N,MM,NN,ri,re,dr,dhi,R,PHI,i) DOUBLE PRECISION ri,re,dr,dhi,i DOUBLE PRECISION R(1000),PHI(1000) INEGER I,J,M,N,MM,NN OPEN(0,file='RESULADOS.OU') I=0 J=0 WRIE(0,*)'*** IMPRESSAO DOS PARAMEROS DA MALHA ***' WRIE(0,*)'Raio itero do cilidro vazado = ',ri WRIE(0,*)'Raio extero do cilidro vazado = ',re WRIE(0,*)'Numero de otos a direcao radial = ',MM WRIE(0,*)'Numero de otos a direcao agular = ',NN WRIE(0,*)'dr = ',dr WRIE(0,*)'dhi = ',dhi C MONANDO A MALHA R(1)=ri DO I=,MM R(I)=R(I-1)+dr WRIE(0,*)'dr=',R(I) END DO PHI(1)=0.d0 DO J=,NN PHI(J)=PHI(J-1)+dhi WRIE(0,*)'dhi=',PHI(J) END DO REURN END C SUBROUINE IN(M,N,MM,NN,1,,INI) DOUBLE PRECISION 1,,M DOUBLE PRECISION INI(1000,1000) INEGER I,J,M,N,MM,NN I=0 J=0 C MEDIA ARIMEICA DAS EMPERAURAS CONHECIDAS 1 E M=(1+)/.d0 C CONDICAO INICIAL: C O CILINDRO VAZADO ASSUME A MEDIA ARIMEICA DAS EMPERAURAS CONHECIDAS 1 E EXCEO NOS CONORNOS, ONDE SE ASSUME = AMBIENE OU OLEO (EQUILIBRIO) DO I=,M DO J=1,NN C EMPERAURA IGUAL A EMPERAURA DO OLEO NA PAREDE INERNA DO CILINDRO INI(1,J)= C EMPERAURA MÉDIA - NÓS INERNOS INI(I,J)=M C EMPERAURA IGUAL A EMPERAURA DO AMBIENE NA PAREDE EXERNA DO CILINDRO INI(MM,J)=1 END DO END DO REURN END C SUBROUINE EMPER(M,N,MM,NN,1,,,INI,dr,dhi,R,dto,h,h1, *alha,c,rho,q,criconv,z) DOUBLE PRECISION dr,dhi,dt,h,h1,c,rho,alha,q,dto,b,dti DOUBLE PRECISION 1,,time,CRICONV,DIFREL,DIFCOM

23 18 DOUBLE PRECISION (1000,1000),INI(1000,1000),R(1000), *FU(1000,1000) INEGER I,J,M,N,MM,NN,A,P1,P11,P,P,P3,z OPEN(0,file='RESULADOS.OU') OPEN(40,file='EXCEL.DA') I=0 J=0 A=0!Numero de Iterações dt=0.0d0!icremeto de delta to time=0.0d0!variável temo b=10*sqr(criconv)*(**(z-7))!argumeto da exoecial DIFCOM=SQR(CRICONV)!Difereça de Comaração - Valor Iicial dti=dto!delta t iicial C DIVISAO ANGULAR DA SUPERFICIE EXERNA (EM RES PARES IGUAIS) P1=((N-1)/3)+1 P11=P1+1 P=(*P1)-1 P=P+1 C COORDENADA 'J' DO PONO ONDE VAI SE ANALISAR A CONVERGENCIA P3=(N/)+1 C MARIZ DE EMPERAURAS AUAIS RECEBE OS VALORES INICIAIS DO I=1,MM DO J=1,NN (I,J)=INI(I,J) ENDDO ENDDO C CALCULO DAS EMPERAURAS 100 DO I=,M C CONDICAO DE CONORNO INERNA PARA "R" - CONVECCAO COM OLEO --> EQUAÇÃO 4.17 FU(1,1)=((*dto/dr)*(((h/(rho*c))*(-(1,1)))+((alha/dr)*( *(,1)-(1,1)))))+(1,1) C CONDIÇÃO DE CONINUIDADE (1,NN) = (1,1) --> EQUAÇÃO 4.1 FU(1,NN)=FU(1,1) C PARA PHI IGUAL A ZERO E IGUAL A PI() FU(I,1)=((alha*dto)*(((1/R(I))*(((I+1,1)-(I-1,1))/ *(*dr)))+(((i-1,1)-(*(i,1))+(i+1,1))/(dr*dr))+ *(1/(R(I)*R(I)))*(((I,)-(*(I,1))+(I,N))/((dhi*dhi)/4)))) *+(I,1) C (I,NN) = (I,1) --> EQUAÇÃO 4.1 FU(I,NN)=FU(I,1) DO J=,N C EQUAÇÃO 4.17 FU(1,J)=((*dto/dr)*(((h/(rho*c))*(-(1,J)))+((alha/dr)*( *(,J)-(1,J)))))+(1,J) C NóS INERNOS --> EQUAÇÃO 4.14 FU(I,J)=((alha*dto)*(((1/R(I))*(((I+1,J)-(I-1,J))/ *(*dr)))+(((i-1,j)-(*(i,j))+(i+1,j))/(dr*dr))+ *(1/(R(I)*R(I)))*(((I,J+1)-(*(I,J))+(I,J-1))/(dhi*dhi)))) *+(I,J) ENDDO ENDDO C CONDICAO DE CONORNO EXERNA CONVECÇÃO --> EQUAÇÃO 4.18 E EQUAÇÃO 4.0 FU(MM,1)=((*dto/dr)*(((h1/(rho*c))*(1-(MM,1)))+((alha/dr) **((M,1)-(MM,1)))))+(MM,1) C C CONDIÇÃO DE 'CONINUIDADE' (MM,NN) = (MM,1) FU(MM,NN)=FU(MM,1) DO J=,P1 CONVECÇÃO --> EQUAÇÃO 4.18 (PRIMEIRO ERÇO) FU(MM,J)=((*dto/dr)*(((h1/(rho*c))*(1-(MM,J))+((alha/dr) **((M,J)-(MM,J))))))+(MM,J) ENDDO

24 19 DO J=P11,P C FLUXO CONHECIDO --> EQUAÇÃO 4.0 (SEGUNDO ERCO) FU(MM,J)=((*dto/dr)*(((q/(rho*c))+((alha/dr) **((M,J)-(MM,J))))))+(MM,J) ENDDO DO J=P,N C CONVECÇÃO --> EQUAÇÃO 4.18 (PRIMEIRO ERÇO) FU(MM,J)=((*dto/dr)*(((h1/(rho*c))*(1-(MM,J))+((alha/dr) **((M,J)-(MM,J))))))+(MM,J) ENDDO C CALCULO DA DIFERENCA RELAIVA DIFREL=DABS(FU(MM,P3)-(MM,P3))/FU(MM,P3) C AUALIZANDO A MARIZ DE EMPERAURAS A=A+1! Num de Iterações time=time+dto! Atualizado a variável temo DO I=1,MM DO J=1,NN (I,J)=FU(I,J) END DO END DO C IMPRESSAO DAS EMPERAURAS UILIZADAS NA COMPARAÇÃO DOS RESULADOS WRIE(40,*)dt,';',(MM,1),';',(MM,P3) C CALCULO DO INCREMENO DE DELA t if(difrel.g.difcom) GOO 100 dt=dti*ex(b*time) dto=dt c AUALIZAÇÃO DO VALOR DE REFERÊNCIA DIFCOM=DIFCOM/10 C VERIFICAÇÃO DO CRIÉRIO DE CONVERGÊNCIA FORNECIDO PELO USUÁRIO if(difrel.g.criconv) GOO 100 C IMPRESSÃO DO CAMPO DE EMPRAURAS FINAL WRIE(0,*)'*** CAMPO DE EMPERAURAS ***' WRIE(0,*)'NÚMERO DE IERAÇÕES (A)=',A WRIE(0,*)'EMPO OAL (s) =',time WRIE(0,*)' I J EMP' DO I=1,MM DO J=1,NN WRIE(0,51)I,J,(I,J) 51 FORMA(/I6,3X,I6,3X,1P1E13.5) ENDDO ENDDO WRIE(0,*)'dto fial (s) =',dto CLOSE(0) CLOSE(40) REURN END C SUBROUINE IMPRIME(M,N,MM,NN,,R,PHI) DOUBLE PRECISION (1000,1000),R(1000),PHI(1000) DOUBLE PRECISION X(1000),Y(1000) INEGER I,J,M,N,MM,NN OPEN(80,file='CAMPO_EMP_CSPD.DA') C RANSFORMANDO EM COORDENADAS CARESIANAS PARA IMPRESSAO WRIE(80,'("Variables = X, Y, ")') WRIE(80,'("Zoe =""Zoe-Oe"" I= "I3 " J= "I3 "F=Poit")') *MM,NN DO J=1,NN DO I=1,MM X(I)=R(I)*COS(PHI(J)) Y(J)=R(I)*SIN(PHI(J)) WRIE(80,'(3f10.5)') X(I), Y(J), (I,J) ENDDO

25 0 C ENDDO CLOSE(80) REURN END SUBROUINE FLUXOS(KMA,dr,dhi,M,N,MM,NN,,ri,re,i) DOUBLE PRECISION KMA,dhi,dr,ri,re,i INEGER M,N,MM,NN DOUBLE PRECISION (1000,1000) DOUBLE PRECISION CALORE,CALORI,AREA1,AREA INEGER I,J OPEN(60,file='FLUXOS.OU') I=0 J=0 AREA1=(dhi*ri)*1 AREA=(dhi*re)*1 DO J=1,N CALORI=CALORI+(KMA*AREA1*((1,J)-(,J))/dr) END DO DO J=1,N CALORE=CALORE+(KMA*AREA*((MM,J)-(M,J))/dr) END DO WRIE(60,*)'AXA DE RANSFERENCIA DE CALOR O -> L INERNA=',CALORI WRIE(60,*)'AXA DE RANSFERENCIA DE CALOR L -> O EXERNA=',CALORE CLOSE(60) REURN END