MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 47 ÁREAS DE POLÍGONOS

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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 47 ÁREAS DE POLÍGONOS

2 h b

3 I

4 b h b h b h

5 b h

6 D d

7 S S S S S S S S d D

8 D d

9 b h B

10 h b B - b B

11 b h A B

12 h b

13 h h b b

14 a h α b

15 a α b

16 I I h I

17 c r b a

18 c r rar b c r r r b a

19 c r b a

20 Como pode cair no enem (ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura: B A C D Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m 2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m 2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 d) R$ 42,50 b) R$ 35,00 e) R$ 45,00 c) R$ 40,00

21 Fixação 1) A área do quadrado sombreado é: a) 36 7m 1m b) 40 1m c) 48 d) 50 7m e) 60 1m 7m 7m 1m

22 Fixação 2) (UNIRIO) A área da figura sombreada é: a) 100m² b) 132m² c) 140m² d) 144m² e) 156m² y (em m) x (em m)

23 Fixação 3) A figura mostra um quadrado de lado a e um triângulo ABC onde os vértices A e B são pontos médios dos lados do quadrado. C A a Calcule a área desse triângulo. B

24 Fixação F 4) (ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. 5 Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. 5 r Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é: s n Rua A Rua C Terreno Rua D Rua B a) d) b) e) r a b c c)

25 ixação ) (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, formado por triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas ecortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se de todas as ete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas as figuras 2 e 3. figura 1 figura 2 figura 3 Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então área da figura 3, que epresenta uma casinha, é igual a: ) 4cm d) 14cm ) 8cm e) 16cm ) 12cm

26 Fixação 6) (ENEM) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de m 3 /s. O cálculo da vazão, Q em m 3 /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2, pela velocidade v da água no local, em m/s, ou seja, Q = A.v. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Figura I Figura II 20 m 41 m 2.5 m 2.0 m 30 m 49 m Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90m 3 /s b) 750m 3 /s c) 1.050m 3 /s d) 1.512m 3 /s e) 2.009m 3 /s

27 Proposto Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é o: a) I d) IV b) II e) V c) III 1) Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de um jornal. Vila das Flores Vende-se terreno plano medindo 200 m². Frente voltada para o Sol no período da manhã. Fácil acesso. (443) Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, chegando lá, observa um painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V: Rua dos Cravos N Rua dos Jasmins I II IV Rua das Rosas III V Rua das Margaridas Rua das Hortênsias m

28 Proposto 2) Um programa de reflorestamento será implantado em uma área em forma de trapézio retângulo, cuja planta está desenhada abaixo, na escala 1: A área destinada a este programa de reflorestamento corresponde a: a) 0,256km 2 b) 2,56km 2 5 cm c) 25,6km 2 d) 256km 2 e) 2560km 2 10 cm 11 cm

29 Proposto 3) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. D C h A E F G B A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: a) 1 6 d) 1 7 b) 1 8 e) 1 9 c) 1 10

30 roposto Avaliando-se todas as informações, serão necessários: ) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. ) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. ) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. ) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. ) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. ) (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no nverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas or hora) de gás propano e cobre 35 m 2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobetura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que eve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio). 9 m II III IV 14 m 4 m 7 m I 8 m 5 m

31 Proposto 5) (ENEM) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 x) (3 y). 3 x 5 Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15-3x c) 15-5y d) - 5y - 3x e) 5y + 3x - xy y

32 Proposto 6) (ENEM) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será: a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram; b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro; c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram; d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade; e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

33 Proposto 7) (UFRJ) ABCD é um retângulo. Mostre que a área do triângulo PAB independe da posição do ponto P sobre o lado CD. D P C A B

34 Proposto 8) (UFRJ) Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. Figura A Figura B Determine a razão da área da figura A para a área da figura B.

35 Proposto 9) (UERJ) O decágono da figura acima foi dividido em partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: a) 14T + 3Q b) 14T + 2Q c) 18T + 3Q d) 18T + 2Q

36 Proposto 10) (UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E, F} e {G, H}. A área do triângulo FGB é uma fração da área do paralelogramo ABCD. D C H G A E F B A sequência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa: a) b) c) d)

37 Proposto 11) (UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste em formar um quadrado com as partes de um triângulo equilátero, como mostram as figuras: B B Q Q C C P P N N N N M M A A R R S S Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, calcule o perímetro do quadrado.

38 Proposto 12) (PUC) O símbolo de uma corporação é formado por três losangos iguais. Cada losango tem lado a e ângulo de 60 e 120. A soma das áreas desses losangos vale: 2a 2 3 a) 3 3a 2 3 b) 3 3a 2 3 c) 2 d) a 2 3 e) 3a 2 3

39 Proposto 13) (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos, e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, na qual as estacas foram indicadas por letras. B P M A A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde: a) à mesma área do triângulo AMC. b) à mesma área do triângulo BNC. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. N C

40 Proposto 14) (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. (Disponível em. Acesso em: 3 mar ) Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4% b) 20% c) 36% d) 64% e) 96%

41 Proposto 15) B A C Na figura anterior vemos uma malha composta de 55 retângulos iguais. Em três dos nós da malha são marcados os pontos A, B e C, vértices de um triângulo. Considerando-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo ABC pode ser expressa por: a) 24S d) 6S b) 18S e) 4S c) 12S

42 Proposto 16) (UFF) Cortando-se pedaços quadrados iguais nos vértices de uma cartolina retangular de 80 cm de comprimento por 60 cm de largura, obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da cruz for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadrado é igual a: a) 5 2 cm b) 10 2 cm c) 15 2 cm d) 20 2 cm e) 25 2 cm

43 Proposto 17) (PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. O valor máximo que pode ter a área desse triângulo é de: a) 11cm 2 b) 15cm 2 c) 20cm d) 25cm 2 e) 30cm 2

44 Proposto b) 16 N c) 3 e) 9N 18) (ENEM) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: N a) 9 N d) 3N

45 Proposto 19) (UFRS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e R, são os pontos médios dos lados. Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é: a) 20 b) 25 A c) 30 d) 35 e) 40 P Q C R B

46 Proposto 20) (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta. O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corres-ponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2θ. Suponha que para planar, a relação ideal seja de 10dm 2 de vela para cada 0,5 kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa de 75 kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada D de: a) 9 cos θ b) 18 sen θ 9 c) cos θ 18 d) sen θ A θ θ B B

47 Proposto 21) (UFRJ) Os triângulos ABC e ABC da figura são equiláteros e têm o centro O em comum. A A L B C B C l Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado l do triângulo menor, de forma que a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC.

48 Proposto 22) (ENEM) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura a seguir. área de reserva legal (filho) B x a x área 100% cultivada (filho) Fazenda do pai De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa da largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva. O dobro da largura x da faixa é: a) 10% (a + b)² b) 10%(a - b) 2 c) a + b - (a + b) d) (a + b) 2 + ab - (a + b) e) (a + b) 2 + ab + (a + b)

49 Proposto 23) (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizouse um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. D M C I) Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: 15 cm D B = P M C A N B B II) Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN: D M C A III) Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. P A área construída da bandeirinha APBCD, em cm 2, é igual a: a) 25 (4-3) b) 25 (6-3) c) 50 (2-3) d) 50 (3-3) A B

50 Proposto 24) (UERJ) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foi usado em uma aula sobre área de polígonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com elástico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. D C A Considere u a unidade de área equivalente ao menor quadrado que pode ser construído com vértices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico. B

51 Proposto 25) (UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados. A B F M C P N E D A área do hexágono ABCDEF é igual a 3+ 3cm². Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.

52 Proposto 26) (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE = 45º e BÂC = 30º, conforme ilustrado a seguir: A B D E C Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm 2, do triângulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180