18. A região dentro do círculos r 1 cos u e fora do círculo. r 3 cos u Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido

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1 9M MCÁLCULO 5. EXERCÍCIOS - Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva hh R f (, ) da como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R A região dentro do círculos r cos u e fora do círculo r cos u 9-7 Utilie coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 9. Abaio do cone e acima do disco. Abaio do paraboloide 8 e acima do plano. Delimitado pelo hiperboloide e pelo plano. Dentro da esfera 6 e fora do cilindro.. 6. Uma esfera de raio a. Limitado pelo paraboloide e pelo plano 7 no primeiro octante 5. Acima do cone e abaio da esfera 6. Limitada pelos paraboloides e 7. Dentro do cilindro e do elipsoide Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a 5. h p p h 7 r dr du 6. h p/h cos u r dr du 7- Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. 7. hh D da, onde D é o disco com centro na origem e raio 8. hh R ( ) da, onde R é a região que está à esquerda do eio e entre as circunferências e 9. hh R cos( ) da, onde R é a região acima do eio e dentro da circunferência 9 da, onde R {(, ), }. hh R. hh D e da, onde D é a região delimitada pelo semicírculo e o eio. hh R e da, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo 5. hh R arctg (/) da, onde R {(, ), }. hh D da, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida entre os círculos e 5-8 Utilie a integral dupla para determinar a área da região. 5. Um laço da rosácea r cos u 6. A região delimitada pela curva r cos u 7. A região interior a ambos os círculos r cos u e r sen u 8. (a) Uma broca cilíndrica de raio r é usada para faer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r. Determine o volume do sólido em formato de anel resultante. (b) Epresse o volume da parte (a) em termos da altura h do anel. Observe que o volume depende somente de h e não de r ou r. 9- Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. 9. h h. h h 9 sen( ) d d. h a ( ) d d. h h h a d d d d. Uma piscina circular tem diâmetro de metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de metro na etremidade sul para dois metros na etremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.. Um pulveriador agrícola distribui água em um padrão circular de 5 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e r metros por hora a uma distância de r metros do pulveriador. (a) Se R, qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada no pulveriador? (b) Determine uma epressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio R.

2 INTEGRAIS MÚLTIPLASM M9 5. Utilie coordenadas polares para combinar a soma h / h d d h h d d h h d d em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla. 6. (a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano ) I h h e () da h h e() d d lim am h D a h e () da onde D a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que h h e( ) da p (b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é h h e () da lim am h S a h e () da onde S a é o quadrado com vértices (a, a). Use esse resultado para mostrar que (c) Dedua que h e d h e d p h e d p (d) Faendo a mudança de variável t, mostre que h / d p e (Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.) 7. Utilie o resultado do Eercício 6, parte (c), para calcular as seguintes integrais: (a) h e d (b) h e d 5.5 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS Já vimos uma aplicação da integral dupla: o cálculo de volumes. Outra aplicação geométrica importante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na Seção 6.6. Nesta seção, vamos eplorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, centro de massa e momento de inércia. Veremos que essas ideias físicas também são importantes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias. DENSIDADE E MASSA FIGURA FIGURA D (* ij,* ij ) (,) R ij Na Seção 8., no Volume I, calculamos momentos e centro de massa de placas finas ou lâminas de densidade constante, usando as integrais unidimensionais. Agora, com auílio das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com densidade variável. Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano e que sua densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (, ) em D é dada por r(, ), onde r é uma função contínua em D. Isso significa que Δ m r(, ) lim Δ A onde Δ m e Δ A são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (, ) e tomamos o limite quando as dimensões do retângulo se aproimam de (veja a Figura ). Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D em sub-retângulos R ij, todos do mesmo tamanho (como na Figura ), e consideramos r(, ) como fora de D. Se escolhermos um ponto (* ij, * ij ) em R ij, então a massa da parte da lâmina que ocupa R ij é aproimadamente r(* ij, * ij )Δ A, onde Δ A é a área de R ij. Se somarmos todas essas massas, obteremos uma aproimação do valor da massa total: m k i l j r(* ij, * ij )Δ A

3 99M MCÁLCULO 6. EXERCÍCIOS -6 Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.. h C ds,mmc: t,m t,m t. h C ds,mmc: t,m t,m t. h C ds,mmc é a metade direita do círculo 6.. h C sen ds,mmc é o segmento de reta que liga (, ) a (, 6). 5. h C ( ) d, C é o arco da curva de (, ) a (, ). 6. h C sen d, C é o arco da curva de (, ) a (, ). 7. h C d ( ) d,mmc consiste nos segmentos de reta de (, ) a (, ) e de (, ) a (, ). 8. h C d d,mmc consiste na metade superior da circunferência de (, ) a (, ) e no segmento de reta de (, ) a (, ). 9. h C ds,mmc: sen t,m cos t,m t,m t p/. h C ds,mmc é o segmento de reta de (, 5, ) a (, 6, ).. h C e ds,mmc é o segmento de reta de (,, ) a (,, ).. h C ( 9) ds,mmc: t,m t,m t,m t. h C d,mmc: t,m t,m t,m t. h C d d d,mmc: t,m t,m t,m t 5. h C ( ) d d d,mmc consiste nos segmentos de reta de (,, ) a (,, ) e de (,, ) a (, 5, ). 6. h C d d d,mmc consiste nos segmentos de reta de (,, ) a (,, ) e de (,, ) a (,, ). 7. Seja F o campo vetorial mostrado na figura. (a) Se C é o segmento de reta vertical de (, ) a (, ), determine se h C F dr é positiva, negativa ou ero. (b) Se C é o círculo de raio e centro na origem percorrido no sentido anti-horário, determine se h C F dr é positiva, negativa ou ero. SCA 8. A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas, C e C. As integrais de linha de F sobre C e C são positivas, negativas ou nulas? Eplique. 9- Calcule a integral de linha h C F dr, onde C é dada pela função vetorial r(t). 9. F(, ) i j,mr(t) t i t j,m t. F(,, ) ( ) i ( ) j k,m r(t) t i t j t k,m t. F(,, ) sen i cos j k, M r(t) t i t j t k, M t. F(,, ) i j k,mr(t) t i sen t j cos t k, t p -6 Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de linha correta até a quarta casa decimal.. h C F dr, onde F(, ) i sen j e r(t) e t i e t j, t. h C F dr, onde F(,, ) sen i sen j sen k e r(t) cos t i sen t j sen 5t k, t p 5. h C sen( ) ds, onde C tem equações paramétricas t, t, t, t 5 6. h C e ds, onde C tem equações paramétricas t, t, e t, t 7-8 Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dier se a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em seguida, calcule a integral. 7. F(, ) ( ) i j, C é o arco de círculo percorrido no sentido anti-horário de (, ) a (, ). 8. F(, ) i j, C é a parábola de (, ) a (, ). 9. (a) Calcule a integral de linha h C F dr, onde F(, ) e i j e C é dada por r(t) t i t j, t. C C

4 CÁLCULO VETORIALM M99 ; ; SCA SCA (b) Ilustre a parte (a) utiliando uma calculadora gráfica ou um computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t, / e (como na Figura ).. (a) Calcule a integral de linha h C F dr, onde F(,, ) i j k e C é dado por r(t) t i t j t k, t. (b) Ilustre a parte (a) utiliando um computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t e (como na Figura ).. Encontre o valor eato de h C ds, onde C é a curva com equações paramétricas e t cos t, e t sen t, e t, t p.. (a) Determine o trabalho realiado pelo campo de força F(, ) i j sobre uma partícula que dá uma volta no círculo no sentido anti-horário. (b) Utilie um sistema de computação algébrica para desenhar o campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura para eplicar sua resposta para a parte (a).. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência,. Se a densidade linear for uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.. Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio a. Se a função densidade for r(, ) k, encontre a massa e o centro de massa do arame. 5. (a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação para o centro de massa (,, ) de um arame fino com função densidade r(,, ) e forma da curva espacial C. (b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice sen t, cos t, t, t p, se a densidade for uma constante k. 6. Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice t, cos t, sen t, t p, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à origem. 7. Se um arame com densidade linear r(, ) está sobre uma curva plana C, seus momentos de inércia em relação aos eios e são definidos por I h C r(, ) dsmmmmi h C r(, ) ds Determine os momentos de inércia do arame do Eemplo. 8. Se um arame com densidade linear r(,, ) está sobre uma curva espacial C, seus momentos de inércia em relação aos eios, e são definidos por I h C ( )r(,, ) ds I h C ( )r(,, ) ds I h C ( )r(,, ) ds Determine os momentos de inércia do arame do Eercício Determine o trabalho realiado pelo campo de força F(, ) i ( ) j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r(t) (t sen t) i ( cos t) j, t p.. Determine o trabalho realiado pelo campo de força F(, ) sen i j em uma partícula que se move sobre a parábola de (, ) a (, ).. Determine o trabalho realiado pelo campo de força F(,, ) k,, l sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta (,, ) a (,, ).. A força eercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um ponto (,, ) com vetor posição r k,, l é F(r) Kr/r, onde K é uma constante (veja o Eemplo 5 da Seção 6.). Determine o trabalho realiado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (,, ) a (,, 5).. Um homem pesando 6 lb carrega uma lata de tinta de 5 lb por uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de pés. Se o silo tem 9 pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é realiado pelo homem contra a gravidade para subir ao topo?. Suponha que eista um furo na lata de tinta do Eercício e 9 lb de tinta vaam da lata de modo contínuo e uniforme durante a subida do homem. Quanto trabalho é realiado? 5. (a) Mostre que um campo de força constante realia trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência. (b) Isso também é verdadeiro para um campo de força F() k, onde k é uma constante e k, l? 6. A base de uma cerca circular de raio m é dada por cos t, sen t. A altura da cerca na posição (, ) é dada pela função h(, ),( ), portanto a altura varia de m a 5 m. Suponha que L de tinta permita pintar m. Faça um esboço da cerca e determine quanto de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca. 7. Um objeto se move sobre a curva C, mostrada na figura, de (, ) a (9, 8). Os comprimentos dos vetores do campo de força F são medidos em newtons pela escala nos eios. Estime o trabalho realiado por F sobre o objeto. (metros) C C (metros)

5 CÁLCULO VETORIALM M999 nida como P(,, ) f (,, ), e temos F P. Então, pelo Teorema, temos W h C F dr h C P dr [P(r(b)) P(r(a))] P(A) P(B) Comparando essa equação com a Equação 6, vemos que P(A) K(A) P(B) K(B) que di que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um campo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética permanece constante. Essa é a chamada Lei de Conservação de Energia e é a raão pela qual o campo vetorial é denominado conservativo. 6. EXERCÍCIOS. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é contínuo. Determine h C f dr. C 6 5. A figura mostra o campo vetorial F(, ) k, l e três curvas que começam em (, ) e terminam em (, ). (a) Eplique por que h C F dr tem o mesmo valor para as três curvas. (b) Qual é esse valor comum?. É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine h C f dr, onde C tem equações paramétricas t,mmm t t,mmm t. 6 - Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F f.. F(, ) ( ) i ( 8) j. F(, ) e cos i e sen j 5. F(, ) e sen i e cos j 6. F(, ) ( ) i ( ) j 7. F(, ) (e sen ) i (e cos ) j 8. F(, ) ( cos sen ) i ( cos ) j 9. F(, ) (ln ) i ( /) j. F(, ) ( cosh senh ) i ( cosh ) j (a) Determine uma função f tal que F f e (b) use a parte (a) para calcular h C F dr sobre a curva C dada.. F(, ) i j, C é o arco da parábola de (, ) a (, 8). F(, ) i j, C: r(t) kt sen pt, t cos ptl, t. F(, ) i arctg j, C: r(t) t i t j, t 5. F(,, ) i j ( ) k, C é o segmento de reta de (,, ) a (, 6, ) 6. F(,, ) ( ) i j ( ) k, C: t, t, t, t 7. F(,, ) cos i cos j sen k, C: r(t) t i sen t j t k, t p 8. F(,, ) e i e j ( )e k, C: r(t) t i t j t k, t

6 M MCÁLCULO SCA 9- Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral. 9. h C sen d ( cos ) d, C é qualquer caminho de (, ) a (5, ). h C ( ) d ( 9 ) d, C é qualquer caminho de (, ) a (, ) - Determine o trabalho realiado pelo campo de força F ao mover um objeto de P a Q.. F(, ) / i j;mmp(, ), Q(, ). F(, ) e i e j;mmp(, ), Q(, ) - A partir do gráfico de F você diria que o campo é conservativo? Eplique Se F(, ) sen i ( cos ) j, use um gráfico para conjecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta. 6. Seja F f, onde f (, ) sen( ). Determine curvas C e C que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. (a) h C F dr (b) h C F dr 7. Mostre que, se um campo vetorial F P i Q j R k é conservativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então P Q MMM R MMM Q 8. Use o Eercício 7 para mostrar que a integral de linha h C d d d não é independente do caminho. P R 9- Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) coneo e (c) simplesmente coneo. 9. {(, ), }. {(, ) }. {(, ) }. {(, ) ou 9} i j. Seja F(, ). (a) Mostre que P/ Q/. (b) Mostre que h C F dr não é independente do caminho. [Sugestão: calcule h C F dr e h C F dr, onde C e C são as metades superior e inferior do círculo de (, ) a (, ).] Isso contraria o Teorema 6?. (a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja, F(r) cr r para alguma constante c, onde r i j k. Determine o trabalho realiado por F ao mover um objeto de um ponto P por um caminho para um ponto P em termos da distância d e d desses pontos à origem. (b) Um eemplo de um campo inverso do quadrado é o campo gravitacional F (mmg)r/r discutido no Eemplo da Seção 6.. Use a parte (a) para determinar o trabalho realiado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distância máima de,5 8 km do Sol ) ao periélio (em uma distância mínima de,7 8 km). (Use os valores m 5,97 kg, M,99 kg e G 6,67 Nm /kg.) (c) Outro eemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico F eqqr/r discutido no Eemplo 5 da Seção 6.. Suponha que um elétron com carga de,6 9 C esteja localiado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realiado pelo campo elétrico. (Use o valor e 8,985 9.) 6. TEOREMA DE GREEN FIGURA C D O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C (veja a Figura. Vamos supor que D consista em todos os pontos dentro de C, bem como nos pontos sobre C). Para enunciar o Teorema de Green, usaremos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário uma única ve. Assim, se C for dada como uma função vetorial r(t), a t b, então a região D está sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C (veja a Figura ).

7 6M MCÁLCULO 6. EXERCÍCIOS SCA - Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utiliando o Teorema de Green.. C ( )d ( )d, C é o círculo com centro na origem e raio. C d d, C é o retângulo com vértices (,), (, ), (, ) e (, ). C d d, C é o triângulo com vértices (, ), (, ) e (, ). C d d, C consiste nos segmentos de reta de (, ) a (, ) e de (, ) a (, ) e na parábola de (, ) a (, ) 5- Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. 5. h C e d e d, C é o quadrado de lados,, e 6. h C d d, C é o triângulo com vértices (, ), (, ), e (, ) 7. h C ( e ) d ( cos ) d, C é a fronteira da região englobada pelas parábolas e 8. h C e d ( ) d, C é a fronteira da região entre os círculos e 9. h C d d, C é o círculo. h C sen d cos d, C é a elipse - Use o teorema de Green para calcular h C F dr. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.). F(, ) k, l, C consiste no arco da curva sen de (, ) a (p, ) e no segmento de reta (p, ) a (, ). F(, ) k cos, sen l, C é o triângulo de (, ) a (, 6) a (, ) a (, ). F(, ) ke, e l, C é a circunferência 5, orientada no sentido horário. F(, ) k ln( ), tg (/)l, C é a circunferência ( ) ( ), orientada no sentido anti-horário 5-6 Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla. 5. P(, ) e,mmq(, ) e, C consiste no segmento de reta de (, ) a (, ) seguido pelo arco da parábola de (,) a (, ) ; 6. P(, ) 5,MMQ(, ) 8, C é a elipse 7. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realiado pela força F(, ) ( ) i j ao mover uma partícula da origem ao longo do eio até (, ), em seguida ao longo de um segmento de reta até (, ), e então de volta à origem ao longo do eio. 8. Uma partícula inicialmente no ponto (, ) se move ao longo do eio até (, ) e então ao longo da semicircunferência até o ponto inicial. Utilie o Teorema de Green para determinar o trabalho realiado nessa partícula pelo campo de força F(, ) k, l. 9. Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da cicloide t sen t, cos t.. Se uma circunferência C de raio rola ao longo do interior da circunferência 6, um ponto fio P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas 5 cos t cos 5t, 5 sen t sen 5t. Faça o gráfico da epicicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.. (a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto (, ) ao ponto (, ), mostre que h C d d (b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são (, ), (, ),..., ( n, n ), mostre que a área do polígono é A [( ) ( )... ( n n n n ) ( n n )] (c) Determine a área do pentágono com vértices (, ), (, ), (, ), (, ) e (, ).. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano. Utilie o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide (, ) de D são C dmmmm C d A A onde A é a área de D.. Use o Eercício para encontrar o centroide de um quarto de uma região circular de raio a.. Use o Eercício para encontrar o centroide da região triangular de vértices (, ), (a, ) e (a, b), onde a e b. 5. Uma lâmina plana com densidade constante r(, ) r ocupa uma região do plano limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eios são r I C r dmmmmi C d

8 CÁLCULO VETORIALM M7 6. Utilie o Eercício 5 para achar o momento de inércia de um círculo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro (compare com o Eemplo da Seção 5.5). 7. Se F é o campo vetorial do Eemplo 5, mostre que h C F dr para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e nem a circunde. 8. Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando a Equação. 9. Utilie o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 5.9.9) para o caso onde f (, ) : hh R d d h S h (, ) (u, v) dv du Aqui, R é a região do plano que corresponde à região S do plano uv sob a transformação dada por t(u, v), h(u, v). [Sugestão: observe que o lado esquerdo é A(R) e aplique a primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre R para uma integral sobre S e aplique o Teorema de Green no plano uv.] 6.5 ROTACIONAL E DIVERGENTE Nesta seção, definiremos duas operações que podem ser realiadas com campos vetoriais e que são essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos e em eletricidade e magnetismo. Cada operação lembra uma derivação, mas uma produ um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar. ROTACIONAL Se F P i Q j R k é um campo vetorial em e as derivadas parciais de P, Q e R eistem, então o rotacional de F é o campo vetorial em definido por R rot F ( ) i ( ) j ( ) k Q P R Q P Para auiliar na memoriação, vamos reescrever a Equação usando notação de operadores. Introduiremos o operador diferencial vetorial ( del ) como i j k Quando ele opera sobre uma função escalar, produ o gradiente de f : f f f f f f f i j k i j k Se pensarmos em como um vetor de componentes /, / e /, podemos também considerar o produto vetorial formal de pelo campo vetorial F, como segue: F i j k P Q R R ( ) i ( ) j ( ) k rot F Q P R Q P

9 CÁLCULO VETORIALM M 6.5 EXERCÍCIOS -8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.. F(,, ) i k. F(,, ) i j k. F(,, ) e sen i e cos j k. F(,, ) e j e k 5. F(,, ) ( i j k) 6. F(,, ) e sen j tg (/) k 7. F(,, ) kln, ln(), ln()l 8. F(,, ) ke, e, e l 9- O campo vetorial F é mostrado no plano e é o mesmo em todos os planos horiontais (em outras palavras, F é independente de e sua componente é ). (a) O div F será positivo, negativo ou nulo? Eplique. (b) Determine se o rot F. Se não, em que direção rot F aponta? Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F f.. F(,, ) i j k. F(,, ) i j k 5. F(,, ) i ( ) j k 6. F(,, ) e i j e k 7. F(,, ) e i e j k 8. F(,, ) cos i cos j sen k 9. Eiste um campo vetorial G em tal que rot G k sen, cos, l? Eplique.. Eiste um campo vetorial G em tal que rot G k,, l? Eplique.. Mostre que qualquer campo vetorial da forma F(,, ) f () i t() j h() k onde f, t e h são diferenciáveis, é irrotacional.. Mostre que qualquer campo vetorial da forma F(,, ) f (, ) i t(, ) j h(, ) k é incompressível.. -9 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas eistem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F, G forem campos vetoriais, então f F, F G e F G serão definidos por ( f F)(,, ) f (,, ) F(,, ) (F G)(,, ) F(,, ) G(,, ) (F G)(,, ) F(,, ) G(,, ). div(f G) div F div G. rot(f G) rot F rot G. Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada epressão tem significado. Em caso negativo, eplique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. (a) rot f (b) grad f (c) div F (d) rot(grad f ) (e) grad F (f) grad(div F) (g) div(grad f ) (h) grad(div f) (i) rot(rot F) (j) div(div F) (k) (grad f ) (div F) (l) div(rot(grad f )) 5. div ( f F) f div F F f 6. rot ( f F) f rot F (f ) F 7. div(f G) G rot F F rot G 8. div( f t) 9. rot (rot F) grad(div F) F - Seja r i j k e r r.. Verifique as identidades. (a) r (b) (rr) r (c) r r

10 M MCÁLCULO. Verifique as identidades. (a) r r/r (b) r (c) (/r) r/r (d) ln r r/r w. Se F r/r p, ache div F. Eiste um valor de p para o qual div F?. Use o Teorema de Green na forma da Equação para demonstrar a primeira identidade de Green: h f t da C f (t) n ds h f tda h D onde D e C satisfaem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e t eistem e são contínuas. (A quantidade t n D n t aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada derivada normal de t.) D B u d v P. Use a primeira identidade de Green (Eercício ) para demonstrar a segunda identidade de Green: h ( f t t f ) da C ( f t t f ) n ds h D onde D e C satisfaem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e t eistem e são contínuas. 5. Lembre-se, da Seção., que uma função t é dita harmônica em D quando satisfa a equação de Laplace, ou seja, t em D. Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóteses que no Eercício ) para mostrar que se t for harmônica em D, então C D n t ds. Aqui, D n t é a derivada normal de t definida no Eercício. 6. Use a primeira identidade de Grenn para mostrar que se f for harmônica em D, e se f (, ) na curva fronteira C, então hh D f da. (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses que no Eercício.) 7. Este eercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações. Seja B um corpo rígido girando em torno do eio. A rotação pode ser descrita pelo vetor w k, onde é a velocidade angular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P em B dividido pela distância d do eio de rotação. Seja r k,, l o vetor posição de P. (a) Considerando o ângulo u da figura, mostre que o campo de velocidade de B é dado por v w r. (b) Mostre que v i j. (c) Mostre que rot v w. 8. As equações de Mawell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue: div E div H rot E H rot H E c t c t onde c é a velocidade da lu. Use essas equações para demonstrar o seguinte: (a) (E) (b) (H) (c) E E [Sugestão: Use o Eercício 9.] t (d) H c c H t c E t c H t 9. Vimos que todos os campos vetoriais da forma F t satisfaem a equação rot F e que todos os campos vetoriais da forma F rot G satisfaem a equação div F (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: eiste alguma equação que todas as funções da forma f div G devam satisfaer? Mostre que a resposta para essa pergunta é não, demonstrando que toda função contínua f em é o divergente de algum campo de vetores. [Sugestão: Tome G(,, ) kt(,, ),, l, onde t(,, ) h f (t,, ) dt.]

11 A86M MCÁLCULO. EXERCÍCIOS 5. PÁGINA 9. h p/ h f (r cos u)r dr du. h h 5. p/ ()/ f (, ) d d 5. 7, e O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma descontinuidade infinita na origem. EXERCÍCIOS 5. PÁGINA e p. e6 7. ( cos ) ,98,75,66/,59,55 7. p/ 9. h h f (, ) d d. h h. h ln h e f (, ) d d 5. (,,) 9 f (, ) d d (e 9 ) 7. ln 9 9. ( ) (p/6)e /6 hh Q e ( ) da p/ p 6. p/ (,,) = (,,) ln ou e ln p sen 9. (p/)( e ). 6 p 5. p/ 7. 8 (p ) 9. 6 p. p. pa 5. (p/)[ (/ )] 7. (8p/)(6 ) 9. p ( cos 9). /. 7,5pm (a) p/mmm(b) p/ EXERCÍCIOS 5.5 PÁGINA C., (, ) 5. 6, (, ) (e e ), ( (e ), ) 9. L/, (L/, 6/(9p)). ( 8, p/6 ). (, 5/(p)) 5. (a/5, a/5) se o vértice for (, ) e os lados estiverem nos eios positivos 7. 6 (e ), 8 (e ), 6 (e e ) 9. 7ka 6 /8, 7ka 6 /8, 7ka 6 /9 se o vértice for (, ) e os lados estiverem nos eios positivos. m p /8 (, ) ( p 6, ) I p /6 p 9p I 6 (p p ), I p /6 9p /6. rbh /, rb h/; b/ h/ 5. ra /6, ra /6; a/, a/ 7. (a) MM(b),75 MM(c) 5 8, 9. (b) (i) e,,887 (ii) e,8 e,8 e,8mm(c), 5. (a),5 (b),6. (a) hh D (k/)[ ( ) ( ) ] da, onde D é o disco de raio km centrado no centro da cidade (b) pk/ 9k, (p/ 8 9 )k 6k, na periferia EXERCÍCIOS 5.6 PÁGINA (e ) /(e) p/ (a) h d d dmmm(b) p 5. 6,5 h h 7 (e ) R 9(e )

12 APÊNDICESM MA EXERCÍCIOS 6. PÁGINA 99. (5 / ). 68, (e 6 ) (a) Positivo (b) Negativo cos sen., , p,5. II. I 5. IV 7. III 9. A reta,5,5,5,5,5,5 9. (a) /e (b) 8,6,5 F(r()). f (, ) i j F(r( ). f (, ) i j k 5. f (, ) i j 6 6 F(r()), 7,7. ( e p ). pk, (/p, ) 5,6,75 5. (a) (/m) h C r(,, ) ds, (/m) h C r(,, ) ds, (/m) h C r(,, ) ds, onde m h C r(,, ) ds (b) (,, p) 7. I k ( ), I k ( ) 9. p. 6.,67 pés-lb 5. (b) Sim 7. J,6 EXERCÍCIOS 6. PÁGINA III. II. (,,,) 5. (a) (b) /,.. f (, ) 8 K 5. f (, ) e sen K 7. f (, ) e sen K 9. f (, ) ln K. (b) 6. (a) f (, ) MMM(b) 5. (a) f (,, ) MMM(b) (a) f (,, ) cos MMM(b) 9. 5 sen.. Não 5. Conservativo 9. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Sim. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Não EXERCÍCIOS 6. PÁGINA 6. 8p. 5. e p. p C/. 65 p 5. 8e 8e p. (c) 9. (a/p, a/p) se a região for a parte do disco a no primeiro quadrante

13 A9M MCÁLCULO EXERCÍCIOS 6.5 PÁGINA. (a) i j kmm(b). (a) MM(b) 5. (a) MM(b) / 7. (a) k/, /, /l (b) / / / 9. (a) NegativoMMM(b) rot F. (a) ZeroMMM(b) rot F aponta na direção de negativo. f (,, ) K 5. f (,, ) K 7. Não conservativo 9. Não EXERCÍCIOS 6.6 PÁGINA. P: não; Q: sim. Plano por (,, ) contendo os vetores k,, l, k,, 5l 5. Cilindro circular com eio no eio 7. v constante 9., e cos u, e sen u, u p. (a) Inverte o sentidommm(b) O número de voltas dobra (5/ 7/ ). (p/)( ). (p/6)( ) 5. 7 [ln( ) ln 7] (a).55 (b) ln[( 5 7)/( 5 7)] (b) 9. u constante,5 u constante p p (c) h h 6 sen u cos v 9 sen u sen v cos u sen u du dv v constante 57. p 59. a (p ). EXERCÍCIOS 6.7 PÁGINA. 9,9. 9p / /8 /. 6 /p. (p/6)(9 7 ) 5. 6p p p 8.,6., hh S F ds hh D [P(h/) Q R(h/)]dA, onde v constante u constante D projeção de S no plano 7. (,, a/) 9. (a) I hh S ( )r(,, ) dsmmm(b).9 /5. kg/s. 8 pa e 5..8p. IV 5. II 7. III 9. u v, u v, u v.,,. sen f cos u, sen f sen u, cos f, f p/, f p [ou,,, ] EXERCÍCIOS 6.8 PÁGINA p. (a) 8p/ (b) 5 5., e cos u, sen u, 5, u p 5