O Apoio Multicritério à Decisão na avaliação de candidatos

Transcrição

1 Produção, v. 20,., ja./mar. 200, p do: 0.590/S O Apoo Multcrtéro à Decsão a avalação de caddatos Luís Alberto Duca Ragel a,, Luz Flávo Autra Motero Gomes b a, duca@metal.eemvr.uff.br, UFF, Brasl b autra@bmecrj.br, Ibmec/RJ, Brasl Resumo Os métodos de Apoo Multcrtéro à Decsão aplcam-se sempre que se deseje selecoar, ordear, classfcar ou descrever alteratvas presetes em um processo decsóro a preseça de múltplos crtéros quattatvos e qualtatvos. Este artgo aborda o emprego dos métodos UTA e UTA-CR para a determação das fuções de utldade dos crtéros empregados para avalar o gresso de caddatos ao curso de graduação de Egehara Metalúrgca da Uversdade Federal Flumese. Após apresetarem-se os métodos e o problema estudado, mostra-se, por uma aálse dos resultados, que as fuções de utldade dos crtéros obtdos com o método UTA-CR estão mas próxmas das preferêcas dos decsores do que aquelas obtdas com o método UTA. Observa-se ada que, pelo método UTA CR, ão há ecessdade de realzar-se a aálse de pós-otmzação feta o método UTA, pos, com apeas uma úca mplemetação de um programa lear, os resultados obtdos são melhores que os obtdos pelo método UTA. Palavras-chave Apoo Multcrtéro à Decsão. Métodos de utldade adtva. Fução de utldade. Avalação de caddatos.. Itrodução Os métodos de Apoo Multcrtéro à Decsão (AMD) são aplcados em úmeras áreas em que se quera selecoar, ordear, classfcar ou descrever alteratvas presetes em um processo decsóro a preseça de múltplos crtéros (ROY; BOUYSSOU, 993; ROMERO, 993; VINCKE, 989). Mutas classfcações são empregadas para desgar os métodos do AMD. Detre estas, a de maor repercussão é a que subdvde os métodos da Escola Amercaa e os métodos da Escola Fracesa, também desgada Escola Europea. Exstem outros métodos multcrtéro que, o etato, ão se equadram exclusvamete detro de uma dessas duas escolas (GOMES, 2006; BELTON; STEWART, 2002; BARBA-ROMERO; POMEROL, 997). Como exemplos de métodos multcrtéro que cotêm elemetos téccos dessas duas escolas, podem-se ctar o Método TODIM (GOMES; RANGEL, 2007; GOMES; ARAYA; CARIGÑANO, 2004) e o Método MACBETH (BANA e COSTA; CORTE; VANSNICK, 2005). Os métodos da Escola Fracesa utlzam a oção de relação de superação, possudo duas vertetes prcpas: os métodos ELECTRE e os métodos PROMÉTHÉE (VINCKE, 989; ROY, 99; ROY; BOUYSSOU, 993; SCHÄRLIG, 996; BRANS; VINCKE; MARESCHAL, 986; BARBA-ROMERO; POMEROL, 997). Os métodos multcrtéro da Escola Amercaa, por sua vez, têm como fudametação teórca a oção de agregarem-se todas as formações acerca do problema que se pretede resolver por meo de uma grade sítese. Exemplos sgfcatvos desses métodos são a Teora de Utldade Multatrbuto (KEENEY; RAIFFA, 993) e os métodos de aálse herárquca; detre estes, o mas popular é, dscutvelmete, o método AHP (SAATY, 994). Em partcular, a Teora da Utldade Multatrbuto (cohecda também por MAUT Multattrbute Utlty Theory ) parte de suposções de racoaldade como o respeto à trastvdade estrta e decorre das bases axomátcas da teora da utldade esperada, propostas por Vo-Neuma e Morgester (953). Além dsso, a MAUT ão admte alguma possível comparabldade etre alteratvas em um processo decsóro (KEENEY; RAIFFA, 993). Por cosegute, pode-se afrmar que os métodos multcrtéro calcados a MAUT UFF, Volta Redoda, RJ, Brasl Recebdo 28/09/2007; Aceto 28/06/2009

2 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, possuem uma base axomátca mas sólda do que os métodos que laçam mão da relação de superação. O método multcrtéro UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982; ZOPOUNIDIS; DIMITRIS, 998) é um exemplo de aplcação da MAUT. Para a costrução da fução de utldade multatrbuto a ser aplcada a um determado problema decsóro, tora-se ecessára a represetação das fuções de utldade parcas. Estas são, a verdade, fuções matemátcas que descrevem as performaces de cada alteratva com relação às preferêcas dos agetes de decsão, para cada um dos crtéros ou atrbutos daquele problema. Este artgo faz uso de métodos do AMD para a determação das fuções de utldade dos crtéros empregados para avalar o gresso de caddatos o curso de graduação de Egehara Metalúrgca da Uversdade Federal Flumese (UFF), localzado a cdade de Volta Redoda, RJ. Dos métodos foram utlzados a obteção daquelas fuções: o método UTA, em sua formulação clássca (JACQUET- LAGRÈZE; SISKOS, 982), e uma varate deste, o Método UTA-CR (RANGEL, 2002). Ambos os métodos têm por objetvo a Problemátca Pγ (ROY; BOUYSSOU, 993; GOMES; ARAYA; CARIGÑANO, 2004), sto é, de ordeação das alteratvas em um problema de AMD. As ordeações dos caddatos são buscadas, também, pelas uversdades, ao realzarem os respectvos vestbulares vsado o gresso dos melhores aluos. Desta forma, o estudo de caso apresetado, baseado as pesqusas realzadas, além de se determarem as fuções de utldades dos crtéros, por meo do emprego dos métodos UTA e UTA-CR, obtveram-se, também, as ordeações aproxmadas dos caddatos. Assm, espera-se, com este estudo, cotrbur efetvamete para a melhora do processo do vestbular, uma vez que estas avalações podem ser realzadas em aos segutes, verfcado os desempehos dos caddatos, para aquelas mesmas provas, por meo das fuções de utldades, além das comparações das fuções de utldade dos crtéros. Em seguda, faz-se uma breve descrção da UFF e como se efetua o gresso de aluos em seus dversos cursos de graduação. 2. O Cotexto do estudo A UFF fo crada em 8 de dezembro de 960, a cdade de Nteró, RJ. Orgou-se a partr da uão de cco faculdades federas, três estabelecmetos de eso estaduas e duas faculdades partculares sedadas aquele mucípo. Atualmete, a estrutura acadêmca da UFF fudameta-se em quatro cetros uverstáros: Cetro de Cêcas Médcas; Cetro de Estudos Geras; Cetro de Estudos Socas Aplcados, e Cetro Tecológco. A UFF tem aproxmadamete aluos matrculados e oferece 58 cursos de graduação, 43 programas de pós-graduação strcto sesu (2 em ível de mestrado e doutorado, 22 em ível somete de mestrado), 96 programas de pósgraduação lato sesu e 5 cursos de extesão. O corpo docete compreede professores:.05 doutores, 729 mestres, 262 especalstas e 460 graduados (UFF, 2006a). A UFF oferece úmeros cursos em dversos mucípos do Estado do Ro de Jaero, mas a cocetração maor de cursos é a cdade de Nteró, ode fca também a Retora da Uversdade. Além dsso, a UFF possu também um campus avaçado, localzado a cdade de Orxmá, o Estado do Pará. O gresso de aluos aos dversos cursos de graduação da UFF é feto por meo de uma avalação realzada em duas etapas. Na prmera etapa, os caddatos realzam uma prova de múltpla escolha de cohecmetos geras, eglobado as dscplas de Lígua Portuguesa e Lteratura Braslera, Lígua Estragera, Matemátca, Físca, Hstóra, Geografa, Químca e Bologa. Em uma seguda etapa, os aluos realzam provas dscursvas de cohecmetos específcos, de acordo com o curso em que pretedem gressar. Para o curso de Egehara Metalúrgca, pertecete ao Pólo Uverstáro de Volta Redoda da UFF, a seguda etapa, os aluos realzam provas específcas de Matemátca e de Físca, além da elaboração de uma Redação (UFF, 2006b). A próxma seção mostra o desevolvmeto teórco dos dos métodos empregados este estudo. A tercera seção apreseta o estudo de caso realzado. Na quarta seção, apotam-se as coclusões. 3. Desevolvmeto O AMD egloba dferetes métodos que empregam fuções de preferêca, como, por exemplo, o método PROMETHEE II (BRANS; VINCKE; MARESCHAL, 986), da Escola Fracesa, e fuções de utldade, como, por exemplo, o método MAUT (KEENEY; RAIFFA, 993), da Escola Amercaa. Nesta pesqusa, optou-se pelo uso dos métodos UTA e UTA-CR, que medem a utldade da cada alteratva de forma dreta. Com sto, torou-se desecessáro: () efetuar uma comparação par a par de cada caddato, o que sera dspesável caso se empregasse, alteratvamete, um método

3 94 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, 200 da Escola Fracesa do AMD ou mesmo um método de aálse herárquca, como o AHP (SAATY, 994) a sua versão tradcoal, e () costrur uma fução de utldade de forma dreta, como se precsara fazer o caso de se empregar dretamete a Teora de Utldade Multatrbuto. Assm, a opção do emprego dos dos métodos UTA e UTA-CR permte que se determem, de forma dreta, as fuções de utldades dos crtéros (SISKOS; GRIGOROUDIS; MATSATSINIS, 2005). Naturalmete, outros métodos do AMD como o das Trocas Justas (Eve Swaps) (HAMMOND; KEENEY; RAIFFA, 998) ou o MACBETH (BANA e COSTA; CORTE; VANSNICK, 2005) poderam ter sdo, alteratvamete, empregados. No etato, como a teção dos autores fo comparar os métodos UTA e UTA-CR quado aplcados a uma mesma base de dados, ão cabera este artgo o emprego de outros métodos. Os métodos empregados esta pesqusa, o Método UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982) e o Método UTA-CR (RANGEL, 2002), utlzam a programação lear para a obteção das fuções de utldade dos crtéros, de acordo com as preferêcas dos agetes de decsão. Pelo método UTA, obtêm-se as fuções de utldade a partr de uma ordeação do cojuto ou do subcojuto das alteratvas, proposta a pror pelos agetes de decsão. Emprega-se esta formação como restrção em um problema de programação lear (PPL), que tem como fução objetvo mmzar o somatóro dos erros assocados para a obteção da ordeação das alteratvas proposta a pror. Pelo método UTA-CR, obtêm-se as fuções de utldade de modo smlar ao método UTA. No etato, em vez de fazer uso das preferêcas dos agetes de decsão em relação ao cojuto de alteratvas, empregam-se as preferêcas desses agetes com relação ao cojuto de crtéros cosderados. Chega-se à ordeação das alteratvas a ser empregada como restrção o Método UTA-CR, por meo de um método auxlar de ordeação multcrtéro. Nesta pesqusa, ão houve ecessdade de empregar um método para obter a ordeação das alteratvas, pos se empregou a classfcação obtda pelos caddatos para gresso o Curso de Egehara Metalúrgca da UFF. O método UTA-CR propõe ada a clusão de ovas restrções ao PPL, além daquelas empregadas o método UTA, com o objetvo de reduzr a regão vável de busca da solução ótma. Utlza-se o UTA-CR uma ova fução objetvo, composta por três termos. O prmero termo, dêtco ao do método UTA, vsa obter a mmzação do somatóro dos erros assocados à utldade de cada alteratva, com a faldade de se chegar à ordeação a pror forecda pelos agetes de decsão. Dversamete, o segudo e o tercero termos da fução objetvo do método UTA-CR vsam obter um afastameto mímo dos pesos dos crtéros, para mas e para meos, respectvamete (RANGEL, 2002). 3.. Método UTA A prmera publcação a lteratura teracoal acerca do método UTA (Utlté Addtve) data de 982 (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982). Este método da Utldade Adtva permte obter as fuções de utldade dos crtéros presetes a aálse, partdo dos segutes elemetos: a matrz de avalação, que cotém as performaces das alteratvas em relação ao cojuto de crtéros performaces estas que são estmadas pelos agetes de decsão; os julgametos destes agetes quato às possíves preferêcas e dfereças das alteratvas ou um subcojuto destas. Pelo método UTA, obtêm-se as fuções de utldade dos crtéros por meo da execução de dversos problemas de programação lear (PPL). O prmero PPL tem como fução objetvo mmzar os erros assocados às utldades das alteratvas, de modo a se obter a mesma ordeação proposta a pror pelos agetes de decsão. Posterormete, rodam-se outros PPL, tedo como objetvo determar o valor máxmo e o valor mímo que os extremos das fuções de utldade podem assumr, respetado-se um cojuto de restrções. Como referdo a seção deste artgo, o método UTA calca-se as bases axomátcas da MAUT, para determar as fuções de utldade sob a forma adtva (KEENEY; RAIFFA, 993; BELTON; STEWART, 2002). A proposta orgal dos cradores do método UTA fo assm defda: Tedo uma estrutura de preferêca de pré-ordem R (, ~), com sgfcado preferêca estrta e ~ a dfereça em um cojuto de alteratvas ou ações, o ajuste da fução de utldade adtva baseado em crtéros múltplos é obtda de tal modo que a estrutura de preferêca resultate seja tão cosstete quato possível com a estrutura cal (JACQUET- LAGRÈZE; SISKOS, 982, p. 52). Para explcar o método UTA, cosdere-se prmeramete a aálse do cojuto de alteratvas A, em preseça de somete um crtéro de decsão. Sob esta cosderação, verfca-se ou a preferêca [ a b g( a) > g( b)] ou a dfereça [a~ b g( a) = g( b)] etre duas alteratvas a e b pertecetes ao cojuto A, sedo que o símbolo expressa a preferêca e o símbolo ~ expressa

4 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, a dfereça etre duas alteratvas. Estas relações etre as alteratvas defem uma relação de ordem o cojuto A. Cosdere-se agora uma famíla de crtéros g, em que vara de a, que avala o cojuto de alteratvas A. Cosdere-se ada a agregação de todos os crtéros em um úco crtéro de sítese, U( g) = U( g, g2, g3,..., g ). Sob esta codção, aalsado-se o cojuto de alteratvas, obtém-se a relação de preferêca estrta P e a relação de dfereça I (ROY; BOUYSSOU, 993; VINCKE, 989). A relação R, em que R= P I, defe uma pré-ordem para o cojuto de alteratvas, pos permte a preferêca e a dfereça. A fução de utldade (Equação ) é adtva, apresetado, portato, a segute forma matemátca: U[ g( a)] = u [ g ( a)] = em que cada u(g) é a utldade margal do desempeho g o crtéro. Uma hpótese fudametal, que é precso respetar quado se aplca uma fução de utldade adtva, é a codção de depedêca mútua dos crtéros em fução das preferêcas (CLEMEN; REILLY, 200; KEENEY; RAIFFA, 993). Os valores extremos das fuções de utldade de cada crtéro são represetados por: g, para o valor mas alto, e g, para o valor mas baxo. Cosdere-se também que as fuções de utldade margas u de cada crtéro são fuções moótoas crescetes ou decrescetes. Desta forma, ormalzam-se as fuções de utldade detro do tervalo [0, ], obtedo-se (Equações 2 e 3): u( g ) = = u( g ) = 0, para todo (3) A Equação 2 ormalza os valores máxmos de todos os crtéros presetes a aálse, dcado que o somatóro destes valores tem de ser gual à udade. Já a Equação 3 atrbu o valor zero ao valor cal de cada fução de utldade. Os agetes de decsão expressam as suas preferêcas e dfereças em relação ao cojuto de alteratvas A ou a um subcojuto represetatvo de alteratvas A, de modo a obter uma ordeação dessas alteratvas. O modelo matemátco do método UTA busca essecalmete chegar a esta mesma ordeação ou ao mas próxmo possível desta, de modo que a utldade calculada para uma alteratva U [ g( a)] dfra da verdadera () (2) U[( ga)], de um erro σ(a). Desta forma, obtém-se o cálculo para toda alteratva a A da segute forma (Equação 4): U [ g( a)] = U[ ga ( )] +σ ( a) (4) Para duas alteratvas cosecutvas, de acordo com o cojuto A, têm-se as relações de preferêca (Equação 5) e dfereça (Equação 6): U [ g( a)] U [ gb ( )] δ se o agete de decsão dca apb U [ g( a)] U [ gb ( )] = 0 se o agete de decs ão dca aib Na Equação 5, δ é um úmero real sufcetemete pequeo e maor do que zero, empregado para separar sgfcatvamete duas classes da pré-ordem completa R. Os autores do método UTA sugerram que o valor de δ deve ecessaramete pertecer ao tervalo [/0Q, /Q], sedo Q o úmero de classes de dfereça (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982). Assumdo a exstêca de trastvdade, pressuposto básco da MAUT, o agete de decsão só precsará fazer (m ) comparações etre alteratvas, ode m correspode ao úmero de alteratvas de A. Substtudo (4) em (5) e (6), obtêm-se (Equações 7 e 8): { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) δ apb = { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) = 0 aib = As fuções u são cosderadas como sedo leares por tervalos. Para defr tas tervalos, o agete de decsão escolhe α potos do tervalo [g, g ], em que a fução u está defda, sedo g e g, respectvamete, os lmtes ferores e superores de cada crtéro. Por meo de cálculos que empregam terpolação, determam-se os valores de u[ g( a)] em fução dos tervalos defdos pelos decsores. As fuções de utldade empregadas este método são moótoas. Desta forma, a hpótese de mootocdade é satsfeta através do segute cojuto de restrções (Equação 9): j+ j u( g ) u( g ) s, j=, 2, 3,..., ( α ), =, 2, 3,..., (9) em que s > 0 é o lmte de dfereça defdo para cada crtéro. Por cosegute, o prmero problema de programação lear deste método tem como fução objetvo a mmzação do somatóro dos erros σ(a), (5) (6) (7) (8)

5 96 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, 200 assocados às utldades das alteratvas pertecetes a A, sujetos às segutes restrções: preferêca etre as alteratvas (Equação 7); dfereça etre as alteratvas (Equação 8); mootocdade das fuções de utldade (Equação 9), e ormalzação das fuções de utldade (Equações 2 e 3). Além destas restrções, todos os problemas de programação lear exgem a codção de ão egatvdade de suas varáves, represetada pelas Equações 0 e. j u( g ) 0,para todo e j (0) σ( a) 0, para todo a A' () Desta forma, tem-se o [PPL] do método UTA (Equação 2): m [PPL] M F= σ( a) Sujeto a: = { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) δ apb = { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) = 0 aib = (2) j+ j u( g ) u( g ) s, j=, 2, 3,..., ( α ), =, 2, 3,..., (9) u( g ) = (2) = u( g ) = 0, para todo (3) j u( g ) 0,para todo e j (0) σ( a) 0, para todo a A' () As Equações 7 e 8 são mutuamete exclusvas o [PPL] (Equação 2), uma vez que o método respeta a trastvdade etre as alteratvas. A mplemetação deste método ão terma com a busca da solução do [PPL] (Equação 2), pos outras soluções são pesqusadas o etoro desta solução. Desta forma, cosderado F como sedo a solução ótma deste problema e k(f) como sedo uma folga, buscam-se outras soluções de modo a satsfazer esta ova restrção (Equação 3): F F + kf ( ) (3) em que k é um úmero real sufcetemete pequeo e maor do que zero. Os vértces deste ovo poledro correspodem às fuções de utldade, em que um ou mas crtéros atgem um peso extremo máxmo ou mímo. Implemetam-se mas dos PPL para cada crtéro: um buscado determar o valor mímo que o valor extremo da fução de utldade do crtéro pode assumr e outro buscado determar o valor (7) (8) máxmo que o valor extremo da fução de utldade do crtéro pode assumr (Equações 4 e 5): [PPL2] M u( g ), para = 23,,,..., (4) [PPL3] Max u( g ), para = 23,,,..., (5) Esta etapa é chamada de aálse pós-otmzação, o método UTA. Estes dos ovos problemas de programação lear [PPL2] (Equação 4) e [PPL3] (Equação 5) possuem as mesmas restrções do [PPL] (Equação 2), além da restrção (Equação 3). Depos destas mplemetações, pelo método UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982), calculam se as médas dos valores obtdos pelas varáves que represetam as fuções de utldade margas u(g j ) verfcadas a aálse de pós-otmzação [PPL2] (Equação 4) e [PPL3] (Equação 5). Após estes cálculos, pode-se avalar a U(g(a)) de todas as alteratvas a A, sejam ou ão estas alteratvas do cojuto de referêca A Método UTA-CR O método UTA-CR (Utlté Adtve - Crtéros) proposto por Ragel (2002) é uma varate do método UTA. Esse método da Utldade Adtva baseada os Crtéros busca obter melhores soluções para as fuções de utldade e, para sto, cosdera as preferêcas dos decsores ão em relação ao cojuto de alteratvas, mas cosderado o cojuto de crtéros. A ordeação das alteratvas a ser empregada como dado de etrada o método UTA-CR será a ordeação obtda com o auxílo de outro método de ordeação do Apoo Multcrtéro à Decsão, tedo como referêca as preferêcas dos decsores em relação ao cojuto de crtéros. O modelo matemátco do método UTA-CR leva em cosderação as preferêcas dos decsores em relação ao cojuto de crtéros, através do emprego de dos ovos termos a fução objetvo, além do termo que vsa mmzar o somatóro dos erros assocados à ordeação das alteratvas. No método UTA-CR, os dos ovos termos da fução objetvo vsam mmzar os erros assocados para mas e para meos das preferêcas dos decsores em relação ao cojuto de crtéros. A Equação (6) apreseta a fução objetvo do método: M F= σ( a) + ξ( u ) + ξ( u ) a A SUP INF = = (6) Duas ovas restrções são empregadas este método, além das empregadas o [PPL]

6 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, (Equação 2): a restrção (Equação 7), que busca restrgr os valores extremos de cada crtéro para mas, e a restrção (Equação 8), que busca restrgr os valores extremos de cada crtéro para meos. u( g ) ( u SUP ) w (7) u( g ) + ( u INF ) w (8) Desta forma, tem-se defdo um ovo modelo matemátco que represeta o método UTA-CR (RANGEL, 2002), por meo do [PPL4] (Equação 9): [PPL4] M F= σ( a) + ξ( u ) + ξ( u )(9) Sujeto a: a A SUP = = INF { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) δ apb = { u [ g ( a)] u [ g ( b)]} + σ( a) σ( b) = 0 aib = j+ j u( g ) u( g ) s, j=, 2, 3,..., ( α ), =, 2, 3,..., (9) u( g ) = (2) = u( g ) = 0, para todo (3) j u( g ) 0,para todo e j (0) σ( a) 0, para todo a A' () u( g ) ( u SUP ) w (7) u( g ) + ( u INF ) w (8) No método UTA-CR (RANGEL, 2002), ão há ecessdade de realzar a aálse pós-otmzação que é feta o método UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982), pos, com apeas uma úca mplemetação do [PPL4] (Equação 9), os resultados obtdos são melhores que os obtdos pelo método UTA (RANGEL et al., 2003; ARAYA et al., 2002; RANGEL, 2006; RANGEL et al., 2006). 4. Estudo de caso O método UTA e sua varate UTA-CR foram empregados para avalar um subcojuto de aluos selecoados, que prestaram exame vestbular para gressar o curso de Egehara Metalúrgca da Uversdade Federal Flumese (UFF), para íco em A COSEAC (Coordeadora de Seleção), vculada à PROAC Pró-Retora de Assutos Acadêmcos é o órgão resposável pela orgazação, pelo plaejameto e pela execução dos cocursos de (7) (8) seleção para gresso os cursos de graduação da UFF, equato os colegados dos cursos de graduação defem as dscplas que comporão as respectvas provas específcas, que são dscursvas. Aualmete, a UFF realza uma avalação para o gresso de aluos em seus dversos cursos. Estas avalações são fetas em duas etapas. Na prmera etapa, faz-se uma prova de múltpla escolha abordado dversas dscplas: Lígua Portuguesa e Lteratura Braslera; Lígua Estragera; Matemátca; Físca; Hstóra; Geografa; Químca, e Bologa. Na outra etapa, os aluos realzam provas dscursvas abordado duas dscplas de cohecmetos específcos, de acordo com o curso preteddo, além da elaboração de uma Redação, que é realzada por todos os aluos caddatos a todos os cursos. Para o curso de Egehara Metalúrgca, a seguda etapa, os aluos realzam provas específcas de Matemátca e de Físca (UFF, 2006b). Assm, esta pesqusa, os órgãos competetes da UFF são os decsores e os quatro crtéros cosderados esta pesqusa são: o úmero de questões certas dos caddatos a prmera fase e as três otas das respectvas provas dscursvas de Redação, Físca e Matemátca, da seguda fase. Esta pesqusa fo realzada selecoado-se 4 etre os 9 caddatos, classfcados e ão classfcados, que prestaram exame para o curso de Egehara Metalúrgca da UFF. Não foram cosderados esta avalação os caddatos elmados por ausêca ou por ota. A ordeação dos caddatos seguu o resultado forecdo pela UFF, sto é, a colocação que o caddato coseguu obter. Com a faldade de obter os pesos dos crtéros empregados pela UFF, um sstema de equações fo resolvdo, utlzado-se como dado de etrada os desempehos dos caddatos. Depos de determados, os pesos foram ormalzados e seus valores são apresetados a segur: o peso do crtéro C (Número de questões certas da Prmera Fase) fo aproxmadamete 0,067; o peso dos crtéros C 2 (Nota da Prova de Redação), C 3 (Nota da Prova de Matemátca) e C 4 (Nota da Prova de Físca) fo 0,3, gualmete para cada um deles. A Tabela apreseta os desempehos dos aluos em relação aos quatro crtéros empregados esta pesqusa, sto é, a matrz de avalação. Os caddatos selecoados foram os segutes: A, A 5, A 0, A 20, A 30, A 40, A 50, A 60, A 70, A 80, A 90, A 00, A 0 e A 5. Os ídces assocados a cada alteratva A j, em que j vara de a 9, represetam a ordeação dos caddatos a avalação realzada pela UFF.

7 98 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, 200 Tabela. Matrz de avalação. Caddatos Crtéros C C 2 C 3 C 4 Ordeação fal A 55 8,5 6,6 6,2 A ,0 4,9 6,8 5 A ,0 7, 5,7 0 A ,0,6 5,3 20 A ,75 3,0 5,0 30 A ,5 3, 3,5 40 A ,75 2,8 2,7 50 A ,5 4,2 2,0 60 A ,0 4, 3, 70 A ,25 3,0 3, 80 A ,0 0,5 3,7 90 A ,5 0,4,4 00 A ,0 0,3 2,7 0 A 5 7 7,0 0,3 0,5 5 A ordeação das alteratvas represeta a prmera restrção o problema de programação lear da formulação dos dos métodos. Esta restrção dca que a alteratva A é preferível à alteratva A 5 e que a alteratva A 5 é preferível à alteratva A 0, e assm sucessvamete. Por cosderar a trastvdade etre as alteratvas, ão há ecessdade de aalsar relações etre alteratvas ão sucessvas, tas como A com A 0, em A 70 com A 00. As outras restrções do modelo são: mootocdade dos crtéros; somatóro dos valores extremos máxmos de cada crtéro gual a uma udade, e valores mímos de cada crtéro guas a zero. A últma restrção do problema de programação lear dz respeto à ão egatvdade das varáves. O valor do parâmetro δ empregado a mplemetação dos dos métodos fo de 0,0 e seguu a recomedação dos autores do método UTA (JACQUET-LAGRÉZE; SISKOS, 982), que defem o valor deste parâmetro pertecete ao tervalo [/0Q, /Q]. Assm, este estudo de caso, cada alteratva fo cosderada como sedo uma classe. Como o cojuto de referêca possu 4 elemetos, é este, portato, o úmero de classes cosderadas. Esta cosderação em relação ao úmero de classes resulta em um modelo que ão possu relação de dfereça etre as alteratvas presetes a aálse. Note-se que o valor ulo do parâmetro s, adotado a mplemetação dos dos métodos, sgfca que as fuções a serem determadas pelos modelos matemátcos dos dos métodos podem ser paralelas ou cocdr com o exo das abscssas. O valor da fução objetvo obtdo com a mplemetação do [PPL] (Equação 2) fo ulo, sgfcado que o modelo matemátco do método UTA coseguu represetar perfetamete as preferêcas dos decsores. Etão, fo realzada a aálse pós-otmzação com a mplemetação dos problemas de programação lear [PPL2] (Equação 4) e [PPL3] (Equação 5), com a faldade de determar os valores médos das varáves. Oto mplemetações foram realzadas e, assm, determaram-se as fuções de utldade dos crtéros presetes a aálse. Os resultados obtdos com as mplemetações deste método são apresetados em forma de gráfco, por meo de lha tracejada a Fgura. Com a faldade de comparar os resultados dos dos métodos, em uma seguda etapa desta pesqusa, fo realzada a mplemetação do método UTA-CR [PPL4] (Equação 9) empregado os mesmos valores dos parâmetros da mplemetação do método UTA. Os resultados obtdos com a mplemetação do método UTA são apresetados a Fgura, através de lha cotíua. Ressalta-se que, a mplemetação deste método, ão há ecessdade de se realzarem as oto mplemetações quatro do [PPL2] (Equação 4) e quatro do [PPL3] (Equação 5). Em uma úca mplemetação [PPL4] (Equação 9), os valores das varáves são obtdos. 5. Comparação dos resultados As grades dfereças das fuções de utldade dos crtéros, obtdas a mplemetação dos dos métodos, buscam represetar da melhor forma possível as preferêcas dos decsores (Fgura ). Nas mplemetações dos dos métodos, verfcam-se as dfereças dos valores máxmos obtdos para cada crtéro. Assm, o crtéro C (Número de questões certas da Prmera Fase), o valor proposto fo 0,067; o valor obtdo pelo método UTA fo 0,22 e o obtdo pelo método UTA-CR fo 0,067. Seguem os valores obtdos para cada crtéro, respectvos aos métodos UTA e UTA-CR: crtéro C 2 (Nota da Prova de Redação) - 0,084 e 0,3; crtéro C 3 (Nota da Prova de Matemátca) - 0,250 e 0,3; crtéro C 4 (Nota da Prova de Físca) - 0,444 e 0,3. Verfca-se, por meo dos resultados apresetados pelo método UTA que os valores dos pesos dos crtéros estão bem dferetes dos propostos a pror pelos decsores. Estes valores propostos foram 0,067, 0,3, 0,3, e 0,3, e os valores obtdos com o emprego deste método foram 0,22, 0,084, 0,250 e 0,444, para os crtéros C, C 2, C 3 e C 4, respectvamete. Apesar de o modelo matemátco

8 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, Fgura. Fuções de Utldade dos Crtéros C, C 2, C 3 e C 4. Método UTA ( ) e Método UTA-CR ( ). cosegur represetar as preferêcas dos decsores pos o valor obtdo pela fução objetvo do [PPL] (Equação 2) fo ulo, sto ão sgfca que estes valores represetem perfetamete as preferêcas dos decsores. Esse fato ocorre porque o problema de programação lear é degeerado. Empregado-se o método UTA-CR (RANGEL, 2002) os valores obtdos dos pesos foram 0,067, 0,3, 0,3 e 0,3 para os crtéros C, C 2, C 3 e C 4, respectvamete. Estes valores são os mesmos propostos a pror pelos decsores. O modelo matemátco que represeta este método busca obter os valores dos pesos com afastameto mímo, tato para mas como para meos, do valor proposto. Assm, este modelo determa as fuções de utldade dos crtéros o mas próxmo possível das preferêcas dos decsores. Com a faldade de comparar os resultados das ordeações obtdas através dos dos métodos UTA e UTA-CR com a ordeação obtda do vestbular, fo realzado um estudo para determar a correlação etre as ordeações. Em uma prmera etapa, determou-se o coefcete de correlação de Kedall (KENDALL; GIBBONS, 990) etre a ordeação obtda através do vestbular da UFF e a obtda através do método UTA. O coefcete de Kedall obtdo fo gual a 0,898, dcado um alto grau de correlação etre as duas ordeações. Em uma seguda etapa, realzou-se o mesmo procedmeto, para determar a correlação etre a ordeação obtda pela a UFF e a obtda pelo método UTA-CR. Neste caso, o coefcete de Kedall obtdo fo gual a 0,8987, dcado também um alto grau de correlação. Desta forma, pode-se comprovar o alto grau de correlação obtda através dos métodos e a obtda através do vestbular. Através dos resultados, observa-se um aumeto da correlação etre a ordeação obtda com o emprego do método UTA-CR e a ordeação obtda com o emprego do método UTA, quado comparadas. Verfca-se que as fuções de utldades obtdas para os crtéros são leares por parte (Fgura ). Isto faz com que a ordeação dos caddatos obtda através destes métodos ão seja tão precsa quato a obtda através do vestbular. A ordeação obtda com o emprego dos métodos UTA e UTA-CR podera ser melhorada com o aumeto da qualdade das fuções de utldades, através do emprego de um maor úmero de potos a defção destas fuções; mas, por outro lado, um esforço maor tera de ser empregado, já que o úmero de varáves de decsão estes métodos é dretamete proporcoal ao úmero de potos e de crtéros presetes a aálse. Sabe-se que todo processo de avalação ecessta de acompahameto e estudo. No caso desta pesqusa, realzada com o emprego dos métodos UTA e UTA-CR para avalar os caddatos ao curso de Egehara Metalúrgca da UFF, a determação das fuções de utldades baseada os resultados do vestbular os próxmos aos rá propcar um melhor acompahameto do processo de avalação do vestbular, uma vez que as fuções de utldades dos crtéros poderão ser comparadas e aalsadas.

9 00 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, Coclusão Dos métodos aalítcos de Apoo Multcrtéro à Decsão foram empregados esta pesqusa: o método UTA (JACQUET-LAGRÈZE; SISKOS, 982) e uma varate deste, o método UTA-CR (RANGEL, 2002). O método UTA cosdera as preferêcas dos decsores em relação ao cojuto de alteratvas para determar as fuções de utldade, equato o método UTA-CR cosdera as preferêcas dos decsores em relação ao cojuto de crtéros para, posterormete, determar uma ordeação das alteratvas e, em seguda, determar as fuções de utldade dos crtéros. As formas das fuções de utldade dos crtéros obtdas com o emprego dos dos métodos são bem dferetes. Isto ocorre porque os problemas de programação matemátca que represetam os dos métodos são degeerados. O método UTA-CR emprega um úmero maor de restrções levado em cosderação os pesos dos crtéros e emprega, também, uma ova fução objetvo. Os pesos defdos pela uversdade para os quatro crtéros C, C 2, C 3 e C 4 este processo de avalação foram 0,067, 0,3, 0,3 e 0,3, respectvamete. Estes mesmos valores foram obtdos para os pesos crtéros através do método UTA-CR. Já os pesos para os crtéros determados através do método UTA foram bem dferetes. Para os crtéros C, C 2, C 3 e C 4 seus pesos foram 0,2, 0,084, 0,250 e 0,444, respectvamete. Verfca-se, desta forma, que as fuções de utldade dos crtéros obtdas com o método UTA-CR estão mas próxmas das preferêcas dos decsores do que as obtdas com o método UTA, coforme os resultados das mplemetações e dos gráfcos apresetados (Fgura ). Referêcas ARAYA, M. C. G. et al. Buldg the addtve utlty fuctos for CAD-UFRJ evaluato staff crtera. Aals of Operatos Research, v. 6,. -4, p , BANA e COSTA, C. A.; CORTE, J. M.; VANSNICK, J. C. O the mathematcal foudatos of MACBETH. I: FIGUEIRA, J.; GRECO, S.; EHRGOTT, M. (Ed.). Multple crtera decso aalyss: state of the art surveys. New York: Sprger, p BARBA-ROMERO, S.; POMEROL, J. C. Decsoes multcrtero: fudametos teórcos y utlzacó práctca. España: Uversdad de Alcalá, 997. p BELTON, V.; STEWART, T. J. Multple crtera decso aalyss: a tegrated approach. Massachusetts: Kluwer Academc Publshers, p BRANS, J. P.; VINCKE, P. H.; MARESCHAL, B. How to select ad how to rak projects: the promethee methods. Europea Joural of Operatoal Research, v. 24,. 2, p , 986. CLEMEN, R. T.; REILLY, T. Makg hard decso wth decsos tools. 2 ed. Ro de Jaero: Thomso, 200. GOMES, L. F. A. M. Teora da decsão. Ro de Jaero: Thomso, p. 32. GOMES, L. F. A. M.; ARAYA, M. C. G.; CARIGÑANO, C. Tomada de decsões em ceáros complexos. Ro de Jaero: Thomso, p. 68. GOMES, L. F. A. M.; RANGEL, L. A. D. A applcato of the TODIM method to the multcrtera retal evaluato of resdetal propertes. Europea Joural of Operatoal Research, v. 93,. 2, p , Dspoível em: < HAMMOND, J. S.; KEENEY, R. L.; RAIFFA, H. Eve swaps: a ratoal method for makg trade-offs. Harvard Busess Revew, v. 76,. 2, p , 998. JACQUET-LAGRÈZE, E.; SISKOS, J. Assessg a set of addtve utlty fuctos for multcrtera decso-makg the UTA method. Europea Joural of Operatoal Research,. 0, p. 5-64, 982. KEENEY, R. L.; RAIFFA, H. Decsos wth multple objectves: prefereces ad value tradeoffs. Cambrdge: Cambrdge Uversty Press, 993. p KENDALL, M. G.; GIBBONS, J. D. Rak correlato methods. 5 ed. Lodo: Edward Arold, 990. p RANGEL, L. A. D. Determação de fuções de utldade através das preferêcas dos decsores sobre o cojuto de crtéros empregado o método UTA. Ro de Jaero, Tese (Doutorado em Egehara de Produção) - Uversdade Federal do Ro de Jaero - UFRJ. RANGEL, L. A. D. Determação de fuções de utldade dos crtéros empregados a avalação de móves resdecas. I: CONGRESO IBERO-LATINOAMERICANO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA - CLAIO, 3, Aas... (CD-Rom). RANGEL, L. A. D. et al. Avalação da terorzação dos cursos da Uversdade Federal Flumese com o uso cojugado dos métodos UTA e MACBETH. Ivestgação Operacoal, v. 23,., p , RANGEL, L. A. D. et al. A varat of the UTA method. I: INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON MATHEMATICAL PROGRAMMING - ISMP, 9, Abstracts ROMERO, C. Teoría de la decsó multcrtero: coceptos, téccas y aplcacoes. Madrd: Alaza, 993. p. 95. ROY, B. The outrakg approach ad the foudatos of electre methods. Theory ad Decso, v. 3, p , 99. ROY, B.; BOUYSSOU, D. Ade multcrtère à la décso: méthodes et cas. Pars: Ecoômca, 993. p SAATY, T. L. Fudametals of decso makg ad prorty theory: wth the aalytc herarchy process. Pttsburgh: RWS Publcatos, 994. SCHÄRLIG, A. Pratquer electre et prométhée: u complémet à décder sur pluseurs crtères. Lausae: Press Polytechques e Uverstares Romade, 996. p. 73. SISKOS, Y.; GRIGOROUDIS, E.; MATSATSINIS, N. F. UTA methods. I: FIGUEIRA, J.; GRECO, S.; EHRGOTT, M. (Ed.). Multple crtera decso aalyss: state of the art surveys. New York: Sprger, p UFF. Núcleo de Comucação Socal. Nteró: UFF, 2006.

10 Ragel, L. A. D. et al. O Apoo Multcrtéro... avalação de caddatos. Prod. v. 20,., p. 92-0, UFF. Coordeadora de Seleção (COSEAC) da Pró-Retora de Assutos Acadêmcos (PROAC) da UFF. Nteró: UFF, p. 64. (Edtal de cocurso e programa das dscplas). VINCKE, P. H. L ade multcrtère à la dècso. Bruxelles: Édtos de l Uversté de Bruxelles, 989. p. 79. VON-NEUMANN, J.; MORGENSTERN, O. Theory of games ad ecoomc behavor. 3 ed. Prceto: Prceto Uversty Press, 953. ZOPOUNIDIS, C.; DIMITRIS, A. I. Multcrtera decso ad methods for the predctos of busess falure. Dordrecht: Kluwer Academc Publshers, 998. p. 7. Agradecmetos Os autores deste artgo agradecem ao CNPq Coselho Nacoal de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco, através dos Projetos de Pesqusa 30603/2009-9, 5027/ e /2004-6; à PROPP - Pró-Retora de Pesqusa e Pós-Graduação da Uversdade Federal Flumese, e ao Programa de Pós-Graduação e Pesqusa em Admstração e Ecooma do Ibmec/RJ. Abstract Multcrtera Decso Ad the evaluato of caddates The methods of mult-crtera decso ad are appled to problems of selecto, rakg, classfyg, ad descrbg alteratves the presece of multple crtera, both quattatve ad qualtatve. Ths artcle tackles the problem of usg the UTA ad UTA-CR methods for determg the utlty fucto of crtera used to evaluate caddates for the udergraduate program metallurgcal egeerg the Flumese Federal Uversty. After presetg the methods ad outlg the problem, a aalyss of the results shows that the utlty fuctos of crtera obtaed usg UTA-CR are closer to decso-maker prefereces tha those obtaed usg UTA. It s also show that, by usg UTA-CR, t s ot ecessary to perform the post-optmzato aalyss that s requred by the UTA method. I other words, mplemetato of a sgle lear program leads to results that are better tha those obtaed usg UTA. Keywords Multcrtera Decso Ad. Addtve utlty methods. Utlty fucto. Evaluato of caddates.