GABARITO ITA PROVA 2015/2016 MATEMÁTICA

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1 GABARITO ITA PROVA 0/06 MATEMÁTICA

2 PROVA 7// : conjunto de números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = z : Módulo do número z Re(z) : parte real do número z Im (z) : parte imaginária do número z det M : determinante da matriz M M T : transposta da matriz M M : inversa da matriz M I n : matriz identidade n n MN : produto das matrizes M e N d(p,r) : distância do ponto P à reta r AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B [a, b] = {x : a x b} [a, b[ = {x : a x < b} ]a, b] = {x : a < x b} ]a, b[ = {x : a < x < b} X \ Y = {x X e x Y} Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Questão Considere as seguintes afirmações: I. A função f(x) = log x 0 é estritamente crescente no intervalo ], + [. x II. A equação x + = x possui uma única solução real. III. A equação (x + ) x = x admite pelo menos uma solução real positiva. É(são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III. D ( ) I, II e III. E ( ) apenas III.

3 GABARITO ITA MATEMÁTICA Gabarito: Letra B. I. f(x) = log x 0 = log0 x x Sem perda de generalidade, suponhamos a < b e a, b ], + [ a < b > < < 0 0 a b a b a b a < log log b Logo, se a < b, então f(a) < f(b) e temos que f(x) é crescente no intervalo. VERDADEIRA II. x + = x Aplicando log 0 nos dois lados: (x + ) log = (x ) log x (log log ) = log + log log x = = log / log( / ) VERDADEIRA III. Iremos dividir em dois casos: i) 0 x < É fácil observar que (x + ) x e x < nesse caso, logo não há soluções positivas. ii) x Sabemos que (x + ) x (x + ) para x e x + > x para todo x. Logo: (x + ) x > x Então não há soluções positivas. FALSA. Questão Se x é um número natural com 0 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de A ( ) 8 B ( ) 86 C ( ) 87 D ( ) 88 E ( ) 89 7 x é igual a Gabarito: Letra D. x é um número natural com 0 dígitos, então: 0 0 x < x < 7 0 0

4 PROVA 7// x < Como 7 0 e são menores do que 0, temos que x tem 88 dígitos. Questão Escolhendo-se, aleatóriamente, três números inteiros distintos no intervalo [,0], a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica é igual a A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) Gabarito: ANULADA. No intervalo de [, 0], temos as seguintes progressões geométricas: (,, ) (, 6, 9) (,, 9) (, 8, 6) (,, 6) (, 0, 0) (,, 8) (8,, 8) (, 6, 8) (9,, 6) (, 6, ) Temos que os casos totais são 0. Logo, a probabilidade é: =. 0 0 Questão anulada

5 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão Se tgx = 7 e x π, π, então senx é igual a A ( ) 8. B ( ) C ( ) 8.. D ( ). E ( ) 6. Gabarito: Letra B. tgx = 7 tg x = 7 sec x = 8 cos x = 8 sen x = 7 8 senx = 7 8 =, pois x o Q. Como senx = senx sen x = senx ( sen x), temos senx = = 7 8 senx = 8

6 PROVA 7// Questão Seja (a, a, a...) a sequência definida da seguinte forma: a = 000 e a n = log 0 ( + a n ) para n. Considere as afirmações a seguir: I. A sequência (a n ) é descrecente. II. a n > 0 para todo n. III. a n < para todo n. É(são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III. D ( ) I, II e III. E ( ) apenas III. Gabarito: Letra D. I. Veja inicialmente que a < a. Veja também que a n+ < a n log ( + a n ) < log ( + a n ) a n < a n. Isso conclui o fato de (a n ) ser decrescente. (VERDADEIRA) II. Se a n > 0, então a n = log ( + a n ) > 0. Como a = 000 > 0, então a n > 0 para todo n. (VERDADEIRA) III. Dado que (a n ) é decrescente, veja que a = log ( + log00) log, que é menor que. Logo, a n < para todo n. (VERDADEIRA) Questão 6 Seja P n um polígono convexo regular de n lados, com n. Considere as afirmações a seguir: I. P n é inscritível numa circunferência. II. P n é circuncristível a uma circunferência. III. Se n é o comprimento de um lado de P n e a n é o comprimento de uma apótema de P n, então para todo n. É (são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III. D ( ) apenas I e II. E ( ) apenas I, II e III. 6 a l n n

7 GABARITO ITA MATEMÁTICA Gabarito: Letra D. I e II: verdadeiras. A B Considere o triângulo isósceles interno ao polígono com base AB sobre α α um dos lados, ângulo do vértice β = 60º e vértice P. n III: falsa. P A circunferência de centro P e raio AP é circunscrita ao polígono e a circunferência de centro P tangente a AB é inscrita no polígono. a n n tg 80 º n = a n = n a n n 80º tg n 80º n Como tg 80º n infinidade de inteiros n. fica tão próximo de zero quanto se queira, a n > para uma n Questão 7 Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio cm. O seu maior lado mede cm e sua área é de cm. Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede A ( ). B ( ). C ( ). D ( ) 6. E ( ) 6. 7

8 PROVA 7// Gabarito: Letra B. Como o lado é igual ao diâmetro, o triângulo é retângulo. Sendo b, c os lados, temos: b c bc = bc = b c = b + c = e Logo, b e c são raízes de t t + = 0 Resolvendo: ± 6 8 t = = ± Segue que o menor lado vale. Questão 8 Se o sistema de equações x + y + z = x + y + 7z = x + y + az = b é impossível, então os valores de a e b são tais que A ( ) a = 6 e b. B ( ) a 6 e b. C ( ) a 6 e b =. D ( ) a = 6 e b =. E ( ) a é arbritário e b. Gabarito: Letra A. Matriz incompleta: A = 7 deta = a 6 a Para o sistema ser impossível: deta = 0 a = 6. Nesse caso: x + y + z = () x + y + 7z = () x + y + 6z = b () 8

9 GABARITO ITA MATEMÁTICA () (): y + z = y + 6z = () (): y + 6z = 6 b O sistema será impossível se 6 b b. Questão 9 Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x + y = e à reta y = ( x), então o valor do cosseno do ângulo PÔQ é igual a A ( ). B ( ) 7. C ( ). D ( ). E ( ) 7. Gabarito: Letra A. Interseção da reta e circunferência a: x + y = y = ( x) (I) (II) Substituindo (II) em (I): x +( x) = x 8x = 0 8 x( x 8) = 0 x = 0 ou x = 8 6 Pontos: P( 0, )e Q, Sejam P e Q os vetores relacionados aos ponto P e Q, respectivamente. Seja θ o ângulo entre eles, então: cos θ = < > P, Q = = P Q 9

10 PROVA 7// Questão 0 Um triângulo retângulo tem perímetro igual a, em que é o comprimento da hipotenusa. Se α e β são seus ângulos agudos, com α < β, então sen(β α) é igual a: A ( ) B ( ) 6+ C ( ) 6 D ( ) 0 E ( ) 8 0 Gabarito: Letra D. Sejam x e y catetos. Então, tomando y > x: x + y = ( ) x + y = ( ) xy = Então: ( y x) = ( ) = ( ) y x = Sabemos que β + α = 90, então: sen (β α) = sen (90 α) = cos α = cos α sen α y x ( y x)( y + x) sen( β α) = = = sen( β α) = 0 ( ) 0

11 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão Se M N = 0 e =, então MN T M N é igual a A ( ) D ( ) B ( ) 7 E ( ) C ( ) Gabarito: Letra C MN T M N = 0 0 = = Questão Considere as afirmações a seguir: I. Se z e w são números complexos tais que z iw = i e w z = + i, então z² + w² = + 6i. II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem z ² + z² = + i é igual a zero. III. Se z = i, então z 9 = 9 ( + i).

12 PROVA 7// É (são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. D ( ) apenas II e III. B ( ) apenas I e II. E ( ) I, II e III. C ( ) apenas I e III. Gabarito: Letra B z wi = i (I) I. w z = + i (II) Somando (I) com (II): w wi = + i (III) Seja w = a + bi (IV), a, b. Substituindo (IV) em (III): a + bi ai + b = + i a + b = a = e b = b a = Logo, w = + i e z = i, então w + z = + 6i Verdadeira II. z + z = + i Seja z = a + bi, então: a + b + a + abi b = + i a + b = (I) ab = (II) Substituindo (II) em (I): a + = a a + = 0 a ( a )( a ) = 0 a = ± ou a = ± Logo, z = ± ( + i) ou z = ± + i. A soma de todas as soluções é igual a zero. Verdadeira III. z = i 9 9 ( ) ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) ( ). 9 9 z = i z = i i z = i i z = i i z = + i = i Falsa

13 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão Sejam λ uma circunferência de raio cm e PQ uma corda em λ de comprimento cm. As tangentes a λ em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a λ. Então, a àrea do triângulo PQR, em cm, é igual a: A ( ) B ( ) C ( ) 6 D ( ) E ( ) Gabarito: Letra E. Como a corda PQ e o raio são iguais, temos PQ = 60 R 0 P 0 Q PRQ = = 0 h= d( RPQ, ) = tg0 = PQ h S PQR = = =

14 PROVA 7// Questão Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0,), (,0), (,0) e (6,) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a A ( ). B ( ) 6. C ( ). D ( ) 7. E ( ) 7. Gabarito: Letra D. Inicialmente, calculamos a área do #ABCD. S ABCD =, onde 0 0 = 0 = = 0.Logo, SABCD = y A B B P P C C D x A equação da reta AD é dada por y = x+. Para encontrar B e C, fazemos, em AD: x = a x = y = B = (, ) x = y = C = (, ) É fácil ver que S ABB ' = = SCC' D = e =. Portanto, a reta x = a do problema satisfaz < a <. Sendo P = (a,0), temos P' = a, a +. Para a divisão de áreas ser ao meio, temos S BB P P =. Como #BB P P é trapézio:

15 GABARITO ITA MATEMÁTICA ( BB' + PP ') BP a = + + ( a ) = 6 ( a+ 6)( a ) = a + a = 0 a= ± 7. Como < a<, a = + 7. Questão Seja p o polinômio dado por p(x) = x 8 + x m x n, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a. Considere as seguintes afirmações: I. x = 0 é uma raiz dupla de p. II. x = é uma raiz dupla de p. III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. Destas, é(são) verdadeira(s) A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas I e III. D ( ) apenas II e III. E ( ) I, II e III. Gabarito: Letra C. Para acharmos m e n, façamos m = 8q e n = 8q Do enunciado 8 + 8q + 8q = q = ou q = Como p(x) é polinômio, m > 0 e n > 0. Portanto, p(x) = x 8 + x x p(x) = x (x 6 + x ) p(x) = x (x + )(x )(x + x + ) (*) Quando x + x 8 i 7 + = 0, temos x = ± = ± De forma que x \. De (*), I e III, apenas, são verdadeiras.

16 PROVA 7// Questão 6 Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = NC. Sendo a a medida, em radianos, do ângulo MÂN, então o valor de cos a é A ( ). B ( ). C ( ) 6. D ( ) 6 7. E ( ) 7 8. Gabarito: Letra A. h α α B M X N C Seja l o lado do ABC, temos: MN = e h = (altura do triângulo) Sendo X o ponto médio de MN, por simetria XN = = 6 α tg α tg 6 α 7 = = = = XN cos = = AX + tg α + 7 6

17 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 7 Uma esfera S, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a πr A ( ). ( rrr) πr B ( ). ( rrr) πr C ( ). rr ( r) πr D ( ). ( rrr) πr E ( ). ( rrr) Gabarito: Letra B. cone K Sejam a e b, respectivamente, raio da base e altura de K. Logo, por semelhança: r R R = b =. br r b R R r b R b R b R b + a = a a = b br Logo, o volume de K é dado por π b R R π a b= = ( b br) ( R r) a π R b R πr R πr = = = R r br r R r r R r ( ) ( ) 7

18 PROVA 7// Questão 8 Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z + ( + i) z + ( + i) z + ( + i) z + ( + i). Podemos afirmar que A B ( ) nenhuma das raízes de p é real. ( ) não existem raizes de p que sejam complexas conjugadas. C ( ) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a +. D ( ) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a. E ( ) o módulo de uma das raízes de p é igual a. Gabarito: Letra E. Testando i, i e são raízes. p(i) = p( i) = p( ) = 0 Seja r a outra raiz, pelas relações de Girard: ( + i ) i + ( i) + ( ) + r = r = i. ( ) Assim, apenas o item (E) é verdadeiro r = Questão 9. Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a A ( ) 0 B ( ) C ( ) 0 D ( ) E ( ) 0 Gabarito: Letra E. Dada uma coloração, coloquemos a face de cor C no chão sempre. Há! maneiras de se pintar as demais faces. Entretanto, cada uma dessas colorações foi pintada vezes, pois esse é o número de formas de girar o cubo mantendo a cor C embaixo (basta escolher qual das arestas,,, acima está olhando para você). Logo, a resposta é! = 0. 8

19 GABARITO ITA MATEMÁTICA Questão 0 Em um triângulo equilátero ABC de lado, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB, BC e AC, respectivamente, tais que a) P é o ponto médio AB; b) M é o ponto médio de BC; c) PN é a bissetriz do ângulo APC Então, o comprimento do segmento MN é igual a A ( ) 0 B ( ) C ( ) 6 D ( ) 0 E ( ) Gabarito: Letra D. Seja x = AN. Temos CP = (altura). Pelo teorema da bissetriz interna no DACP, temos x x = = + x = Daí, CN = x = ( ) =. Pela lei dos cossenos no DCMN, temos B P A M x N x C MN = ( ) + ( ) MN = ( 6 ) ( ) = 0 MN = 0 9

20 PROVA 7// Questão Seja f função definida por f(x) = log x+ (x x 8). Determine: a) O domínio D f da função f. b) O conjunto de todos os valores de x D f tais que f(x) =. c) O conjunto de todos os valores de x D f tais que f(x) >. Gabarito: f x = log x x8 ( ) x + ( ) a) x + > 0 Restrições: x + x > x x 8> 0 Logo, o domínio de f é o intervalo ], + ). b) ( ) ( ) ( ) f x = logx + x x 8 = x x 8= x+ x 8= x+ 9 x = Df Logo, o conjunto pedido é o conjunto vazio. > log 8 >. Como x D, x+ > e então a inequação é escrita c) f( x) x + ( x x ) como: f ( ) ( ) x x 8 > x+ x x 9 > 0 x < ou x> + Mas x D f, +, + então o conjunto pedido é o intervalo ( ) Questão Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, π]. Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que cos x sen y = sen x+ cos y =. 0

21 GABARITO ITA MATEMÁTICA Gabarito: cos x sen y = sen x + cos y =, x, y [ 0, π] cos x = + sen y cos x = + sen y + sen y sen x = cos y sen x = + cos y + cos y Somando as equações e fazendo t = sen y: = + t + t + + t t t = ± t Elevando ao quadrado: 6t + t + 9 6t t + t = t 6t 6t 8t + t = 0 Testando raízes racionais e abaixando o grau usando Briot-Ruffini, temos as raízes,, ±. t = não serve, pois t = sen y > 0 p/ y [0, π] t = : π seny = cos x = cos x = x = Jogando na a equação do sistema inicial: π + cos y = cos y = y = esen y ok 6 = t = : π sen y = cos x = cos x = x = Jogando na a equação do sistema inicial: 6 π + cos y = cos y = y = esen y= ok π π π π x, y =, ou x, y, 6 = Soluções: ( ) ( )

22 PROVA 7// Questão Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferências de raios R H e R T, respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine a razão R H R. T Gabarito: Se H está inscrito numa circunferência de raio R H, sua área é dada por R inscrito numa circunferência de raio R T, sua área é dada por T H. Além disso, se T está R. Pela condição do problema: R R. T H RH = RT RH = = RT Questão Seja A a matriz de ordem, dada por 0 A = 0. a) Determine todas as matrizes B tais que BA = l. b) Existe uma matriz B com BA = l que satisfaça BB T = l? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes. Gabarito: a) Da equação BA = I, sendo A e I, B deve ser da forma. 0 a b c 0 temos 0 =. d e f 0 a b c Seja: B =, d e f

23 GABARITO ITA MATEMÁTICA a + c = b + c = 0 = Daí, d + f = 0 d, e, f = f, f, f e + f = ( a, b, c) ( c, c, c) ( ) ( ) c c c Então, B =, sendo c e f quaisquer. f f f c f c c c b) Consideremos BB T = I, 0 temos c f =. f f f 0 c f ( c) + ( c) + c = (I) Então, ( f) + ( f) + f = (II) ( c)( f ) + ( f )( c) + cf = 0 (III) Por (I) e (II), c e f são raízes de ( x) + ( x) + x =, que equivale a x x = 0. Então, c e f são iguais a 0 ou. Agora, veja que (III) equivale a cf = c + f. É fácil ver que as únicas opções são c = f = 0 e c = f =. 0 0 Portanto, a resposta é sim e os exemplos são B = ou B =. 0 0 Questão Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção Norte; se S, em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste. Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo? Gabarito: Considere k o número de passos na direção norte (0 k ). Nesse caso devemos ter k passos para o norte, k passos para o sul, k para leste e k para oeste. 6! 6! (! ) 6 Permutando esses passos: = =. ( ) ( ) ( ) k! k!! (! ) ( k! ) ( k)! k

24 Casos favoráveis: Σ Utilizando o Teorema de Euler: Casos possíveis: n( ) n( A) P( A) 6 n( Ω) 6 6 = k Σ k k k = 0 k = 0 Ω = 6 n Σk = 0 00 = = =. 6 Questão 6 h m h + m = k p k p, temos n( A) PROVA 7// 6 = = 00. Sejam S um subconjunto de e P = (a, b) um ponto de. Define-se distância de P a S, d (P, S), como a menor das distâncias d(p, Q), com Q S: d(p, S) = min{d(p, Q) : Q S}. Sejam S = {(x, y) : x = 0 e y } e S = {(x, y) : y = 0}. a) Determine d(p,s ) quando P = (, ) e d(q, S ) quando Q = (, 0). b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de S e de S. Gabarito: a) Esboçando o gráfico: y P(,) S Q(,0) x Como y p, d(p, S ) é calculada pela perpendicular traçada de P a S. Então, d(p, S ) = x p =. Como y q <, d(q, S ) é calculada pela distância de Q ao ponto (0, ). Então, d(q, S ) = + =. Resposta: d(p, S ) = e d(q, S ) =.

25 GABARITO ITA MATEMÁTICA P b) A distância d(p, S ) é sempre igual a y p. Como d(p, S ) pode ser calculada de duas maneiras, devemos dividir o problema em dois casos. o caso: y p. Aqui, d(p, S ) = d(p, S ) x p = y p = y p. Portanto, ficamos com o gráfico de y = x, restrito a y. o caso: y p <. P P P Aqui, d(p, S ) = d(p, S ) x + ( y ) = y x p xp + yp yp + = yp yp = + x Portanto, ficamos com o gráfico da parábola y = + reta y reta x parábola Questão 7 Sejam a, b, c números reais com a 0. a) Mostre que a mudança x + x = z transforma a equação ax + bx + cx + bx + a = 0 numa equação de segundo grau. b) Determine todas as raízes da equação x + x x + x + = 0.

26 PROVA 7// Gabarito: a) Na equação dada, divida por x²: a x + b x c 0 x + + x + = Fazendo x + x = z, temos x² + x = z². A expressão acima vira: a(z² ) + bz + c = 0 az² + bz + (c a) = 0, que é uma equação do o grau. b) Usando o processo acima, temos z² + z = 0, que dá z = ou z =. z = x + x = x² x + = 0 x = ± i z = x + = x² + x + = 0 x = ±. x S = + i i ; ; + ; Questão 8 Considere as circunferências e λ : x + y 8x + y = 0 λ : x + y x 8y = 8. O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: a) o lado AB coincide com a corda comum a λ e λ ; b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante; c) o vértice C pertence a λ e a reta que contém AC é tangente a λ. Determine as coordenadas do vértice C. Gabarito: Veja que λ λ :( x ) + ( y+ ) = 0 :( x ) + ( y ) = 6

27 GABARITO ITA MATEMÁTICA Achando as interseções, obtemos os pontos (6, ) e (, 0). Como B é do o quadrante, temos A = (, 0) Já que A λ, AC é a reta perpendicular a AO por A, onde O = (, ) é o centro de λ. Logo a reta AC é: y ya = m( x xa),onde m= ya yo xa x O y 0 = ( x + ) 0 y = ( x+ ) Intersectando esta reta com λ, achamos A e C. ( x ) + ( x+ ) + = 0 O termo independente de x é 9 76 Por Girard, x C x A = x c = x c = 6 Temos ainda yc = ( xc + ) = 8 6 Logo, C =, Questão 9 e o coeficiente líder é 6 8 Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio ( + x + x ) 0 por ( + x). Gabarito Seja + x = y. Temos que + x + x = + (y ) + (y ) = y y +. Vamos, então, encontrar o resto de (y y + ) 0 por y. Para isso, basta, em sua expansão, encontrar os termos de grau menor que. 0 0 Pelo binômio de Newton, essa expansão é + ( )+ y y ( y y) + f(y), onde f (y) não possui parcelas de grau menor que. 7

28 PROVA 7// Desenvolvendo, chegamos a + 0 (y y) (y y +y ) = 780 y 60y + 80y 0y +. Então, o resto é, em função de y, 80y 0y +. Voltando a x, R(x) = 80(+x) 0(+x)+. Seu termo independente é R(0) = = 78. Questão 0 Em um cone circular reto de altura e raio da base inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro. Gabarito: Num tetraedro regular de aresta l, altura h e circunraio da base r, temos as relações 6 = r, h=. Pela semelhança, temos: r = h. Substituindo tudo em l: 6 = = = Como o volume é dado por V =, temos: ( 6 ) V =, que é igual a V = unidades de volume. r h h Comentários: A prova deste ano pode ser considerada mais difícil e com questões mais interessantes do que nos últimos concursos. Destacamos as questões,, 6 e 9 da parte discursiva, que possuem ideias difíceis para serem realizadas no tempo concedido aos candidatos. Podemos perceber também um aumento no número de questões de geometria ( questões entre plana e analítica). Acreditamos que com a dificuldade da prova as médias serão mais baixas e os alunos mais bem preparados conseguirão se destacar dos demais. Professores: Marcio Cohen / Rodrigo Villard / Jordan Piva / Sandro Davison / Caio Dorea / Raphael Mendes 8