CAPÍTULO VII MÉTODOS DE ENERGIA

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1 ÍO VII ÉODOS DE EEGI 7 IODÇÃO Quand um sstema estrutural é submetd a cargas surgem esfrçs e tensões nterns s tensões nternas causadas pr frças aas frças crtantes mments fletres e mments trsres (atuand separadamente u em ualuer cmbnaçã) prvcam defrmações nternas O efet acumulad das defrmações nternas em um element estrutural causa um estad geral de defrmações resultand em deslcaments da sua superfíce de-se determnar as defrmações e s deslcaments de estruturas utlzand-se as relações báscas entre tensões e defrmações e deslcaments u uase sempre de um md mas cnvenente utlzand-se prncíps de energa lém dss s cncets de energa pdem ser empregads para desenvlver euações adcnas na resluçã para frças e deslcaments descnhecds na análse de estruturas estatcamente ndetermnadas Quand um sstema elástc nã slctad é carregad pr um cnjunt de frças eternas seu cmprtament é gvernad pel prncíp geral de cnservaçã de energa O trabalh fet pelas frças eternas ( e ) é nteramente cnvertd em energa asscada a sstema trca de energa de um sstema elástc cnsste de varações na energa ptencal ( ) e na energa cnétca (K) Se sstema fr carregad lentamente a energa cnétca pde ser desprezada e terems cm resultad: e 7 erema de lapeyrn n n Sejam n frças eternas ndependentes entre s e n s deslcaments crrespndentes de seus pnts de aplcaçã medds na dreçã e sentd de cada uma das frças dmtams ue as frças sejam aplcadas gradualmente e ue em um determnad nstante as frças pdem ser clcadas sb a frma α nde α vara entre e e é valr fnal da frça nseuentemente pela le de He s deslcaments também sã clcads sb a frma α Durante a passagem de um estad de slctaçã a utr nfntamente próm u seja α sfrend um ncrement dα deslcament genérc ( ) será (αdα) e ncrement de trabalh será d n α dα αdα n étds de Energa - 7

2 O trabalh ttal realzad pr tdas frças é n n αdα α EEGI O DE DEFOÇÃO EDID O OO EO SISE DE FOÇS Obs: e sã frças e deslcaments generalzad u seja pde ser frça u mment e deslcament lnear u angular epressã da energa ttal para um carregament de mments é: EOE DE EYO: energa de defrmaçã de uma estrutura slctada pr dverss esfrçs eterns é gual à metade da sma ds prduts ds valres fnas de cada esfrç pel deslcament de seu pnt de aplcaçã medd na dreçã e sentd d esfrç cnsderad 7 Energa de defrmaçã de barras sb esfrçs smples a) raçã e cmpressã n ϕ d d d d Energa de defrmaçã em um trech de cmprment d d d d ε d E d d E l d E u cte cte E étds de Energa - 7

3 b) salhament - dstrbuçã unfrme Q Q Q γ dγd Q Q τ τ G γ γ G Q d Q d Q γ d d G Q d G Ou em funçã da tensã de csalhament τ d G ara dstrbuçã nã unfrme Q d G Seçã retangular: 65 Seçã crcular: 9 c) Fleã dϕ ρ d ds étds de Energa - 7

4 étds de Energa - 7 d) rçã e) Esfrçs smples cmbnads dϕ d d ds d ρ ρ ρ ϕ d I E d d d z z ϕ l z d I E ' r d γ dϕ I d G G I d d G I d d d d G I I G G I r G G I r d d d r d d d ϕ ϕ θ θ τ γ γ θ ϕ ϕ γ ϕ z I d G I d E d Q G d E

5 7 erema de astglan dervada parcal da energa de defrmaçã de um sstema cm relaçã a uma frça é gual a deslcament d pnt de aplcaçã da frça na dreçã e sentd desta frça Seja um crp elástc slctad pr um sstema de frças eternas e apad de frma a nã permtr mvment de crp rígd n n Seja a energa de defrmaçã devd à açã das frças eternas Supnha ue seja dad um ncrement d à frça energa ptencal sfrerá um acréscm crrespndente d d udand a rdem de aplcaçã das frças aplca-se ncalmente a frça d ue prduzrá deslcament d d pnt de aplcaçã de d na dreçã de d O trabalh realzad pela frça d será d d pós ss aplca-se td sstema de frças eternas trabalh realzad será d d d el prncíp de cnservaçã de energa tem-se Sem fatr ps nã é prvcad pr d d d d d Infntésm de ª rdem E fca prvad terema de astglan plcações: a) alcular a flecha e a rtaçã na etremdade da vga em balanç: étds de Energa - 75

6 étds de Energa - 76 álcul da flecha e da rtaçã: b) alcular deslcament hrzntal d pnt de aplcaçã da carga - álcul das reações de ap: - álcul ds esfrçs nas barras: Eulíbr ds nós: ó d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d θ θ D 5 α H D cs α sen α 6 D D D V H F H F

7 ó F V α 5 senα 5 F H 5 5 csα ó H H álcul da energa de defrmaçã d sstema arra () ( ) () () (7 )(6) 5 -(5) (5) (5 )(6) n E E E E E deríams reslver este prblema gualand as energa nterna e eterna: 7 6 e ( terema 6 E 6 e 6 E de lapeyrn) c) álcul d deslcament de um pnt em ue nã este uma carga cncentrada aplcada étds de Energa - 77

8 étds de Energa - 7 alcular a flecha n me d vã de uma vga smplesmente apada submetda a uma carga unfrmemente dstrbuída ara a utlzaçã d terema de astglan é necessára a estênca de uma carga cncentrada aplcada n pnt em ue se deseja cnhecer deslcament Quand nã este tal carga cncentrada deve-se aplcá-la (carga fctíca) e deps fazê-la gual a zer 7 erema de enabréa (terema d trabalh mínm) plcável apenas a estruturas hperestátcas "s ncógntas hperestátcas assumem nas estruturas sstátcas crrespndentes valres ue trnam mínm trabalh armazenad" X X X d d H nsdera-se estrutura sstátca crrespndente de uma estrutura hperestátca dada auela ue resulta da supressã de vínculs da estrutura dada

9 étds de Energa - 79 plcações: a) Vga mn-engastada submetda a carregament unfrmemente dstrbuíd mand a ncógnta hperestátca da estrutura sstátca crrespndente: b) Vga b-engastada submetda a carregament unfrmemente dstrbuíd X d d d

10 étds de Energa - 7 c) Determnar as reações de ap de vga de seçã unfrme cm carregament ndcad Estrutura sstátca crrespndente : e ) ( smultâneas euações de sstema slvend d d d d d d

11 étds de Energa - 7 d) vga em balanç é lgada a cab de aç cm ndcad Sabe-se ue cab de aç ncalmente está estcad sem apresentar tensões Determnar a traçã n cab prvcada pela carga dstrbuída ncógntas (reações de ap) e euações (euações da estátca para estruturas planas) berand víncul a aplcand cm carga epsterrmente aplca-se terema de enabréa energa de defrmaçã da estrutura é a sma da energa de defrmaçã d cab ( ) cm a a energa de defrmaçã da vga ( V ) 6m m W6 I 56 6 mm H vem valres s substtund E E E d E d E E V V V

12 75 eremas de ett-awell (teremas de recprcdade) Seja um crp elástc cm uma frça aplcada em e utra frça aplcada em plcand ncalmente em trabalh realzad será ( deslcament d pnt na dreçã de devd a ) plcand-se psterrmente em realzará trabalh frça realzará também um trabalh ps a ser aplcada a frça pnt sfrerá um deslcament (deslcament d pnt devd a uma frça aplcada em ) resultand em um trabalh gual a (sem fatr prue nã é prvcad pr ) ssm trabalh ttal armazenad será Invertend a rdem de aplcaçã das frças encntra-se m trabalh ttal ndepende da rdem de aplcaçã das frças - terema de ett "Em uma estrutura sstátca u hperestátca slctada sucessvamente pr ds sstemas de frças e a sma ds prduts ds deslcaments das frças pels deslcaments crrespndentes devds às frças é gual à sma ds prduts ds esfrçs pels deslcaments crrespndentes devds as esfrçs " étds de Energa - 7

13 Fazend a epressã fca - terema de awell "O deslcament d pnt rgnad pela frça aplcada n pnt é gual a deslcament d pnt rgnad pela mesma frça mas aplcada n pnt " Se entã 76 ecalues de ap este tópc serã mstrads alguns eempls de estruturas em ue ap sfre pr algum mtv um deslcament Eempls: a) Quand a vga está descarregada a flga entre ap central e a superfíce nferr da vga de madera mstrada na fgura é 6 mm Determnar a reaçã n ap central unad a vga suprta uma carga unfrmemente dstrbuída de m E Ga 5mm 5mm 6 m d étds de Energa - 7

14 étds de Energa - 7 b) alcular as reações de ap da estrutura aba: valres s substtund d ( ) ( ) ( ) d d V V

15 étds de Energa - 75 c) alcular as reações de ap d) alcular as reações de ap I 69-6 m E Ga 6 m m m l d E Ga I 6 m 5 m m 5 mm m

16 étds de Energa rncíp ds trabalhs vrtuas "O trabalh vrtual das frças eternas é gual a trabalh vrtual das frças nternas" Frça vrtual: é uma frça "fctíca" ue nã altera estad de tensões defrmações deslcaments esfrçs nterns etc de uma estrutura real Esfrç ntern vrtual: esfrç etern prduzd pr um carregament vrtual rabalh vrtual de uma frça eterna: prdut da frça (vrtual) pel deslcament (real) de seu pnt de aplcaçã rabalh vrtual das frças nternas: trabalh (vrtual) prduzd pels esfrçs nterns vrtuas (s deslcaments sã reas) Seja a vga b-apada deseja-se calcular a flecha em plcand em uma carga vrtual untára (esta carga cnfrme já f dt nã altera estad de defrmaçã nem s esfrçs nterns na vga) O trabalh vrtual das frças eternas será: d e

17 DF V DE V O trabalh vrtual das frças nternas será dϕ Vdy vrtual real vrtual real dϕ e dy sã devds a carregament real dϕ e u d d E d n cas geral d dy VV d G VV d G Q d E d VV d G GI d rmalmente pde-se fazer algumas smplfcações - Em peças ue nã trabalhem fundamentalmente a traçã u cmpressã a parcela crrespndente a esfrç nrmal pde ser desprezada sem err cnsderável - rmalmente pde-se desprezar também as defrmações relatvas a esfrç crtante as smplfcações devem ser analsadas cm crtér para evtar pssíves errs grssers étds de Energa - 77

18 plcações ) alcular deslcament hrzntal d ap D d uadr da fgura tfm para tdas as barras 5t m H álcul das reações de ap: F H 5t V F V V t 5 V V V t D 5 V 5m V Dagrama de mments fletres arra : H 5 arra : H - V 5-5 m se deseja calcular deslcament hrzntal d ap D deve-se aplcar nauele pnt uma carga vrtual untára e utlzar prncíp ds trabalhs vrtuas H V V étds de Energa - 7

19 V V H ments fletres arra H DF arra H H D H D H D 5 5 d d mm ( 5 ) 5 d ) alcular a flecha e a rtaçã na etremdade da vga em balanç cm carga unfrmemente dstrbuída - - ara cálcul da flecha aplcase uma carga vrtual untára enuant ue para cálcul da rtaçã aplca-se um mment fletr vrtual untár (sempre n pnt em ue se deseja realzar cálcul - étds de Energa - 79

20 álcul da flecha: d álcul da rtaçã: θ d d d 6 étds de Energa - 7