Questões de raciocínio lógico Aula 1

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1 Questões de raciocínio lógico Aula 1 Tópicos abordados: Lógica proposicional Verdades e mentiras Emerson Marcos Furtado* 1. (ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas o idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que Milango e Nabungo são as palavras no idioma local que significam sim e não, mas não sabe qual delas significa sim e nem, consequentemente, qual significa não. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta: Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango responde o jovem. E a tua aldeia é maior do que a desse homem? voltou Sócrates a perguntar. Milango tornou o jovem a responder. * Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Licenciado em Matemática pela UFPR. Professor de Ensino Médio de colégios nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996; professor da Universidade Positivo, de 2000 a 2005; autor de livros didáticos destinados a concursos públicos, nas áreas de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Estatística; sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Práxis, de 2003 a 2007; sócio-professor do Colégio Positivo de Joinville desde 2006; sócio-diretor da empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005; autor de material didático para o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, de 2005 a 2009; professor do CEC Concursos e Editora de Curitiba, desde 1992, lecionando as disciplinas de Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira; consultor da empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, de qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999; membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (IPRO- CADE) desde 2008; autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? perguntou Sócrates. Nabungo disse o jovem. Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que:

2 a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena. c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. 2. (FCC) Um torneio de tênis é disputado em um clube por quatro jogadores. Cinco torcedores são entrevistados para darem seus palpites sobre os dois prováveis finalistas: Torcedor Palpite 1.º Carlos e Davi 2.º Carlos e Antônio 3.º Antônio e Davi 4.º Beto e Antônio 5.º Davi e Beto No final do torneio, verificou-se que um dos torcedores acertou os dois finalistas e cada um dos demais acertou somente um dos finalistas. Então, o torcedor que acertou os dois finalistas foi o: a) 1.º. b) 2.º. c) 3.º. d) 4.º. e) 5.º. 3. (ESAF) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na 2

3 saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia do resultado do jogo que terminara, um deles declarou Foi empate ; o segundo disse Não foi empate e o terceiro falou Nós perdemos. O torcedor reconheceu somente o meio-campista, mas pôde deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente: a) Foi empate / O XFC venceu. b) Não foi empate / empate. c) Nós perdemos / O XFC perdeu d) Não foi empate / O XFC perdeu. e) Foi empate / empate. 4. (ESAF) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela se encontram sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) 6. b) 4. c) 2. d) 8. e) (ESAF) A negação da afirmação condicional Se Ana viajar, Paulo vai viajar é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 3

4 6. (Funrio) Um policial rodoviário deteve Carlos, João, José, Marcelo e Roberto, suspeitos de terem causado um acidente fatal em uma autoestrada. Na inquirição, os suspeitos afirmaram o seguinte: Carlos: o culpado é João ou José; João: o culpado é Marcelo ou Roberto; José: o culpado não é Roberto; Marcelo: o culpado está mentindo; Roberto: o culpado não é José. Sabe-se ainda que: existe apenas um único culpado; um único suspeito sempre mente e todos os demais sempre falam a verdade. Pode-se concluir que o culpado é: a) Carlos. b) João. c) José. d) Marcelo. e) Roberto. 7. (Cesgranrio) Num famoso talk show, o entrevistado faz a seguinte afirmação: Toda pessoa gorda não tem boa memória. Ao que o entrevistador contrapôs: Eu tenho boa memória. Logo, não sou gordo. Supondo que a afirmação do entrevistado seja verdadeira, a conclusão do entrevistador é: a) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não fosse gordo, então teria uma boa memória. b) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele não tem uma boa memória, então ele tanto poderia ser gordo como não. c) falsa, pois o correto seria afirmar que ele é gordo e, portanto, não tem boa memória. 4

5 d) verdadeira, pois todo gordo tem boa memória. Questões de raciocínio lógico Aula 1 e) verdadeira, pois, caso contrário, a afirmação do entrevistado seria falsa. 8. (Funrio) O baterista, o guitarrista e o vocalista de uma banda musical são engenheiros civil, eletrônico e mecânico, não necessariamente nessa ordem. Sabendo que Antônio, João e Pedro são os nomes dos integrantes da banda, que Antônio é engenheiro civil e não toca instrumentos musicais, que o engenheiro eletrônico é o guitarrista da banda e que João não é baterista, analise as seguintes proposições e assinale a alternativa correta. I. João é engenheiro eletrônico e guitarrista da banda. II. Pedro é baterista da banda. III. Antônio é vocalista da banda. IV. Pedro é engenheiro eletrônico. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) As proposições I, II e III são verdadeiras. c) Apenas a proposição II é verdadeira. d) Apenas a proposição III é verdadeira. e) As proposições II e IV são falsas. 9. (ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: Neste set, o escore está 13 a 12. Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. 5

6 Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que: a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. 10. (Funrio) A negação da afirmação se o cachorro late então o gato mia é: a) se o gato não mia, então o cachorro não late. b) o cachorro late e o gato não mia. c) o cachorro não late e o gato não mia. d) se o cachorro não late, então o gato não mia. e) o cachorro não late ou gato não mia. 11. (Cesgranrio) Quatro casais divertem-se em uma casa noturna. São eles: Isabel, Joana, Maria, Ana, Henrique, Pedro, Luís e Rogério. Em determinado momento, está ocorrendo o seguinte: a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel; Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar; Pedro toca piano acompanhando Maria que canta sentada ao seu lado; Maria não é a esposa de Pedro. 6

7 Considere as afirmativas a seguir. I. Rogério é o marido de Ana. II. Luís é o marido de Isabel. III. Pedro é o marido de Joana. Está(ão) correta(s) somente a(s) afirmativa(s): a) I. b) I e II. c) II. d) II e III. e) III. 12. (Cesgranrio) Analise as afirmativas abaixo. I. A parte sempre cabe no todo. II. O inimigo do meu inimigo é meu amigo. III. Um professor de matemática afirma que todos os professores de matemática são mentirosos. Do ponto de vista da lógica, é(são) sempre verdadeira(s) somente a(s) afirmativa(s): a) I. b) I e II. c) I e III. d) II. e) III. 13. (Cesgranrio) Considere a proposição composta A prova estava difícil e menos do que 20% dos candidatos foram aprovados no concurso. Sua negação é: a) a prova estava difícil ou mais do que 20% dos candidatos foram aprovados no concurso. 7

8 b) a prova estava difícil e mais do que 80% dos candidatos foram reprovados no concurso. c) a prova não estava difícil ou menos do que 20% dos candidatos foram reprovados no concurso. d) a prova não estava difícil ou mais do que 80% dos candidatos foram reprovados no concurso. e) a prova não estava fácil ou 20% dos candidatos foram reprovados no concurso. 14. (Cesgranrio) Considere verdadeira a seguinte proposição: Pode-se concluir que: a) se x é primo, então x = 3. b) se x não é primo, então x = 3. c) se x não é primo, então x 3. d) se x 3, então x é primo. e) se x 3, então x não é primo. Se x = 3, então x é primo. 15. (Cesgranrio) A negação da proposição Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana é: a) Mário não é brasileiro ou Maria é boliviana. b) Mário não é brasileiro e Maria é boliviana. c) Mário não é brasileiro e Maria não é boliviana. d) Mário é brasileiro e Maria não é boliviana. e) Mário é brasileiro ou Maria é boliviana. 16. (Cesgranrio) Em uma urna há 4 bolas: 2 azuis, 1 branca e 1 verde. É correto afirmar que: a) se 2 bolas forem retiradas dessa urna, necessariamente terão cores diferentes. b) se 2 bolas forem retiradas dessa urna, necessariamente uma será azul. 8

9 c) se 3 bolas forem retiradas dessa urna, necessariamente todas terão cores diferentes. d) se 3 bolas forem retiradas dessa urna, necessariamente uma será azul. e) se 3 bolas forem retiradas dessa urna, necessariamente uma será branca. 17. (Cesgranrio) A 2 A 7 Q J 5 Q A 2 A 2 A 10 7 Q Q 10 J 2 Q 7 10 A 6 10 A A Q 2 10 A A 6 J A J 2 J A A 2 2 J A J A 6 2 Q Q A J Figura 1 Figura 2 Legenda: : COPAS : ESPADAS : OUROS A: ÁS J: VALETE Q: DAMA : REI : PAUS André organizou 25 cartas de baralho como ilustra a figura 1. Luiza escolheu uma das cartas, mas não disse a André qual foi a escolhida. 9

10 Disse-lhe apenas que a carta escolhida está na terceira linha. André retirou todas as cartas e as reorganizou, como ilustrado na figura 2. Em seguida, André perguntou a Luiza em que linha, nessa nova arrumação, estava a carta escolhida. Luiza respondeu que, dessa vez, a carta estava na quarta linha. Qual foi a carta escolhida por Luiza? a) 6 de copas. b) 7 de copas. c) Ás de espadas. d) Rei de espadas. e) 2 de espadas. 18. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber: Caixa 1: O livro está na caixa 3. Caixa 2: A caneta está na caixa 1. Caixa 3: O livro está aqui. Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente: a) a caneta, o diamante, o livro. b) o livro, o diamante, a caneta. c) o diamante, a caneta, o livro. d) o diamante, o livro, a caneta. e) o livro, a caneta, o diamante. 10

11 19. (ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: I. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, II. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, III. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, IV. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente: a) branco, preto, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, branco, preto. d) preto, branco, azul. e) branco, azul, preto. 20. (FCC) Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A verde está abaixo da amarela e acima da azul. A vermelha está acima da marrom e esta fica abaixo da verde. A amarela e a verde se encostam, assim como esta e a marrom. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha? a) Azul. b) Amarela. c) Verde. d) Vermelha. e) Marrom. 21. (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo: a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. 11

12 c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 22. (ESAF) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: Eu sou o culpado. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: Sim, ele é o culpado. Disse, por fim, o de camisa preta: Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que: a) o culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) o culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) o culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. 23. (CESPE/UnB) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações: A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D matou o líder. 12

13 C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. 1. ( ) A declaração de C não pode ser verdadeira. 2. ( ) D matou o líder. 24. (CESPE/UnB) No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas, pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia uma conversação da qual se relatam os seguintes trechos. trecho 1 trecho 2 Jari diz: Marli é honesto. Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos. Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos. Marlim diz: Geni é mentirosa. Com base nesses trechos de conversa julgue os itens a seguir. 1. ( ) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jari e Marli são ambos mentirosos. 2. ( ) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso, então o visitante chegou a uma conclusão errada. 25. (FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. 13

14 A frase que não possui essa característica comum é a: a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Gabarito 1. E O problema pode ser resolvido iniciando-se com a análise da terceira pergunta. Sócrates perguntou ao jovem se ele era da aldeia grande. Isso equivale a perguntar ao jovem se ele mente, pois os habitantes da aldeia grande mentem. O que pode ter respondido o jovem? Se ele diz a verdade, dirá que não é da aldeia grande, pois esta seria a verdade. Se ele mente, dirá que não é da aldeia grande, pois esta seria a mentira. Portanto: Jovem é da aldeia pequena diz a verdade resposta: não. Jovem é da aldeia grande mente resposta: não. Mas a resposta da terceira pergunta foi Nabungo. Assim, Nabungo significa não e, consequentemente, Milango significa sim. Milango sim. Nabungo não. Agora que já sabemos o significado das palavras Milango e Nabungo, vamos descobrir de que aldeia é o jovem. Analisando as duas primeiras respostas, podemos encontrar a sua origem. As respostas das duas primeiras perguntas foram Milango, ou seja, sim. 14

15 Na 1.ª pergunta, Sócrates questiona se a aldeia do homem é maior do que a da mulher. Se a resposta sim fosse verdadeira, a aldeia do homem seria a grande e a da mulher seria a pequena: Homem aldeia grande. Mulher aldeia pequena. Na 2.ª pergunta, Sócrates questiona se o próprio jovem é de uma aldeia maior do que a do homem. Se a resposta sim fosse também verdadeira, a aldeia do jovem seria a grande e a do homem seria a pequena: Jovem aldeia grande. Homem aldeia pequena. 2. C Isso só poderia ter ocorrido se existissem mais do que duas aldeias. Como isso não ocorre, certamente o jovem mente e, portanto, é da aldeia grande. O jovem é da aldeia grande e, portanto, mente. Se a resposta da 2.ª pergunta foi mentirosa, então o jovem não é de uma aldeia maior do que a do homem. Logo, o homem é da mesma aldeia da do jovem: O homem é da aldeia grande. Se a resposta da 1.ª pergunta foi mentirosa, então o homem não é de uma aldeia maior do que a da mulher. Assim, a mulher é da mesma aldeia da do homem: A mulher é da aldeia grande. Portanto, o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. Vamos elaborar algumas hipóteses em relação a quem poderia ser o torcedor que acertou os dois finalistas. 15

16 Torcedor que acertou os dois finalistas 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 1.º Carlos/Davi Carlos Davi Nenhum Davi 2.º Carlos Carlos/Antônio 3.º Davi Antônio Antônio/ Davi Antônio Antônio Nenhum Antônio 4.º Nenhum Antônio Antônio Beto/Antônio Davi Beto 5.º Davi Nenhum Davi Beto Davi/Beto 3. A Na 1.ª hipótese, se o 1.º torcedor tivesse sido aquele que acertou os dois finalistas, o 4.º torcedor teria errado ambos os palpites. Como cada um dos dois outros torcedores acertou um finalista e errou o outro, conclui-se que o 1.º torcedor não pode ter sido aquele que acertou os dois palpites. Na 2.ª hipótese, se o 2.º torcedor tivesse sido aquele que acertou os dois finalistas, o 5.º torcedor teria errado ambos os palpites. Como cada um dos dois outros torcedores acertou um finalista e errou o outro, conclui-se que o 2.º torcedor não pode ter sido aquele que acertou os dois palpites. Na 3.ª hipótese, se o 3.º torcedor tivesse sido aquele que acertou os dois finalistas, todos os demais torcedores teriam acertado um dos palpites e errado o outro. Assim, essa possibilidade é viável. Na 4.ª hipótese, se o 4.º torcedor tivesse sido aquele que acertou os dois finalistas, o 1.º torcedor teria errado ambos os palpites. Como cada um dos dois outros torcedores acertou um finalista e errou o outro, conclui-se que o 4.º torcedor não pode ter sido aquele que acertou os dois palpites. Na 5.ª hipótese, se o 5.º torcedor tivesse sido aquele que acertou os dois finalistas, o 2.º torcedor teria errado ambos os palpites. Como cada um dos dois outros torcedores acertou um finalista e errou o outro, conclui-se que o 5.º torcedor não pode ter sido aquele que acertou os dois palpites. Portanto, a única possibilidade é a de que o 3.º torcedor foi quem acertou os dois finalistas. De acordo com as informações, temos: 16

17 Atacante (A) F. Zagueiro (Z) V. Meio-campista (M) V ou F. Mesmo reconhecendo apenas o meio-campista, foi possível determinar o resultado da partida. Assim, vamos elaborar algumas hipóteses sobre quais seriam os jogadores que disseram cada uma das frases e decidir em qual das hipóteses poderia ser possível se reconhecer o resultado: 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª Foi empate A Z A Z M M Não foi empate Z A M M A Z Nós perdemos M M Z A Z A Nas duas primeiras hipóteses estamos supondo que a frase proferida pelo meio-campista foi nós perdemos. Observe que, nesse caso, as frases do atacante e do zagueiro são contraditórias, pois uma diz foi empate e a outra diz não foi empate. Como o atacante sempre mente e o zagueiro sempre diz a verdade, essas duas hipóteses são consistentes de modo que, como o meio-campista pode ou não dizer a verdade, não é possível determinar o resultado do jogo. A conclusão é a de que, se o meio-campista tivesse sido aquele que disse nós perdemos, certamente o resultado da partida não poderia ser identificado. Como o resultado da partida pôde ser determinado, essas duas hipóteses estão descartadas. Na 3.ª e 4.ª hipóteses a frase proferida pelo meio-campista diz não foi empate. Nestas o atacante e o zagueiro diriam foi empate e nós perdemos. Mesmo sem saber qual dos dois disse cada uma das frases, é possível concluir que há consistência nas informações, pois um mente e o outro fala a verdade. Ou seja, se a verdade for foi empate, será mentiroso quem diz nós perdemos e, da mesma forma, se for verdade que nós perdemos será mentira que foi empate. Portanto, em nenhuma dessas duas hipóteses será possível identificar o resultado da partida. Na 5.ª hipótese o zagueiro, falando a verdade, diz nós perdemos. Nessa hipótese, o time realmente perdeu. O atacante deve mentir, mas diz 17

18 4. A não foi empate. Isso não seria uma mentira, caso o zagueiro tivesse dito nós perdemos. Logo, essa possibilidade está descartada. Assim, restaria apenas a 6.ª hipótese. Nela, o zagueiro, falando a verdade, diz não foi empate e o atacante, mentindo, diz nós perdemos. Como a informação do atacante é mentirosa e a informação do zagueiro é verdadeira, conclui-se que o time venceu. Logo, o meio-campista mentiu dizendo foi empate e o XFC venceu. Na gaveta havia: C 7 azuis 9 amarelas 1 preta 3 verdes 3 vermelhas Ana deve pegar pelo menos duas blusas da mesma cor, qualquer que seja essa cor. Até é possível que Ana pegue duas blusas da mesma cor nas duas primeiras retiradas, com exceção da cor preta que só possui uma única blusa. Entretanto, com duas retiradas ela não terá certeza de ter conseguido duas blusas da mesma cor. Vamos supor que Ana tenha retirado cinco blusas e ainda não tenha obtido duas da mesma cor. Isso somente aconteceria no caso de ela ter retirado blusas das cinco cores: uma azul, uma amarela, uma preta, uma verde e uma vermelha. Se ela não conseguiu com 5 retiradas, certamente retirou blusas de todas as cores disponíveis. Dessa forma, independentemente da cor da 6.ª blusa, necessariamente ela vai retirar uma blusa cuja cor já ocorreu antes: Azul Amarela Preta Verde Vermelha? Ou seja, com 6 retiradas ela garante que obteve pelo menos duas blusas da mesma cor. É interessante você perceber que a resposta para essa pergunta sempre é igual à quantidade de cores disponíveis mais um. A negação da proposição p q é a proposição p ~q, ou seja, em símbolos, temos: ~(p q) Ξ p ~q 18

19 Isso pode ser comprovado pela seguinte tabela verdade: Questões de raciocínio lógico Aula 1 6. B 7. E p q ~q p q p ~q V V F V F V F V F V F V F V F F F V V F Logo, considerando: p: Ana viajar. q: Paulo vai viajar. A negação da proposição é dada por: p q: Se Ana viajar, então Paulo vai viajar. p ~q: Ana está viajando e Paulo não vai viajar. Observe que Carlos e João fazem afirmações que não podem ser ambas verdadeiras, nem ambas falsas, já que não existem duas afirmações falsas. Logo, ou João ou Carlos mente. Assim, Marcelo e Roberto necessariamente dizem a verdade. Dessa forma, pode-se concluir que o culpado está mentindo e não é José. Logo, José, Marcelo e Roberto dizem a verdade e, portanto, nenhum deles pode ser culpado. Se o culpado está mentindo, só pode ser João, que acusa Marcelo ou Roberto, que não são culpados. Carlos, por sua vez, diz a verdade, pois alega que o culpado é João ou José. Dessa forma, o culpado é João. Supondo que G signifique pessoa gorda e M signifique pessoa ter boa memória, em símbolos é possível organizar as informações da seguinte maneira: Entrevistado: G M. Entrevistador: M G. 19

20 8. B Observe que as proposições são equivalentes, pois a proposição do entrevistador é a proposição contrapositiva correspondente do entrevistado. Logo, a conclusão do entrevistador é verdadeira, pois, caso contrário, a afirmação do entrevistado seria falsa. Vamos organizar as informações em uma tabela de correspondência: Integrantes Baterista Vocalista Guitarrista Civil Eletrônico Mecânico Antônio João Pedro Considerando que o símbolo X descarta a correspondência e o símbolo confirma a correspondência entre o elemento da linha e o elemento da coluna da célula destacada, se Antônio é engenheiro civil e não toca instrumentos musicais, então: Integrantes Baterista Vocalista Guitarrista Civil Eletrônico Mecânico Antônio X X João Pedro Se Antônio é integrante da banda e não toca instrumentos musicais, certamente ele é vocalista. Uma vez encontrada uma correspondência correta, as demais possibilidades para aquela correspondência são eliminadas. Assim, temos: Integrantes Baterista Vocalista Guitarrista Civil Eletrônico Mecânico Antônio X X X X João X X Pedro X X Se João não é baterista, então, necessariamente, ele é o guitarrista. Consequentemente, Pedro é o baterista: 20

21 Integrantes Baterista Vocalista Guitarrista Civil Eletrônico Mecânico Antônio X X X X João X X X Pedro X X X Se o engenheiro eletrônico é o guitarrista da banda, então João é o engenheiro eletrônico e Pedro é o engenheiro mecânico, ou seja: Integrantes Baterista Vocalista Guitarrista Civil Eletrônico Mecânico Antônio X X X X João X X X X Pedro X X X X 9. B Em resumo, conclui-se que: Antônio é o vocalista e engenheiro civil; João é o guitarrista e engenheiro eletrônico e Pedro é o baterista e engenheiro mecânico. Dessa forma, temos: I. Verdadeira João é engenheiro eletrônico e guitarrista da banda. II. Verdadeira Pedro é baterista da banda. III. Verdadeira Antônio é vocalista da banda. IV. Falsa Pedro é engenheiro mecânico. Essa questão pode ser resolvida identificando inicialmente qual seria o verdadeiro placar do jogo. Se o placar não era 13 a 12, então três amigas estariam mentindo (Amanda, Camila e Eunice). Como apenas 21

22 10. B 11. C duas mentiram, certamente o placar era 13 a 12 e, dessa forma, Berenice e Denise estavam mentindo. Como Eunice disse a verdade, certamente a Ulbra estava vencendo o set e a equipe visitante iria sacar. Dada uma proposição condicional da forma p q, a negação da correspondente proposição condicional tem a forma p ~q. Assim, a negação da proposição se o cachorro late então o gato mia é o cachorro late e o gato não mia. Vamos estabelecer uma correspondência lógica entre os homens e as mulheres por meio de uma tabela, considerando que o símbolo x descarta a correspondência e o símbolo confirma a correspondência entre o elemento da linha e o elemento da coluna da célula destacada. Isabel Joana Maria Ana Henrique Pedro Luís Rogério Se a esposa de Henrique não dança com o seu marido, mas com o marido de Isabel, certamente Henrique não é marido de Isabel: Isabel Joana Maria Ana Henrique Pedro Luís Rogério X Se Ana e Rogério conversam sentados à beira do bar, então Ana não é a esposa de Henrique e Rogério não é o marido de Isabel: Henrique Pedro Luís Rogério Isabel X X Joana Maria Ana X 22

23 Se Pedro toca piano acompanhando Maria, que canta sentada ao seu lado, então Pedro não é o marido de Isabel e Maria não é a esposa de Henrique: Henrique Pedro Luís Rogério Isabel X X X Joana Maria X Ana X Neste momento já é possível concluir que Joana é esposa de Henrique e Luís é o marido de Isabel: Henrique Pedro Luís Rogério Isabel X X X Joana X X X Maria X X Ana X X Se Maria não é a esposa de Pedro, então: Henrique Pedro Luís Rogério Isabel X X X Joana X X X Maria X X X Ana X X Logo, Maria é a esposa de Rogério e Pedro é o marido de Ana: Henrique Pedro Luís Rogério Isabel X X X Joana X X X Maria X X X Ana X X X Portanto, os casais são: Isabel e Luís, Joana e Henrique, Maria e Rogério, Ana e Pedro. 23

24 12. A 13. C 14. C I. Verdadeira A parte sempre cabe no todo. Isso pode ser comprovado por meio da seguinte relação entre proposições categóricas: Se todo A é B, então algum A é B. II. Falsa O inimigo do meu inimigo pode ser ou não meu amigo, ou seja, três pessoas podem ser inimigas duas a duas. III. Falsa A sentença um professor de matemática afirma que todos os professores de matemática são mentirosos é um paradoxo. Isso é impossível, pois é uma afirmação feita por uma pessoa que pertence ao conjunto dos professores de matemática. A negação de proposições compostas que possuam conectivos e ou ou é realizada negando cada uma das proposições simples componentes e trocando o conectivo e para ou, e ou para e. Dessa forma, a negação de a prova estava difícil e menos do que 20% dos candidatos foram aprovados no concurso é a prova não estava difícil ou pelo menos 20% dos candidatos foram aprovados no concurso o que significa dizer que a prova não estava difícil ou menos do que 20% dos candidatos foram reprovados no concurso. A proposição condicional se x = 3, então x é primo é formada pelas proposições simples p: x = 3 e q: x é primo. Dada uma proposição condicional da forma p q uma proposição condicional equivalente tem a forma ~q ~p. Assim, uma proposição equivalente a se x = 3, então x é primo, tem a forma se x não é primo, então x 3. Se ambas as proposições são equivalentes ( se x = 3, então x é primo e se x não é primo, então x 3 ), pode-se dizer que, a partir de uma, pode-se concluir a outra. Logo, a resposta correta é a da alternativa C. 24

25 15. B 16. D 17. A A negação de proposições compostas que possuam conectivos e ou ou é realizada negando cada uma das proposições simples componentes e trocando o conectivo e para ou, e ou para e. Assim, a negação Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana é Mário não é brasileiro e Maria é boliviana. a) Falsa É possível que a cor se repita nas duas bolas retiradas. b) Falsa É possível que uma seja branca e a outra seja verde. c) Falsa É possível que a cor azul se repita em duas das três bolas retiradas. d) Verdadeira Como não existem mais do que duas bolas com cores diferentes da cor azul, se 3 bolas forem retiradas, necessariamente uma delas será azul. e) Falsa É possível que sejam retiradas duas azuis e uma verde. Se na 1.ª escolha a carta estava na 3.ª linha, então existem cinco possibilidades para essa carta: rei de espadas, dois de espadas, sete de copas, ás de espadas ou seis de copas. Na segunda composição, cada uma dessas cartas possíveis foi colocada em uma linha diferente. Isso garante que, na 2.ª escolha, seja possível identificar a carta escolhida. Como na 2.ª escolha a carta estava na 4.ª linha, obrigatoriamente a carta é o seis de copas. 25

26 18. C 19. E 20. D A caixa que contém o diamante possui uma frase verdadeira. Logo, o diamante não pode estar na caixa 1, pois, nesse caso, a frase da caixa 3 seria verdadeira. Isso é impossível, pois a frase da caixa 3 afirma que o livro está na caixa 3. O diamante também não pode estar na caixa 2, pois, nessa hipótese, todas as caixas teriam frases verdadeiras. Logo, o diamante está na caixa 1. Se o diamante está na caixa 1, a frase da caixa 1 é verdadeira, daí se conclui que o livro está na caixa 3 e, por exclusão, a caneta está na caixa 2. Observe que todas as quatro premissas são proposições contendo o conectivo ou exclusivo. Assim, das sentenças que compõem cada uma das premissas, necessariamente uma delas é verdadeira e a outra é falsa. Observando atentamente, é possível perceber que as premissas de números III e IV relacionam os carros Fiesta e Corsa às cores azul e preta. Logo, certamente ou o Fiesta é azul e o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto e o Corsa é azul. Assim, o Gol (carro não relacionado) deve ser branco (cor não relacionada). Da frase II, observa-se que a sentença o Gol é preto é falsa, pois o Gol é realmente branco. Logo, a outra sentença da frase II, o Corsa é azul deve ser necessariamente verdadeira. Assim, resta ao Fiesta a cor preta. A conclusão é a de que o Gol é branco, o Corsa é azul e o Fiesta é preto. Vamos considerar que a sequência A, B, C, D, E representa uma pilha em que A é o elemento que se encontra mais abaixo e E é o que está mais acima. Assim, se a verde está abaixo da amarela e acima da azul, então: azul verde amarela Se a vermelha está acima da marrom e esta fica abaixo da verde, então: azul marrom vermelha verde amarela ou azul marrom verde vermelha amarela 26

27 21. E 22. A ou azul marrom verde amarela vermelha ou marrom vermelha azul verde amarela ou marrom azul vermelha verde amarela Se a amarela e a verde se encostam, assim como a verde e a marrom, então, necessariamente, a única disposição possível da pilha é: azul marrom verde amarela vermelha Assim, vermelha é a cor da camiseta do topo da pilha. Na proposição condicional p q, a proposição simples p é condição suficiente para q e a proposição q é condição necessária para p. Dessa forma, na proposição se Elaine não ensaia, Elisa não estuda, a proposição Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar, bem como Elisa não estudar é condição necessária para Elisa não ensaiar. Embora isso seja verdadeiro, não consta nas alternativas. Vamos, então, reescrever a frase dada de uma forma equivalente utilizando a proposição contrapositiva. A proposição equivalente de p q é ~q p. Logo, a proposição se Elaine não ensaia, Elisa não estuda pode de modo equivalente ser escrita na forma se Elisa estuda, então Elaine ensaia. Assim, pode-se dizer que Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar, bem como Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Sabe-se que o culpado pode mentir ou dizer a verdade, um dos inocentes sempre mente e o outro inocente sempre diz a verdade. As informações das pessoas de camisas azul e branca são equivalentes, pois ambas destacam que o culpado é o de cor de camisa azul. Dessa forma, um deles é obrigatoriamente o culpado. Isso é necessariamente verdadeiro, pois se ambos fossem inocentes, certamente as informações seriam contraditórias, uma vez que um dos inocentes sempre mente e o 27

28 outro sempre diz a verdade. Assim, o culpado é ou o de camisa azul ou o de camisa branca. Se o de camisa branca fosse o culpado, as três pessoas estariam mentindo. Isso não pode ocorrer, pois um dos inocentes diz a verdade. Logo, o culpado é o de cor de camisa azul. Dessa forma, conclui-se que o de camisa azul está dizendo a verdade e é o culpado, o de cor de camisa branca é inocente e está dizendo a verdade e o de cor de camisa preta é inocente e está mentindo. Portanto, pode-se garantir que o culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente C E Observe que as afirmações de A e de D são contraditórias. Logo, necessariamente, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. Como entre as quatro afirmações, existe apenas uma afirmação verdadeira, certamente as afirmações de B e de C são falsas. Se a afirmação de B é falsa, é verdade que D não matou o líder. Além disso, sabendo-se que a afirmação de C é falsa, pode-se também garantir que a afirmação de C não pode ser verdadeira. 1. C Jari afirma que Marli diz a verdade. Se Marli dissesse a verdade, Jari e Marli seriam de tipos opostos. Isso é impossível. Logo, Jari mente. Se Jari mente, Marli não é honesta e, portanto, também mente. A conclusão é a de que ambos são mentirosos. 2. C Se Geni diz a verdade, então tanto Geni quanto Marlim são honestos. Nesse caso, de acordo com a afirmação de Geni, se ambos são honestos, a afirmação de Marlim deveria ser verdadeira. Mas isso é impossível, pois a afirmação de Marlim diz que Geni é mentirosa. Logo, Geni está mentindo. Dessa forma, a afirmação de Marlim passa a ser verdadeira, pois diz que Geni é mentirosa. A conclusão correta é a de que Marlim diz a verdade e Geni mente. Logo, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso, certamente o visitante chegou a uma conclusão errada. 28

29 25. D A característica comum refere-se ao fato de a frase poder ser classificada ou como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Apenas as proposições têm essa característica. Vamos analisar cada uma das frases: I. Que belo dia! Não é uma proposição, pois se trata de uma opinião. II. Um excelente livro de raciocínio lógico. É uma opinião, ou seja, não é uma proposição. III. O jogo terminou empatado? Uma pergunta não é uma proposição. IV. Existe vida em outros planetas do universo. É uma proposição, pois é uma sentença declarativa que pode ser classificada ou em verdadeira ou em falsa. V. Escreva uma poesia. Não é uma proposição, pois é uma sentença imperativa. Logo, a única que é proposição e, portanto, não possui a característica comum das demais é a frase destacada em IV. 29

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