CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Transcrição

1 Aula 6 Senado Federal Diagramas de Euler Venn... 2 Verdades e Mentiras Problemas de Associação Lógica Problemas Gerais de Raciocínio Lógico FGV Relação das questões comentadas Gabaritos

2 Olá pessoal! Estudaremos hoje os diagramas lógicos e problemas gerais de Raciocínio Lógico tais como verdades/mentiras, problemas de associação lógica, dentre outros. Na nossa última aula que será na próxima semana, estudaremos as estruturas lógicas (conectivos, argumentos, negação, equivalências, etc.). Diagramas de Euler Venn O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler- Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. A Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn. Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. 2

3 B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. Nenhum A é B A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B 3

4 Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada, pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 01. (FNDE/2007/FGV) Considere a afirmação Todo corintiano é feliz. A partir dessa afirmação, pode-se concluir que: a) todo homem feliz é corintiano. b) todo palmeirense é infeliz. c) toda pessoa que não é corintiana não é feliz. d) um infeliz certamente não é corintiano. e) existem infelizes que são corintianos. Resolução A expressão Todo corintiano é feliz pode assim ser representada: A alternativa A é falsa, pois podem existir pessoas felizes que não são corintianas. A alternativa B é falsa, pois nada podemos afirmar sobre os palmeirenses. A alternativa C é falsa, pois podem existir pessoas que não são corintianas e são felizes. 4

5 A alternativa D é verdadeira, pois o infelizes estão fora do conjunto das pessoas felizes. E como todo corintiano é feliz, podemos afirmar que os infelizes não são corintianos. A alternativa E é falsa, pois os infelizes não são corintianos. Letra D 02. (SAD/PE/2008/FGV) Considere a afirmação: Toda cobra venenosa é listrada. Podemos concluir que: a) Toda cobra listrada é venenosa. b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. d) Algumas cobras venenosas não são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas. Resolução Questões idênticas! Mesma banca e anos consecutivos. A expressão Toda cobra venenosa é listrada pode assim ser representada: Desenhei algumas cobras. Obviamente as cobras que não são listradas estão fora do conjunto das cobras listradas. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Toda cobra listrada é venenosa. A alternativa A é falsa, pois podem existir cobras listradas que não são venenosas (por exemplo, a cobra 2). b) Toda cobra que não é listrada não é venenosa. A alternativa B é verdadeira. Por exemplo, as cobras 3 e 4. 5

6 c) Toda cobra que não é venenosa não é listrada. A alternativa C é falsa, pois existem cobras que não são venenosas e que são listradas (por exemplo, a cobra 2). d) Algumas cobras venenosas não são listradas. Esta alternativa é falsa, já que todas as cobras venenosas são listradas. e) Algumas cobras que não são listradas podem ser venenosas. Esta alternativa é falsa, já que nenhuma cobra não-listrada pode ser venenosa. Letra B 03. (TRF 2004/FCC) Considerando todo livro é instrutivo como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum livro não é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. e) Algum livro não é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. Resolução Diante do diagrama e da teoria exposta, concluímos facilmente que a resposta correta é a letra B. Se todo livro é instrutivo, podemos afirmar que algum livro é instrutivo. 04. (IPEA 2004/FCC) Considerando toda prova de Lógica é difícil uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) nenhuma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. b) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. c) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. d) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. e) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. Resolução Questão idêntica à anterior. 6

7 Ora, se todas as provas de lógica são difíceis, podemos garantir que alguma prova de lógica é difícil. Letra B 05. (TRT/2006/FCC) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que: a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite. Resolução Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. Letra C 06. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos", é correto concluir que: a) quem não é corrupto é honesto. b) existem corruptos honestos. c) alguns honestos podem ser corruptos. d) existem mais corruptos do que desonestos. e) existem desonestos que são corruptos. Resolução 7

8 Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. b) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. c) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto. d) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas. e) Esta alternativa é verdadeira, pois todos os corruptos são desonestos e, portanto, existem desonestos corruptos. Letra E 07. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a três livros X, Y e Z, um bibliotecário constatou que: Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. De acordo com suas constatações, é correto afirmar que, com certeza: a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. Resolução A proposição Todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X é representada assim: 8

9 Algumas pessoas que consultaram Z também consultaram X. Isto significa que há elementos comuns aos conjuntos X e Z. Porém, não sabemos qual a relação que existe entre o conjunto Z e o conjunto Y. Por essa razão, deixaremos uma parte do conjunto Z pontilhada para demonstrar esta incerteza. Observe que não sabemos se o conjunto Z e o conjunto Y possuem elementos comuns. Vamos analisar as alternativas. a) pelo menos uma pessoa que consultou Z também consultou Y. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. Esta alternativa é verdadeira. Se alguma pessoa consultou Z e Y, então esta pessoa consultou Y. Se esta pessoa consultou Y, então ela também consultou X. Concluímos que se alguma pessoa consultou Z e Y, então ela também consultou X. c) toda pessoa que consultou X também consultou Y. Esta alternativa é falsa. Podemos apenas afirmar que toda pessoa que consultou Y também consultou X. d) existem pessoas que consultaram Y e Z. Não temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa é falsa. e) existem pessoas que consultaram Y e não consultaram X. Esta alternativa é falsa, pois todas as pessoas que haviam consultado Y também consultaram X. Resposta: Letra B 08. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de 9

10 todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X. Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações: I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV. Resolução Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. 10

11 O item I é falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que é médico que trabalha na cidade X (pois é elemento de M), é professor universitário que só leciona em faculdades da cidade X e não leciona na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico. O item II é falso, como pode ser visto no diagrama acima. A região pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, não leciona na faculdade B e não é médico. III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico. 11

12 A região pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que só lecionam em faculdades da cidade X (elementos de U), não leciona nem na faculdade A e nem na faculdade B e não são médicos. O item III é falso. IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico. De acordo com a região pintada de vermelho, percebemos que todos os professores universitários que trabalham na cidade X e que lecionam simultaneamente nas faculdades A e B não são médicos. O item IV é verdadeiro. Letra E 12

13 Verdades e Mentiras É muito comum em provas de concursos ocasiões envolvendo pessoas verazes e mentirosas, ou situações em que ocorreu, por exemplo, um crime em que há culpados e inocentes. Faremos uma breve exposição de algumas dicas que poderão ajudar o estudante a descobrir quem é quem em cada uma das questões. Vamos começar com a situação preferida da FGV. Depois colocarei uma exposição geral da matéria para que tenhamos condições de resolver qualquer questão. Guilherme diz: Thiago é culpado. Vitor diz: Guilherme está mentindo. Ora, se Guilherme estiver dizendo a verdade, Vitor estará mentindo ao chamar Guilherme de mentiroso. Se Guilherme estiver mentindo, Vitor estará dizendo a verdade ao chamar Guilherme de mentiroso. Conclusão: Se em alguma questão uma pessoa A chamar a pessoa B de mentirosa, ou dizer que ela não tem razão, ou que está enganada, teremos uma pessoa veraz e uma pessoa mentirosa. É impossível termos dois verazes ou dois mentirosos. Esta é sem dúvida a maior dica para resolver questões da FGV sobre verdades e mentiras. 09. (MEC/2008/FGV) Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. A primeira pessoa respondeu: Eu sou Antônio. A seguir, a segunda pessoa respondeu: Eu não sou Antônio. Finalmente, a terceira respondeu: A primeira pessoa a responder não disse a verdade. Sabendose que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram, é correto concluir que Antônio: a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade. b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a dizer a verdade. c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade. e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. Resolução Temos o seguinte texto: Primeiro: Eu sou Antônio. Segundo: Eu não sou Antônio. Terceiro: A primeira pessoa a responder não disse a verdade. A terceira pessoa chamou a primeira de mentirosa. Ora, vimos que quando esse fato ocorre é impossível que ambos sejam mentirosos ou ambos sejam verazes. Dessa forma, ou o primeiro é mentiroso, ou o terceiro é mentiroso, mas não ambos. 13

14 Primeira pessoa Terceira pessoa 1ª possibilidade Veraz Mentirosa 2ª possibilidade Mentirosa Veraz O texto nos informou que das três pessoas apenas duas mentiram. Sabemos que entre o primeiro e o terceiro há apenas um mentiroso. Concluímos então que o outro mentiroso, com certeza, é o segundo. Segundo: Eu não sou Antônio. Sabemos que o segundo é mentiroso, portanto ele se chama Antônio. Consequentemente, o primeiro também é mentiroso, pois ele não se chama Antônio (Antônio é o segundo) e o terceiro diz a verdade. Primeira pessoa Segunda pessoa (Antônio) Terceira pessoa Mentirosa Mentiroso Veraz Letra E 10. (Senado Federal/2008/FGV) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações: André: Eduardo é o culpado. Eduardo: João é o culpado. Rafael: Eu não sou culpado. João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado. Sabendo que apenas um dos quatros disse a verdade, o culpado: a) é certamente André. b) é certamente Eduardo. c) é certamente Rafael. d) é certamente João. e) não pode ser determinado com essas informações. Resolução Vejamos a frase de João... João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado. Como João afirma que Eduardo mente, podemos concluir que um dos dois diz a verdade enquanto o outro mente. 14

15 1ª possibilidade 2ª possibilidade André Eduardo Mentira Verdade Rafael João Verdade Mentira Como o texto afirma que apenas um dos quatro disse a verdade, concluímos que André e Rafael são mentirosos. 1ª possibilidade 2ª possibilidade André Mentira Mentira Eduardo Mentira Verdade Rafael Mentira Mentira João Verdade Mentira Rafael é mentiroso!! Vejamos o que ele diz... Rafael: Eu não sou culpado. Como ele é mentiroso e ele afirma que não é o culpado, concluímos que ele é o culpado. Letra C 11. (FNDE/2007/FGV) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito. André disse: Não fui eu. Bernardo disse: Foi Carlos quem pegou o bombom. Carlos: Daniel é o ladrão do bombom. Daniel: Bernardo não tem razão. Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então: a) André pegou o bombom. b) Bernardo pegou o bombom. c) Carlos pegou o bombom. d) Daniel pegou o bombom. e) não é possível saber quem pegou o bombom. Resolução Daniel diz que Bernardo não tem razão (está chamando Bernardo de mentiroso). Desta forma, concluímos que um dentre eles é veraz enquanto o outro é mentiroso. 15

16 1ª possibilidade 2ª possibilidade André Bernardo Mentira Verdade Carlos Daniel Verdade Mentira Nesta questão temos apenas um mentiroso. Concluímos então que André e Carlos falam a verdade. 1ª possibilidade 2ª possibilidade André Verdade Verdade Bernardo Mentira Verdade Carlos Verdade Verdade Daniel Verdade Mentira Carlos diz a verdade e vejamos o que ele disse: Daniel é o ladrão do bombom. A resposta é: Daniel é o ladrão do bombom. Letra D Vejamos agora a situação geral sobre problemas envolvendo verdades e mentiras. Neste tipo de exercício temos o seguinte: Um tipo de pessoa que sempre diz a verdade Um tipo de pessoa que sempre mente Um tipo de pessoa que pode tanto mentir quanto falar a verdade (este terceiro tipo de pessoa não está presente em todos os problemas) Geralmente pretende-se descobrir informações como: Quem está mentindo e quem está dizendo a verdade; Quantas pessoas estão mentindo e quantas estão dizendo a verdade; Outras informações, independentemente de quem esteja mentindo e de quem esteja dizendo a verdade. As bancas costumam colocar dois tipos de problema de mentira e verdade. No primeiro tipo de problema, cada uma das pessoas que mente/fala a verdade faz uma declaração sobre sua própria natureza ou sobre a natureza de outra pessoa. Geralmente a resolução do problema passa por uma consideração inicial sobre uma das pessoas (ou seja: damos um chute, para termos um ponto de partida). No segundo tipo de problema, é possível detectarmos as chamadas respostaschave. São respostas que, de imediato, nos permitem tirar conclusões úteis. Verdade e mentira: exercícios do primeiro tipo 16

17 12. (CGU 2004/ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: Eu sou o ladrão. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo Resolução: Este exercício acima é o padrão deste tipo de problema. A resolução é sempre da mesma forma. Precisamos fazer uma consideração sobre uma das pessoas. Um chute. Isto mesmo, vamos chutar. Dados do enunciado: O marceneiro sempre diz a verdade. O pedreiro sempre mente. O ladrão pode tanto mentir quanto dizer a verdade. Vamos criar uma lista das conclusões a que conseguirmos chegar. Estas conclusões serão a base para avaliarmos cada informação do enunciado, permitindo que tiremos novas conclusões. Inicialmente, nossa lista está em branco: 17

18 Vamos fazer uma consideração sobre a primeira pessoa. Vamos supor que ela seja mentirosa. Hipótese: o primeiro homem é mentiroso. Tudo que fizermos daqui pra frente será com base nessa consideração. É como se já soubéssemos que o primeiro homem mentiu. Podemos atualizar a listagem de conclusões. Premissa O primeiro homem é mentiroso Na verdade, não é bem correto dizer que esta é nossa primeira conclusão. Não sabemos se, de fato, o primeiro homem é mentiroso. É apenas uma hipótese. Simplesmente decidimos tomar isso como verdade. Vamos começar a ler as informações da questão. A primeira informação do enunciado é: 1. O primeiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem é mentiroso (esta é nossa premissa). Conclusão: o primeiro homem não é o ladrão. Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão Voltemos ao enunciado. A segunda informação é: 2. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem não é o ladrão (ver 1ª conclusão). Portanto, o segundo homem está mentindo. Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo 18

19 Se os dois primeiros mentiram, então nenhum deles é o marceneiro (que sempre diz a verdade). O marceneiro só pode ser a terceira pessoa. : o terceiro homem fala a verdade e é o marceneiro Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo 3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade 4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro A terceira informação dada é: 3. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o terceiro homem diz a verdade (com base na 3ª conclusão). Portanto, o terceiro homem é o ladrão. Premissa O primeiro homem é mentiroso 1ª conclusão O primeiro homem não é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está mentindo 3ª conclusão O terceiro homem fala a verdade 4ª conclusão O terceiro homem é o marceneiro 5ª conclusão O terceiro homem é o ladrão Disto, chegamos a uma contradição. Nossa quarta conclusão foi que o terceiro homem é o marceneiro. E nossa quinta conclusão foi que o terceiro homem é o ladrão. Isto é um absurdo. O terceiro homem não pode ser marceneiro e ladrão ao mesmo tempo. Só chegamos a um absurdo porque a suposição inicial não foi correta. Vamos mudar a hipótese inicial? Bom, se o primeiro homem não mentiu, só temos uma opção: ele disse a verdade. Agora nossa hipótese é: o primeiro homem disse a verdade. 19

20 Hipótese O primeiro homem é verdadeiro Vamos reler as informações do enunciado. 1. O primeiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que o primeiro homem é verdadeiro (esta é nossa nova premissa). Conclusão: o primeiro homem é o ladrão. Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão Segunda informação: 2. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. Análise: Sabemos que primeiro homem é o ladrão (ver primeira conclusão). Portanto, o segundo homem está falando a verdade. Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade Se os dois primeiros disseram a verdade, então nenhum deles é o pedreiro (que sempre mente). O pedreiro só pode ser a terceira pessoa. Conclusão: o terceiro homem é mentiroso e é o pedreiro. Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade 3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso 20

21 4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro. Hipótese O primeiro homem é verdadeiro 1ª conclusão O primeiro homem é o ladrão 2ª conclusão O segundo homem está falando a verdade 3ª conclusão O terceiro homem é mentiroso 4ª conclusão O terceiro homem é o pedreiro 5ª conclusão O segundo homem é o marceneiro Terceira informação: O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Análise: Sabemos que esta afirmação é falsa, pois o ladrão é o primeiro (ver 1ª conclusão). E realmente era para ser algo falso, pois o terceiro homem é mentiroso, conforme a 3ª conclusão. Nesta segunda hipótese não chegamos a nenhum absurdo. Ela representa a resposta correta: O ladrão é o primeiro O marceneiro é o segundo O pedreiro é o terceiro Letra B 13. (AFC CGU 2006/ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contém um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição, a saber: Caixa 1: O livro está na caixa 3. Caixa 2: A caneta está na caixa 1. Caixa 3: O livro está aqui. Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que a inscrição 21

22 da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respectivamente, a) a caneta, o diamante, o livro. b) o livro, o diamante, a caneta. c) o diamante, a caneta, o livro. d) o diamante, o livro, a caneta. e) o livro, a caneta, o diamante. Resolução Aqui não temos exatamente pessoas que mentem/falam a verdade. Temos inscrições que podem ser verdadeiras ou falsas. Mas a idéia de resolução é a mesma. Dados do exercício: A caixa com o diamante tem inscrição verdadeira A caixa com a caneta tem inscrição falsa A caixa com o livro tem uma inscrição que pode ser verdadeira ou falsa Nossa lista de conclusões, inicialmente, está em branco. E vamos ao nosso chute inicial. Vamos supor que a inscrição da caixa 1 seja verdadeira. Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. A primeira informação dada foi: 1. Inscrição da caixa 1: O livro está na caixa 3. Análise: Sabemos que a caixa 1 é verdadeira (essa é nossa premissa). Conclusão: o livro está na caixa 3. 22

23 Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 Segunda informação: 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Até daria para, já agora, tirarmos uma conclusão sobre esta informação acima. Mas vamos deixá-la para depois. Vocês verão que, com isso, nossa análise ficará bem fácil. Terceira informação: 3. Inscrição da caixa 3: O livro está aqui. Análise: sabemos que, realmente, o livro está na caixa 3 (ver 1ª conclusão). Portanto, a inscrição da caixa 3 é verdadeira. Observem que foi mais fácil passar direto para a informação 3, pois ela, a exemplo da informação 1, já analisada, também se refere à caixa 3. E para a caixa 3 nós já temos uma conclusão. Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira Como as inscrições das caixas 1 e 3 são verdadeiras, nenhuma delas contém a caneta (pois a caixa com a caneta tem inscrição falsa). A caixa com a caneta só pode ser a caixa 2. Conclusão: a caixa 2 contém a caneta e tem uma inscrição falsa. 23

24 Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira 3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa. Por exclusão, a caixa 1 contém o diamante. Hipótese A inscrição da caixa 1 é verdadeira. 1ª conclusão O livro está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é verdadeira 3ª conclusão A caneta está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é falsa. 5ª conclusão O diamante está na caixa 1 Agora sim, vamos voltar à segunda informação. 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Análise: agora que já descobrimos o que tem em cada caixa, fica fácil dizer que esta afirmação acima é falsa (pois, de acordo com a 5ª conclusão, na caixa 1 está o diamante). E, realmente, era para ser uma informação falsa, pois a inscrição da caixa 2 é falsa (ver 3ª conclusão). Reparem que não chegamos a nenhum absurdo. O conteúdo de cada caixa é: Caixa 3: livro Caixa 2: caneta Caixa 1: diamante. Letra: C Aí vem a pergunta: mas Professor, e se a gente tivesse chutado que a inscrição da caixa 1 é falsa? 24

25 Bom, aí chegaríamos a um absurdo. Caso esta fosse nossa hipótese, teríamos: Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa Primeira informação: 1. Inscrição da caixa 1: O livro está na caixa 3. Análise: Sabemos que a inscrição da caixa 1 é falsa. Conclusão: o livro não está na caixa 3. Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 Novamente, vamos pular a segunda informação. Terceira informação: 3. Inscrição da caixa 3: O livro está aqui. Análise: Sabemos que o livro não está na caixa 3. Portanto, a inscrição da caixa 3 também é falsa. Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa Como as caixas 1 e 3 são falsas, nenhuma delas pode ser a caixa que contém o diamante (pois a caixa com o diamante tem uma inscrição verdadeira). Logo, o diamante só pode estar na caixa 2. Conclusão: o diamante está na caixa 2 e a caixa 2 tem uma inscrição verdadeira. 25

26 Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira Segunda informação: 2. Inscrição da caixa 2: A caneta está na caixa 1. Análise: sabemos que a caixa 2 é verdadeira. Então, de fato, a caneta está na caixa 1. Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira 5ª conclusão A caneta está na caixa 1 Por exclusão, a caixa 3 só pode conter o livro. Hipótese A inscrição da caixa 1 é falsa 1ª conclusão O livro não está na caixa 3 2ª conclusão A inscrição da caixa 3 é falsa 3ª conclusão O diamante está na caixa 2 4ª conclusão A inscrição da caixa 2 é verdadeira 5ª conclusão A caneta está na caixa 1 6ª conclusão O livro está na caixa 3 26

27 E chegamos a uma contradição. Nossa primeira conclusão foi de que o livro não está na caixa 3. E nossa última conclusão foi que o livro está na caixa 3. Esta situação é absurda. E só chegamos a uma situação absurda quando a hipótese inicial é errada! 14. (CVM 2001/ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Resolução: Somente uma pessoa mentiu. Observem que a afirmação de Manuel é a mais simples de ser analisada. Ele se refere apenas à Mara. Ele diz que Mara foi quem entrou sem pagar. Por este motivo, vamos fazer nossas hipóteses sobre Manuel. Hipótese: Manuel está mentindo e os demais estão dizendo a verdade. Hipótese Manuel é o único mentiroso Como só sabemos algo a respeito de Manuel, vamos analisar sua declaração. Manuel afirma que Mara entrou sem pagar. Sabemos que Manuel é mentiroso. Logo, Mara pagou para entrar. Hipótese Manuel é o único mentiroso 1ª conclusão Mara pagou para entrar 27

28 Mara afirma que Mário está mentindo. Sabemos que Mara é verdadeira (pois Manuel é o único mentiroso). Logo, Mário está mentindo. Hipótese Manuel é o único mentiroso 1ª conclusão Mara pagou para entrar 2ª conclusão Mário está mentindo E chegamos a uma contradição. Segundo nossa hipótese, o único mentiroso é o Manuel. E nossa segunda conclusão foi que Mário está mentindo. Isto é absurdo. Portanto, nossa hipótese está errada. Na verdade, Manuel está dizendo a verdade. Ora, se Manuel está dizendo a verdade, então Mara entrou sem pagar. Letra: C Interessante observar que, nesta segunda hipótese, não chegamos a nenhuma contradição. Para não deixar dúvidas, seguem as demais conclusões: Marcos diz que não foi ele nem o Manuel que entraram sem pagar. Sabemos que Mara entrou sem pagar. Marcos está dizendo a verdade. Mário diz que foi o Manuel ou a Maria que entrou sem pagar. Sabemos que quem entrou sem pagar foi Mara. Conclusão: Mário está mentindo. Mara diz que Mário está mentindo. Sabemos que realmente ele é mentiroso. Conclusão: Mara diz a verdade. Maria diz que foi o Marcos ou a Mara. Sabemos que foi a Mara quem entrou sem pagar. Conclusão: Maria diz a verdade. Notem que apenas Mário mentiu, o que está de acordo com o enunciado (há apenas 1 mentiroso). Outra forma de resolução, um pouco mais demorada, seria a seguinte. Poderíamos chutar quem entrou sem pagar e ver quantas pessoas estariam mentindo. Primeiro, chutaríamos que Marcos entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo). Depois, chutaríamos que Mário entrou sem pagar. Concluiríamos que haveria mais de 1 mentiroso (absurdo). E assim por diante. 28

29 15. (MTE 2003/ESAF) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: Beta a 5 km e Gama a 7 km. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: Alfa a 4 km e Gama a 6 km. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: Alfa a 7 km e Beta a 3 km. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2 Resolução: As indicações de placa são: Alfa: beta a 5 km e gama a 7 km Beta: alfa a 4 km e gama a 6 km Gama: alfa a 7 km e beta a 3 km Hipótese: as placas de alfa são verdadeiras. Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras Como as placas de alfa são verdadeiras, então: a distância entre alfa a beta é de 5 km; a distância entre alfa e gama é de 7 km; por diferença, a distância entre beta é gama é de 2 km. 29

30 Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km A primeira placa de beta afirma que a distância entre alfa e beta é de 4 km, o que é falso. A segunda placa de beta afirma que a distância entre beta e gama é de 6 km, o que é falso. Conclusão: as duas placas de beta são falsas Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km 4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas A primeira placa de gama afirma que a distância entre alfa e gama é de 7 km, o que é verdadeiro. A segunda placa de gama afirma que a distância entre beta e gama é de 3 km, o que é falso. Conclusão: gama tem uma placa verdadeira e uma falsa Hipótese As duas placas de Alfa são verdadeiras 1ª conclusão Distância de alfa a beta: x = 5 km 2ª conclusão Distância de alfa a gama: x+y = 7 km 3ª conclusão Distância de beta a gama: y = 2 km 4ª conclusão As duas placas de Beta são falsas 5ª conclusão Gama tem uma placa verdadeira e uma falsa Não chegamos a nenhuma contradição. Obtivemos 1 cidade com duas placas verdadeiras (alfa), 1 cidade com duas placas falsas (beta) e 1 cidade com uma placa falsa e outra verdadeira (gama). Foi exatamente a condição imposta no enunciado. 30

31 Qualquer outra hipótese feita quanto às placas de alfa resultaria em contradição. Letra: E 16. (MPU 2004/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: Neste set, o escore está 13 a 12. Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. Resolução: Chute: Amanda é mentirosa. Hipótese Amanda é mentirosa Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda mente, então o escore não está 13 a

32 Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 Vamos agora para a frase de Camila. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Sabemos que o escore não está 13 a 12. Portanto, Camila está mentindo, pois afirma justamente o contrário. Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo Pronto. Já achamos as duas amigas mentirosas. Concluímos que as demais falam a verdade. Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade Vejamos a frase de Berenice: Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Como Berenice fala a verdade (ver 3ª conclusão), então tudo que ela disse acima é correto. Ou seja, o escore não está 13 a 12 (o que já sabíamos) e Ulbra ganhou o primeiro set. 32

33 Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set Agora vamos para Denise. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Denise também fala a verdade. Logo, tudo que ela disse acima é correto. Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª Conclusão Camila está mentindo 3ª Conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª Conclusão Ulbra ganhou o primeiro set 5ª Conclusão Ulbra está perdendo este set 6ª Conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante Por fim, a frase de Eunice. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Eunice também fala a verdade. Logo, tudo o que ela disse acima está correto. 33

34 Hipótese Amanda é mentirosa 1ª conclusão O escore não está 13 a 12 2ª conclusão Camila está mentindo 3ª conclusão Berenice, Denise e Eunice falam a verdade 4ª conclusão Ulbra ganhou o primeiro set 5ª conclusão Ulbra está perdendo este set 6ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 7ª conclusão Ulbra está ganhando este set E chegamos a uma contradição! A 5ª conclusão foi que Ulbra está perdendo este set. A última conclusão foi que Ulbra está ganhando este set. Só chegamos a uma conclusão porque a hipótese inicial foi errada. Devemos alterar nosso chute. Nova hipótese: Amanda é verdadeira. Hipótese Amanda é verdadeira Vamos avaliar a frase de Amanda. Ela diz que o escore está 13 a 12. Como Amanda diz a verdade, então o escore realmente está 13 a 12. Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 Berenice e Denise dizem que o escore não está 13 a 12. Mas sabemos que é justamente o contrário. Logo, Berenice e Denise mentem. 34

35 Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 2ª conclusão Berenice mente 3ª conclusão Denise mente Pronto, achamos as duas mentirosas. As demais amigas são todas verdadeiras. E o que é que as demais amigas falam? Elas falam o seguinte: Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Como elas são verdadeiras, tudo o que está dito acima é correto. Hipótese Amanda é verdadeira 1ª conclusão O escore está 13 a 12 2ª conclusão Berenice mente 3ª conclusão Denise mente 4ª conclusão Ulbra está ganhando este set 5ª conclusão A equipe visitante vai sacar. Não chegamos a nenhuma contradição. O quadro acima representa a resposta correta. Letra: B Resoluções Alternativas Uma das maiores dificuldades que os alunos encontram ao estudar Raciocínio Lógico é a falta de sistematização das resoluções. Talvez por isso muita gente ache que, dentre as matérias de exatas que caem em concursos, RL é a mais difícil. Em matemática financeira, por exemplo, temos exercícios cujas resoluções são mais padronizadas. Grosso modo, se a questão é de juros compostos, aplicamos a fórmula de juros compostos. Se a questão é de juros simples, aplicamos a fórmula de juros simples. E assim por diante. Cada tipo de questão tem sua fórmula associada. Em RL isso nem sempre acontece. Há questões que apresentam diversas formas de resolução. Por isso, nas questões acima, tentamos mostrar resoluções que seguem certos padrões. 35

36 Qual a vantagem disso? A vantagem é dar ao aluno um pouco mais de segurança para resolver a questão. Qual a desvantagem? Muitas vezes, a solução padronizada não é a mais rápida. Nas questões de verdade/mentira isso acontece muito. É meio demorado ficar testando hipóteses. Assim, para aqueles com um pouco mais de facilidade na matéria, vamos agora apresentar algumas soluções alternativas, mais rápidas, que dispensam o chute inicial. Solução alternativa para o exercício 12 Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: Eu sou o ladrão. O segundo diz: É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão. O terceiro diz: Eu sou o ladrão. Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo Observem que o primeiro e o segundo homens fazem declarações iguais. Portanto, ou ambos mentem, ou ambos dizem a verdade. Já o terceiro homem faz uma declaração oposta às dos demais. Sua natureza é diferente da natureza dos dois primeiros. Ou o terceiro homem é o único verdadeiro ou é o único mentiroso. Se tivéssemos um único verdadeiro, este seria o marceneiro, que diria eu sou o marceneiro. O marceneiro nunca diria eu sou o ladrão. Como o terceiro homem disse eu sou o ladrão, então o terceiro homem é o único mentiroso. Por conseqüência, os dois primeiros são verdadeiros. 36

37 Se só há um mentiroso, ele é o pedreiro. Portanto, o terceiro homem é o pedreiro. Como o primeiro homem disse a verdade, então ele é o ladrão. Por exclusão, o segundo homem é o marceneiro. Notem que, se o candidato visualizasse logo de início que, necessariamente, o primeiro e o segundo homens têm a mesma natureza, a resolução ficaria bem mais rápida. Solução alternativa para o exercício 14 Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Note que Mara acusa Mário de estar mentindo. Como só há um mentiroso, então um dos dois deve ser o mentiroso. Ou Mara mente ou Mário mente. E aqui está o detalhe: mesmo sem sabermos quem dos dois é o mentiroso, já podemos concluir que é um deles. Logo, todos os demais estão dizendo a verdade. Portanto, concluímos que Manuel diz a verdade. Manuel afirma que a Mara entrou sem pagar. Como Manuel diz a verdade, concluímos que Mara entrou sem pagar. Solução alternativa para o exercício 15 37

38 Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: Beta a 5 km e Gama a 7 km. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: Alfa a 4 km e Gama a 6 km. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: Alfa a 7 km e Beta a 3 km. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 b) 5 e 6 c) 4 e 6 d) 4 e 3 e) 5 e 2 Aqui ainda vamos usar a técnica do chute inicial. Só vamos direcionar um pouco o chute. Podemos montar a seguinte tabela: Cidade Alfa Beta Beta Gama Alfa Gama Alfa Beta Gama Os números em azul representam as indicações das placas. Os números em vermelho representam distâncias deduzidas a partir das demais placas da cidade. Observem que a placa com a indicação de 7 km, referente ao trecho Alfa-Gama, repete. Ela aparece tanto na cidade Alfa quanto na cidade Gama. Então vamos centrar nossa análise justamente nesta placa. Vamos supor que esta placa é falsa (chute inicial!) Se ela for falsa, então a cidade Beta é quem apresenta duas placas verdadeiras. Como conseqüência, as cidades Alfa e Gama só apresentam placas falsas, o que vai contra ao disposto no comando da questão. 38

39 A vantagem desse procedimento é que rapidamente concluímos que nosso chute inicial foi errado. Ou seja, não perdemos muito tempo com uma hipótese errada. Continuando a resolução. Concluímos que a distância entre Alfa e Gama é de 7 km. Com isso, Alfa e Gama apresentam placas verdadeiras. Portanto, as duas placas de Beta são falsas. Se as duas placas de Beta são falsas, então a distância entre Alfa e Beta não é de 4 km. Logo, a distância entre Beta e Gama não é de 3 km. Portanto, a segunda placa de Gama é falsa. Como uma das cidades apresenta duas placas verdadeiras, por exclusão, concluímos que a segunda placa de Alfa é verdadeira. Solução alternativa para o exercício 16. Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: Neste set, o escore está 13 a 12. Berenice: O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set. Camila: Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. Eunice: Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. 39

40 Quase todas as amigas se pronunciam sobre o escore deste set. Amanda e Camila dizem que o escore está 13 a 12. Berenice e Denise afirmam que o escore não está 13 a 12. Se o escore estiver realmente 13 a 12, então Berenice e Denise são as duas mentirosas. Se o escore não estiver 13 a 12, então Amanda e Camila são as duas mentirosas. Seja qual for o escore, portanto, as mentirosas serão duas destas quatro amigas acima mencionadas (ou Amanda e Camila; ou Berenice e Denise). Conclusão: Eunice, que não se manifestou sobre o escore, diz a verdade. 1ª conclusão Eunice diz a verdade Se Eunice diz a verdade, então, a partir de sua afirmação, temos as seguintes conclusões: Quem vai sacar é a equipe visitante Ulbra está ganhando este set. 1ª conclusão Eunice diz a verdade 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set Agora, reparem que Denise afirma que a Ulbra está perdendo este set. Sabemos que isto é falso. Denise está mentindo. Conclusão: as mentirosas são Denise e Berenice. 1ª conclusão Eunice diz a verdade 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set 4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice Descobertas as mentirosas, temos que Amanda e Camila também dizem a verdade. Com base nas suas afirmações, concluímos que o escore está 13 a 12 neste set 40

41 1ª conclusão Eunice diz a verdade 2ª conclusão Quem vai sacar é a equipe visitante 3ª conclusão Ulbra está ganhando este set 4ª conclusão As duas mentirosas são Denise e Berenice 5ª conclusão O escore está 13 a 12 neste set. 1 Verdade e mentira: exercícios do segundo tipo Ainda vamos trabalhar com exercícios de mentira e verdade. Eles poderiam muito bem ser resolvidos a partir de chutes. Mas uma forma de encurtar a resolução é identificar as respostas-chave. São respostas que nos darão conclusões imediatas. 17. (MPU 2004/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que Milango e Nabungo são as palavras no idioma local que significam sim e não, mas não sabe qual delas significa sim e nem, conseqüentemente, qual significa não. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta: Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango, responde o jovem. E a tua aldeia é maior do que a desse homem?, voltou Sócrates a perguntar. Milango, tornou o jovem a responder. E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? perguntou Sócrates. Nabungo, disse o jovem. Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena. c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. 41

42 Resolução: Observe atentamente a terceira pergunta. Sócrates pergunta ao jovem se ele é da aldeia maior. Acontece que os habitantes da aldeia maior sempre mentem. Portanto, perguntar ao jovem se ele é da aldeia maior é o mesmo que perguntar: Você é mentiroso? Neste exercício, a resposta a esta pergunta é uma resposta chave. Por quê? Porque ela vai permitir que tiremos uma conclusão imediata, como veremos a seguir. A pergunta é: jovem, você é mentiroso? Se o jovem só disser a verdade, ele responderá que não, ele não é mentiroso. Ele estará sendo sincero ao responder negativamente. Se o jovem for mentiroso, ele também responderá não. Ele estará mentindo. Ele dirá que não é mentiroso, embora o seja. Deste modo, não importa se o jovem é verdadeiro ou mentiroso. Ele, com certeza, responderá que não. Perguntas do tipo: você é mentiroso? ATENÇÃO: Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. Ela sempre responderá: NÃO Continuando com o problema. Sabemos que a resposta à terceira pergunta é: não. Disto, tiramos duas conclusões imediatas: Nabungo = não Milango = sim Com estas informações, podemos analisar as demais respostas do jovem. Ele faz as seguintes afirmações: O homem é de uma aldeia maior que a da mulher (ver primeira resposta) A aldeia do jovem é maior que a do homem (ver segunda resposta) O jovem é da aldeia menor (ver terceira resposta) O enunciado deixa bem claro que só existem duas aldeias: a maior e a menor (ou ainda: a grande e a pequena). Portanto, fica evidente que o jovem está mentindo. Não é possível que ele seja da aldeia pequena e, ao mesmo tempo, sua aldeia seja maior que a do homem. Conclusão: o jovem mente e, consequentemente, é da aldeia grande. Já sabendo que o jovem é da aldeia grande, vamos analisar a segunda resposta. 42

43 Na segunda resposta, o jovem afirma que sua aldeia é maior que a aldeia do homem. Ou seja, ele afirma que o homem é da aldeia pequena. Como o jovem é mentiroso, então, na verdade, o homem é da aldeia grande. Já sabendo que o homem e o jovem são da aldeia grande, vamos analisar a primeira resposta. Na primeira resposta, o jovem afirma que a aldeia do homem é maior que a aldeia da mulher. Ou seja, ele afirma que a mulher é da aldeia pequena. Como o jovem é mentiroso, então a mulher é da aldeia grande. Letra E 18. (CGU 2006 /ESAF) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemolos de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: Beta é mentimano Beta: Gama é mentimano Gama: Delta é verdamano Delta: Épsilon é verdamano Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta e) Épsilon Resolução Observe a resposta de Gama. Ela é uma resposta chave. Só existe 1 verdamano. Este verdamano, quando for se referir a qualquer outro habitante, vai, corretamente, informar que se trata de um mentimano. 43

44 Conclusão: um verdamano nunca vai apontar para um outro habitante e dizer que se trata de um verdamano (já que só ele é verdamano, de acordo com o enunciado). Portanto, a partir da resposta de Gama, concluímos que ele é mentiroso. Ora, se Gama é mentiroso, então Beta diz a verdade, uma vez que Beta afirma que Gama é mentimano. Logo, o verdamano é Beta. Letra D 19. (MPU /ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: Você é do tipo M? Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: Alfa respondeu que sim. Gama: Beta está mentindo. Delta: Gama está mentindo. Épsilon: Alfa é do tipo M. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Resolução: Dr. Turing perguntou a Alfa se ele é mentiroso. A resposta a esta pergunta é uma resposta chave. Mesmo sem que ele tenha ouvido o que o andróide disse, pôde concluir que a resposta foi não. A resposta para este tipo de pergunta é sempre não (não importa se o indivíduo sempre mente ou sempre diz a verdade). Disto, temos: Beta diz que Alfa respondeu sim. Sabemos que Alfa respondeu não. Conclusão: Beta está mentindo. Gama diz que Beta está mentindo. Sabemos que Beta realmente está mentindo. Conclusão: Gama diz a verdade. Delta diz que Gama está mentindo. Sabemos que Gama diz a verdade. Conclusão: Delta está mentindo Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Não temos como concluir nada. 44

45 Agora vem o grande detalhe desta questão! Não se pediu para identificar quem mente e quem diz a verdade. A pergunta foi: quantos são os andróides do tipo V. Apenas isto. Não precisamos descobrir quais são eles. Entre os andróides Beta, Gama e Delta, apenas Gama diz a verdade. Faltam ainda os andróides Alfa e Épsilon pra gente analisar. Se Alfa for do tipo V, então Épsilon mentiu. Conclusão: Épsilon é do tipo M. Caso contrário, se Alfa for do tipo M, então Épsilon disse a verdade. Conclusão: Épsilon é do tipo V. Tanto em um caso como no outro, Alfa e Épsilon são de tipos diferentes. Um deles é V e o outro é M. Não sabemos quem é quem. Portanto, são dois andróides do tipo V. Um deles é Gama. O outro é Alfa ou Épsilon. Letra B Problemas de Associação Lógica São questões envolvendo um grupo de pessoas ou objetos, cada um com uma determinada característica. Nosso papel será determinar quem tem qual característica. Por essa razão, apelidaremos tais questões de Dá a César o que é de César. Veremos as principais técnicas durante a resolução das questões. 20. (FNDE/2007/FGV) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas mesmas cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Márcia está com sapatos azuis. Desse modo: a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco. d) o vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos. e) o vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos. Resolução Faremos novamente uma tabela para associar cada mulher à cor do seu vestido e à cor do seu sapato. 45

46 Ana Júlia Márcia Vestido Sapato Márcia está com sapatos azuis. Sabemos que o sapato de Júlia não é branco. Concluímos que os sapatos brancos são de Ana. Ora, Ana possui sapatos e vestido de mesma cor. Assim, o seu vestido também é branco. Por exclusão, os sapatos de Júlia são pretos. Como somente Ana possui sapato e vestido de mesma cor, o vestido de Júlia é azul e o vestido de Márcia é preto. Vestido Sapato Ana Branco Branco Júlia Azul Preto Márcia Preto Azul Letra D O vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos. 21. (TRT-24ª Região 2006/FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que: - Carla é professora. - Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no exterior. - A advogada foi aprovada em um concurso público. É correto afirmar que: a) Alice é advogada. b) Bruna é advogada. c) Carla foi aprovada no concurso público. d) Bruna recebeu a oferta de emprego. e) Bruna é dentista. Resolução 46

47 Construiremos uma tabela para associar cada mulher à sua profissão e à sua oportunidade para progredir na carreira. Alice Bruna Carla Profissão Oportunidade Com as duas primeiras informações, podemos preencher a profissão de Carla e a oportunidade de Alice. Alice Bruna Profissão Oportunidade Curso de especialização Carla Professora A terceira frase nos diz que a advogada foi aprovada em concurso público. Sabemos que Alice não foi aprovada em concurso público e que Carla não é advogada. Portanto, a terceira frase se refere a Bruna. Alice Profissão Oportunidade Curso de especialização Bruna Advogada Concurso público Carla Professora Por exclusão, temos que Alice é dentista e Carla recebeu uma ótima oferta de emprego. Profissão Oportunidade Alice Dentista Curso de especialização Bruna Advogada Concurso público 47

48 Carla Professora Oferta de emprego Letra B Bruna é advogada. 22. (Prefeitura de Jaboatão 2006/FCC) As afirmações abaixo referem-se às praias que 5 amigos pernambucanos costumam frequentar: - Antônio e João não frequentam a praia de Boa Viagem. - Maurício e Francisco não frequentam a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Duarte não frequenta a praia do Pina nem a de Candeias. - Antônio não frequenta a praia de Maria Farinha. - Duarte não frequenta a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. - Francisco não frequenta a praia de Candeias. Nessas condições, considerando que cada um deles frequenta uma única praia, aquele que frequenta a praia: a) de Piedade é Antônio. b) do Pina é Duarte. c) de Boa Viagem é Francisco. d) de Candeias é João. e) de Maria Farinha é Maurício. Resolução Seguiremos uma estratégia um pouco diferente. Não vale a pena utilizarmos uma tabela semelhante às das questões anteriores. Temos muitas informações sobre as praias que eles não frequentam. A tabela que faremos terá o seguinte aspecto: escreveremos na primeira coluna os nomes dos personagens e na primeira linha o nome das praias frequentadas. Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João Maurício Francisco Duarte 48

49 Usaremos a seguinte notação: quando não houver associação entre o personagem e a característica (no caso, a praia frequentada), marcaremos uma bolinha. Se houver associação entre o personagem e a característica, marcaremos um X. Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João Maurício Francisco Duarte Acabamos de preencher todas as informações do texto. Perceba que Duarte, por exclusão, frequenta Boa Viagem (marcaremos um X). Maria Farinha só pode ser frequentada por João (marcaremos um X). Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João Maurício Francisco Duarte A praia de Boa Viagem é frequentada por Duarte. Concluímos que nem Maurício nem Francisco frequentam Boa Viagem (preenchemos com bolinhas). João frequenta Maria Farinha e, portanto, não frequenta nem Piedade, nem Pina, nem Candeias (preenchemos com bolinhas). Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João 49

50 Maurício Francisco Duarte Desta nova tabela, concluímos que Piedade é frequentada por Antônio (logo, ele não frequenta nem Pina nem Candeias) e Francisco frequenta o Pina (logo, Maurício não frequenta o Pina). Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João Maurício Francisco Duarte Para finalizar, temos que Maurício frequenta Candeias. Boa Viagem Maria Farinha Piedade Pina Candeias Antônio João Maurício Francisco Duarte Letra A Antônio frequenta a praia de Piedade. 23. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Três Agentes Administrativos Almir, Noronha e Creuza trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que: esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia; Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha no setor de compras; Creuza trabalha no almoxarifado; 50

51 o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, (A) Almir e Noronha. (B) Creuza e Noronha. (C) Noronha e Creuza. (D) Creuza e Almir. (E) Noronha e Almir. Resolução Construiremos uma tabela para associar cada agente administrativo com o seu setor e o seu estado de lotação. Almir Noronha Creuza Setor Estado Creuza trabalha no almoxarifado; Almir Noronha Setor Estado Creuza almoxarifado Almir não trabalha no setor de compras. Por exclusão, quem trabalha no setor de compras é Noronha e Almir trabalha no setor de atendimento ao público. Setor Almir Atendimento Estado Noronha Compras Creuza Almoxarifado 51

52 Sabemos que o Agente lotado no Ceará trabalha no setor de compras. Como Noronha trabalha no setor de compras, então ele está lotado no Ceará. Sabemos que Almir não está lotado na Bahia, portanto, é Creuza quem está lotada na Bahia. Por exclusão, Almir está lotado em Pernambuco. Setor Estado Almir Atendimento Pernambuco Noronha Compras Ceará Creuza Almoxarifado Bahia Com base nessas informações, é correto afirmar que o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são, respectivamente, Noronha e Almir. Letra E 24. (Agente de Estação Metro SP 2007/FCC) Um pequeno restaurante oferece a seus clientes três opções de escolha do prato principal carne assada, salada de batatas ou frango frito e três opções de escolha da sobremesa fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Três amigos Aluísio, Júnior e Rogério foram a esse restaurante e constatou-se que: cada um deles se serviu de um único prato principal e uma única sobremesa; Rogério comeu carne assada; um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa; Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Aluísio comeu salada de batatas. (B) Aluísio é vegetariano. (C) Rogério comeu pudim de leite. (D) Júnior comeu frango frito. (E) Júnior comeu pudim de leite. Resolução Construiremos uma tabela para associar cada cliente com o seu prato escolhido e a sua sobremesa. Aluísio Júnior Rogério Prato Sobremesa 52

53 Rogério comeu carne assada; Aluísio escolheu goiabada com queijo como sobremesa. Aluísio Júnior Rogério Prato Carne Assada Sobremesa Goiabada com queijo As opções são: prato principal carne assada, salada de batatas ou frango frito e três opções de escolha da sobremesa fruta da época, pudim de leite ou goiabada com queijo. Um deles, que é vegetariano, comeu uma fruta da época como sobremesa. Ora, não estamos falando de Rogério, porque ele comeu carne assada. Também não estamos falando de Aluísio, porque sua sobremesa foi goiabada com queijo. A frase acima se refere a Júnior. Concluímos que Júnior come uma fruta de época como sobremesa e a salada de batatas. Aluísio Júnior Rogério Prato Salada de batatas Carne Assada Sobremesa Goiabada com queijo Fruta de época Para completar a tabela, Aluísio comeu frango frito e Rogério comeu pudim de leite. Prato Sobremesa 53

54 Aluísio Frango frito Goiabada com queijo Júnior Rogério Salada de batatas Carne Assada Fruta de época Pudim de leite (C) Rogério comeu pudim de leite. 25. (Aneel/2004/Esaf) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. Disse Gina: Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha. Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. Neste ponto, o diretor falou: Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente: a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa. Resolução Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio! Com estas palavras, o diretor nos dá o norte na resolução da questão. Quando, por exemplo, Fátima diz que acha que é a governanta, concluímos que ela não é a governanta. Podemos construir a seguinte tabela. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta 54

55 Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Disse Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. Disse Gina: Acho que Sílvia é a Governanta ou a Rainha. Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. Aproveitando o comentário do diretor, modificaremos o diálogo acima e transformá-lo-emos no seguinte conjunto de frases: Disse Fátima: Eu não sou a Governanta, Beatriz não é a Fada, Sílvia não é a Bruxa e Carla não é a Princesa. Disse Beatriz: Fátima não é a Princesa e não é a Bruxa. Disse Gina: Sílvia não é a Governanta e não é a Rainha. Disse Sílvia: Eu não sou a Princesa. Disse Carla: A Bruxa não sou eu e não é Beatriz. Temos então a seguinte tabela. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Por essa tabela, concluímos que Gina é a bruxa e que Sílvia é a fada. 55

56 Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Se Gina é a bruxa, inferimos que ela não é a fada, nem a rainha, nem a princesa nem a governanta. Analogamente, se a fada é Sílvia, concluímos que ninguém mais pode ser a fada. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Com esta nova disposição da tabela, concluímos facilmente que a princesa é Beatriz (logo, Beatriz não é a rainha nem a governanta). Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Temos então que a governanta é Carla e a rainha é Fátima. 56

57 Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente Rainha, Princesa, Bruxa e Fada. Letra D. 26. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Seis pessoas, entre elas Marcos, irão se sentar ao redor de uma mesa circular, nas posições indicadas pelas letras do esquema abaixo. Nesse esquema, dizemos que a posição A está à frente da posição D, a posição B está entre as posições A e C e a posição E está à esquerda da posição F. Sabe-se que: - Pedro não se sentará à frente de Bruno. - Bruno ficará à esquerda de André e à direita de Sérgio. 57

58 - Luís irá se sentar à frente de Sérgio. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Pedro ficará sentado à esquerda de Luís. (B) Luís se sentará entre André e Marcos. (C) Bruno ficará à frente de Luís. (D) Pedro estará sentado à frente de Marcos. (E) Marcos se sentará entre Pedro e Sérgio. Resolução Em uma mesa circular o que interessa não é a posição absoluta de cada pessoa e sim a posição relativa: quem está à frente de quem, quem está à direita de quem, etc. Vamos colocar Bruno, por exemplo, na posição D. Como Bruno esta à esquerda de André, então André está na posição E. Como Bruno está à direita de Sérgio, então Sérgio está na posição C. Luís está à frente de Sérgio, portanto, Luís está na posição F. 58

59 Como Pedro não está à frente de Bruno, então Pedro está na posição B. Por exclusão, Marcos está na posição A. (B) Luís se sentará entre André e Marcos. Letra B 27. (SEFAZ-SP 2009/FCC) O setor de fiscalização da secretaria de meio ambiente de um município é composto por seis fiscais, sendo três biólogos e três agrônomos. Para cada fiscalização, é designada uma equipe de quatro fiscais, sendo dois biólogos e dois agrônomos. São dadas a seguir as equipes para as três próximas fiscalizações que serão realizadas. 59

60 Sabendo que Pedro é biólogo, é correto afirmar que, necessariamente, (A) Valéria é agrônoma. (B) Tânia é bióloga. (C) Rafael é agrônomo. (D) Celina é bióloga. (E) Murilo é agrônomo. Resolução Vamos observar o segundo grupo de fiscalização. Sabemos que neste grupo deve haver dois biólogos e dois agrônomos. Como Pedro é biólogo, apenas um dentre Tânia, Valéria e Murilo é biólogo. Vamos testar cada uma das possibilidades: i) Tânia é bióloga? Se Tânia for bióloga, então Valéria e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no primeiro grupo de fiscalização em que Valéria e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Tânia e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Tânia ser bióloga. ii) Valéria é bióloga? Se Valéria for bióloga, então Tânia e Murilo são agrônomos. Contradição, pois no terceiro grupo de fiscalização em que Tânia e Murilo figuram (eles são agrônomos) devemos ter dois biólogos: Celina e Rafael. Temos, portanto, 4 biólogos, a saber: Celina, Rafael, Valéria e Pedro. Devemos descartar esta possibilidade de Valéria ser bióloga. iii) Por exclusão, concluímos que Murilo é biólogo. Murilo sendo o biólogo, Tânia e Valéria são agrônomas. Letra A 60

61 CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIOO LÓGICO - SENADO 28. (MPU 2004/ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há tambémm um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. b) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. Resolução: Há alguns tipos de questão em que é importante ter uma noção espacial dos elementos. Este exercício é um exemplo. da distribuição Nestes casos, pode ser útil fazer um desenho esquemático da situação retratada. Vamos iniciar a leitura do enunciado: 1. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Vamos representar Oliveira sentado na mesa quadrada. A segunda informação é: 2. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Vamos representar no nosso desenho o Paulo do lado direito de estou desenhando uma vista de cima da mesa, então ficaria assim: Oliveira. Como 61

62 CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIOO LÓGICO - SENADO 3. Norton está sentado à direita do paulista Como não sabemos onde informação paraa depois. está Norton nem onde está o paulista, vamos deixar esta 4. Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. O desenho fica: Paraa Norton só sobrou o lugar à frentee de Oliveira. Agora que sabemos onde está Norton, podemos voltar na terceira informação. 3. Norton está sentado à direita do paulista Norton está à direita de Paulo. Logo, Paulo é o paulista. 62

63 CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIOO LÓGICO - SENADO O carioca não é Vasconcelos, nem Paulo, nem Oliveira. O carioca só pode ser Norton. Por fim, Vasconcelos só pode ser baiano. Letra B Problemas Gerais de Raciocínio Lógico FGV Os exercícios aqui apresentados visam tornar o estudante experiente e confiante para enfrentar questões novas e que necessitam de um raciocínio inovador na hora da prova. Alguns fatores podem ajudar (e muito) o desempenho na resoluçãoo das questões: organização, concentração e cautela. Vamos em frente! 29. (Senado Federal/2008/ /FGV) Uma lesma está no fundo de um poço com 12 m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. O número de dias necessários para ela sair do poço: 63

64 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO Resolução O leitor apressado poderia ter o seguinte raciocínio: A lesma durante o dia sobe 5 m e, à noite, escorrega 3 m. Logo, ela sobe 2 m por dia. Em 6 dias ela consegue sair do poço. Cuidado! Perceba que no último dia, ao subir os 5 m, ela consegue sair do poço e não precisa mais escorregar. Vejamos passo a passo: 1º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 2 m. 2º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 4 m. 3º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 6 m. 4º dia: Sobe 5 m e depois desce 3 m. Posição final: 8 m. Chegando a 8 m do fundo do poço, durante o 5º dia ela sobe mais 5 m e, portanto consegue sair do poço. Resposta: 5 dias. Letra A Desconfie de questões que, a priori, parecem ser fáceis demais. Leia novamente! Preste um pouquinho mais de atenção. 30. (Senado Federal/2008/FGV) Em um saco há 100 moedas idênticas em tamanho e forma. Uma delas, porém, é falsa, sendo mais leve que uma moeda verdadeira. As moedas verdadeiras têm todas o mesmo peso. Com uma balança de pratos, o número mínimo de pesagens que permite descobrir com certeza a moeda falsa é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Resolução O raciocínio imediato é dividir as 100 moedas em dois grupos de 50 moedas. A moeda falsa estará no prato que subir, pois a moeda falsa é mais leve. RACIOCÍNIO 64