Fundamentos de Matemática

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1 Fundamentos de Matemática 1. (Esaf-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y X é igual a: a) 4. b) 6. c) 8. d) vazio. e) 1. Nessa questão são dados dois conjuntos não vazios, ou seja, possuem elementos, mas é fornecida a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da seguinte maneira: Para o conjunto X temos que: P(X) = 64, sendo P(X) = 2 n. Logo, 2 n = 64, fatorando o número 64 temos que 64 = n = 2 6 n = 6 (o número de elementos do conjunto n(x) = 6) Para o conjunto Y temos que: P(Y) = 256, sendo P(Y) = 2 n. Logo, 2 n = 256, fatorando o número 256 temos que 256 = n = 2 8 n = 8 (o número de elementos do conjunto n(y) = 8)

2 Para o conjunto Z, segundo o enunciado, temos: Z = X Y possui 2 elementos(n(z) = 2). Logo, observe o diagrama. Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações, temos que a questão solicita o número de elementos do conjunto P = Y X. Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X, em que devemos selecionar os elementos pertencentes a Y mas não pertencentes a X. De acordo com o diagrama, temos que P = Y X = 6 elementos. Resposta: b 2. (Cespe- 2007) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente 28 pessoas à alternativa I. 4 pessoas somente à alternativa I. 1 pessoa somente à alternativa III. 21 pessoas às alternativas I e II. 11 pessoas às alternativas II e III. 13 pessoas às alternativas I e III.

3 Com base nas informações acima, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. Nesta questão são dados três conjuntos: I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não existem elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três setores. Sendo assim, construiremos o diagrama para melhor interpretação. Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem: O setor de montagem possui 28 candidatos com experiência.

4 Ao analisar o diagrama, temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de montagem, logo, podemos inferir que no espaços (X + Y + Z) que estão hachuradas, sobraram (28 4) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13 candidatos nos setores (I e III), se somarmos, temos: = 34, mas a quantidade real das áreas pintadas é igual 24, logo, temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade encontra-se na interseção, pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo, temos 10 candidatos com experiências nos três setores (Y = 10). Segundo os valores encontrados, podemos agora preencher de forma completa o diagrama para julgar os itens, não esquecendo de que o total de candidatos, ou seja, a soma dos números abaixo deve totalizar 44 candidatos.

5 Com base nas informações adquiridas, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. (o item está de acordo) b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. (o item está de acordo) c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de acordo) d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. (o item está incorreto, pois temos 3 candidatos) e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. (o item está de acordo) Resposta: d No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego. Sabe-se que 60 alunos estudam Espanhol e que 40 estudam somente Inglês e Espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 3. (Cespe-2008) Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês. 4. (Cespe-2008) Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol. 5. (Cespe-2008) Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol.

6 Analisando a questão, temos que: 180 alunos estudam Inglês, Espanhol ou Grego, e representaremos da seguinte maneira (I E G); 60 estudam Espanhol (E = 60); 40 estudam somente Inglês e Espanhol ((I E) G). 3. Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês. Se 40 alunos estudam somente Grego, então mais de 90 alunos estudam somente Inglês. Vimos que as duas áreas pintadas totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente Inglês e Grego fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas Inglês. O item está errado. 4. Se os alunos que estudam Grego estudam também Espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando Inglês do que Espanhol.

7 De acordo com o diagrama acima o item está certo. 5. Se os 60 alunos que estudam Grego estudam também Inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente Inglês do que Espanhol. Resposta: O terceiro item está errado.

8 6. ( Esaf ) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como A, B e C ) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia declarar-se ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados declararam-se favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17%. b) 5%. c) 10%. d) 12%. e) 22%. Resposta: d + e + f + 5% = 17%

9 Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento, fiz umas inferências que poderiam ser perguntas da banca. 7. (Funiversa ) Em um grupo de 200 profissionais da área de saúde de determinado estado brasileiro, apenas 50 têm olhos verdes, apenas 100 são servidores públicos e apenas 83 residem na capital desse estado. Assinale a alternativa que apresenta o número máximo desses profissionais que podem, simultaneamente, ter olhos verdes, ser servidores públicos e residir na capital do estados.

10 a) 16. b) 17. c) 33. d) 50. e) 83. No primeiro comentário, a resolução é trivial, uma vez que a banca não exime a possibilidade de uma inclusão entre os conjuntos. Se a banca tivesse realizado tal restrição, a questão se tornaria mais interessante. Não há restrição a que o conjunto olhos verdes esteja contido no conjunto residentes na capital nem que esse esteja contido no conjunto servidores públicos. Então, de fato, é possível que até 50 profissionais pertençam simultaneamente aos três conjuntos. Sendo assim, a quantidade máxima desses profissionais é 50. Obs.: se a questão formulada pela Funiversa tivesse dito que não havia uma inclusão entre os conjuntos, ou seja, deixasse claro tal situação, esta seria resolvida da maneira abaixo. É importante ressaltar que no gabarito preliminar da referida prova, a resposta está de acordo com a resolução a seguir.

11 Resposta: a Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. 8. (Cespe/Polícia Federal/2012) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas. Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão vamos construir o seguinte diagrama: Pelo diagrama, podemos inferir que são 10 denúncias. Resposta: C 9. (Cespe/Polícia Federal/2012) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Tomando como TP = tráfico de pessoas e PI = pornografia infantil, para responder à questão vamos construir o seguinte diagrama: Pelo diagrama anterior, podemos inferir que TP < PI. Resposta: E

12 Em um grupo de empresas, 1/9 das que encerraram as atividades este ano foram abertas em anos anteriores, 1/10 das que foram abertas em anos anteriores encerraram as atividades este ano e 200 empresas não encerraram as atividades este ano e não foram abertas em anos anteriores. 10. (Cespe/MDIC/2014) O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano. 11. (Cespe/MDIC/2014)O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a (Cespe/MDIC/2014)Do grupo de empresas, metade foi aberta em anos anteriores. : Temos uma questão de conjuntos devido à presença de elementos que pertencem aos dois conjuntos: empresas que encerraram as atividades este ano (E) e empresas que foram abertas em anos anteriores(a). A questão é de alta complexidade, pois temos um universo de 2000 empresas em que 200 não fazem parte dos conjuntos citados. Sabe-se que 1/9 das que encerraram as atividades este ano e foram abertas em anos anteriores é igual a 1/10 das que foram abertas em anos anteriores e encerraram as atividades este ano. Desta forma podemos escrever a seguinte equação: 1 = 9 E X 1 10 A = X, em que X são as empresas em comum. Logo, podemos inferir que 1 E = X, isto significa que E = 9X 9 1 A = X, isto significa que a = 10X 10 Construindo o diagrama teremos:

13 E= empresas que encerraram as suas atividades este ano; A= empresas que foram abertas em anos anteriores. 8X + X + 9X = X = X = 1800 X = 10 X é a quantidade de empresas em comum em A e B Substituindo os valores no diagrama teremos: Julgando os itens: 10. O número de empresas que foram abertas em anos anteriores é superior ao número de empresas que encerraram as atividades este ano. A > E, ou seja, 1000> 900. Resposta: C 11. O número de empresas que encerraram as atividades este ano e que foram abertas em anos anteriores é superior a 110. X é igual a 100. Resposta: E 12. Do grupo de empresas, metade foi aberta em anos anteriores. A = 1000, ou seja, A = 1/2 de 2000( total de empresas). Resposta: C

14 Lógica de Primeira Ordem 13. (Cespe/2008) A seguinte proposição Ninguém ensina ninguém é um exemplo de sentença aberta. Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos já citados, em que muitos iriam se deter em interpretar a frase sugerida. O que se deve perceber é que quando o Cespe cita que a proposição Ninguém... é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há como se valorar.) Logo, o item está errado. 14. (FCC/2006) Considere as seguintes frases: I Ele foi o melhor jogador do mundo em II (x+y) / 5 é um número inteiro. III João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que apenas: a) I é uma sentença aberta. b) II é uma sentença aberta. c) I e II são sentenças abertas. d) I e III são sentenças abertas. e) II e III são sentenças abertas. No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador do mundo em No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado inteiro. Ex.: x = 5 e y = 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos inteiros); pode acontecer o mesmo com x = 20 e y = 10, temos ( )/5 = 6 e etc., logo a sentença é aberta. No item III temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o sr. João da Silva. Resposta: c 15. (FCC/2006 adaptada) Das quatro frases abaixo, três delas têm uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I Que belo dia! II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico. III O jogo terminou empatado? IV Escreva uma poesia.

15 A frase que não possui essa característica comum é a: a) IV. b) III. c) I. d) II. Das frases anteriores temos quatro sentenças: I Que belo dia! (não possui uma interpretação lógica sentença exclamativa não há como valorar. II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico sentença afirmativa há como valorar. III O jogo terminou empatado? sentença interrogativa não há como valorar. IV Escreva uma poesia. sentença imperativa não há como valorar. Dentre as quatro sentenças apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Resposta: d Observe as frases e julgue o item. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 16. (Cespe/2007) Na lista de frases apresentadas acima, há exatamente três proposições. Nas frases acima temos quatro sentenças: A frase dentro destas aspas é uma mentira : esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois se valorarmos como verdadeira ela se tornará falsa, uma vez que informa que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar-se-á verdadeira e assim por diante. Logo, é uma sentença aberta. A expressão X + Y é positiva: esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: Se X = 1 e Y = 2, temos que = 3 (positivo), mas se tivermos X = 1 e Y = -3, temos que 1+( 3) = 4 (negativo). Logo, é uma sentença aberta. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira: esta frase possui uma interpretação lógica, uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasileira, sendo falsa a frase. Logo, é uma proposição. O que é isto?: esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata-se de uma sentença interrogativa, a qual não pode ser valorada. Logo é uma sentença aberta. Resposta: E Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Exemplo, a proposição Para qualquer x, tem-se que x 2 > 0 possui interpretação verdadeira quando x é um número real maior que 2 e possui interpretação falsa quando x pertence, por exemplo, ao conjunto { 4, 3, 2, 1, 0}.

16 Com base nessas informações, julgue os itens. 17. (Cespe/2007) A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x 2 > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto ,,3,, (Cespe/2007) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. O primeiro item está errado, pois, quando atribuímos a x o valor de ½, a desigualdade torna-se falsa. Exemplo: x 2 > x = V (½) 2 > ½ ¼ > ½ (F) O segundo item: Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 está errado, pois, se verificarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Exemplo: o número 10 é divisível por 2, porém não é divisível por 3. O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Para que o item estivesse certo, a sentença deveria ser: Existem números que são divisíveis por 2 ou por (Cespe/2008) A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos? não pode ser considerada uma proposição. O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. Resposta: C 20. (Vunesp/Polícia Civil-SP/2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. a) Está chovendo forte. b) O carrasco não vai me executar. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. d) Dois mais dois é igual a cinco. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. : A Banca Vunesp exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e sentenças abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de maneira concreta os princípios fundamentais da Lógica Proposicional.

17 Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro, no qual, se proferisse uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade, mas, por outro lado, se a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. À primeira vista, temos uma interpretação que tal situação é absurda, porém quando analisamos pelo ponto de vista lógico podemos interpretar que existem pensamentos passíveis de valoração (V ou F) dentro da lógica bivalente e pensamentos completos que não possuem interpretação, ou seja, sentenças abertas. Nesse caso, o prisioneiro ao proferir a sentença deixou o carrasco completamente sem saber o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do prisioneiro, ou seja, uma sentença que não conduzia a forca da verdade nem a forca da mentira, sendo dessa forma a execução cancelada. Bem, isto se deve ao fato de que a sentença se tratava de um pensamento completo que não era nem verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA. Analisando as opções devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro proferiu proporcionando sua absolvição. a) Está chovendo forte : É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa, seria executado de qualquer forma. b) O carrasco não vai me executar : É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. É uma proposição, pois possui valoração, no caso verdadeira, seria executado na forca da verdade. d) Dois mais dois é igual a cinco. É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. A sentença não é nem verdadeira e nem falsa. Pois se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa, e se tentarmos valorar como falsa se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração sentença aberta. Resposta: e 21. (Cespe/2006 adaptada) Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. I Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. II Qual é o horário do filme? III O Brasil é pentacampeão de futebol. IV Que belas flores! V Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta lista, há exatamente 4 proposições. Nesta questão temos as proposições: Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento). Qual é o horário do filme? (sentença aberta) O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento). Que belas flores! (sentença aberta)

18 Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições 2 pensamentos, porém o Cespe ao afirmar sobre a quantidade de proposições, refere-se a quantidade de frases (de 1 a 5), logo teremos neste caso uma proposição composta). Sendo assim temos um total de 2 proposições simples e 1 composta. Logo, temos 3 proposições. Resposta: E Obs.: nesta questão caberia um raciocínio diferente, de acordo com o comentário realizado anteriormente, uma vez que proposições são sentenças fechadas (pensamentos completos) afirmativas ou negativas que podem ser valoradas; se fosse enumerada a quantidade de pensamentos teríamos quatro, o que faria o item correto, porém o Cespe referiu-se à quantidade (numeração) estabelecida no item. 22. (Cespe/2008) Leia atentamente as frases a seguir. I Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. II A resposta branda acalma o coração irado. III O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. IV Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as frases acima, julgue os itens seguintes. a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. O item I está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição. O item II está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples). O item III está errado, pois temos apenas uma ideia completa (proposição simples). O item IV está errado, uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo condicional Se..., então (Cespe/2008) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. a) A frase Pedro e Paulo são analistas do Sebrae é uma proposição simples. b) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. O primeiro item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples). O segundo item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo de conjunção e. Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo:

19 (1) Você sabe dividir? perguntou Ana. (2) Claro que sei! respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? perguntou Ana. (4) O resto é dois. respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 24. (Cespe/2008) A frase indicada por (3) não é uma proposição. 25. (Cespe/2008) A sentença (5) é falsa. 26. (Cespe/2008) A frase (2) é uma proposição. Esta questão é interessante, uma vez que a banca introduz uma conversação para ser analisada. Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém o número que Ana indica é o ( ) que é divisível por 3, em que o resto é igual 0 (zero). Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada. Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser valoradas da seguinte forma: (1) Você sabe dividir? (sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana. (2) Claro que sei! (sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo) respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? (sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana. (4) O resto é dois. (sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. (sentença fechada (verdadeira) proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo respondeu Ana. Julgando os itens, temos: a) A frase indicada por (3) não é uma proposição. (certo) b) A sentença (5) é falsa. (errado) c) A frase (2) é uma proposição. (certo, possui valoração) 27. (Cespe/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida A e B. A expressão A, não A, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A B, lida como A ou B, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A B tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes leituras: se A então B, A é condição suficiente para B, B é condição necessária para A. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por consequência das premissas.

20 Considerando as informações acima, julgue o item. Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. ( ) Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é proposição. 28.(Cespe/2008 adaptada) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a alternativa válida). A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte. ( ) Nas sentenças acima, apenas A e D são proposições. 29.(Cespe/2008 adaptada) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindo-se as interrogativas e exclamativas. Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F, por exemplo: x + 3 = 7, Ele foi um grande brasileiro. Nesses casos, as expressões constituem sentenças abertas e x e Ele são variáveis. Uma forma de passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. São dois os quantificadores: qualquer que seja, ou para todo, indicado por e existe, indicado por. Por exemplo, a proposição ( x)(x R) (x + 3 = 7) é valorada como F, enquanto a proposição ( x)(x R)(x + 3 = 7) é valorada como V. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Considere as seguintes sentenças: I O Acre é um estado da Região Nordeste. II Você viu o cometa Halley? III Há vida no planeta Marte. IV Se x < 2, então x + 3 > 1. ( ) Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições. Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir. 30. (Cespe/2008) A frase Você sabe que horas são? é uma proposição. 31. (Cespe/2008) A frase Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul, não é considerada uma proposição composta.

21 A frase Você sabe que horas são? trata-se de uma sentença interrogativa, logo as sentenças interrogativas não são proposições, pois não podem ser valoradas. Logo, o item está errado. As proposições compostas expressam mais de um pensamento completo, sendo assim, os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições, ou até mesmo modificá-las. Tomando a seguinte sentença: Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul, temos duas ideias conectadas por um conectivo condicional Se,...então,.... Logo, o item também está errado. Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais. Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes: 32.(Cespe adaptada) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). O item está correto pois se trata se uma proposição condicional, uma vez que o operador condicional traz o sentido principal da frase. De acordo com as proposições dadas no comando temos como antecedente a proposição Hoje não choveu e como consequente a proposição composta conjuntiva Maria não foi ao comércio e José não foi à praia. 33.(Cespe adaptada) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q. O item está correto pois se trata se uma proposição conjuntiva, uma vez que o operador de conjunção traz o sentido principal da frase. Temos como primeiro conjuntivo Hoje choveu e como segundo conjuntivo a proposição neg ativa José não foi à praia. Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor, verdadeiro (V) ou falso (F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens.

22 34.(Cespe) A sentença A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites, pode ser corretamente representada por P S. O item está errado pois se trata se uma proposição conjuntiva em que o primeiro conjuntivo é A liberdade é fundamental e como segundo conjuntivo O homem precisa de limites é representado simbolicamente por S P. 35. (Cespe) A sentença A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa. Pode ser corretamente representada por R Q. O item está errado pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a proposição a justiça deve ser severa e o consequente é a proposição A repressão ao crime é importante. É importante ressaltar que a proposição condicional é a única que não possui a propriedade comutativa, isto é, a representação simbólica correta é Q R. 36. (Cespe) A sentença Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime não é importante, pode ser corretamente representada por ( Q) ( S) R. O item está correto, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a proposição composta a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental e o consequente é a proposição negativa A repressão ao crime não é importante.

23 AS TRÊS LEIS DO PENSAMENTO OU PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA PROPOSICIONAL Os que definiram a Lógica como a ciência das leis do pensamento sustentaram, frequentemente, que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar desenvolva-se de maneira correta. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Princípio da Não Contradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes: Ø O Princípio de Identidade afirma que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. Ø O Princípio da Não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. Ø O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. O Princípio da Identidade afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. O Princípio da Contradição afirma que todo o enunciado da forma p p é falso, ou seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório. O Princípio do Terceiro Excluído afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Nas provas de concursos temos questões de analítica, nas quais devemos aplicar conhecimentos associados aos princípios fundamentais, em que devemos experimentar as duas valorações possíveis para uma proposição V ou F, sendo que apenas uma das hipóteses deverá dar certo, a outra resultará em uma contradição. 37. (Cespe/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item. ( ) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. O item está errado, pois, segundo a informação da sentença, dá-se a entender que uma proposição pode assumir uma quantidade de dois ou mais valores lógicos, o que não respeita uma das leis do pensamento: Princípio do Terceiro Excluído. 38. (Cespe) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que se segue. ( ) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas G envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

24 Neste tipo de questão, temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o método da experimentação. Primeiro atribuiremos a P que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a análise; se houver alguma contradição, atribuiremos a P que ele sempre fale mentira. Uma das hipóteses dará certo, de acordo com as leis do pensamento. Sendo assim temos: Indivíduo P Indivíduo Q FALA VERDADE FALA VERDADE a) Atribuindo a P: V (verdade) acreditaremos no que ele disser, pois fala verdade. Logo, o índividuo P ao falar que Q fala verdade, teremos que Q irá falar verdade também (V). Analisando: quando Q afirma que ele e P são tipos opostos, o mesmo entra em contradição, o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade. Logo, esta análise está inválida. Indivíduo P Indivíduo Q FALA MENTIRA FALA MENTIRA b) Atribuindo a P: F (mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois ele sempre mente, logo Q: F (mentira) irá mentir também, e ao mentir disse que P fala verdade, o que é mentira, pois o Q é mentiroso, logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois mentem. Resposta: C 39. (Esaf) Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que: a) Y fala a verdade. b) a resposta de Y foi não. c) ambos falam a verdade. d) ambos mentem. e) X fala a verdade.

25 Não sabemos se o ilhéu X (intérprete) fala a verdade ou mente ao ser contratado pelo explorador, porém durante o diálogo poderemos identificar quais tipos de ilhéus são X e Y. A questão informa que o explorador pergunta ao ilhéu Y se ele fala a verdade, e ele responde em sua língua. É importante observar um detalhe, uma vez que se pergunta a uma pessoa: Você fala a verdade?, temos duas situações: 1. Se ela fala a verdade, sua resposta será: sim ; 2. Se ela fala a mentira, sua resposta será: sim. Logo, podemos concluir que independente do tipo de ilhéu a pergunta feita pelo explorador ocasiona a uma única resposta, que no caso é sim. Sendo assim, quando o ilhéu X diz que: Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos podemos ter a certeza que o ilhéu X está falando a verdade, pois a resposta do ilhéu Y foi sim, logo a afirmação de X é verdadeira. Analisando a informação do ilhéu X teremos: Ilhéu X: Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos, temos, desta forma, que o ilhéu Y disse sim, porém é do grupo dos mentirosos. Conclusão: Ilhéu X fala a verdade, Ilhéu Y é mentiroso e respondeu sim. Resposta: e No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas, pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia uma conversação da qual se relatam os seguintes trechos. Trecho 1 Trecho 2 Jari diz: Marli é honesta. Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos. Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos. Marlim diz: a Geni é mentirosa. 40. (Cespe) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jari e Marli são ambos mentirosos. 41. (Cespe) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso, então o visitante chegou a uma conclusão errada. No trecho 1, temos: supondo que Jari (V) fala sempre a verdade, temos que Marli também falará a verdade, o que faz com que Marli entre em contradição, visto que afirma que eles são tipos opostos. Então iremos supor agora que Jari (F) fala sempre a mentira, o que faz com que Marli fale mentira também, segundo a contradição. Supondo Marli com (F) falando a mentira temos que sua declaração deverá ser analisada de forma contrária, o que faz com que Jari também seja mentirosa. Logo, os dois mentem. O item está certo.

26 No trecho 2, temos: neste caso é melhor começarmos a análise pelo Marlim, pois sua declaração é simples, então supondo Marlim (V) temos que Geni fala a mentira, o que faz com que este minta e ao mentir afirma que os dois são honestos, o que não é verdade pois, ao afirmar que os dois são honestos, ele está mentindo, o que deixa a questão com as seguintes valorações: Marlim (V) e Geni (F). O item está certo. No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Com base no texto acima, julgue o item a seguir. 42. (Cespe) Se a primeira pessoa diz Nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas são da mesma cor, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. Vamos resumir o texto da seguinte forma: FP = ficha preta FB = ficha branca FP FB 1ª pessoa F V 2ª pessoa V F Supondo que a 1ª pessoa fala verdade, temos: 1ª pessoa (fala a verdade) V (carrega ficha branca) ao falar que Nossas fichas não são da mesma cor, isto é verdade, pois uma pessoa que fala verdade não pode mentir, logo a ficha da 2ª pessoa deverá ser preta. Sendo a ficha da 2ª pessoa preta, ela deverá falar a verdade. Verificando, temos: Nossas fichas são da mesma cor, diz a 2ª pessoa, o que é verdade, algo que não pode acontecer, pois uma pessoa que fala a verdade não pode mentir. Princípio da não contradição. Supondo que a 1ª pessoa fala mentira, temos: 1ª pessoa (fala mentira) F (carrega ficha preta) ao falar que Nossas fichas não são da mesma cor, isto é mentira, pois uma pessoa que fala mentira não pode falar verdade, logo a ficha da segunda pessoa será preta. Sendo a ficha da segunda pessoa preta, ela deverá falar a verdade. Verificando, temos: Nossas fichas são da mesma cor, diz a segunda pessoa, o que é verdade, logo os dois possuem fichas da mesma cor.

27 1ª pessoa FP (F) 2ª pessoa FP (V) Resposta: C 43. (Polícia Federal/2009) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. Nesse tipo de questão, temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o método da experimentação. Primeiro atribuiremos a Carlos que ele fala sempre a verdade, então iremos realizar a análise; se houver alguma contradição, atribuiremos a Carlos que ele sempre fala mentira. Uma das hipóteses dará certo de acordo com as leis do pensamento. Sendo assim temos: Comparsa: Carlos (Fala a verdade) Comparsa: José (Fala a verdade) a) Atribuindo a Carlos: V (verdade) acreditaremos no que ele disser, pois fala a verdade. Logo, se o indivíduo Carlos diz que José fala verdade, teremos que José irá falar verdade também (V). Analisando: quando José afirma que ele ea Carlos são tipos opostos, entra em contradição, o que não deveria acontecer, pois ele só fala a verdade. Logo, essa análise está inválida. Comparsa: Carlos (Fala a mentira) Comparsa: José (Fala mentira) b) Atribuindo a Carlos F (mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois ele sempre mente, logo José F (mentira) irá mentir também, e, ao mentir, disse que Carlos fala verdade, o que é mentira, pois José é mentiroso. Assim, podemos concluir que os dois mentem. Resposta: C 44. (Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos. Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte. ( ) O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a 9.

28 Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 3 = 8. Sendo assim, temos que 8 é inferior a 9. Resposta: C 45. (Cespe/2008) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) (C D) será superior a 15. Vimos que o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 4 = 16. Sendo assim, temos que 16 é superior a 15. Resposta: C 46. (Esaf) Homero não é honesto ou Júlio é justo. Homero é honesto ou Júlio é justo ou Beto é bondoso. Beto é bondoso ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. Dica: Na lógica, a interrogação é sempre esta: a conclusão a que se chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas? Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto. Sendo assim, partiremos do princípio de que as proposições premissas são verdadeiras, o que teremos uma conclusão verdadeira. Utilizando a dica temos que todas as proposições premissas são verdadeiras, logo, iremos valorá-las com V e aplicando a tabela-verdade do conectivo utilizado na proposição iremos valorando as proposições que compõem as premissas P 1, P 2, P 3 e P 4. P 1 : Homero não é honesto ou Júlio é justo. è V P 2 : Homero é honesto ou Júlio é justo ou Beto é bondoso. è V P 3 : Beto é bondoso ou Júlio não é justo. è V P 4 : Beto não é bondoso ou Homero é honesto. è V

29 Para que os resultados das premissas (P 1, P 2, P 3 e P 4 ) sejam verdadeiros temos de valorar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção. Então teremos: F V P 1 : Homero não é honesto ou Júlio é justo. è V V V V P 2 : Homero é honesto ou Júlio é justo ou Beto é bondoso. è V V F P 3 : Beto é bondoso ou Júlio não é justo. è V F V P 4 : Beto não é bondoso ou Homero é honesto. è V Resposta: c è V 47. (Esaf) De três irmãos José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José. b) Caio e Adriano. c) Adriano e Caio. d) Adriano e José. e) José e Adriano. Aplicando a dica acima temos que todas as proposições premissas são verdadeiras, logo, iremos valorá-las com V e aplicando a tabela-verdade do conectivo utilizado na proposição iremos valorando as proposições simples que compõem as premissas P 1 e P 2. P 1 : ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço è V P 2 : ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho è V Para que os resultados das premissas (P 1 e P 2 ) sejam verdadeiros devemos valorar as proposições simples de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos: F V P 1 : ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço è V P 2 : ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho è V F V Resposta: b è V

30 48. (Esaf) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o fiesta é branco; 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul; 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul; 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, do corsa e do fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, branco, preto. d) preto, branco, azul. e) branco, azul, preto. 49. (Esaf/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. c) sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. 50. (Esaf/Receita Federal/2012) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo. 51. (Funiversa/2008) Os valores lógicos verdadeiro e falso podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado a seguir: A B A e B falso falso falso falso verdadeiro falso verdadeiro falso falso verdadeiro verdadeiro verdadeiro As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade. Analise as afirmativas e assinale a alternativa correta.

31 I Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C) são, respectivamente, falso, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso. II Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C) são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. III Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)] são, respectivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. IV Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A ou (B e C)] são, respectivamente, verdadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso. a) Todas as afirmativas estão erradas. b) Há apenas uma afirmativa certa. c) Há apenas duas afirmativas certas. d) Há apenas três afirmativas certas. e) Todas as afirmativas estão certas. Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela-verdade. O item I A B C F F V = F (certo) O item II A B C F V F = V (certo) O item III [ A ^ (B C)] [F (V V)] = F (errado) O item IV [ A ou (B e C)] [V (F F)] = V (errado) Resposta: c 52. (Cespe/2008) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas quadrados, triângulos e pentágonos dispostas em uma grade, julgue o item seguinte. ( ) A afirmativa Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos é uma proposição falsa.