PC-MS RACIOCÍNIO LÓGICO ESTRUTURAS LÓGICAS POLÍCIA CIVIL DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL. Livro Eletrônico

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1 PC-MS POLÍCIA CIVIL DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL ESTRUTURAS LÓGICAS Livro Eletrônico

2 JOSIMAR PADILHA Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

3 SUMÁRIO...4 Apresentação do Professor...4 Parte Sentenças Abertas...9 Sentenças Fechadas...13 Proposições...15 Linguagem da Lógica Formal...22 Questões de Concurso...28 Gabarito...35 Gabarito Comentado...36 Parte 2 Tabelas-Verdade Veritativas...52 Tabelas Verdade...61 Questões de Concurso...84 Gabarito...90 Gabarito Comentado...91 Parte Negação de Proposições Compostas Negação de Proposições Compostas Negação de uma Sentença Proposições Logicamente Equivalentes Questões de Concurso Gabarito Gabarito Comentado Autoavaliação Gabarito da Autoavaliação de 166

4 ESTRUTURAS LÓGICAS Parte 1: sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas, proposições, linguagem lógica e natural, proposições simples e compostas, operadores lógicos. Parte 2: construção e aplicações das tabelas-verdade dos operadores: conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, condicional, bicondicional e negação. Parte 3: negação de proposições (simples e compostas) e equivalências lógicas. Apresentação do Professor Olá pessoal, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha e é com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar este momento importantíssimo com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 8 anos em aulas online, possuo mais de 4 obras escritas, dentre elas podemos citar: MATEMÁTICO Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm, 2018, 2ª Edição; Mais de 400 QUESTÕES COMEN- TADAS DE, CESPE Cebraspe, 3ª edição, De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca AOCP exige o assunto indicado nesta aula. No material iremos responder questões de outras bancas para melhor entender os assuntos do edital, porém, no final do material, teremos questões da AOCP. Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução, que, no decorrer desses 16 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil. 4 de 166

5 No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito certo, que se trata de: 1. exposição do assunto conceitos de forma esquematizada; 2. métodos e dicas de resolução rápida; 3. esquemas estratégicos; 4. questões comentadas; 5. Autoavaliação. Parte 1 Nesta nossa primeira parte, iremos abordar os seguintes assuntos: ESTRUTURAS LÓGICAS: sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas, proposições, linguagem lógica e natural, proposições simples e compostas, operadores lógicos. Uma brincadeira antes de começarmos, porque nada melhor que o bom ânimo para uma caminhada pelo mundo da lógica. Desafio Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. 5 de 166

6 Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mara. b) Maria. c) Mário. d) Manuel. e) Marcos. O Comentário está no final do módulo. Boa sorte! Meu(minha) querido(a), para que possamos atingir com excelência os resultados almejados nessa ciência, que é conhecida como ciência do raciocínio, é importante ressaltar desde o início que a lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa por meio da linguagem. O objeto da lógica é a proposição, que exprime, pela linguagem, os JUÍZOS formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. Sendo assim, daqui em diante não nos será dada a liberdade de interpretarmos o conteúdo da informação, e sim a maneira como as informações se relacionam entre si. Se eu te falar que na lógica formal o conjunto de proposições abaixo corresponde a um raciocínio correto, o que você me diria? É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal. 6 de 166

7 Pois bem, o exemplo acima foi retirado de uma prova para Delegado da Polícia Federal, realizada pela banca CESPE, ou seja, não podemos nos prender ao conteúdo, e sim à maneira como as proposições se relacionam. Isso se prende ao fato de estarmos trabalhando com a lógica formal, você sabia que o raciocínio lógico é uma ramificação da filosofia? Que a ferramenta de trabalho nesse conteúdo é o pensamento, e a maneira que você expressa o pensamento é fundamental não só para a filosofia em si, mas para as diversas ciências que integram o nosso mundo? Curiosidade: um bom advogado é dotado de um raciocínio lógico bem apurado em suas defesas, que são argumentos lógicos, constituídos de premissas (pensamentos) e uma tese (pensamento), temos que tais argumentos serão bem construídos caso haja uma relação de validade entre as premissas e a conclusão. E isso se dá pela forma (estrutura) como o argumento é construído, proporcionando um raciocínio correto. Gosto de falar: quem fica bom em lógica, fica bom em tudo. Você deve estar se perguntando: na lógica formal, como posso ler uma sentença e não poder interpretá-la? Bem, vamos lá: às vezes nos será dada a oportunidade de interpretar o conteúdo, que mostrarei a você nas questões comentadas mais à frente, onde iremos verificar a presença de ferramentas lógicas para que possamos analisar o conteúdo. Bem, mãos à obra: vamos aprender aqui alguns conceitos que serão imprescindíveis para resolução das questões de concursos. Primeiro conceito: SENTENÇA : expressão de um pensamento completo, é composta por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). 7 de 166

8 Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença: a) André é uma pessoa que se preocupa com o próximo. b) O estudo de raciocínio lógico não é difícil. c) Que dia você participará de mais uma reunião de estudos? d) Que matéria mais gostosa de estudar! e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso. Dê um exemplo para cada tipo de sentença abaixo: Afirmativas; Ex.: Negativas; Ex.: Imperativas; Ex.: Exclamativas; Ex.: Interrogativas. Ex.: É importante ressaltar que o pensamento será uma sentença quando este tiver sentido completo, independente do seu tipo. Vamos agora classificar as sentenças quanto à sua interpretação lógica, isto é, podem ser abertas ou fechadas. 8 de 166

9 Sentenças Abertas São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais simples de identificar uma sentença aberta é quando esta não pode ser nem V (verdadeira) nem F (falsa). Iremos observar que são chamadas de abertas porque não são passíveis de interpretação. O sujeito é uma variável que pode ser substituída por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F, segundo a banca CESPE. Observe o exemplo abaixo: Ela foi a melhor aluna do curso de Raciocínio Lógico para carreiras tribunais. Daí surge a pergunta: por que sentença aberta?. Vamos entender o porquê. Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser interpretados de 2 (duas) formas, ou seja, podem ser valorados como (VERDADEIRO) ou (FALSO), conforme os Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional, que veremos daqui a pouco. No exemplo anterior, temos um pensamento que não é passível de valoração, uma vez que não sabemos quem é o sujeito, dessa forma tais pensamentos são ditos sentenças abertas. Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe atentamente os exemplos abaixo e as considerações realizadas: 9 de 166

10 a) Aquele é juiz do TRT da 1.ª Região. (Quem é ele?) Não podemos definir quem é o sujeito ou até mesmo a qual conjunto ele pertence. b) x + 5 = 10. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?) Daí você me diz: Padilha, o x só pode ser 5, me ensinaram assim nas séries iniciais, pois se trata de uma equação do 1º grau. Bem, vamos lá. Concordo contigo até certo ponto, pois só podemos dizer que o x é igual a 5, caso estivermos trabalhando com conjuntos numéricos e indicarmos que x pertence a um determinado conjunto numérico, pois, até então, não sabemos do que se trata a incógnita x. Para melhor compreensão, o conceito matemático de equação é: toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. Que bacana! A matemática nos ajudando a compreender os conceitos lógicos. Você sabia que a filosofia utilizou os símbolos matemáticos para simbolizar seus pensamentos? Quando chegarmos em linguagem, você vai ficar surpreso(a) com tantas novidades que farão você entender de uma vez por todas essa ciência denominada Lógica. c) {x R/ x > 2}. (Qual o valor de x?) Neste exemplo, sabemos que x pertence ao conjunto dos números reais, porém não conseguimos definir qual o valor, uma vez que temos uma desigualdade, ou seja, temos um intervalo de valores como resposta. Nesse caso, x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um sujeito específico. d) Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA) Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam pensamentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal. 10 de 166

11 É importante ressaltar uma definição citada pela banca CESPE em uma de suas provas: na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindo-se as interrogativas e exclamativas. Bem, podemos inferir que, segundo a banca, uma frase exclamativa se trata de uma sentença aberta em que não podemos interpretar de maneira lógica, isto é, como verdadeira ou falsa. E se eu lhe dissesse que nem sempre isso que foi dito pela banca é verdade, você acreditaria? Em que, Padilha? A afirmação feita pela banca de que toda sentença exclamativa é uma sentença aberta. Observe o exemplo de uma questão realizada pela própria banca em 2008, em que vamos analisar somente um item da questão, vejamos. Questão: uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? Perguntou Ana. (2) Claro que sei! Respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? Perguntou Ana. (4) O resto é dois. Respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. Respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue. A frase (2) é uma proposição. 11 de 166

12 Analisando a questão, podemos verificar que se trata de uma conversação a ser analisada, ou seja, a banca nos dá a oportunidade de analisarmos o diálogo, sendo assim, vejamos: Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, este responde que sim, porém o número que Ana indica é o ( ), que é divisível por 3, em que o resto é igual a 0 (zero). Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada. Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser valoradas da seguinte forma: (1) Você sabe dividir? (Sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana. (2) Claro que sei! (Sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo) respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? (Sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana. (4) O resto é dois. (Sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo) respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. (Sentença fechada (verdadeira) proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo) respondeu Ana. Gostaria que analisássemos apenas a segunda frase, uma vez que as demais serão vistas mais à frente. Ok? Quando Mauro afirmar que claro que sei!, temos uma sentença exclamativa, porém, quando temos a oportunidade de analisarmos o conteúdo, o que não é comum na lógica formal, podemos inferir que, de acordo com os cálculos realizados, o resto da divisão não é 2 (dois), e sim 0 (zero), o que faz termos a certeza de que ele não sabe dividir e que consequentemente sua frase exclamativa é falsa, isto é, podemos valorar essa sentença. 12 de 166

13 Que legal, uma situação em que muitos iriam afirmar que a frase dois seria uma sentença aberta, o que na verdade não é. Beleza, gostou? O nosso objetivo aqui é fazer de você um candidato competitivo, e isso só será possível quando soubermos o conteúdo e seus detalhes. e) Você não vai tirar férias este ano de novo? (FRASE INTERROGATIVA) As frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las. Nas diversas provas realizadas desde 2008 não vi nenhuma frase interrogativa possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa. f) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. (FRASE IMPERATIVA) As frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá- -las. Nas diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase imperativa possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa. Sentenças Fechadas Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos, de uma forma excludente, entender de maneira simples as sentenças fechadas. Bem, podemos definir que se trata de pensamentos completos, dos quais podemos determinar o sujeito. As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras ou falsas, porém nunca ambas. Aí você me pergunta: Josimar, como funciona essa questão de valoração de um pensamento (sentença fechada)?. 13 de 166

14 Bem, antes de explicar, gostaria de lhe dizer que existem 3 (três) leis ou princípios que regem os pensamentos fechados, que daqui a pouco iremos chamá-los de proposição. Quais são esses princípios? Vou descrevê-los abaixo: Princípio do Terceiro Excluído; Princípio da não Contradição; Princípio da Identidade. Por enquanto, não vou defini-los, porém, quando falarmos de Proposições, aprofundaremos em seus conceitos e exemplificaremos. Aguarde! Voltando em valorações lógicas, quero dizer que temos apenas 2 valores para um pensamento, pois estamos trabalhando dentro da lógica bivalente, não me interessa a validade do pensamento, apenas a sua forma, isso quer dizer novamente que não iremos valorar os pensamentos pelo conteúdo, a não ser que a questão nos permita fazer. Exemplo de sentenças fechadas: Ex.: Mariana foi aprovada em Química Geral (pode ser V ou F). Ex.: O vereador Vitor não participou do esquema. (pode ser V ou F). Um bom indício de que o conteúdo está sendo analisado é quando temos a sentença dentro das aspas. Ex.: esta frase é falsa (sentença aberta); o governo brasileiro está fragilizado devido à corrupção (sentença fechada). 14 de 166

15 Proposições Pela definição, podemos dizer que proposição é uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se pode atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso). Também podemos falar que essa valoração é chamada de valor-lógico ou valor-verdade. Na verdade, podemos, então, inferir que as sentenças fechadas são denominadas de proposições. Beleza? A partir do diagrama que criei a seguir, acredito que possamos ter uma ideia geral de como entendermos os pensamentos (sentenças). Vejamos o diagrama (esquema): Você deve estar se perguntando: O que seriam expressões? Bem, podemos dizer que são frases que não possuem sentido completo. Por exemplo: dois terços, ou seja, não temos um sujeito e um predicado. 15 de 166

16 Seria interessante, agora, citarmos quais são os Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional na Lógica Bivalente e defini-los: o Princípio da Identidade: afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Quer dizer que, se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será sempre verdadeiro. O Princípio da Não Contradição afirma que todo o enunciado da forma p p é falso, ou seja, todo enunciado desse tipo é contraditório. Temos, agora, que um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e falso simultaneamente. O Princípio do Terceiro Excluído afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Neste princípio, temos que não possuímos uma terceira valoração, caso exista, deve ser excluída. Vamos de curiosidade agora, uma vez que nosso objetivo é estarmos superpreparados para nossa prova, então não custa aprender um pouco mais, ainda mais quando temos questões de concursos cobrando tal assunto. Observe o trecho abaixo retirado de um livro que é referência no estudo da Lógica em todo o Brasil: Lógica Polivalente A suposição de que, sob cada interpretação, toda a proposição é verdadeira ou falsa (PRINCÍPIO DA BIVALÊNCIA) está na base da lógica clássica, proposicional e quantificacional. Um passo natural na generalização da lógica bivalente é a introdução demais valores lógicos além dos clássicos Verdade e Falsidade. A possibilidade de um terceiro valor lógico parece remontar ao Cap. IX do tratado De Interpretatione de Aristóteles que considerou, num contexto modal, proposições contingentes futuras como, por exemplo: A manhã haverá uma batalha naval, às quais não pode ser atri- 16 de 166

17 buído, no momento presente, um valor lógico determinado e sugerem a existência de um terceiro valor lógico. Esta possibilidade foi o ponto de partida da análise filosófica encetada pelo lógico polaco Lukasiewicz nas primeiras décadas do presente século para a concepção de uma lógica trivalente. Enciclopédia de termos lógico-filosóficos- direção de João Branquinho, Desidério Murcho e Nelson Gonçalves Gomes A partir do texto acima, que me deixou na época de cabelos em pé, segundo ditado popular, me vi na obrigação de apresentar aos meus alunos para que estes não fossem surpreendidos, então quero lhe mostrar uma questão de concurso público exigindo o conhecimento de lógica trivalente. 1. (CESPE UNB/SEBRAE/2014) Em um tipo de lógica trivalente, no conjunto de todas as proposições, somente é analisada aquela proposição P cujo valor lógico, representado por v(p), assume exatamente uma entre as seguintes opções: verdade (V), falsidade (F) e incerteza (I). Julgue o item abaixo: A lógica trivalente apresentada não obedece ao princípio do terceiro excluído. Certo. Vamos lá, o item está certo, uma vez que na lógica bivalente temos o princípio do Terceiro excluído, que afirma que uma proposição será verdadeira ou falsa, não admitindo um terceiro valor, caso exista, deverá ser excluído. Na lógica trivalente, já aceitamos o terceiro valor, que se trata da incerteza. Ufa! Quanta informação. Vamos retornar à nossa lógica proposicional bivalente, uma vez que é a mais cobrada nos processos seletivos. E nada melhor do que 17 de 166

18 fazermos um exemplo bem bacana para entendermos mais um pouco a diferença entre sentenças abertas e proposições (sentenças fechadas). Temos uma questão que deixa clara a diferença entre proposições e sentenças abertas no concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, em que o CESPE realizou a seguinte afirmação a ser julgada: A seguinte proposição Ninguém ensina ninguém é um exemplo de sentença aberta. Olha só que interessante, pois a banca exige do(a) candidato(a) uma diferenciação entre os conceitos já citados, em que muitos iriam ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perceber é que, quando o CESPE cita que a proposição Ninguém... é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há como se valorar). Dessa forma, temos a certeza de que o item está errado. Vejamos algumas aplicações para fixarmos os conceitos apresentados. 2. (FCC/AG. FIS. RENDAS/SFASP) Considere as seguintes frases: I Ele foi o melhor jogador do mundo em II (x+y) / 5 é um número inteiro. III João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS. a) I é uma sentença aberta. b) II é uma sentença aberta. 18 de 166

19 c) I e II são sentenças abertas. d) I e III são sentenças abertas. e) II e III são sentenças abertas Letra c. No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta. No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos inteiros); pode acontecer o mesmo com x= 20 e y=10, temos ( ) = 15 e etc., logo a sentença é aberta. No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva. 3. (FCC/AG. FIS. RENDAS/SFASP/ADAPTADA) Das quatro frases abaixo, três delas tem uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I Que belo dia! II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico. III O jogo terminou empatado? IV Escreva uma poesia. A Frase que não possui essa característica comum é a a) IV. b) III. 19 de 166

20 c) I. d) II. Letra d. Das frases anteriores, temos quatro sentenças: I Que Belo dia! (Não possui uma interpretação lógica sentença exclamativanão há como valorar). II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico (sentença afirmativa há como valorar). III O jogo terminou empatado? (Sentença interrogativa não há como valorar). IV Escreva uma poesia. (Sentença imperativa não há como valorar). Dentre as quatro, apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Nesse caso, trata-se da segunda frase. 4. (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição Para qualquer x, tem-se que x 2 > 0 possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. ( ) A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x 2 > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto 20 de 166

21 ( ) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. Errado/Errado. O primeiro item está errado, pois, quando atribuímos a x o valor de ½, a desigualdade torna-se falsa. Por exemplo: x 2 > x = V (½) 2 > ½ ¼ > ½ (F). O segundo item: Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 está errado, pois, se verificarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é divisível por 2 porém não é divisível por 3. O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Logo, o item está errado. Para que o item estivesse certo, a sentença deveria ser: Existem números que são divisíveis por 2 ou por (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos? não pode ser considerada uma proposição. Certo. O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. 21 de 166

22 Linguagem da Lógica Formal Obs.: Curiosidade! Linguagem da lógica formal? Você sabia que este assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos escritos de Frege no século XIX? Quando surgiram as primeiras linguagens formais (Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente realista e normativo. Primeiramente, é importante entender a necessidade de saber ler e escrever na lógica formal, uma vez que a filosofia utiliza linguagem própria para expressar seus pensamentos, ou seja, simbolizar as proposições. Nessa minha caminhada como professor nos últimos anos, percebi que muitos alunos possuem muita dificuldade em interpretar as questões, bem como identificar qual o método mais adequado a ser utilizado na referida questão. Daí me perguntava: por quê? A resposta é simples e direta, a pessoa não consegue entender o que está escrito, logo fica quase impossível responder. Muitos alunos me dizem bem assim: Padilha, eu usei a minha lógica. Então, faço-lhe uma pergunta: Essa sua lógica estava discriminada no edital?. Com certeza, a reação não é a melhor possível, lamentável. Mas chegou a nossa hora, concorda? Agora sim, vamos aprender o primeiro passo na lógica formal, que é saber transcrever da linguagem natural (Língua Portuguesa) para a linguagem da lógica formal. 22 de 166

23 Para iniciarmos, vamos falar de proposições simples e compostas, pois elas que vão fazer parte da construção do raciocínio, inclusive temos que saber que as proposições possuem representação. Representação das Proposições As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas. Exemplo: p: as praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites. q: o mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo. r: alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos. Por mais que pareça simples, teremos mais à frente várias questões comentadas de concursos que exigem do candidato à diferença entre proposições simples e compostas, e, nesses últimos anos, tem aumentado o número de questões e, que se diga de passagem, temos algumas bem difíceis. Vamos, então, entender essa diferença. PROPOSIÇÕES SIMPLES OU BÁSICAS: são as proposições que expressam apenas um pensamento. Uma dica legal é você perceber que temos apenas uma ação, ou seja, apenas um sujeito (podendo ser simples ou composto), um verbo e um predicado. Ex.: Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável. Ex.: João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: podemos defini-las como sendo proposições que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. 23 de 166

24 Uma dica legal é você perceber que temos mais uma ação, ou seja, apenas um sujeito (podendo ser simples ou composto), mais de um verbo e um predicado. Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o universo. É importante lembrar que as proposições compostas precisam de uma ferramenta denominada de operador lógico. O que vêm a ser operadores lógicos? Vamos, então, para mais uma definição importantíssima nessa nossa caminhada lógica. Operadores ou Conectivos Lógicos Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples já vistas para formarem novas proposições, as proposições compostas. Vou lhe apresentar um quadro a seguir com os operadores lógicos: Nesses últimos concursos, observei que têm sido constantes alguns termos que indicam operadores lógicos, principalmente quando se trata do operador condicional. Vejamos. Condicional: se..., então... pode ser escrito: quando, quem, aquele, como, todo etc. Na verdade, pode ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição. 24 de 166

25 Conjunção: e pode ter situações em que não aparece operador, porém temos que interpretar que está implícito, veja os exemplos retirados das provas da Polícia Federal em 2012/13: Não basta a mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta, Não sou traficante, sou usuário. Para resolver os itens, é necessário que o candidato interprete que se trata de proposições compostas, operadas por um conectivo de conjunção e. Bicondicional: Se, e somente se pode ser interpretado: assim como. Como sabemos que a nossa ferramenta de trabalho é o pensamento (proposição), devemos ter muito cuidado com a maneira que transcrevemos da linguagem natural para a linguagem da lógica formal, pois, se simbolizarmos de maneira errônea, estaremos comprometendo todo o conjunto de pensamentos. Com essa preocupação e quando chegarmos mais à frente, na análise de um argumento, poderemos evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Os operadores são responsáveis por construir os pensamentos de maneira formal, então teremos uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua força. Vejamos: a ordem de precedência para os conectivos (traz o sentido principal da frase): 1. bicondicional; 2. condicional; 3. conjunção e disjunção/disjunção exclusiva; 4. negação. Portanto, o conectivo mais forte é o bicondicional e o mais fraco é a negação. 25 de 166

26 Na linguagem da lógica formal, qual é a importância dos parênteses e como utilizá-los? O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita qualquer tipo de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir. I p (r s). II (p r) s. III r ((p s) q). IV (r p) (s q). A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o. A proposição II é uma conjunção, pois o conectivo principal é o. Então, I e II não têm o mesmo significado, apesar de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos na mesma ordem. O mesmo acontece com os exemplos III e IV. Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposições colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade. Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções, cujas mais importantes são: a ordem de precedência para os conectivos é: ~ depois de depois de depois de depois de, esta ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais fraco é ~ e o mais forte é o. Observe a proposição: r p s q Portanto, essa proposição é bicondicional e jamais uma condicional ou uma conjunção. Mas, para que se converta o seu sentido em numa condicional, os parênteses são obrigatórios. 26 de 166

27 ((r p) s) q) Por analogia, podemos ter uma conjunção. r (p (s q)) O que você acha de várias questões comentadas? Então, vamos lá, para que você aprenda de forma definitiva os assuntos até aqui apresentados. É importante conhecer alguns símbolos matemáticos, uma vez que a filosofia Lógica Formal os utiliza para sua linguagem. 27 de 166

28 QUESTÕES DE CONCURSO 1. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 2. (CESPE/STJ/2015) Designando por p e q as proposições Mariana tem tempo suficiente para estudar e Mariana será aprovada nessa disciplina, respectivamente, então a proposição Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina é equivalente a p ^ q. 3. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença A vida é curta e a morte é certa pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 4. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q ^ R, em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas. 5. (CESPE/SERPRO/2013) Considere o diálogo abaixo: Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 28 de 166

29 A declaração de Mário é equivalente a Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias. 6. (CESPE/SERPRO/2013) Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta é uma proposição equivalente à declaração de Mário. 7. (CESPE/STF/2013) A sentença: Um governo efetivo precisa de regras rígidas, de tribunais que desempenhem suas funções com seriedade e celeridade e de um sistema punitivo rigoroso pode ser corretamente representada pela expressão (P Q) R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. 8. (CESPE/STF/2013) A sentença um ensino dedicado à formação de técnicos negligencia a formação de cientistas constitui uma proposição simples. 9. (CESPE/STF/2013) A sentença A indicação de juízes para o STF deve ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura pode ser corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. 10. (CESPE/SEBRAE/2008) A frase Pedro e Paulo são analistas do Sebrae é uma proposição simples. 11. (CESPE/SEBRAE/2008) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 12. (CESPE/TÉCNICO EM INFORMÁTICA/PRODEST/ADAPTADA) Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. 29 de 166

30 I Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. II Qual é o horário do filme? III O Brasil é pentacampeão de futebol. IV Que belas flores! V Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições. 13. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO/STF) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. I A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. II A segunda frase é uma proposição lógica simples. III A terceira frase é uma proposição lógica composta. IV A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 14. (CESPE/ANALISTA/SEBRAE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. I A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. II A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 15. (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não cabem a elas 30 de 166

31 ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida A e B. A expressão A, não A, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A B, lida como A ou B, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A B tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes leituras: se A então B, A é condição suficiente para B, B é condição necessária para A. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por consequência das premissas. Considerando as informações acima, julgue o item. Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é proposição. (CESPE/2008) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais. 31 de 166

32 Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos,, e representem os conectivos lógicos ou, e, se..., então e não, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 16. (CESPE/2008) A proposição Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P ( R). 17. (CESPE/2008) A proposição Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego pode ser representada simbolicamente por Q S. 18. (CESPE/2008) A proposição O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q S) P. 19. (CESPE/BANCO DO BRASIL/2007) Na lista de frases apresentadas abaixo, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira A expressão X + Y é positiva Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira O que é isto? (CESPE/CENSIPAM/2006) Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. 32 de 166

33 P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens. 20. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites, pode ser corretamente representada por P S. 21. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa. Pode ser corretamente representada por R Q. 22. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então repressão ao crime não é importante, pode ser corretamente representada por ( Q) ( S) R. 23. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa, pode ser corretamente representada por (( P) ( R)) Q. 24. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites pode ser corretamente representada por Q P. 25. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL SP/2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora 33 de 166

34 da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. a) Está chovendo forte. b) O carrasco não vai me executar. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. d) Dois mais dois é igual a cinco. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. 34 de 166

35 GABARITO 1. E 2. C 3. C 4. E 5. C 6. E 7. E 8. C 9. E 10. C 11. C 12. C 13. E/C/E/E 14. C/C 15. E 16. C 17. C 18. E 19. E 20. E 21. E 22. C 23. E 24. C 25. e. 35 de 166

36 GABARITO COMENTADO 1. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. Errado. A sentença A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos corresponde a uma proposição simples, pois temos apenas um pensamento. Assim, podemos afirmar que o item está errado. 2. (CESPE/STJ/2015) Designando por p e q as proposições Mariana tem tempo suficiente para estudar e Mariana será aprovada nessa disciplina, respectivamente, então a proposição Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina é equivalente a p ^ q. Certo. A questão exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica formal, isto é, transcrever da linguagem natural para a linguagem da lógica formal. Mariana não tem tempo suficiente para estudar ( p) e (^) não será aprovada nesta disciplina ( q) é equivalente a escrever a p ^ q. 3. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença A vida é curta e a morte é certa pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 36 de 166

37 Certo. A sentença A vida é curta e a morte é certa pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, uma vez que temos uma proposição composta conjuntiva podendo ser representada por P ^ Q. 4. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A sentença Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q ^ R, em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas. Errado. A sentença Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania representa uma proposição simples, logo temos sua representação por apenas uma letra e não conforme o item sugeriu. 5. (CESPE/SERPRO/2013) Considere o diálogo abaixo: Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. A declaração de Mário é equivalente a Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias. Certo. A banca mais uma vez exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica formal. A proposição Aquele que trabalha com o que gosta está sempre 37 de 166

38 de férias tem o mesmo significado de uma proposição condicional Se o indivíduo trabalha com que gosta, então ele trabalha com que gosta. O item está certo, pois o termo aquele tem o mesmo significado do termo se..., então (CESPE/SERPRO/2013) Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta é uma proposição equivalente à declaração de Mário. Errado. De acordo com a proposição (declaração) feita por Mário, temos que se trata de uma condicional, em que esta não possui a propriedade comutativa, ou seja, P Q equivalente (não tem o mesmo significado) Q P. Aí você me pergunta: O que é a propriedade comutativa?. Bem, esse assunto será visto mais à frente com profundidade, que se trata de uma das Leis de Equivalências Lógicas, porém vou lhe adiantar que o único operador lógico que não permite trocar de posições suas proposições simples é o conectivo condicional. Logo podemos inferir que: P Q Q P. Como sabemos agora que não é permitida a comutação, pois as interpretações não são as mesmas, temos que o item está errado. O único operador lógico que não permite trocar de posições (comutar) suas proposições simples é o conectivo condicional. P Q Q P. 38 de 166

39 7. (CESPE/STF/2013) A sentença: Um governo efetivo precisa de regras rígidas, de tribunais que desempenhem suas funções com seriedade e celeridade e de um sistema punitivo rigoroso pode ser corretamente representada pela expressão (P Q) R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Errado. Esta questão é interessante, pois se trata de uma proposição simples e não composta, uma vez que temos apenas um verbo que liga o sujeito ao um predicado. É bom ficar esperto(a), pois temos muitas questões dessa forma, em que o aluno pensa que, por ser grande a proposição, ela tem que ser composta. 8. (CESPE/STF/2013) A sentença um ensino dedicado à formação de técnicos negligencia a formação de cientistas constitui uma proposição simples. Certo. Temos novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma proposição simples. 9. (CESPE/STF/2013) A sentença A indicação de juízes para o STF deve ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura pode ser corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Errado. Novamente, uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma 39 de 166

40 proposição simples. A maneira que a banca simbolizou está considerando a proposição como composta, uma vez que temos a presença de um operador lógico condicional, que indicaria mais de uma proposição sendo conectada. Dessa forma, o item está errado. 10. (CESPE/SEBRAE/2008) A frase Pedro e Paulo são analistas do Sebrae é uma proposição simples. Certo. O item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples), o que podemos observar é que a proposição possui sujeito composto. 11. (CESPE/SEBRAE/2008) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. Certo. O item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo de conjunção e. 12. (CESPETÉCNICO EM INFORMÁTICA/PRODEST/ADAPTADA) Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. I Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. II Qual é o horário do filme? 40 de 166

41 III O Brasil é pentacampeão de futebol. IV Que belas flores! V Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições. Certo. Nesta questão, temos as proposições: Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (Uma proposição, um pensamento) Qual é o horário do filme? (Sentença) O Brasil é pentacampeão de futebol. (Uma proposição, um pensamento). Que belas flores! (Sentença) Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (Duas proposições, 2 pensamentos) Logo, temos 4 proposições. 13. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO/STF) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. I A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. II A segunda frase é uma proposição lógica simples. III A terceira frase é uma proposição lógica composta. IV A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 41 de 166

42 Errado/Certo/Errado/Errado. I Errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição. II Certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples). III Errado, pois temos apenas uma ideia completa (proposição simples). IV Errado, uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo condicional Se..., então (CESPE/ANALISTA/SEBRAE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. I A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. II A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. Certo/Certo. I Certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples). II Certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo de conjunção e. 15. (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida A e 42 de 166

43 B. A expressão A, não A, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A B, lida como A ou B, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A B tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes leituras: se A então B, A é condição suficiente para B, B é condição necessária para A. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por consequência das premissas. Considerando as informações acima, julgue o item. Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é proposição. Errado. A primeira sentença é interrogativa, logo não pode ser valorada, ou seja, é uma sentença aberta. A segunda frase é uma proposição, pois pode ser valorada, isto é, verdadeira ou falsa. A terceira frase é uma sentença aberta, pois não se sabe o valor de x e y. A quarta frase é uma proposição, pois possui interpretação lógica. Dessa forma, podemos inferir que o item está errado. 43 de 166

44 (CESPE/2008) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais. Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos,, e representem os conectivos lógicos ou, e, se..., então e não, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 16. (CESPE/2008) A proposição Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P ( R). Certo. O item está certo, pois temos o conectivo de conjunção representado pela palavra mas e o segundo conjuntivo negativo: R. Dessa forma, a simbolização está de acordo. 17. (CESPE/2008) A proposição Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego pode ser representada simbolicamente por Q S. 44 de 166

45 Certo. O item está certo, pois temos um operador condicional que opera as proposições Q e S, nesta ordem, porque não podemos esquecer que o condicional é o único que possui a propriedade comutativa. 18. (CESPE/2008) A proposição O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q S) P. Errado. Como já sabemos, o único operador lógico que não permite trocar de posições (comutar) suas proposições simples é o conectivo condicional. P Q Q P. O conectivo condicional é o que nos traz mais surpresas, logo tenho mais uma dica importante para você: Tomando a proposição P Q como exemplo, podemos dar nomes às suas proposições simples, observe: P (antecedente) Q (consequente), nesta ordem. A partir dessa dica, ficou fácil, pois a proposição O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é o consequente, ou seja, temos uma proposição condicional e o antecedente é a proposição Nesse país o direito é respeitado. Dessa forma, o item está errado, pois o conectivo condicional não possui a propriedade conotativa, ou seja, (Q S) P não é equivalente a P (Q S). 19. (CESPE/BANCO DO BRASIL/2007) Na lista de frases apresentadas abaixo, há exatamente três proposições. 45 de 166

46 A frase dentro destas aspas é uma mentira A expressão X + Y é positiva Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira O que é isto? Errado. Gostaria que você ficasse bem atento(a) agora ao comentário sobre a primeira sentença, pois teremos uma interpretação bem interessante: Temos quatro sentenças: A frase dentro destas aspas é uma mentira : esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois, se valorarmos como verdadeira, ela se tornará falsa, uma vez que informa que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar se á verdadeira e assim por diante. Logo, é uma sentença aberta. Nesta questão, é necessário analisar o conteúdo da informação e isso fica claro, uma vez que a sentença encontra-se dentro de aspas. Não se esqueça, pois, se não analisarmos o conteúdo, teremos uma proposição e, na verdade, o pensamento é aberto. A expressão X + Y é positiva: esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: se X = 1 e Y = 2, temos que = 3 (positivo), mas se tivermos X = 1 e Y = 3, temos que 1+( 3) = 4 (negativo). Logo, é uma sentença aberta. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira: esta frase possui uma interpretação lógica, uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasileira, sendo falsa a frase. Logo, é uma proposição. 46 de 166

47 O que é isto? Esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata se de uma sentença interrogativa, que não pode ser valorada. Logo, é uma sentença aberta e o item está errado. (CESPE/CENSIPAM/2006) Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens. 20. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites, pode ser corretamente representada por P S. Errado. O item está errado, pois se trata de uma proposição conjuntiva em que o primeiro conjuntivo é A liberdade é fundamental e o segundo conjuntivo O homem precisa de limites é representado simbolicamente por S P. Mais à frente, veremos mais sobre os termos primeiro conjuntivo e segundo conjuntivo, não se preocupe, será parte sobre tabelas-verdade. 21. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa. Pode ser corretamente representada por R Q. Errado. O item está errado, pois se trata se uma proposição condicional em que o antecedente é a proposição a justiça deve ser severa e o consequente é a proposição A 47 de 166

48 repressão ao crime é importante. É importante ressaltar que a proposição condicional é a única que não possui a propriedade comutativa, isto é, a representação simbólica correta é Q R. Vale a pena ressaltar que a partícula se anuncia o antecedente, independentemente de como esteja escrito na linguagem natural, enquanto o termo então anuncia o consequente. Ok? 22. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então repressão ao crime não é importante, pode ser corretamente representada por ( Q) ( S) R. Certo. O item está certo, pois se trata se uma proposição condicional em que o antecedente é a proposição composta a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental e o consequente é a proposição negativa A repressão ao crime não é importante. O termo nem é a contração do e com o não. 23. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa, pode ser corretamente representada por (( P) ( R)) Q. Errado. Este item é bem tranquilo e está errado, pois trata se uma proposição disjuntiva exclusiva, isto é, ou... ou..., em que o conectivo correto seria. 48 de 166

49 24. (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites pode ser corretamente representada por Q P. Certo. O item está certo, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a proposição a justiça deve ser severa e o consequente é a proposição O homem precisa de limites. 25. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL SP/2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. a) Está chovendo forte. b) O carrasco não vai me executar. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. d) Dois mais dois é igual a cinco. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. 49 de 166

50 Letra e. A Banca Vunesp exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e sentenças abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de maneira concreta os princípios fundamentais da Lógica Proposicional. Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro, nas quais, se proferisse uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade, mas, se a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. À primeira vista, temos uma interpretação de que tal situação é absurda, porém, quando analisamos pelo ponto de vista lógico, podemos interpretar que existem pensamentos passíveis de valoração (V ou F) dentro da lógica bivalente e dos pensamentos completos que não possuem interpretação, ou seja, sentenças abertas. Nesse caso, o prisioneiro, ao proferir a sentença, deixou o carrasco completamente sem saber o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do prisioneiro, ou seja, uma sentença que não conduzia à forca da verdade nem à forca da mentira, sendo, dessa forma, a execução cancelada. Bem, isto se deve ao fato de que a sentença se tratava de um pensamento completo que não era nem verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA. Serei enforcado na Forca da Mentira. A sentença não é nem verdadeira e nem falsa. Pois, se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa e, se tentarmos valorar como falsa, se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração sentença aberta. a) Errada. Está chovendo forte : é uma proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa, seria executado de qualquer forma. b) Errada. O carrasco não vai me executar : é uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. c) Errada. A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. É uma proposição, pois possui valoração, no caso verdadeira, seria executado na forca da verdade. 50 de 166

51 d) Errada. Dois mais dois é igual a cinco. É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. 51 de 166

52 PARTE 2 TABELAS-VERDADE VERITATIVAS Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entendermos como se constrói uma tabela-verdade, porém vamos entender porque se chama tabela-verdade. As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição simples ou composta, sabendo que na lógica bivalente as valorações possíveis, valores lógicos, que nós temos são: (V): verdadeiro ou (F): falso Daí surge a pergunta: Só temos esses dois valores? Bem, vamos lá. Para que possamos valorar as proposições simples ou compostas, temos que entender que as únicas possibilidades são essas, então não custa apresentar a você as 3 (três) Leis do Pensamento ou os Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional. Na Lógica como a ciência do raciocínio ou do pensamento, existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar se desenvolva de maneira correta. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não Contradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes: o princípio de identidade afirma que, se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro, se for falso, será falso. Não pode estar alternando sua valoração, isto é, sua interpretação; o princípio da não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. Do ponto de vista lógico, é impossível uma afirmação ser simultaneamente verdadeira e falsa. 52 de 166

53 o princípio do terceiro excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. Não temos como ter um terceiro valor, caso exista, deverá ser excluído. Partindo desse pressuposto, de que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou falso, vamos aprender a construir as tabelas-verdade. O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada tabela, pois bem, para isso temos que saber se temos uma proposição simples ou composta. Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja, n pensamentos simples, a sua tabela-verdade possuirá 2 n linhas. A base é o número 2 por se tratar da lógica bivalente e n significa o número de proposições simples. N. de linhas = 2 n (Proposições). Como construir uma tabela-verdade? Vejamos os casos abaixo: 1. Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição P? Já vimos que as proposições são representadas por letras e temos, nesse caso, uma variável proposicional, ou seja, n é igual a 1, então o número de linhas será dado por: 2 n = 2 1 = 2 linhas. Sabendo, agora, que temos 2 linhas, podemos construir a tabela: 2. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta P Q? Sabendo que as proposições são representadas por letras e temos, nesse caso, 53 de 166

54 duas variáveis proposicionais, ou seja, n é igual a 2, então o número de linhas será dado por: 2 n = 2 2 = 4 linhas. Sabendo agora que temos 4 linhas, podemos construir a tabela em que as duas primeiras colunas são as proposições simples e a terceira coluna será a proposição composta: 3. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P Q) R? Nesse caso, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então o número de linhas: 2 n =2 3 = 8 linhas 54 de 166

55 4. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P Q) (R S)? Agora, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 4, ou seja, n = 4, então o número de linhas: 2 n =2 4 = 16 linhas 55 de 166

56 E agora surge outra pergunta: como preencher as tabelas? Vamos aprender como valorar as proposições simples em uma tabela-verdade, ou seja, as primeiras colunas. 56 de 166

57 Para as tabelas-verdade a seguir, teremos: 1. Para 1 (uma) proposição: n=1 2. Para 2 (duas) proposições: n=2 57 de 166

58 3. Para 3 (três) proposições simples: n=3 4. Para 4 (quatro) proposições simples: n=4 58 de 166

59 Agora que aprendemos como preencher a parte inicial da tabela-verdade, podemos dar início às tabelas-verdade para cada um dos operadores lógicos. Vamos pensar da seguinte maneira. É como se fossem as tabuadas na matemática, pois, para cada operador matemático (você lembra?), tínhamos as tabuadas 59 de 166

60 da soma, subtração, multiplicação e divisão. Partimos do mesmo princípio, em que para cada operador lógico terá sua tabela. Antes de darmos início às tabelas para cada operador, vejamos dois exemplos de concursos do assunto já visto. 1. (CESPE/TCU/ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos. Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte. O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a 9. Certo. Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 3 = 8. Sendo assim, temos que 8 é inferior a (CESPE/TRT 5ª RG) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) (C D) será superior a 15. Certo. Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) 60 de 166

61 que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 4 = 16. Sendo assim, temos que 16 é superior 15. Tabelas Verdade Conjunção: e, mas Símbolo: Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo e. Exemplo: A: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo) B: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo) 61 de 166

62 Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabela-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama anterior. O operador conjuntivo (e) só será verdadeiro se os elementos pertencerem à interseção (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver o valor F (não pertence ao conjunto). O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será falso. O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será falso. O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será falso. Resumindo, a conjunção só será verdadeira se tudo for verdadeiro. O operador e tem o sentido de ambos, simultaneidade, ao mesmo tempo. O operador e em operações de conjuntos dá ideia de intersecção e uma ideia de multiplicação. Disjunção: ou Símbolo: Vamos para o próximo operador lógico e sua tabela-verdade, agora é a nossa disjunção inclusiva, que é uma proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo ou. 62 de 166

63 Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabela-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama anterior. O operador disjuntivo (ou) só será verdadeiro se os elementos pertencerem à união (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V (pertence) e tiver o valor F (não pertence ao conjunto). O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será falso. 63 de 166

64 Resumindo, a conjunção só será verdadeira se pelo menos uma proposição for verdadeira. Obs.: O operador ou tem o sentido de um ou outro, possivelmente ambos. O operador ou em operações de conjuntos dá ideia de união e uma ideia de soma. Vejamos mais uma questão comentada envolvendo os 2 (dois) operadores anteriores. É importante observar que, na tabela-verdade construída pela banca, os valores estão invertidos, mas isso não é problema, pois o que importa é que tenhamos todas as possibilidades. 3. (FUNIVERSA/POLÍCIA CIVIL DF) Os valores lógicos verdadeiro e falso podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo: As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade. 64 de 166

65 Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respectivamente, falsos, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso. II Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. III Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. IV Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso. a) Todas as afirmativas estão erradas. b) Há apenas uma afirmativa certa. c) Há apenas duas afirmativas certas. d) Há apenas três afirmativas certas. e) Todas as afirmativas estão certas. Letra c. Esta questão trata apenas da aplicação da tabela-verdade, logo é importante copiar as tabelas em uma folha para acompanhar as operações, com o tempo, por meio da prática, isto se tornará comum. I Certo. A ^B ^C F ^F ^ V = F Neste item, operamos na conjunção F com F, que será falsa, e, consequentemente, operamos na conjunção com V resultando em F. II Certo. A v B v C F v V v F = V 65 de 166

66 Neste item, operamos na disjunção F com V, que será falsa. III Errado. [A ^ (B V C)] [F ^ ( V v V )] = F Neste item, operamos a disjunção que está entre parênteses, que será verdadeira, e, consequentemente, operamos com F pela conjunção resultando em F. IV Errado. [A ou (B e C)] [V v (F ^ F)] = V Neste item, operamos o que está entre parênteses pela conjunção, que será falsa, e, consequentemente, operamos pela disjunção, que será verdadeira. Disjunção Exclusiva: ou... ou... Símbolo: Temos, agora, o nosso terceiro operador lógico, denominado de disjunção exclusiva. A proposição composta é formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo ou... ou... Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabela-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama anterior. O operador disjunção (ou... ou...) exclusiva só será verdadeiro se os elementos não pertencerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos, pertencerem à área hachurada no diagrama. Isto quer dizer que quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver o valor F (pertence ao conjunto). 66 de 166

67 O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na interseção, logo será falso. O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será verdadeiro. O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se encontra na interseção, logo será falso. Resumindo, a conjunção só será verdadeira se os valores das proposições forem diferentes. 4. (ESAF) De três irmãos José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano Letra b. Agora iremos utilizar um pouco dos conhecimentos adquiridos no primeiro módulo, onde tratamos da linguagem. Iremos simbolizar as proposições acima para ficar mais fácil. 67 de 166

68 P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho = V Obs.: você deve ter percebido o sinal de verdade ao final de cada proposição composta, isto ocorre porque partimos de verdades para chegarmos em uma verdade. Esse raciocínio ficará mais claro nos módulos posteriores quando falarmos de inferências lógicas, ok? Por enquanto, vamos ficar por aqui, pois o nosso foco são as tabelas-verdade. Aplicando mão da observação, temos que todas as proposições são verdadeiras, logo iremos valorá-las com V e, aplicando a tabela-verdade do conectivo utilizado (ou... ou...) nas proposições P1 e P2, iremos valorando as proposições simples que as compõem. Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros, temos que valorar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então, teremos: F V P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V F V P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho = V Na proposição composta P1, podemos ter 2 possibilidades de acordo com o operador ou... ou..., isto é, os valores devem ser diferentes, mas, se começarmos com F e V, respectivamente, iremos perceber que chegaremos em uma contradição, logo, ao colocarmos F e V, conforme ilustrado anteriormente, chegaremos na resposta correta. Dessa forma, podemos concluir que o mais velho é Caio e o mais moço é Adriano. 68 de 166

69 O operador ou... ou... tem o sentido de um ou outro e não ambos. O operador ou... ou... em operações de conjuntos dá ideia de união dos exclusivos e uma ideia da soma dos exclusivos. Quando se utilizar o ou no sentido exclusivo, é comum adicionar no final a expressão: mas não os dois. Condicional: se..., então... Símbolo: Agora, é muito importante sua atenção, pois iremos estudar o principal dos operadores lógicos, ou seja, o CONDICIONAL, isto pela incidência em questões de concursos públicos e também pela sua complexidade Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo se..., então..., quando, aquele, como e etc. Para melhor compreensão, iremos continuar lançando mão dos conhecimentos de teoria de conjuntos. A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por A B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e B é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b. 69 de 166

70 O operador condicional (se..., então...) será verdadeiro se os elementos cumprirem a condição determinada pela inclusão A B, ou seja, apenas 03 elementos a, b e c podem existir de acordo com o diagrama acima. Vejamos. O elemento referente à primeira linha indica que, se pertence a A, então pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento a, logo será verdadeiro. O elemento referente à segunda linha indica que, se pertence a A, então não pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer. No diagrama não temos elemento representando essa possibilidade, logo será falso. O elemento referente à terceira linha indica que, se não pertence a A, então pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento b, logo será verdadeiro. O elemento referente à quarta linha indica que, se não pertence a A, então não pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento c, logo será verdadeiro. Em uma proposição condicional, não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a segunda falsa, então, se sabemos que a primeira é verdadeira, 70 de 166

71 a segunda, por dedução, deverá ser considerada verdadeira e, se sabemos que a segunda é falsa, a primeira deverá ser considerada falsa. Note, também, que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor lógico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos como deduzir o valor lógico da primeira. Veja: É importantíssimo! Temos alguns termos que indicam as proposições simples numa proposição condicional. Tem acontecido demais em concursos, em que a banca não cita o nome do operador, e sim os termos escritos abaixo: Além desses termos, é importante guardar as condições que existem nas proposições condicionais. condição suficiente: condição que vai do antecedente para o consequente; condição necessária: condição que vai do consequente para o antecedente. Vejamos um exemplo simples: Ex.: se o dia estiver claro, então José vai à praia. 71 de 166

72 Temos que: O dia estar claro é condição suficiente para José ir à praia. ou José ir à praia é condição necessária para o dia estar claro. O Operador se..., então... dá ideia de inclusão de dois conjuntos, em que, p q p q. Obs.: Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que este não pode comutar, ou seja, se eu falar: se estudo, então eu passo, não é o mesmo que falar: se eu passei, então estudei. Do ponto de vista lógico, essas duas proposições não possuem as mesmas interpretações, isto é, as valorações nas tabelas-verdade são diferentes, isso fica claro nos com os valores expressos nas linhas 2 e de 166

73 Outra demonstração é por meio dos diagramas, em que temos: p q q p Resumindo, a condicional só será FALSA se tivermos verdade no antecedente e falso no consequente. Uma brincadeira que gosto de fazer é a seguinte: V F (Vera Fischer). 5. (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia; b) O jardim é florido e o gato não mia; c) O jardim não é florido e o gato mia; d) O jardim não é florido e o gato não mia; e) Se o passarinho canta então o gato não mia Letra c. Partindo do princípio de que todas as proposições são verdadeiras, temos: V V P1: O jardim não é florido O gato mia (V) 73 de 166

74 F F P2: O jardim é florido o passarinho não canta (V) P3: O passarinho canta (V) Para que possamos fazer esta questão, uma boa sugestão é que iniciemos pela proposição simples (P3) como verdadeira. Partindo da premissa p 3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de acordo com a tabela-verdade da condicional analisando as respostas: Se a proposição P3 é verdadeira, então o consequente de P2 será falso. Se o consequente de P2 é falso, então o antecedente será falso. Se o antecedente da proposição P2 é falso, então o antecedente da proposição P1 é verdadeiro. Verdadeiro, então o consequente da proposição P1 é verdadeiro. Dessa forma, temos as valorações das proposições simples, agora é só procurar a resposta e o importante é perceber que nas alternativas temos o operador de conjunção que deverá ser também analisado. o jardim não é florido e o gato mia. V ^ V = V a) Errada. O jardim é florido e o gato mia. F ^V = F b) Errada. O jardim é florido e o gato não mia. F ^ F = F d) Errada. O jardim não é florido e o gato não mia. V ^ F = F e) Errada. Se o passarinho canta então o gato não mia. V F = F 74 de 166

75 Obs.: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro? Bicondicional: se, e somente se Símbolo: Temos, agora, o operador bicondicional que será identificado pelo termo se, e somente se. A proposição composta é formada por duas proposições que estejam ligadas por esse conectivo. Vejamos um exemplo. Exemplo: A: gosto de lógica analítica. B: gosto de estatística inferencial. A proposição bicondicional A se, e somente se, B pode ser escrita como: A B: gosto de lógica analítica se, e somente se, gosto de estatística inferencial. Quando declaramos uma proposição bicondicional, devemos, de acordo com os axiomas de a Lógica, aceitar como verdadeiro que se é verdade que gosto de lógica inferencial, obrigatoriamente é verdade que gosto de estatística inferencial. Se for verdade que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente é verdade que gosto de lógica analítica. Se for falso que gosto de lógica inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de estatística inferencial, e, se é falso que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica analítica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama a seguir representam esta situação. 75 de 166

76 O operador bicondicional (se, e somente se) será verdadeiro se os elementos cumprirem a condição determinada pela inclusão (A B) (B A), ou seja, os conjuntos são iguais, pois o conjunto A está contido em B e, simultaneamente, B está contido em A, conforme o diagrama acima. Vejamos como interpretar as tabelas: O elemento referente à primeira linha indica que, se pertence ao conjunto A, então pertence ao conjunto B, ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é representado pelo elemento a, logo será verdadeiro. O elemento referente à segunda linha indica que, se pertence a A, então não pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não temos elemento representando essa possibilidade, logo será falso. O elemento referente à terceira linha indica que, se não pertence a A, então pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não temos elemento representando essa possibilidade, logo será falso. O elemento referente à quarta linha indica que, se não pertence a A, então não pertence a B, ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é representado pelo elemento b, logo será verdadeiro. 76 de 166

77 Obs.: na proposição bicondicional, se a primeira das duas proposições simples que a compõem for verdadeira, a segunda será verdadeira e, se a primeira for falsa, a segunda será falsa. Quando temos: 6. (FCC/TRF 1ª REGIÃO) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo, a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa Letra c. Considerando as proposições: Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres. 77 de 166

78 Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas. Tomando como proposições: P: Todos nossos atos têm causas. Q: Não há atos livres. (P Q) ^ (Q P) podemos inferir que P Q. Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições simples P e Q, em que podemos concluir que 2 (duas) condicionais produzem uma bicondicional. Todos os nossos atos têm causas se, e somente se, não há atos livres. Dessa ideia, temos mais um conceito a ser mostrado, que é o seguinte: P é condição necessária e suficiente para Q. Temos as duas condições simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional. Temos que observar que, em muitas questões de concursos públicos, os conectivos lógicos condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem formal (seu significado), mas por meio de condições impostas às proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos mais algumas questões comentadas em que a banca utiliza essa linguagem de condição suficiente, condição necessária e condição suficiente e necessária. 7. (ESAF/EPPGG/MP) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto: 78 de 166

79 a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. Letra c. Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. É importante que você já saiba as tabelas-verdade anteriores, pois iremos utilizá-las. (F) (F) P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V) (V) (V) P2: Helena não ir à Holanda Carlos ir ao Canadá (V) (F) (V) P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V) (F) (F) P4: Helena ir à Holanda Alexandre ir à Alemanha (V) Logo, partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas- -verdade, valoramos as proposições simples. Nesse momento, só quero que você se importe com a construção das proposições, pois, quanto às valorações, veremos uma maneira mais prática de preencher. Depois de valoradas as proposições anteriores, novamente chamo a atenção para observar que nas opções temos operadores lógicos que devem ser levados em conta. 79 de 166

80 Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ V ^V = V (certo) a) Errada. Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ F ^ V = F b) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^ V ^V = F d) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. F ^ F ^ F = F e) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^F ^ F = F 8. (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a) Denise não dança ou Ana não chora. b) nem Beto bebe nem Denise dança. c) Beto bebe e Ana chora. d) Beto não bebe ou Ana não chora e) Denise dança e Beto não bebe 80 de 166

81 Letra c. Observe que as proposições a seguir são construídas por intermédio das condições estudadas, logo fique atento(a) a: condição suficiente, condição necessária e as condição necessária e suficiente. Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. P1: Carmem cantar Beto beber (V) P2: Beto beber Denise dançar (V) P3: Denise dançar Ana chorar (V) P4: Carmem cantar (V) Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade da condicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma dica é você começar sempre de uma proposição simples, caso tenhamos. (V) (V) P1: Carmem cantar Beto beber (V) (V) (V) P2: Beto beber Denise dançar (V) (V) (V) P3: Denise dançar Ana chorar (V) (V) P4: Carmem cantar (V) Com valores adquiridos por intermédio das tabelas-verdade, que nessa altura do campeonato você já sabe, podemos analisar os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção verdadeira. 81 de 166

82 (V) ^ (V) = V Beto bebe e Ana chora (F) v (F) = F a) Errada. Denise não dança ou Ana não chora (F) ^ (F) = F b) Errada. Nem Beto nem Denise dançam (F) ^ (F) = F d) Errada. Beto não bebe e Ana não chora (V) ^ (F) = F e) Errada. Denise dança e Beto não bebe. Negação ou Modificador Lógico Símbolo: ou ~ Bem, até que enfim, o nosso último operador lógico. O não é chamado de modificador lógico porque, ao ser inserido em uma proposição, muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou ( ) antes da letra que representa a proposição. As maneiras que aparecem nas provas, fique ligado(a)! 82 de 166

83 Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição p, é falsa. Veja: Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa. Veja: 83 de 166

84 QUESTÕES DE CONCURSO (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de lógica proposicional. A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos. 84 de 166

85 1. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A última coluna da tabela verdade referente à proposição lógica PV (Q R) quando representada na posição horizontal é igual a 2. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A última coluna da tabela verdade referente à proposição lógica P (Q ^ R) quando representada na posição horizontal é igual a (CESPE/MI/2013) O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, quintas e sextas feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. 3. (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem Amanhã é meu dia de mentir, então essa afirmação terá sido feita em uma terça feira. 4. (CESPE/MI/2013) Na terça feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quarta feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz é verdadeira. 85 de 166

86 5. (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta feira, Cássio disser a Cássia: Se eu te amasse, eu não iria embora, será correto concluir que Cássio não ama Cássia. 6. (CESPE/TRE RJ/2012) Se as proposições Eu não registrei minha candidatura dentro do prazo e Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da proposição Eu serei barrado pela lei da ficha limpa. 7. (CESPE/INSS/2008) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item a seguir: Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B C é V. 8. (CESPE/INSS/2008) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir: 86 de 166

87 De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição ( A) ( C) tem valor lógico F. A questão a seguir é muito interessante, pois se trata de aplicação de tabelas-verdade, fique atento(a) ao comentário. 9. (CESPE/AGENTE DE POLÍCIA/PRF) Em um posto de fiscalização da PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identificação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis. Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas. a) I, II e V. b) I, III e IV. c) I, III e V. d) II, III e IV. e) II, IV e V. 10. (CESPE/TRE-PE/2016) Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença apresentada seja verdadeira. 87 de 166

88 a) ~(p r) (q r) q b) ~s q c) ~(~q q) d) ~[(~p q) (~q r) (~r s)] (~p s) e) (p s) (q ~s) 11. (CESPE/ANALISTA/DPU/2016). Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue. Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então, independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição R S Q será sempre falsa. 12. (CESPE/ANALISTA/DPU/2016) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. 88 de 166

89 Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue. A proposição Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado nem poderá pagar fiança pode ser corretamente simbolizada na forma (P Q) ((~R) (~S)). 13. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP/2013) André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como se mostra: André disse: Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal mamífero. Para verificar se a afirmação de André está correta, é a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C. b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C. c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D. d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D. e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas. 89 de 166

90 GABARITO 1. C 2. E 3. C 4. C 5. E 6. E 7. E 8. E 9. c 10. d 11. E 12. E 13. c 90 de 166

91 GABARITO COMENTADO (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de lógica proposicional. A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos. 91 de 166

92 1. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A última coluna da tabela verdade referente à proposição lógica PV (Q R) quando representada na posição horizontal é igual a Certo. Vamos construir a tabela verdade: Observar que na 4ª coluna temos uma bicondicional operando as proposições da 2ª e 3ª colunas. A bicondicional só será verdade se os valores forem iguais. Observar que na 5ª e última coluna iremos operar a 1ª com a 4ª coluna com o conectivo de disjunção(ou), em que, para ser verdade, basta uma verdade. 92 de 166

93 2. (CESPE/TEMPORÁRIO/MEC/2015) A última coluna da tabela verdade referente à proposição lógica P (Q ^ R) quando representada na posição horizontal é igual a Errado. Observar que na 4ª coluna temos uma conjunção operando as proposições da 2ª e 3ª colunas. A conjunção só será verdade se os valores forem verdadeiros. 93 de 166

94 Observar que na 5ª coluna temos uma condicional operando as proposições das 1ª e 4ª colunas. A condicional só será falsa de o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. (CESPE/MI/2013) O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às quartas, quintas e sextas feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana. A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos. 3. (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem Amanhã é meu dia de mentir, então essa afirmação terá sido feita em uma terça feira. Certo. Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação. Se analisarmos a terça-feira segundo o item propõe, temos que: Cássio na terça feira (fala a verdade) diz: amanhã é meu dia de mentir, se ele fala a verdade nesse dia, então deverá mentir na quarta feira, o que realmente acontece segundo podemos observar no quadro acima. Cássia na terça feira (fala mentira) diz: amanhã é meu dia de mentir, se ela fala mentiras nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta feira, o que realmente acontece segundo podemos observar no quadro anterior.] 94 de 166

95 4. (CESPE/MI/2013) Na terça feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quarta feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará arroz é verdadeira. Certo. De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo. A proposição: Cássia for ao supermercado no sábado será falsa (F), pois foi dito em uma terça feira. A proposição: comprará arroz será verdadeira (V), pois foi dito em uma quarta feira. Valorando as proposições, podemos aplicar na proposição composta a seguir: Cássia for ao supermercado no sábado (F) comprará arroz (V) = VERDADEIRO. 5. (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta feira, Cássio disser a Cássia: Se eu te amasse, eu não iria embora, será correto concluir que Cássio não ama Cássia. Errado. De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo. 95 de 166

96 Em uma sexta feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo a afirmação dita por ele deve ser valorada como falsa. Cássio: se eu te amasse, eu não iria embora = F Temos uma proposição composta condicional e, para que ela seja falsa, o antecedente tem que ser verdadeiro e o consequente, falso, assim: Cássio: eu te amasse(v) eu não iria embora (F) = F Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora. 6. (CESPE/TRE RJ/2012) Se as proposições Eu não registrei minha candidatura dentro do prazo e Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da proposição Eu serei barrado pela lei da ficha limpa. Errado. Simbolizando convenientemente a proposição P, temos: (BFL C E) ( RC C C) Primeira possibilidade Tomando a proposição eu serei barrado pela lei da ficha limpa como V (verdadeira). (V F) (F V/F) = F F V = F Segunda possibilidade 96 de 166

97 Tomando a proposição eu serei barrado pela lei da ficha limpa como F (falsa). (F F) (F V/F) = F V V = V Podemos concluir que a proposição P pode ser verdadeira ou falsa. Dessa forma, o item está errado. 7. (CESPE/INSS/2008) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item a seguir: Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B C é V. Errado. Podemos, nesta questão, valorar as proposições de acordo com o art. 5º, da Constituição Federal, ou seja, temos que interpretar o conteúdo da informação. A: a prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa) B: a defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira) C: todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. = (proposição falsa) Tabela do operador condicional (relembrando!): 97 de 166

98 Aplicando os axiomas da lógica (tabelas verdade) vistos anteriormente, temos que a proposição implicativa (condicional) B C, segundo os valores dados acima: B C; V F é Falsa. Dessa forma, o item está errado. 8. (CESPE/INSS/2008) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5º da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir: De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição ( A) ( C) tem valor lógico F. Errado. Valorando as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Federal, temos: A: a prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa) 98 de 166

99 B: a defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira) C: todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. = (proposição falsa) Tabela do operador disjuntivo (relembrando): Aplicando os axiomas da lógica (tabelas verdade), temos que a proposição disjuntiva ( A) ( C), segundo os valores dados acima: ( A) ( C) ( F) ( F) (V) (V) é verdadeiro. A questão a seguir é muito interessante, pois se trata de aplicação de tabelas-verdade, fique atento(a) ao comentário. 9. (CESPE/AGENTE DE POLÍCIA/PRF) Em um posto de fiscalização da PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identi- 99 de 166

100 ficação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis. Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas. a) I, II e V. b) I, III e IV. c) I, III e V. d) II, III e IV. e) II, IV e V. Letra c. A questão em lide é superinteressante, pois se refere à aplicação de conceitos de lógica proposicional, aplicação de tabelas-verdade, em que devemos primeiramente interpretar uma sentença. No comando, o trecho os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par será interpretado do ponto de vista lógico. Sendo assim, temos uma proposição composta condicional. Representação da proposição: P: todas as três letras forem vogais Q: o número formado por quatro algarismos, é par. 100 de 166

101 A proposição P Q é verdadeira de acordo com os axiomas da lógica, ou seja, sua tabela verdade (relembrando): Segundo o comando da questão, temos ainda o trecho: para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas, ou seja, com auxílio das placas, verificaremos se a informação é verdadeira. De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas: [todas as três letras forem [o número formado por quatro vogais] algarismos é par] V V/F (?) = V/F(?) A primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença (aberta) não é verdadeira nem falsa, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem verdadeiro nem falso, logo temos de retirar a tinta da placa para verificar se a sentença é verdadeira. 101 de 166

102 De acordo com a placa, as sentenças serão valoradas: [todas as três letras forem [o número formado por vogais] quatro algarismos é par] F V =V A primeira sentença é falsa e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que é verdadeiro, logo não é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira. De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas: [todas as três letras forem [o número formado por vogais] quatro algarismos é par] V/F(?) V/F(?) = V/F(?) A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é uma sentença aberta (não é falsa nem verdadeira), assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que é indeterminado (nem verdadeiro nem falso), logo é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira. De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas: 102 de 166

103 [todas as três letras forem [o número formado por vogais] quatro algarismos é par] V/F(?) V = V A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado verdadeiro independente do valor da primeira sentença (antecedente), logo não é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira. De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas: [todas as três letras forem [o número formado por vogais] quatro algarismos é par] V/F(?) F = V/F(?) A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é falsa, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem verdadeiro nem falso, logo é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira. 10. (CESPE/TRE-PE/2016) Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença apresentada seja verdadeira. 103 de 166

104 a) ~(p r) (q r) q b) ~s q c) ~(~q q) d) ~[(~p q) (~q r) (~r s)] (~p s) e) (p s) (q ~s) Letra d. Sabendo que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, iremos substituir as valorações nas alternativas e encontrar uma sentença verdadeira. a) ~(p r) (q r) q ~(V F) (F F) F ~( V) ( F) F F F F = F b) ~s q ~(V) (F) F F = F c) ~(~q q) ~(V F) ~( V) = F d) ~[(~p q) (~q r) (~r s)] (~p s) ~( ( F F) (V F) ( V V)) ( F V) ~( F V V ) ~( F) = V 104 de 166

105 11. (CESPE/ANALISTA/DPU/2016) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue. Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então, independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição R S Q será sempre falsa. Errado. Dadas as proposições: R: será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: poderá optar pelo pagamento de fiança. Q: cometeu o crime B. Sabendo que as proposições R e S se referem à mesma pessoa, temos uma contradição, ou seja, a proposição R S será sempre falsa, pois, quando R for verdadeiro, S será falso e vice-versa. A proposição R S Q é uma condicional, logo se o antecedente R S é sempre falso podemos inferir independentemente do valor lógico da proposição Q (V/F), a proposição composta será sempre verdadeira. 105 de 166

106 12. (CESPE/ANALISTA/DPU/2016) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue. A proposição Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado nem poderá pagar fiança pode ser corretamente simbolizada na forma (P Q) ((~R) (~S)). Errado. Na proposição composta condicional, o consequente está simbolizado erradamente, pois o operador lógico não é uma disjunção (ou), e sim uma conjunção (e). 13. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP/2013) André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como se mostra: 106 de 166

107 André disse: Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal mamífero. Para verificar se a afirmação de André está correta, é a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C. b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C. c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D. d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D. e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas. Letra c. A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a proposição condicional: P: Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal mamífero. De acordo com a tabela-verdade da condicional, temos: Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação seja verdadeira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P verdadeira: 107 de 166

108 Figura A: Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos: P: [face de uma carta há um número par (V/F)] [no verso há um animal mamífero (F)] = (F/V) Nesse caso, temos que virar a carta A, pois não temos a certeza de que a proposição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações anteriores, temos que ela pode ser verdadeira ou falsa. Figura B: Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos: P: [face de uma carta há um número par (V/F)] [no verso há um animal mamífero (V)] = (V) Nesse caso, não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza de que a proposição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações anteriores, temos que ela pode sempre será verdadeira. Figura C: Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos: P: [face de uma carta há um número par (F)] [no verso há um animal mamífero (V/F)] = (V) 108 de 166

109 Nesse caso, não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza que a proposição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações anteriores, temos que ela sempre será verdadeira. Figura D: Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos: P: [face de uma carta há um número par (V)] [no verso há um animal mamífero (V/F)] = (V/F) Nesse caso, temos que virar a carta D, pois não temos a certeza de que a proposição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações anteriores, temos que ela pode ser verdadeira ou falsa. Parte 3 Nesta parte iremos abordar os seguintes assuntos: NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (simples e compostas) e EQUIVALÊN- CIAS LÓGICAS: construção e aplicações das tabelas-verdade para demonstrar os conceitos citados e resoluções de questões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes. Negação de Proposições Compostas Negação de Proposições Compostas Como já vimos antes, uma proposição é a expressão de um pensamento completo que pode ser valorado, ou seja, ser verdadeiro ou falso. No caso de uma pro- 109 de 166

110 posição composta, podemos construir sua tabela-verdade de acordo com o número de proposições simples, assunto já visto em módulos anteriores. Na língua corrente, português, sabemos que possuímos os advérbios de negação não, nem, nunca, jamais, de modo algum, de forma nenhuma, tampouco, que modificam o sentido da proposição. Na lógica formal, temos uma outra interpretação quanto à negação, o que traz algumas dúvidas no início, pois o estudante analisa como se fosse do ponto de vista comum e, na verdade, não é assim. Para que duas proposições sejam opostas, temos o seguinte raciocínio: uma proposição é a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são contrários, ou seja, o nosso referencial para que duas proposições sejam opostas não é o que está escrito, e sim os resultados de suas tabelas-verdade. Não podemos esquecer que as proposições simples que formam as proposições compostas devem ser as mesmas e que os resultados de suas tabelas sejam totalmente opostos. Vejamos, a seguir, as principais negações utilizadas nas provas de concursos públicos: 110 de 166

111 Podemos observar os resultados das tabelas-verdade das proposições compostas: a) A B e A B: valorações totalmente contrárias; b) A B e A B: valorações totalmente contrárias; c) A B e A B: valorações totalmente contrárias; d) A B e (A B) (B A) ou A B: valorações totalmente contrárias; É importante ressaltar que podemos ter inúmeras negações, uma vez que podemos construir enésimas tabelas-verdade, porém, para concursos públicos, se você souber as quatro, anteriores, é o suficiente. Para melhor assimilação, vejamos alguns exemplos de negações de proposições compostas. 111 de 166

112 No exemplo da letra b, você deve estar se perguntando: a proposição P: as leis brasileiras são ineficazes; e Q: as pessoas não respeitam suas leis não possuem o símbolo de negação, uma vez que as sentenças são negativas. Quero deixar claro que uma proposição pode ser uma afirmação ou uma negação, logo não fique limitado(a) pensando que, se uma frase é uma negação, será necessário na simbologia colocar o símbolo (~ ou ) de negação. Em concursos recentes, isso tem sido frequente e muitos alunos têm errado, pois pensam que, porque a sentença tem uma negação, torna-se necessário um símbolo de negação, o que não é verdade, uma vez que, se você tiver uma negação, é só fazer sua afirmação, que é o contrário. 1. (IBFC/2017) Considerando a frase João comprou um notebook e não comprou um celular, a negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico proposicional é: a) João não comprou um notebook e comprou um celular b) João não comprou um notebook ou comprou um celular c) João comprou um notebook ou comprou um celular d) João não comprou um notebook e não comprou um celular e) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular Letra b. Já vimos que são duas proposições compostas, uma é a negação da outra, 112 de 166

113 quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor: A: João comprou um notebook. B: João não comprou um celular. A ^ B: João comprou um notebook e não comprou um celular. Representando adequadamente as proposições, podemos demonstrar por tabela: Podemos inferir que a proposição: A B: João não comprou um notebook ou comprou um celular. De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e o conectivo e vira ou. 2. (IBFC/2017) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase Ana é dentista ou não fez universidade é: a) Ana não é dentista ou fez universidade b) Ana não é dentista e não fez universidade c) Ana não é dentista e fez universidade d) Ana é dentista ou fez universidade e) Se Ana é dentista, então não fez universidade. 113 de 166

114 Letra c. Já vimos que são duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas- -verdades são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor: A: Ana é dentista. B: Ana não fez universidade. A B: Ana é dentista ou não fez universidade Adequando as proposições, podemos demonstrar por tabela: Podemos inferir a proposição: A ^ B: Ana não é dentista e fez universidade. De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e o conectivo ou vira e. 3. (IBFC/2016) A negação da frase O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta, de acordo com a equivalência lógica, a frase é: a) O Sol não é uma estrela e a Lua é um planeta b) O Sol não é uma estrela ou a Lua não é um planeta 114 de 166

115 c) O Sol é uma estrela ou a Lua é um planeta d) O Sol é uma estrela ou a Lua não é um planeta e) O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta Letra e. Mais uma vez temos duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor: A: Sol é uma estrela. B: Lua não é um planeta. A ^ B: O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta Representando adequadamente as proposições, podemos demonstrar por tabela: Podemos inferir a proposição: 115 de 166

116 A B: O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta. De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e o conectivo e vira ou. 4. (CESPE/MPENAP/2015) Considerando a proposição P: Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar, julgue os itens a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava. Errado. Você deve ter percebido que nessas primeiras questões temos mostrado também por tabelas-verdade, porém é interessante você guardar as leis, ok? Mas estou colocando sempre as tabelas para que você não se esqueça das tabelas que serão fundamentais nos próximos módulos. Temos que as duas últimas colunas não produzem resultados contrários. A negação da condicional é A B igual a A ^ B 116 de 166

117 5. (CESPE/ANTAQ/2014) Uma negação correta da proposição Acredito que estou certo seria Acredito que não estou certo.1 6. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A negação da proposição O tribunal entende que o réu tem culpa pode ser expressa por O tribunal entende que o réu não tem culpa. Errado. A proposição O tribunal entende que o réu tem culpa é uma proposição simples em que possuímos um sujeito e um predicado, logo é importante ressaltar que a ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação do sujeito. Desta forma a negação será: O tribunal não entende que o réu tem culpa. 7. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A negação da proposição Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética pode ser expressa por Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética. Errado. Neste item, temos uma proposição composta disjuntiva em que a negação de A B será ( A B), uma vez que essas duas proposições são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários. Dessa forma, vamos conferir se o item está de acordo: Afirmação: um empresário tem atuação antieconômica ou antiética. Negação: um empresário não tem atuação antieconômica e não tem atuação antiética. 1 Errado. 117 de 166

118 8. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Considere a proposição P a seguir. P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legitimidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos. Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes. A negação da proposição Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por corroer a legitimidade da democracia está expressa corretamente por Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia. Certo. O item está de acordo, uma vez que a negação da proposição: Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por corroer a legitimidade da democracia ( A B) Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia. ( A B) 9. (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração está corretamente expressa por A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração. Errado. É importante ressaltar que se trata de uma proposição simples, ou seja, apenas com pensamento. Dessa forma, a negação da proposição será: A licitação 118 de 166

119 anterior pode ser repetida sem prejuízo para a administração. Devemos negar o pensamento principal. 10. (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração está corretamente expressa por Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração. Certo. Duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdades são contrários. Nesse caso, temos: A B e sua negação A B. Representando adequadamente as proposições, temos: 11. (CESPE/POLÍCIA CIVIL-CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. 119 de 166

120 P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões. Certo. A negação da proposição condicional P4 Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões será a negação de uma proposição condicional A B, que é dada por A ^ B, isso porque as proposições compostas produzem tabelas-verdade opostas. Sendo assim, temos que afirmar o antecedente e negar o consequente. Logo, a negação será: teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas o policial não tem informações precisas ao tomar decisões. 12. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: 120 de 166

121 Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário. Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido. Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir. A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi. Errado. Temos uma proposição condicional A B cuja negação será A ^ ~B. [(eu fosse traficante)] [(estaria levando uma grande quantidade de droga ^ a teria escondido)] Afirma o antecedente e nega o consequente, logo temos como negação a proposição: sou traficante e não estou levando uma grande quantidade de drogas ou não teria escondido. 13. (TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo: P: O vereador Vitor não participou do esquema. Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema. R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema. 121 de 166

122 Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes: P 1 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. P 2 : Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos. P 3 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas. A negação da proposição Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, também não poderei concorrer a nenhum cargo estará corretamente expressa por Se eu registrar minha candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a algum cargo. Errado. No item, temos a negação de uma proposição condicional A B será A ^ ~B. Dessa forma, a negação proposta pelo item não está de acordo. 14. (PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes Gavião ou Falcão ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião. F2 Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião. 122 de 166

123 F3 Gavião e Falcão saíram da cidade. F4 Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subsequentes, com base nas regras de dedução. A negação da proposição F4 é logicamente equivalente à proposição Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião. Errado. A negação da proposição (A v B) é (~A ^ ~B). A proposição F4 é: havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. A negação proposta pelo item é: não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião. Dessa forma, percebemos que a negação não está de acordo. Negação de uma Sentença AFIRMAÇÃO X > A X < A X = A NEGAÇÃO X A X A X A 123 de 166

124 15. (CESPE/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente. A negação da proposição = 9 é a proposição = 7. Errado. A negação da sentença = 9 é , sendo assim temos que o item está errado. 16. (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o defensor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir. P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos. P2: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de forma proposital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente. 124 de 166

125 P3: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos, então não ocorrerá falha técnica na chamada. P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente. Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital. Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo. A negação de P1 é corretamente expressa por A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos. Errado. É importante ressaltar o seguinte: negação de uma sentença Afirmação X>A X<A X=A Negação X A X A X A A negação da proposição P1: a quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos não será a quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações 125 de 166

126 é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos. Proposições Logicamente Equivalentes Agora vamos tratar de equivalências lógicas, logo vamos ver qual é a definição: duas proposições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. Bem tranquilo, ok? Na verdade, é como se tivéssemos o pensamento contrário do tópico anterior, ou seja, enquanto na negação temos tabelas-verdade contrárias, aqui na equivalência, devemos possuir tabelas-verdade idênticas. Considerando A e B como proposições compostas, representamos simbolicamente A B, em que o símbolo significa equivalente. A B É importante nas provas de concursos públicos guardar algumas leis, ou seja, proposições compostas logicamente equivalentes que estão sempre presentes. Principais Leis de Equivalências Lógicas 1. Leis Associativas 1) (A B) C A (B C). 2) (A B) C A (B C). 126 de 166

127 Demonstração: (A B) C A (B C) A B C (A B) (A B) C B C A (B C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F Exemplo: (A B) C A (B C) A: Ronaldo é um aluno comportado. B: Ronaldo é um aluno educado. C: Ronaldo passa em concurso público. (A B) C A (B C) A: João é um professor esforçado. B: José é um aluno dedicado. C: Josias gosta de estudar. 127 de 166

128 Obs.: podemos observar que na Lei Associativa são utilizados os operadores e e ou, os parênteses mudam de posição, porém temos as mesmas interpretações (mesmos valores nas tabelas-verdade). Quase não acontece em provas de concursos públicos. 2. Leis Distributivas (importante guardar essa lei) Vamos construir as tabelas-verdade das Leis Distributivas para que você possa entender o porquê de elas serem equivalentes. Claro que nas provas você deve saber essas leis, pois só estou utilizando as tabelas para aproveitar e treinar um pouco mais as suas construções. Veremos mais à frente algumas resoluções bem práticas e rápidas por teoria de conjuntos. Vamos lá para as demonstrações: a) A (B C) (A B) (A C) b) A (B C) (A B) (A C) 128 de 166

129 Demonstração: A (B C) (A B) (A C) A B C BVC A (B C) A B A C (A B) (A C) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Exemplo: A (B C) (A B) (A C) A: Renato gosta de Lógica. B: Renato gosta de Português. C: Renato gosta de Matemática. A (B C) (A B) (A C) A: Renato gosta de Lógica. B: Renato gosta de Português. C: Renato gosta de Matemática. 129 de 166

130 3. Lei da Dupla Negação É importante ressaltar que, na língua portuguesa, quando negamos duas vezes, estamos ratificando a negação, porém, do ponto de vista lógico, não é bem assim, isto é, na lógica formal, se negamos duas vezes, na verdade, estamos afirmando. ~(~A) A Demonstração: ~(~A) A Exemplo: 130 de 166

131 Veremos agora a Lei de Equivalência mais importante, ou seja, aquela que mais aparece nas provas de concursos públicos, independente da banca examinadora. 4. Equivalência da Condicional a) (A B ~A B) b) (A B ~B ~A) Contrapositiva ou contrarrecíproca a) A B ~A B Demonstração: A B ~A B As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A B e ~A B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A B ~A B. Exemplo: a proposição se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso é o mesmo que André não é dedicado ou André passa no concurso. b) A B ~B ~A (Teorema da Contrarrecíproca ou Contrapositiva) 131 de 166

132 Demonstração: A B ~B ~A As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições logicamente equivalentes, isto é: A B ~B ~A Essa relação é chamada de teorema contrarrecíproco. Exemplo: Dizer que: se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica comprometido. É logicamente equivalente a dizer que: se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia brasileira não está em crise. Obs.: uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela intersecção das sentenças A B ~A B e A B ~B ~A, em que podemos concluir: A B ~A B ou A B ~B A. 132 de 166

133 Vejamos na tabela abaixo: As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A B, ~A B e ~B A são proposições logicamente equivalentes, isto é: A B ~A B, A B ~B A e ~A B ~B A. Exemplos: 5. Lei de Augustus De Morgan (importante guardar essa lei) a) ~(A B) (~A) (~B) Demonstração: ~(A B) (~A) (~B) 133 de 166

134 As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A B) e (~A) (~B) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A B) ~A ~ B. b) ~(A B) (~A) (~B) Demonstração: ~(A B) (~A) (~B) 134 de 166

135 As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A B) e (~A) (~B) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A B) ~A ~B. 6. Equivalência da Bicondicional [(A B) (B A)] [A B] Demonstração As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições [(A B) (B A) e [A B] são logicamente equivalentes. 7. Lei Comutativa Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos. Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo condicional não possui a propriedade comutativa. 135 de 166

136 (A) (B) (B) (A) (A) (B) (B) (A) (A) (B) (B) (A) COMUTAM (A) (B) (B) (A) (A) (B) (B) (A) NÃO COMUTAM Nas últimas provas de concursos públicos, vimos a importância das equivalências lógicas, aparecendo com maior frequência. Dessa forma, sugiro que guarde as leis de equivalências lógicas, além disso iremos ver algumas questões comentadas e irei apresentar a você algumas resoluções por teoria de conjuntos, veja a seguir. 136 de 166

137 QUESTÕES DE CONCURSO 1. (CESPE/UNB) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por,, e, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. A proposição (P Q) é equivalente à proposição ( P) ( Q). 2. (CESPE/UNB) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A B, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos é V. Com base nessas definições, julgue o item que se segue. Uma expressão da forma (A B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. 3. (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. 137 de 166

138 c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 4. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a Se Ana é bela, então Carina é feia é: a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia. e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. 5. (CESPE/UNB) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. 6. (CESPE/UNB) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. 138 de 166

139 P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. 7. (CESPE/UNB) Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças, apresentou à sua mãe a seguinte argumentação: Mãe, se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade. Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança. Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. Logo, se sou tratado como criança, mereço ganhar um novo smartphone no dia das crianças. Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir. A proposição Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade é equivalente a Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades. 8. (CESPE/UNB) A proposição Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança é equivalente a Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. 139 de 166

140 9. (CESPE/UNB) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo: P: O vereador Vitor não participou do esquema. Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema. R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema. Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P 1, P 2 e P 3 seguintes: P 1 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. P 2 : Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos. P 3 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. 10. (CESPE/UNB) Para descobrir qual dos assaltantes Gavião ou Falcão ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião. F2 se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião. F3 Gavião e Falcão saíram da cidade. 140 de 166

141 F4 havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue o item subsequente, com base nas regras de dedução. A proposição F2 é logicamente equivalente à proposição Se o dinheiro não ficou com Gavião, então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco. 11. (CESPE/ UNB) Considerando a proposição P: Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar, julgue o item a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava. 12. (CESPE/UNB) A proposição João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar é logicamente equivalente à proposição P. 13. (CESPE/UNB) A proposição Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o bastante é logicamente equivalente à proposição P. 14. (CESPE/UNB) Julgue os itens seguintes, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. 15. (CESPE/UNB) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir. P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. 141 de 166

142 P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial. P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. Tendo como referência essas proposições, julgue o item seguinte. A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição Se um empresário não mereceu receber a gratidão da sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. 16. (CESPE/UNB) Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. A proposição P1 é logicamente equivalente a Se o serviço for barato, não será bom nem será rápido. 17. (CESPE/UNB) A proposição P2 é logicamente equivalente a Ou o serviço é bom e barato, ou é rápido. 142 de 166

143 GABARITO 1. C 2. C 3. e 4. e 5. E 6. C 7. E 8. C 9. C 10. C 11. E 12. C 13. C 14. E 15. C 16. E 17. E 143 de 166

144 GABARITO COMENTADO 1. (CESPE/UNB) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por,, e, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. A proposição (P Q) é equivalente à proposição ( P) ( Q). Certo. A proposição composta: (P Q) não é verdade que P e Q, ao aplicar a Lei de De Morgan, temos: ( P) ( Q). Caso queira construir as tabelas, teremos que estas serão idênticas, como já visto nas demonstrações. 2. (CESPE/UNB) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A B, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos é V. Com base nessas definições, julgue o item que se segue. 144 de 166

145 Uma expressão da forma (A B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. Certo. Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma das leis. A proposição composta: (A B) não é verdade que A e não B, ao aplicar a Lei de De Morgan, temos: ( A) (B), logo, pela Lei Condicional [A B ( A) (B)], as suas tabelas-verdade são idênticas. 3. (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Letra e. Dada a proposição, temos: Elaine não ensaia Elisa não estuda. O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa não estuda). O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine não ensaia). 145 de 166

146 Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário realizado anteriormente. O que fazer? Percebemos que as respostas propostas pela Esaf não satisfazem a proposição: se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi utilizada essa proposição, porém será usada outra proposição logicamente equivalente à dada pelo enunciado da questão. A lei condicional, contrapositiva, possui as condições que a questão exige. Aplicando a lei condicional: Elaine não ensaia Elisa não estuda Elisa estuda Elaine ensaia Agora sim, temos que: I Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. II Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 4. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a Se Ana é bela, então Carina é feia é: a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia. e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. Letra e. Dada a proposição, temos: Ana é bela Carina é feia. Segundo a lei condicional, temos duas equivalências: 146 de 166

147 I Se Carina não é feia, então Ana não é bela. II Ana não é bela ou Carina é feia. 5. (CESPE/UNB) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. Errado. Representando as proposições, temos: A: O delegado prende o chefe da quadrilha. B: A operação agarra será bem-sucedida. Representando a proposição: Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida, temos A B. Representando a proposição: Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida, temos A B. Para verificar se as proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas- -verdade produzam os mesmos resultados. 147 de 166

148 Os resultados não são iguais, logo as proposições não são equivalentes. É importante perceber que de condicional para condicional temos que negar as proposições e trocar de posição (contrarrecíproca). No item acima, apenas negou as proposições, porém não trocou de posição. 6. (CESPE/UNB) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. Certo. A conjunção será P 1 ^ P 2. [(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões o policial toma decisões ruins)] ^ [(não tem informações precisas ao tomar decisões então o policial toma decisões ruins)] 148 de 166

149 é equivalente a [(se deixa dominar pela emoção v não tem informações precisas ao tomar decisões)] (o policial toma decisões ruins). I Resolução por Diagramas: Para verificar se as proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produzam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabela com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la, logo iremos resolver por teoria de conjuntos, sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e condicional é uma inclusão de conjuntos. Representando a conjunção de P1 e P2, temos: Podemos inferir que a proposição [(se deixa dominar pela emoção v não tem informações precisas ao tomar decisões)] (o policial toma decisões ruins) pode ser representada pelo diagrama acima também, logo as proposições são logicamente equivalentes. II Resolução pelas Leis de Equivalências: [(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões o policial toma decisões ruins)] [(não tem informações precisas ao tomar decisões então o policial toma decisões ruins)] Equivalente 149 de 166

150 [(se deixa dominar pela emoção não tem informações precisas ao tomar decisões] (o policial toma decisões ruins) Representando as proposições simples, temos: DE: deixa dominar pela emoção ao tomar decisões DR: o policial toma decisões ruins IP: tem informações precisas ao tomar decisões SIMBOLIZANDO AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: {[DE DR] [~IP DR]} {[DE ~IP] [DR]} {[~DE DR] [IP DR]} {[~DE IP] [DR]} Aplicando a Lei Distributiva em {[~DE IP] v [DR]} temos {[~DE DR] [IP v DR]} {[~DE DR] [IP DR]} {[~DE DR] [IP v DR]} Dessa forma, temos que as proposições que estão antes e depois do sinal de equivalências são iguais, ou seja, equivalentes. 7. (CESPE/UNB) Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças, apresentou à sua mãe a seguinte argumentação: Mãe, se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade. Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança. 150 de 166

151 Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. Logo, se sou tratado como criança, mereço ganhar um novo smartphone no dia das crianças. Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir. A proposição Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade é equivalente a Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades. Errado. A proposição: [estou há 7 anos na faculdade(a) ^ não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades(b)] [não tenho um mínimo de maturidade(c)] é equivalente à proposição: [eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] [não estou há 7 anos na faculdade(~a) ^ tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades(~b)] Pela Lei condicional, aplicando a contrapositiva, temos: A B é equivalente A B, teríamos o como equivalente a segunda proposição da seguinte forma: [eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] [não estou há 7 anos na faculdade(~a) V tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades(~b)] O único problema foi que no consequente seria uma proposição disjuntiva, e não conjuntiva. 8. (CESPE/UNB) A proposição Se não ajo como um homem da minha idade, sou tratado como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança é equivalente a Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança. 151 de 166

152 Certo. Para verificar se as proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produzam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabela com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la. Logo, iremos resolver por teoria de conjuntos, sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e condicional é uma inclusão de conjuntos. Representando as proposições temos: P: não ajo como um homem da minha idade. Q: sou tratado como criança. R: não tenho um mínimo de maturidade. P1: [(não ajo como um homem da minha idade sou tratado como criança)] ^ [não tenho um mínimo de maturidade sou tratado como criança] Representação por Diagrama: Os conjuntos pontilhados são as possibilidades da localização do diagrama. P2: [(não ajo como um homem da minha idade V não tenho um mínimo de maturidade)] [(sou tratado como criança)]. Podemos inferir que a proposição P2 também pode ser representada pelo mesmo diagrama, pois o antecedente, que é a união de P e R, está contido no conjunto Q. Obs.: essa questão é idêntica à questão comentada anteriormente, em que podemos resolver pelas leis de equivalência. 152 de 166

153 9. (CESPE/UNB) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R, abaixo: P: O vereador Vitor não participou do esquema. Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema. R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema. Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P 1, P 2 e P 3 seguintes: P 1 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do esquema. P 2 : Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos. P 3 : Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Certo. Dada a proposição P3, temos: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema. Na Lei condicional, temos que as proposições A B, ~B ~A e ~A V B são equivalentes entre si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade. Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A B e ~A V B produzem as mesmas tabelas-verdade. 153 de 166

154 10. (CESPE/UNB) Para descobrir qual dos assaltantes Gavião ou Falcão ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião. F2 se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião. F3 Gavião e Falcão saíram da cidade. F4 havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue o item subsequente, com base nas regras de dedução. A proposição F2 é logicamente equivalente à proposição Se o dinheiro não ficou com Gavião, então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco. Certo. Dada a proposição F2 se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião, temos uma proposição condicional. Na Lei condicional, temos que as proposições A B, ~B ~A e ~A V B são equivalentes entre si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade. Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A B, ~B ~A (contrapositiva). 11. (CESPE/ UNB) Considerando a proposição P: Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar, julgue o item a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava. 154 de 166

155 Errado. Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem contrários. Temos que as duas últimas colunas, não produzem resultados contrários. A negação da proposição condicional é: 12. (CESPE/UNB) A proposição João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar é logicamente equivalente à proposição P. Certo. A proposição composta João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar pode ser representada por A B 155 de 166

156 A proposição P Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar pode ser representada por A B. Leis de equivalência Condicional: B A (Contra positiva) A B A B As proposições compostas anteriormente produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logicamente equivalentes. 13. (CESPE/UNB) A proposição Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o bastante é logicamente equivalente à proposição P. Certo. A proposição composta Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou o bastante pode ser representada por B A A proposição P Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar pode ser representada por A B. Leis de equivalência Condicional: B A (Contra positiva) A B A B As proposições compostas produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logicamente equivalentes. 14. (CESPE/UNB) Julgue os itens seguintes, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. 156 de 166

157 Errado. A proposição P é logicamente equivalente a Como não me importo com a opinião dos outros, acredito que esteja certo. 15. (CESPE/UNB) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir. P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial. P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. Tendo como referência essas proposições, julgue o item seguinte. A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição Se um empresário não mereceu receber a gratidão da sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. Certo. Dada a proposição condicional P1: (As ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social) (tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.) A proposição composta é uma proposição condicional, assim temos duas possíveis equivalências lógicas: B A (Contra positiva) A B 157 de 166

158 B A O item sugere a contra positiva (se um empresário não mereceu receber a gratidão da sociedade) (as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social). 16. (CESPE/UNB) Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. A proposição P1 é logicamente equivalente a Se o serviço for barato, não será bom nem será rápido. Errado. Representando a proposição, temos: P1: (Foi bom rápido) (não será barato) Aplicando a lei condicional (contrapositiva) A B B A, Podemos inferir que a equivalência será Serviço foi barato (não será bom não será rápido) 17. (CESPE/UNB) A proposição P2 é logicamente equivalente a Ou o serviço é bom e barato, ou é rápido. 158 de 166

159 Errado. Representando a proposição, temos: P2: (Foi bom Rápido) (não será rápido) Aplicando a lei condicional: A B será equivalente a B V A Podemos inferir que será: O serviço não é bom ou não é barato, ou não será rápido. 159 de 166

160 AUTOAVALIAÇÃO 1. (INSTITUTO AOCP/2016) Considere as proposições: p = João gosta de maçãs, q = Está chovendo aqui. Assinale a alternativa que corresponde à proposição (~p ~q). a) João gosta de maçãs ou está chovendo aqui. b) João não gosta de maçãs ou não está chovendo aqui. c) João gosta de maçãs e está chovendo aqui. d) João não gosta de maçãs e está não chovendo aqui. e) Se João gosta de maçãs, então não está chovendo aqui. 2. (INSTITUTO AOCP/2016) Considere a proposição p: Joana é enfermeira e a proposição q: José é médico. Assinale a alternativa que apresenta a negação da frase Joana é enfermeira e José é médico. a) Joana não é enfermeira ou José não é médico. b) Joana não é enfermeira e José não é médico. c) Se Joana não é enfermeira, então José não é médico. d) Joana não é enfermeira, se e somente se, José não é médico. e) Joana não é enfermeira e José é médico. 3. (INSTITUTO AOCP/2016) A tabela-verdade apresenta os estados lógicos das entradas e das saídas de um dado no computador. Ela é a base para a lógica binária que, igualmente, é a base de todo o cálculo computacional. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta a fórmula que corresponde ao resultado da tabela-verdade dada. 160 de 166

161 a) (p ^ q) b) (p v q) c) (p q) d) ( p) e) ( q) 4. (INSTITUTO AOCP/2016) A negação de Todos os candidatos vão passar no concurso é a) Existe candidato que não passará no concurso. b) Existe apenas um candidato que vai passar no concurso. c) Existe apenas um candidato que não vai passar no concurso. d) Nenhum candidato vai passar no concurso. e) Todos os candidatos não vão passar no concurso. 5. (INSTITUTO AOCP/2015) Considerando a proposição composta (p r), é correto afirmar que a) a proposição composta é falsa se apenas p for falsa. b) a proposição composta é falsa se apenas r for falsa. c) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam verdadeiras. 161 de 166